摘要：交换积分次序问题是考研数学的常考题型，本文主要从直接坐标交换成直角坐标以及直角坐标和极坐标互换两方面进行举例讲解。
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交换积分次序问题问考研数学的常考题型，主要考查直角坐标交换成直角坐标以及直角坐标与极坐标互换，极少考查极坐标与极坐标互换，无论何种题型，我们都必须先检查原累次积分中上限是否大于下限，否则必须交换上下限，当然需要注意符合；然后根据原累次积分画出积分区域，最后按照要求交换积分次序。
一、直接坐标交换成直角坐标
其本质为积分区域由X型写成Y型或Y型写成X型.
【解析】直接在直角坐标下计算该积分非常复杂，可以交换积分次序，转化为极坐标计算.交换积分次序时首先要验证是否下限小于上限.
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考研帮地方站二重积分交换积分次序
二重积分交换积分次序
范文一：第 ２ ４卷 第 ４期２１ ０ １年 ８月ｒ高 等 函授 学 报 （ 自然 科 学 版 ）Ｖｏ ． ４ Ｎ ｏ ４ １２ ．２０１ １Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔ ｎ（ ａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＨ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉ Ｎ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ） ｏ?大 学教 学 ?二 重 积 分 在 极 坐 标 系下交 换 次 序 的转 化肖俊’林 燕。（ ． 汉 科 技 大 学 理 学 院 ， 汉 ４ ０ ６ ；２冶 金 工 业 工 程 系 统 科 学 湖 北 省 重 点 实 验 室 ， 汉 ４ ０ ８ ； １武 武 ３０５ 。 武 ３０ １ ３ 武 汉 市 第 二职 业 教 育 中心 学 校 ， 汉 ４ ０ ６ ） ． 武 ３ ０ ０摘要 ： 文探 讨 了二 重 积 分 在 极 坐 标 系 下如 何 交换 次 序 的 问题 ， 用 实例 进 行 了说 明 。 本 并关 键 词 ： 重 积 分 ； 坐标 ； 换 次序 ． 二 极 交中图 分 类 号 ： ７ Ｇ４ Ｏ１ ２ ２文献标识码 ： Ａ文 章编 号 ：０ ６ ７ ５ （ ０ １ ０ － ０ １ － ０ １ ０ — ３ ３ ２ １ ）４ ０ ６ ２关 于二 重 积分 在 直 角 坐 标 系下 交 换 次 序 的交 点多 于 ２ ， 个 则将 区域 Ｄ分割 ） 然后 观察 ｒ ， 的变化 ， 可 确 定 为 ｒ的 上 下 限 ： （） ｒ （） 即 ? ≤ ≤研究 已经很 多 了， 但现 使 用 的 同济 大 学 编 的高 等数学教 材 （ 第六 版 ）中 ， 二重 积 分 在极 坐标 系下 的计算 只给 出了一种 次序 ， 先对 ｒ 对 。 即 后 由此 学生容易 产生疑 惑 ： 重积 分 在 极 坐 标 系下 是 否 只 二 有 一种 次序 ？ 如果还 存在 先对 后 对 ｒ的积 分 ， 这由 此 可 得： Ｉ （ ｏ ， ｉ Ｏ ｄｄ 一 １ ｒ ｓ ｒ ｎ ） ｒＯ ｆ ｃ ｓ ｒｃ ｓＯ ｒ ｉ ）ｄｒ ‘ 。 ，ｓｎ Ｏ ｒ ．ｔ ｌ两种 次序如何 相互交 换 ？ 其实先 对 后对 ｒ 的积 分 也 是存 在的 ， 因为定 限和计 算上都 比较复杂 ， 际 实应 用较 少 ， 至教课 书中 没有提 到 。 甚 本文希 望在这同理 ， 如果 化为先 对 后对 ｒ的积分 ， 先确 则定 ｒ的 变 化 范 围 ， 看 区 域 Ｄ 被 哪 两 个 圆 心 在 极 即点的 同心 圆夹 住 ， 这两 个 同心 圆的半 径 即 ｒ的上下 限 ａ≤ ｒ≤ ｂ 。个 方面起 一个抛 砖 引玉的作 用 。先 回顾一下 二重积 分在 极坐 标 系下先 对 ｒ 后 对 ， 是如何 确定积 分次 序 的 。Ｖｒ∈ ［ ，］ 将 ｒ ａ ６ ， 固定 ， 即从 极 点 ０ 同心 圆 引穿过 区域 Ｄ， 只允许该 圆最 多与 Ｄ有 两个 交 点（ 若交 点 多 于 ２ ， 将 区域 Ｄ分割 ） 然后 观察 ０ 个 则 ， 的变化 ， 时 的 上 下 限 即 为 的 上 下 限 （） ≤ ０ 这≤ ｒ（） ２（ ｒ ｄＯ － …￣ｒ ｒ ｓＯｒ ＝ Ｚ （ｓ ｃ ｉ）ｄ ｆＦ ｆｃ 刚＇ｎ ｒ ｂ ｏ ｄｃ Ｏ ｏ０， ｓｎ ） ｄＯ ｒ ｉ ｒ ．下 面举 例说 明 ：图 １例 将二重积分 Ｉ Ｉ ｘ ｆｘ ｄ （ ＝ （ ，）ｙ ｎ ｄｌ＞ Ｏ ）化为极 坐标 系下 的二次 积分 （ 两种 次序都 要写 ） 。先确 定 的变 化 范 围 ， 即看 区域 Ｄ 被哪 两条从 极 点 ０发 出 的 射 线 夹 住 ， １中 区 域 Ｄ 被 射 线 图 一 ａ ０＝ 夹 住 ， ａ≤ ０ 卢 ， ＝ ＝ 故 ≤ 。解为：此 二 重 积 分 的 积 分 区 域ＤＶ ∈ ［， ， ０ ０ ａ阅 将 固定 ， 即从极点 ０ 引射线穿过 区域 Ｄ， 只允 许该射 线 最多 与 Ｄ有 两个交 点 （ 若收 稿 日期 ：２ １ ０ １—５ —４ 基 金 项 目 ； 技 部 重 大 教 研 项 目 子 课 题 ： 科 学 思 维 、 学 方 法 在 高 等 数 学 课 程 中 的 应 用 与 实 践 ” 项 目编 号 ： 科 “ 科 ，２ ９１ ０１ ４０ ００ Ｍ ０ ０— １— ２５ ．本人简介 ： 肖俊 （ ９ ３ ） ， 北 省武 汉 市 人 ， 士 ， 师 ， 究 方 向 ： 等数 学 教育 与系 统 科 学 研 究 ． １７ 一 男 湖 硕 讲 研 高１ ６（）第 ２ ４卷第 ４期２１ ０ １年 ８月高 等 函授 学 报 （ 自然科 学 版）Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔ ｎ（ ｔ ｒｌＳｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＨ ｇ ｅ ｒ ｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａｉ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ） ｏＶｏ ． ４ Ｎｏ ４ １２ ．２ Ｏｌ１１ 转 化 为 先 对 ｒ 对 ０积 分 后一 口一 ａｃｉ ｒｓ ｎ旦。， ．０ ，≤ ≤图 ２ １ ．图 ２２ ．（ ） 确 定 的 上 下 限 ， 图 １ 看 出 积 分 区 １ 先 从 可图 ３１ ．域 Ｄ被 轴 ， 夹 住 ， ０≤ ０≤ － Ｙ轴 故 ５ －（ ） 极点 ０引 射线 穿过 区域 Ｄ ， ２ 从 观察 此 时 ｒ的 变 化 。 线 与 区 域 Ｄ 的第 一 个 交 点 为 极 点 ０ ， 射 第二个 交 点先 在 直线 Ｘ＝ 乜上 （ 图 ２ １ ， 变化 到 如 ． ）后直线 Ｙ 如图２２，＝季 是分界点， 一口 ．）０ 将区域Ｄ口≤ｒ≤√ 口分成两部分。 ∈［， 时， 当０ ｏ孚］ ｚ—ａ ｒ ｓ 一 ＝ ｃ ￣ ｏ０图 ３２ ．一口 一Ｃ 即 ≤ｒ Ｃ 当 ［ ］ ｒ Ｓ ０ ≤三 Ｏ ０ 詈， 时， Ｏ ； Ｅ ４号 ＳＹ一 口 ｒ ｉ Ｓｎ ０一 口 ｒ一 即 ０≤ ｒ≤ ；Ｊｎｒ ｒ－ ｃ ｓ ｒ＋ 『 ａ 。 ２ ｏ ｉ ｓ ｎ５ｌｄ１ ｒＪ …ｆ ｒｏ ，ｓ ） ｒ （ｃｓ ｒｉ ｒ ． ０ ｎ ｄｒ ｒ故 Ｉ— ｌＪｏＪ ｏ（ｏ ０ｓ ） ｒ＋ ｒ ｓ ￣ｉ Ｏｄ ｃ ｒｎ ｒ故 从 ａｃ０ 旦 变化 到 ａｃｉ ｒｃ ｓ ｒｓ ｎ旦 回顾我们两种定限过程 ， 可看 出后积分的总是先ｃｓ ｏｓ㈣ ｉ定 次 蹋， 比如 ： 先对 ｒ 后对 的先定 的上下 限， 而先 对 后对 ｒ 的则先确定 ｒ 的变化范 围； 定完后积分变量 的上下限后 ， 将其 固定 ， 即让其取常量 ， 观察这时另一 个 变量的上下限。 通过这样的讲解 ， 同学们能更好地理解极 坐 标 系下 的定 限 问题 。参 考 文 献２ 转 化 为 先 对 ０后 对 ｒ积 分（ ） 确定 ｒ 变化 范 围 ， 图 ２中可看 出区 １ 先 的 从域 Ｄ被 圆心 在 极点 ， 径 为√ ｎ的 圆覆 盖 ， ０≤ 半 ２ 即ｒ≤ ；（） ２ Ｖｒ∈ ［ ，］ 将 ｒ固定 ， Ⅱ６， 即从 极 点 Ｏ引 同心 圆穿 过 区域 Ｄ ， 然后 观察 ０ 的变化 ； ，∈ ［ ，］ 当 一 ｏ ａ时 （ 图 ３ １ ， 与 Ｄ 交 于 ｚ轴 和 Ｙ轴 ， 从 ０ 化 如 ．）圆 ０ 变育 出 版 社 ，０ ７ ２０ ．［］ 同济 大学 应用数 学 系． １ 高等 数 学 （ 册 ）Ｍ］北 京 ： 等教 下 ［ ． 高［］陈 文 灯． ９８研 究 生 入 学 考 试 数 学 复 习 指 南 （ 工 类 ） ２ １９ 理 ［ ． Ｍ］北京 ： 界 图书 出版公 司 ，９８ 世 １９．到要， ｒ ［， ］ ，９ｚ一口 当 ∈ 口 时 ｏ ， 变化到Ｙ— ａ ，ｚ ＝ 以 ＝ ｃ ｓ０ ＝ ｎ ＝￣ｒ Ｏ ： ａ ｃ ｏｓ旦 ； ＝ 口 ｒ ｉ ｒｅ ｓｎ ０ｒ１ ７原文地址：第 ２ ４卷 第 ４期２１ ０ １年 ８月ｒ高 等 函授 学 报 （ 自然 科 学 版 ）Ｖｏ ． ４ Ｎ ｏ ４ １２ ．２０１ １Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔ ｎ（ ａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＨ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉ Ｎ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ） ｏ?大 学教 学 ?二 重 积 分 在 极 坐 标 系下交 换 次 序 的转 化肖俊’林 燕。（ ． 汉 科 技 大 学 理 学 院 ， 汉 ４ ０ ６ ；２冶 金 工 业 工 程 系 统 科 学 湖 北 省 重 点 实 验 室 ， 汉 ４ ０ ８ ； １武 武 ３０５ 。 武 ３０ １ ３ 武 汉 市 第 二职 业 教 育 中心 学 校 ， 汉 ４ ０ ６ ） ． 武 ３ ０ ０摘要 ： 文探 讨 了二 重 积 分 在 极 坐 标 系 下如 何 交换 次 序 的 问题 ， 用 实例 进 行 了说 明 。 本 并关 键 词 ： 重 积 分 ； 坐标 ； 换 次序 ． 二 极 交中图 分 类 号 ： ７ Ｇ４ Ｏ１ ２ ２文献标识码 ： Ａ文 章编 号 ：０ ６ ７ ５ （ ０ １ ０ － ０ １ － ０ １ ０ — ３ ３ ２ １ ）４ ０ ６ ２关 于二 重 积分 在 直 角 坐 标 系下 交 换 次 序 的交 点多 于 ２ ， 个 则将 区域 Ｄ分割 ） 然后 观察 ｒ ， 的变化 ， 可 确 定 为 ｒ的 上 下 限 ： （） ｒ （） 即 ? 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范文二：第24卷第4期2011年8月高等函授学报(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)
Vol.24No.4 2011#大学教学#二重积分在极坐标系下交换次序的转化肖俊1,2林燕3(1.武汉科技大学理学院,武汉.冶金工业工程系统科学湖北省重点实验室,武汉430081;3.武汉市第二职业教育中心学校,武汉430060)摘 要:本文探讨了二重积分在极坐标系下如何交换次序的问题,并用实例进行了说明。关键词:二重积分;极坐标;交换次序中图分类号:O172G42文献标识码:A
文章编号:11)04-0016-02关于二重积分在直角坐标系下交换次序的研究已经很多了,但现使用的同济大学编的高等数学教材(第六版)中,二重积分在极坐标系下的计算只给出了一种次序,即先对r后对H。由此学生容易产生疑惑:二重积分在极坐标系下是否只有一种次序?如果还存在先对H后对r的积分,这两种次序如何相互交换?其实先对H后对r的积分也是存在的,因为定限和计算上都比较复杂,实际应用较少,甚至教课书中没有提到。本文希望在这个方面起一个抛砖引玉的作用。先回顾一下二重积分在极坐标系下先对r后对H,是如何确定积分次序的。交点多于2个,则将区域D分割),然后观察r的变1(H2(H化,即可确定为r的上下限:U)[r[U)由此可得:kf(rcosDH,rsinH)rdrdH==1>QQdHA21Bf(rcosH,rsinH)rdr.同理,如果化为先对H后对r的积分,则先确定r的变化范围,即看区域D被哪两个圆心在极点的同心圆夹住,这两个同心圆的半径即r的上下限a[r[b。PrI[a,b],将r固定,即从极点o引同心圆穿过区域D,只允许该圆最多与D有两个交点(若交点多于2个,则将区域D分割),然后观察H的变化,这时的上下限即为H的上下限:r1(H)[H[r2(H)kDf(rcosH,rsinH)rdrdH=QQdHa21br(H)r(H)f(rcosH,rsinH)rdH.下面举例说明:图1例 将二重积分I=先确定H的变化范围,即看区域D被哪两条从极点o发出的射线夹住,图1中区域D被射线H=A,H=B夹住,故A[H[B。PHI[A,B],将H固定,即从极点o引射线穿过区域D,只允许该射线最多与D有两个交点(若QdxQf(x,y)dyaa(a>0)化为极坐标系下的二次积分(两种次序都要写)。解 此二重积分的积分区域D0[x[a0[y[a为:收稿日期:基金项目:科技部重大教研项目子课题:/科学思维、科学方法在高等数学课程中的应用与实践0,项目编号:-1-25.本人简介:肖俊(1973-)男,湖北省武汉市人,硕士,讲师,研究方向:高等数学教育与系统科学研究.16第24卷第4期2011年8月高等函授学报(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)
Vol.24No.4 20111转化为先对r后对H积分=a]H=arcsin。r图2.1图2.2(1)先确定H的上下限,从图1可看出积分区域D被x轴,y轴夹住,故0[H[2(2)从极点O引射线穿过区域D,观察此时r的变化。射线与区域D的第一个交点为极点O,第二个交点先在直线x=a上(如图211),后变化到直线y=a如图212),H=是分界点,将区域D4分成两部分。当HI[0,]时,x=a]rcosH=4a]r=即0[r[;当HI[,]时,cosHcosH42y=a]rsinH=a]r=故I=图3.1图3.2I=arcsinrQdrf(rcosaH,rsinH)rdr+即0[r[;sinHsinHdH0f(rcosH,rsinH)rdr+0P4acosHQadrarccosf(rcosH,rsinH)rdr.dHf(rcosH,rsinH)rdr故H从arccos变化到arcsinrr回顾我们两种定限过程,可看出后积分的总是先定次序=2>,比如:先对r后对H的先定H的上下限,而先对H后对r的则先确定r的变化范围;定完后积分变量的上下限后,将其固定,即让其取常量,观察这时另一个变量的上下限。通过这样的讲解,同学们能更好地理解极坐标系下的定限问题。参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M].北京:高等教育出版社,2007.[2]陈文灯.1998研究生入学考试数学复习指南(理工类)[M].北京:世界图书出版公司,1998.2转化为先对H后对r积分(1)先确定r的变化范围,从图2中可看出区域D被圆心在极点,2a的圆覆盖,即0[r[2a;(2)PrI[a,b],将r固定,即从极点o引同心圆穿过区域D,然后观察H的变化;当rI[0,a]时(如图311),圆与D交于x轴和y轴,H从0变化到,当rI[a,2a]时,H从x=a变化到y=a,2x=a]rcosH=a]H=y=a]rsinHr
范文三：交换积分次序10. 以=
. 为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
.三、解答题（共40分）1. 求（本题5分）2. 设要使f(x)在x=1处可导，求常数a和b的值.( 本题6分)在x等于1处可导，则f（x）在x=1处连续 所以在x=1处x平方等于ax+b
在x=1处x的平方的导数等于ax+b的导数就可以得出a b3. 计算不定积分：4. 求由曲线的面积，以及该平面图形绕积.( 本题6分)1.( 本题6分) 及轴所围成平面图形轴旋转一周所得旋转体的体
解 ：面积S= 01+ -ydy= 0dy- 0ydy+ 0 dy11
=1-2+ 0 dy=2+2arcsin|0+2y |0 =2 1+arcsin1
1该平面图形绕x轴旋转所得体积可分为两部分如下2dx+ π 2x-x2 dx=1π+π 4-1-8+1=π V= πx01333125. 设二元函数，求：(1),（2），（3）.( 本题6分)6. ( 本题6分)用极坐标计算二重积分. 其中是由圆周所围成闭区域. 平面区域如图所示7.将展开为的幂级数，并写出其收敛域. (本小题5
范文四：高教研 究ｌ ２ ９
第年２总弟
期２）９ 期（３３～三重 分交积积换次分序一的种方法 １？ ＝ｆ●Ｊ
Ｄｒ．０－ ｚ ￣２、１基（
础诹部 ）ｄ嚼Ｉ Ｊｙ三重 积 分
换 积 分交次
， 通序常 采 用 的 方法 ，
据根 所 三给
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区域 ｖ的 空
间图 形 然 后 根 ， 据Ｖ的 状 形 按 要求
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”。丈 根 本据
三重积 分 与二 重 积
的分关系 ，得 出 一
三换 重 积分 次 序
交 为换 二
重积次序 （一次或分次 多 ）的法方，而从将在空间区内域施实的 问 转 化成了题平面在域区 内ＺＶ耍施，
为 易难Ｚ 。设 已 给出 在 直角坐标
积分Ｉ Ｘｊ：ａ：， ；ａ ｘ： ｔ ｙ ￣ Ｚｘ Ｉａ ： ；；
ｙａ ，ｆ
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分积与 二 重
， （ １ 系）化 为＠ 可（２）ｎ：ｊａ ，ｃｒ
ｚ ｘｘＩ
ｚ ， ）
ｙ。Ｄ（）（ 。 ）是Ｄ空 区间Ｖ域 ｏ在 面 的投上影区域Ｄ（，）
为用ｘ面 ｘ平《ａ ｘ
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常 数。 Ｏｚ
ｘ中，为述简叙，便 我们称 （，１ 表达三蕈积分的积分次的 为～序ｙ
其形式他积的
法 类推 。２ （由 ）盱
ｘ￣ 离 ｘ
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ｉ上ｌ１序 ｜ｌｌ Ｄ
（妨称不此类 型 １２趺 痔交换 ） 从而可 将（ ） １—，
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交 （此一 ｄ
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ｚ～ ｙ— 扶序变 为换ｘ ｚ 对。上 —
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换 交 到 的得 新的
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分 又，可 用
原理 ， 实
现新的 Ｉ ２ 或 Ａ
２—一 ３次 序的
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—２ 次 序３
中，位于 次 序 Ｉ 变 的 量 视应作
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积分饲＝Ｆ ，ｊｄ ＝： ；：：ｃ ． ｃＪ ｐｊｅ：Ｊ：
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， 积分重 的积 分
（实换 １ 现交换 或２ ３ 交换）
一— ， 而从现球实坐标 面系三下 积重的积 分次分序交换 。 且可 而交在 换后
继 施续 行 的 Ｉ一新２交
换或２ —３交
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｛序次 乎交务换，实现 自己的次
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。 请看 ④ 中
下 例 ｔ逐伪３ 试
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ｒ Ｉ】参考 献文 ① 张 镜 清
等 ② 著方 勤盘 著许 康 ③等著 ④
君良等 蝙Ｉｔ
ｄ。徽。 积 分解题
分析 （下 ）
元多 函数徽 积 分
学 习 导 指高
３明０ 分 析 ０捌?４３?
范文五：维普资讯 第 １卷第２ ８ 期 ２ ０ 年５ ０６ 月Ｊ ｒ ｌ 宁德师专学报（ Ｉ （ ｜ｒ ｎｅ ｏ ｎ Ｎ ｓｅ ｅｃ￣ Ｑ然科学版） Ｓ ｅ ） ｕａ ｉ ｄ Ｔｅ ｎ ｈ 自ｌ Ｎ岫 ａ ｌ 孵 ｌ ｏＶ ． Ｎ 。 ｄ １ ｏ２ ８２ ０ ０６浅谈重积分交换次序问题吴 润 莘（ 福舡 程学院， 福州 ３０１） 福建 ５０４摘要： 探讨用直角坐标系下的二重积分化二次积分的基本方法来有效解决所有重积分交换次序问题 ． 关键词： 重积分 ； 交换次序； 积分区域中图分类号： ２立 Ｏ １ ． ７文献标识码： Ａ文章编号： ｏ — ９１２０）２ ０２ — ３ １ ４ ２１（０６０ — １ ０ ０ ２在高等数学教学中 ， 直角坐标系的二重积分交换次序 问题是一个重点． ， 自然 三重积分及其他坐标系的积分交换次序 问题也是学生经常提出的问题． 为此 ， 笔者作了仔细的研究 ， 今将相关结果录于下 ， 供同仁参考 ．二 积 定 原ｌ：积 区 Ｄｙ ， ‘ 中 数，）２） 区 ［ 重 分 限 贝１ 分 域 ：‘ ＝ｙ Ｊ设 ｓ ｓ 其 函 ） ， 在 间口 １ ） （ ， （ ，ｔ ｔ ｆ ）． 一 ｄ ） ，－． ，Ｍ定限原则 ２设 积分 区域 Ｄ： ‘ ｓ ｓ ‘ ： ｙ，其 中函数 １） ，２） 在区间［ ， ］ （ ） （） ， ， ｃｄ 上连续 ． 则＝．１ 直 角坐标 系下 Ｓ－重 积分 交换次 序 ｊ直角坐标系下 的二重积分交换次序可分为两个步骤 ：１ 画出积分区域并将二次积分转化为二重 （）积分 ； ） （ 按照规定次序依据化二重积分定限原则将它化为二次积分 ． ２例１ 变 分 Ｉ （， ｄ 的 序． 改 积 ｙ ｙ 次 ｆ ｝解 画出积分区域与 Ｄ ： ｙ ｘ二次积分 ， 得到 则 ＝ ， ＝ ， ， ， ， ， ｄ ， ， ＋ ｄ ， ， ２ ｓ ｙ 与 Ｄ ： ｙｓ ｓ ２ 将此二重积分化为先对 后对 的ｙ，，０ Ｓ ２ Ｙ Ｓ２ Ｓ Ｙ４直角坐标系下的二重积分交换次序是一切坐标系下积分交换次序的基础 ， 必须十分熟练 ．２ 直角坐标系下Ｓ ＿重积分交换次序 ｊ三重积分交换次序问题的做法是 ： 依次交换相邻两个积分变量的积分次序 ， 将剩下的那个积分变量 看成常量 ， 交换的方法用二重积分交换次序法 ， 两两交换次序直到达到要求 的结果．例 三积 一 ２将 重 分ｄ ｄ， ）改 成 Ｊｙ形 ． ， 出 变 卜 ｄ 的式 ， ，解 先换，分序 成量 出一 （ ， 的分域 ：１ ２ 交 ）积次， 看常， Ｊｄ ｘ ｚ 积区Ｄ ＋， ， 将 画 ． ｆ，） 三 。 ｙ出 Ｄ收稿 日 ２Ｏ — ３ ２ 期：Ｏ６ ０ — ０ 作者简介 ： 吴润莘（９１ ， 讲师， １７ 一）女， 福建连江人， 现从事高校数学教学与研究．阅读详情：维普资讯 第２ 期吴润莘 ： 浅谈重积分交换次序问题?１ ３ ? ２其 Ｄ！ ， １ ： ， ～； 中 １ｓ， 一 卜 ＝ ： ＜ Ｕ＜ ＜ ！三 兰 ！； ｌ 兰则．－ｄ 『， １ 。， － Ｘ出＝＝ ， 一 ， 一Ｄ ２ｄ＋ ， ，Ｉ１ ，， ｄ 一 Ｙｚ ｙ ■ Ｉ ）一年则Ｄ２： ｕ ｓ，一， ｘ ， ＝ （ ｘ，ｄ＋ ｄ： ， Ｙ （ ｄ ， ，ｚ 一 ，ｚ， Ｙ ） ｔ ｙ ｄ ｙ） ， ｄ ）． １ ，＜ ｌ然 ，定Ｙ 动再 换 ： 积 次 ，）个 分 区 分 为 １ 后固 不 ，交 对 与 的 分 序（两 积 的 域 别 Ｄ： １ ：胁。ｙＵ ＜（ 示意图请读者 自画） ．＝Ｕ ＜＜ｌ肛ｌｘ，ｚ ，）＝ ｙｄ ｚ～￣ｔ ｄ ｘ， ｆｙ ＋ ￡ ，）＝ ｃ ｌ ｙ ｄ ｚ ｙｄ ｚｄ一 （ ｙ ｘ，胁 ＋ ： ，ｚ， ｙ ｄ ｘ ，ｄ ， ｚ ｙ） ，３ 极坐标 系下 的重 积分 交换次序同样， 用直角坐标系的二重积分交换次序的方法也可以解决极坐标系下的重积分交换次序问题． 它的步骤是 ：１ （）以两个积分变量为直角坐标系的两个坐标轴画出二重积分的积分 区域并将二次积分转化为二重积分 ；２ 按照规定 的次序将它化为二次积分 ． （）例 ３ 改变积ｄ删 ）ｄ 的积分次序． ｒｒ解 本题若直接用极坐标系的定限原则来改变它的积分次序也是可行 的方法 ， 只是 比较麻烦 ． 下面我们仍然用直角坐标系的二重积分交换次序方法来解决这个问题． 为横轴 ， 为纵轴建立直角坐 以 ｒ一标系， 积分区域为 Ｄ ： ４ 一 一 ４ 与 Ｄ ： ｌ ２０ ｒ ≤一＜Ｕ ＜￣ ＇ ＯＳ? ＣＣ２一 一２＜口 ≤ 一 ａｒ ｏ８ ｃｃ， 画成直角坐标系，ｒ４Ｏｄ ）Ｏｒ 胁础＝ ＋ ａ Ｄ 舢＝ｄ ｒ Ｄ ＝．Ｄ ＾。４叭 ｒ （ ｄ ｒ 』 ， ＝，一 ～ 一２至此， 只要熟练掌握直角坐标系的二重积分交换次序的方法 ， 就可 以实现任意维的， 任意坐标 系的 积分次序的问题 ．例 换ｄ 中ｒ ｄ ， 积次 ． ４交 』 ｒ ｒ的分 序 － ｄ ， ｚ 『 』解 固 ， 为 轴，为 轴建立 角 定 以ｒ 横 ｚ 纵 直 坐标系， 出Ｉｅ ｒｒ 厂ｚ 积 域 并画 Ｃ ａ ｄＩ ｄ 的 分区 ２ｅ ｒ ａｆ 。。 ： ０Ｃ ５ ，０…＂ ＂ 从而 Ｊ ｒ 二／５２￣ ， 中 ｒ 。 ｚ＝Ｊ ￣ ｏ 一 ＜ ａ ０ ＜ ＜ ４ ｃ ｓｑ ａ ０ Ｊ ０中 ２２ 叫 ￣ ａｐ ｃ ｍ．中ｄＪⅢ √则ｄ ａｅｒ ， ＝ ｅ￣ｄ ｅ ｐ ｄ０ 。０ ０。０ｄ阅读详情：维普资讯 ?１４ ? ２宁德师专学报（ 然科学版） 自２０ 年５ ０６ 月４ 应 用 举 例例 令Ｆ ） Ｉ ， ２ ， ｚ Ｖ ’） ５ （ ＝ ＿ （ ＋ ２ ， （． ￡ ｌ ， ） 求Ｆ １ Ｉ ＋ ｄ膏 。 ２： 。 ＋解 ） －Ⅲ ，２ｙ ｄ＝ ｓｄ ｄ （＋ ＋） ｄ ｉ 胁 ｒ２＝ ２ ｒ ｎ ）ｒ ｒ＋ ＋ ‘２ｎｄｒ ｒｒ ２２ ． ）ｄｓ 眦 ｃ８ 则 。，当 ｔ 此积分区域 Ｄ： ≠０ ００）＿２ ｆ ＯＪｒｄ ２ ）８咖 ｉ ｎ（＝ｒ２ ｔ２： ２ ｃ］ ｄ ２： ｒ１ ）＝ ２２ 一）３２． ｒ一ｓ 呓ｒ 丌ｒ ２ 一 ｄ ２ ｒｒｒ ，） － ） ｏ ：－ ） ｒ 丌 ，） 詈 ‘ ｒｒ ｆ ［ ‘ ｆ （ ‘ （ｄ ｒ ｄ （ （： ． ￣ ? ：（ｄ 詈８ ｔ ２≠ ＝Ｊ３２ ２４ ２ －３ 一 ? ? （ 。 ．‘（ｄ ） 丌ｔ ４ ＋ｆ，） ２ ‘ ｒｒ ｔ ４ ?ｔ ） ｒｒｒ ｒ ３ ） ｍ ｆ） ： １ ２ 。设ｒ ２＿棚 ０ ｔ ）＝ 巾 ≠ｏ ． ）当：时 ｏ 。 （＿ ）一： ￣ｘ） ｌｒ ｆ ｄ ｉ ：（ Ｊ ｘ ｍ ＇ｘ：：。 所 以 。ｔ ）』』 枷 ≠ ： ０ ‘ ）ｔ ｏ，（ ｔ＝Ｏ ）沣． 右 嘏 的｛ 可以讲 一 讨 论 ． ￡ ０时 ． Ｃ ）关于 ｔ 壶者 当 Ｓ ｔ 的阶与 主部 ．参考文献 ：［］ １ 刘玉琏． 数学分析讲义学习辅导书［ ． Ｍ］ 北京 ： 高等教育出版社， ０ ． ２３ Ｏ－［］ ２ 谢惠民． 数学分析习题课讲义［ ］北京 ： Ｍ． 高等教育出版杜， ０ ． ２４ ０［］ ３ 斐礼文． 数学分析中的典型问题与方法［ ． Ｍ］ 北京 ： 高等教育出版社， ０ ． ２３ ０ ［］ ４ 西北工业大学高数教研室． 高等数学中的典型问题与解法［ ］上海 ： Ｍ． 同济大学出版社， ０ ． ２ １ ０Ａ ｒ ｆｄｓｕ ｓ ｎ ｏ ｅｐ ｏ ｌｍ ｆｃ ａ ｇ ￣ ｔ ｅｏ ｄ ｒｏ ｂ ｉ ｉ ｓｉ ｎ ｔ ｒ ｂｅ ｏ ｎ ｔ ｈ ｒ ｅ ｆ ｅ ｃ ｏ ｈ ｈｉ ｔ ｇ ａｉ ｎ ｉ ｌ — ｉ ｔｇ ａ ｎ ｅ ｒ ｔ ａ ｍｕ ｔ －ｎ ｅ ｒ ｌ ｏ ｎ ｉＷ Ｕ Ｒｉ —ｚ ｎ ｍ ｉｇ（ｔ Ｕ ｉ Ｆｌ ｊ 姗 － 玎 蛐Ｔ 出岫 ｅ，Ｆ￣ｏ 锄 ３０ １ ，ｈｎ） ｕ ｕＦ ＜ ．０ ４Ｃ ｉａ ，Ｕ ｕ ｆｎ ｉｇａｄ ｕ ｌ ｔ ｒｌｎｏａ ｅａ－ ａ ｓ ａｎ ｏ ｂｅｉ ｅ ａ ｔ．ｎｉ ｒｔ ｏ ｎｇ ｉ ｔＡ ｓ ＇ ｔ ｔｉ ｒｆ ｉ ｕ ｓｓｈ ｗ ｔ ｓ ｍｄ ｅ ｔｌ ｔｏ ｂ Ｕａ ： ｈｓｅｉ ｄｓ ｓｅ ｏ Ｉｅａｆ ￣ ｎａ ｈ ｄ ｃ ＇ｄｅ ｃ ｏｌ ｉ ｍｅｅ ｌ ｄｉ Ｉ—ｉ ｅ ａｅｉ ０ ｎｔ ｒｓ ｎｃ ｈＣ ｔ ａ ０ｅｓ蚶邪广 ＿Ｄｓｌ ｅ ｒ ｌ ｆｂ－ ｎ ｅ ｒｅ ｉｅ ｙ ＿ ｔ ｏ ｅｈ ｏ ｅ ｏ ．￣ ｇｔ ｄｒ ｆｎ 正吼 ｉ ｍ ｌ ｖｔ ｐｂｍ ｃ ｈｏ ｏ ｔ ｎａ ｕｔ ｉｉｔ ｒ１ ｎｅ ａ． ｇＫ ｙｗ ｒ￣ ｍ ｌ—ｉ ｅ ｏｄ－ ｕ ＊ ｉ ｌ ｔ Ｉ； ｂ－ ｎ ｅ ｒ ｒ ｆｎ ｇ ｔ￣ ｉｅｒ ｎ ａ ｃ－￣ ｇｈ ｄ ｔ ｒｌ ；ｎ ｇ ｌ ｍ ｉ ｔ ｏ ｅ ｏ ｉ ｅ ａｏ ｔ ａｄ ｎ
范文六：交换积分次序的一种代数方法摘 要:,.在高等数学教材中,对于二次积分dx∫∫aby2(x)y1(x)f(x,y)dy或三次积分dx∫∫dy∫ay1(x)by2(x)z2(x,y)z1(x,y)f(x,y)dz,在交换它们的积分次序时,往往采用的是几何法,即根据积分限画出积分区域的图形,根据图形按题意确定新的积分上下限,交换积分次序.要掌握这种方法,必须对几何图形的画法非常熟悉.如果在画图时遇到困难,或者图形画不出来,就会给解题带来障碍.本文介绍一种用代数法来交换积分次序的一种方法,对这种问题的解决会带来很大的帮助.下面我们以二次积分b∫∫f(x,y)dy为例说明这种交换积分次序的总的思想.a≤x≤b所确由二次积分dxf(x,y)dy的积分限可知,积分区域D∫∫y(x)≤y≤y(x)abdxy2(x)y1(x)y2(x)ay1(x)12定的几何图形.要交换这个二次积分的次序,我们可以分为两步进行:第一步:确定新二次积分中积分变量y的积分限1显然,此时有下限c=infy1(x),上限d=supy2a≤x≤ba≤x≤b(x).第二步,确定新二次积分中积分变量x的积分限,此时我们可以从不等式组的第二个不等式中解出ω1(y)≤x≤ω2(y),则原不等式等价于不等式组:a≤x≤bω1(y)≤x≤ω2(y)由不等式的解法有max{a,ω1(y)}≤x≤min{b,ω2(y)},于是可取max{a,ω1(y)}和min{b,ω2a≤x≤bc≤y≤ba≤y≤dc≤y≤d(y)},分别作为新二次积分中积分变量x的上限和下限1例1 改变∫dy∫f(x,y)dx的积分次序1-1y22y+2解 第一步,确定新积分次序中积分变量x的积分限:由infy2=0,sup(y+2)=4,得0≤x≤411≤x≤21≤x≤2第二步,确定新积分次序中y的积分限y2≤x≤y+2 (1)-1≤y≤2 (2)由(1)式一方面y2≤x得故不等式(1)-x≤又由x≤y+2得y≥x-21x≤yx等价1y≥x-2x≤yx,即:max{-1,-y≥x-20≤x≤4-1≤y≤2-x,x-2}≤ymin{2,x}0≤x≤4①当0≤x≤1时,max{-1,-0≤x≤1x,x-2}=-x,min{2,x}=0≤x≤1x所以此时有-x≤yx11≤x≤4②当0≤x≤4时,max{-1,-故此时有:x-2≤yx,2y2x,x-2}=x-x}1x≤4x1∫例2 改变dx∫f(x,y)dy的积分次序1-1(x,)=10-xdxf(x,y)dy+∫f(x,y)dy14xdxx-2e1nx10解第一步,确定新积分次序中y的积分限:1≤x≤e可知inf0=0,suplnx=11于是有:0≤y≤11≤x≤e1≤x≤e0≤y≤lnx,确定新积分次序中x的上下限:y1≤x≤ex≥e 可得1≤x≤e0≤y≤lnxy由于max{1,e}≤x≤e,即ey≤x≤e10≤y≤1故f(x,y)dx1dydx∫∫∫∫例3 改变dydy∫∫f(x,y)dx+∫∫f(x,y)dx的积分次序11elnxf(x,y)dy=2y010eey10313-y0解 第一步,确定新积分次序中x的积分限由inf0=0,sup2y=2,或inf 0=0,sup(3-y)=2,得0≤x≤210≤y≤10≤y≤11≤y≤31≤y≤3第二步,y(把x看作是[0,2]上的常数)解不等式组0≤x≤2y (3)0≤x≤3-y (5)Ⅰ与Ⅱ0≤y≤1 (4)0≤y≤3 (6)先解Ⅰ,由(3):y2,max{0,0≤x≤22}=2,于是有2≤y≤11再解Ⅱ,由(5)得:y≤3-x,min{3-x,3}=3-x,于是:1≤y≤3-x,0≤x≤2从而有:故:102≤y≤3-x2y0∫f(x,y)dy∫∫∫∫dx例4 改变∫f(x,y)dy的积分次序.∫dx∫f(x,y)dy+∫dyf(x,y)dx+(x+1)313-y0dyf(x,y)dx=10203-x2dx01-xx-1-1-(x+1)解 第一步,确定新积分次序中y的上、下限,由inf[-{x+1}]=-1,sup(x+1)=1,-1≤x≤0-1≤x≤00≤x≤1inf(x-1)=-1,sup(1-x)=1,0≤x≤1得 -1≤y≤1.第二步,确定新积分次序中x的上下限(视y为[-1,1]上的常数).由原积分次序的积分限可确定以下两个不等式组-(x+1) ≤y≤1+xx-1≤y≤1-x与-1≤x≤00≤x≤11x≥-(1+y)由Ⅰ得x≥y-1,即max(-1-y,y-1,-1)≤x≤01-1≤y≤1-1≤x≤0当-1≤y≤0时,max(-1-y,y-1,-1)=-(1+y);当0≤y≤1时,max(-1-y,y-1,-1)=y-11再解Ⅱ,由x-1≤y得x≤1+y,由y≤1-x得x≤1-y,又0≤x≤1,故:0≤x≤min{1+y,1-y,1}1-1≤y≤1当-1≤y≤0,min{1+y,1-y,1}=1+Y;当0y,{1y,1-,Y1综合以上情况可知,当-1≤y≤-(1,y-1≤x≤1-y,从而有:∫dx-10(x+1)-(+)f(,y10x-11-1x01+-(1+y)f(x,y)dy+dy∫∫f(x,y)dxy-111-y,还适用于三次积分1例5 dx∫∫dy∫1-x1-x-ydz的积分次序.解 第一步,先求新积分次序中变量z的上下限.下限c=0≤inf10=0,上限d=sup(1-x-y)=1x≤0≤x≤10≤y≤1-x0≤y≤1-x第二步,y的积分限.0≤y≤1-x-z因为0≤z≤10≤y≤1-x所以有:下限=inf0=0,上限=sup{1-x,1-x-z}=1-x0≤z≤10≤z≤1第三步:求新积分次序中积分变量x的积分限.0≤x≤1因为0≤1-y,所以有:0≤x≤min{1,1-y,1-y-z}=1-y-z10≤z≤1x≤1-y-z从而∫∫∫11-x01-x-y0dxdydz=∫∫∫11-x01-y-z0dzdydx1当然,三次积分的次序不仅仅是这一种,也可以换成其它次序,请读者自己来求.总之,用初等代数的知识来解决交换积分次序的问题,只需掌握不等式组的一些解法即可,这种方法不需要画出复杂的几何图形,会给读者带来一些方便.交换积分次序的一种代数方法摘 要:,.在高等数学教材中,对于二次积分dx∫∫aby2(x)y1(x)f(x,y)dy或三次积分dx∫∫dy∫ay1(x)by2(x)z2(x,y)z1(x,y)f(x,y)dz,在交换它们的积分次序时,往往采用的是几何法,即根据积分限画出积分区域的图形,根据图形按题意确定新的积分上下限,交换积分次序.要掌握这种方法,必须对几何图形的画法非常熟悉.如果在画图时遇到困难,或者图形画不出来,就会给解题带来障碍.本文介绍一种用代数法来交换积分次序的一种方法,对这种问题的解决会带来很大的帮助.下面我们以二次积分b∫∫f(x,y)dy为例说明这种交换积分次序的总的思想.a≤x≤b所确由二次积分dxf(x,y)dy的积分限可知,积分区域D∫∫y(x)≤y≤y(x)abdxy2(x)y1(x)y2(x)ay1(x)12定的几何图形.要交换这个二次积分的次序,我们可以分为两步进行:第一步:确定新二次积分中积分变量y的积分限1显然,此时有下限c=infy1(x),上限d=supy2a≤x≤ba≤x≤b(x).第二步,确定新二次积分中积分变量x的积分限,此时我们可以从不等式组的第二个不等式中解出ω1(y)≤x≤ω2(y),则原不等式等价于不等式组:a≤x≤bω1(y)≤x≤ω2(y)由不等式的解法有max{a,ω1(y)}≤x≤min{b,ω2(y)},于是可取max{a,ω1(y)}和min{b,ω2a≤x≤bc≤y≤ba≤y≤dc≤y≤d(y)},分别作为新二次积分中积分变量x的上限和下限1例1 改变∫dy∫f(x,y)dx的积分次序1-1y22y+2解 第一步,确定新积分次序中积分变量x的积分限:由infy2=0,sup(y+2)=4,得0≤x≤411≤x≤21≤x≤2第二步,确定新积分次序中y的积分限y2≤x≤y+2 (1)-1≤y≤2 (2)由(1)式一方面y2≤x得故不等式(1)-x≤又由x≤y+2得y≥x-21x≤yx等价1y≥x-2x≤yx,即:max{-1,-y≥x-20≤x≤4-1≤y≤2-x,x-2}≤ymin{2,x}0≤x≤4①当0≤x≤1时,max{-1,-0≤x≤1x,x-2}=-x,min{2,x}=0≤x≤1x所以此时有-x≤yx11≤x≤4②当0≤x≤4时,max{-1,-故此时有:x-2≤yx,2y2x,x-2}=x-x}1x≤4x1∫例2 改变dx∫f(x,y)dy的积分次序1-1(x,)=10-xdxf(x,y)dy+∫f(x,y)dy14xdxx-2e1nx10解第一步,确定新积分次序中y的积分限:1≤x≤e可知inf0=0,suplnx=11于是有:0≤y≤11≤x≤e1≤x≤e0≤y≤lnx,确定新积分次序中x的上下限:y1≤x≤ex≥e 可得1≤x≤e0≤y≤lnxy由于max{1,e}≤x≤e,即ey≤x≤e10≤y≤1故f(x,y)dx1dydx∫∫∫∫例3 改变dydy∫∫f(x,y)dx+∫∫f(x,y)dx的积分次序11elnxf(x,y)dy=2y010eey10313-y0解 第一步,确定新积分次序中x的积分限由inf0=0,sup2y=2,或inf 0=0,sup(3-y)=2,得0≤x≤210≤y≤10≤y≤11≤y≤31≤y≤3第二步,y(把x看作是[0,2]上的常数)解不等式组0≤x≤2y (3)0≤x≤3-y (5)Ⅰ与Ⅱ0≤y≤1 (4)0≤y≤3 (6)先解Ⅰ,由(3):y2,max{0,0≤x≤22}=2,于是有2≤y≤11再解Ⅱ,由(5)得:y≤3-x,min{3-x,3}=3-x,于是:1≤y≤3-x,0≤x≤2从而有:故:102≤y≤3-x2y0∫f(x,y)dy∫∫∫∫dx例4 改变∫f(x,y)dy的积分次序.∫dx∫f(x,y)dy+∫dyf(x,y)dx+(x+1)313-y0dyf(x,y)dx=10203-x2dx01-xx-1-1-(x+1)解 第一步,确定新积分次序中y的上、下限,由inf[-{x+1}]=-1,sup(x+1)=1,-1≤x≤0-1≤x≤00≤x≤1inf(x-1)=-1,sup(1-x)=1,0≤x≤1得 -1≤y≤1.第二步,确定新积分次序中x的上下限(视y为[-1,1]上的常数).由原积分次序的积分限可确定以下两个不等式组-(x+1) ≤y≤1+xx-1≤y≤1-x与-1≤x≤00≤x≤11x≥-(1+y)由Ⅰ得x≥y-1,即max(-1-y,y-1,-1)≤x≤01-1≤y≤1-1≤x≤0当-1≤y≤0时,max(-1-y,y-1,-1)=-(1+y);当0≤y≤1时,max(-1-y,y-1,-1)=y-11再解Ⅱ,由x-1≤y得x≤1+y,由y≤1-x得x≤1-y,又0≤x≤1,故:0≤x≤min{1+y,1-y,1}1-1≤y≤1当-1≤y≤0,min{1+y,1-y,1}=1+Y;当0y,{1y,1-,Y1综合以上情况可知,当-1≤y≤-(1,y-1≤x≤1-y,从而有:∫dx-10(x+1)-(+)f(,y10x-11-1x01+-(1+y)f(x,y)dy+dy∫∫f(x,y)dxy-111-y,还适用于三次积分1例5 dx∫∫dy∫1-x1-x-ydz的积分次序.解 第一步,先求新积分次序中变量z的上下限.下限c=0≤inf10=0,上限d=sup(1-x-y)=1x≤0≤x≤10≤y≤1-x0≤y≤1-x第二步,y的积分限.0≤y≤1-x-z因为0≤z≤10≤y≤1-x所以有:下限=inf0=0,上限=sup{1-x,1-x-z}=1-x0≤z≤10≤z≤1第三步:求新积分次序中积分变量x的积分限.0≤x≤1因为0≤1-y,所以有:0≤x≤min{1,1-y,1-y-z}=1-y-z10≤z≤1x≤1-y-z从而∫∫∫11-x01-x-y0dxdydz=∫∫∫11-x01-y-z0dzdydx1当然,三次积分的次序不仅仅是这一种,也可以换成其它次序,请读者自己来求.总之,用初等代数的知识来解决交换积分次序的问题,只需掌握不等式组的一些解法即可,这种方法不需要画出复杂的几何图形,会给读者带来一些方便.
范文七：第21卷 第2期 许昌师专学报 Vol.21.No.2 2002年3月 JOURNALOFXUCHANGTEACHERSCOLLEGE Mar.,2002文章编号:02)02-0100-03交换积分次序的一种代数方法冯春伟,吴志伟(平顶山市工业学校,河南 摘 要:,.关键词:;;:Adx∫∫aby2(x)y1(x)在高等数学教材中,对于二次积分f(x,y)dy或三次积分dx∫∫dy∫ay1(x)by2(x)z2(x,y)z1(x,y)f(x,y)dz,在交换它们的积分次序时,往往采用的是几何法,即根据积分限画出积分区域的图形,根据图形按题意确定新的积分上下限,交换积分次序.要掌握这种方法,必须对几何图形的画法非常熟悉.如果在画图时遇到困难,或者图形画不出来,就会给解题带来障碍.本文介绍一种用代数法来交换积分次序的一种方法,对这种问题的解决会带来很大的帮助.∫∫f(x,y)dy为例说明这种交换积分次序的总的思想.a≤x≤b由二次积分dxf(x,y)dy的积分限可知,积分区域D所确∫∫y(x)≤y≤y(x)下面我们以二次积分babdxy2(x)y1(x)y2(x)y1(x)a12定的几何图形.要交换这个二次积分的次序,我们可以分为两步进行:第一步:确定新二次积分中积分变量y的积分限1显然,此时有下限c=infy1(x),上限d=supy2a≤x≤ba≤x≤b(x).第二步,确定新二次积分中积分变量x的积分限,此时我们可以从不等式组的第二个不等式中解出ω1(y)≤x≤ω2(y),则原不等式等价于不等式组:a≤x≤bω1(y)≤x≤ω2(y)由不等式的解法有max{a,ω1(y)}≤x≤min{b,ω2(y)},于是可取max{a,ω1(y)}和min{b,ω2a≤x≤bc≤y≤ba≤y≤dc≤y≤d(y)},分别作为新二次积分中积分变量x的上限和下限1例1 改变∫dy∫f(x,y)dx的积分次序1-1y22y+2解 第一步,确定新积分次序中积分变量x的积分限:由infy2=0,sup(y+2)=4,得0≤x≤411≤x≤21≤x≤2第二步,确定新积分次序中y的积分限y≤x≤y+2 (1)2-1≤y≤2 (2)收稿日期:作者简介:冯春伟(1965-),男,河南襄城人,平顶山工业学校讲师.第20卷第2期由(1)式一方面y2≤x得故不等式(1)-冯春伟等:交换积分次序的一种代数方法x≤又由x≤y+2得y≥x-21x≤yx等价1y≥x-2101x≤yx,即:max{-1,-y≥x-20≤x≤4-1≤y≤2-x,x-2}≤ymin{2,x}0≤x≤4①当0≤x≤1时,max{-1,-0≤x≤1x,x-2}=-x,min{2,x}=0≤x≤1x所以此时有-x≤yx11≤x≤4②当0≤x≤4时,max{-1,-故此时有:x-2≤yx,2y2x,x-2}=x-x}1x≤4x1∫例2 改变dx∫f(x,y)dy的积分次序1-1(x,)=10-xdxf(x,y)dy+∫f(x,y)dy14xdxx-2e1nx01解第一步,确定新积分次序中y的积分限:1≤x≤e可知inf0=0,suplnx=11于是有:0≤y≤11≤x≤e1≤x≤e0≤y≤lnx,确定新积分次序中x的上下限:1≤x≤ex≥ey 可得0≤y≤lnx1≤x≤ey由于max{1,e}≤x≤e,即ey≤x≤e10≤y≤1dxdyf(x,y)dx1∫∫∫∫例3 改变dydy∫∫f(x,y)dx+∫∫f(x,y)dx的积分次序1故elnx10f(x,y)dy=2y010eey10313-y0解 第一步,确定新积分次序中x的积分限由inf0=0,sup2y=2,或inf 0=0,sup(3-y)=2,得0≤x≤210≤y≤10≤y≤11≤y≤31≤y≤3第二步,y(把x看作是[0,2]上的常数)解不等式组0≤x≤2y (3)0≤x≤3-y (5)Ⅰ与Ⅱ0≤y≤1 (4)0≤y≤3 (6)先解Ⅰ,由(3):y2,max{0,0≤x≤22}=2,于是有2≤y≤11再解Ⅱ,由(5)得:y≤3-x,min{3-x,3}=3-x,于是:1≤y≤3-x,0≤x≤2从而有:故:102≤y≤3-x2y0∫∫∫∫∫f(x,y)dy例4 改变dx∫dx∫f(x,y)dy+∫∫f(x,y)dy的积分次序.dyf(x,y)dx+(x+1)313-y0dyf(x,y)dx=10203-x2dx01-xx-1-1-(x+1)解 第一步,确定新积分次序中y的上、下限,由inf[-{x+1}]=-1,sup(x+1)=1,-1≤x≤0-1≤x≤00≤x≤1inf(x-1)=-1,sup(1-x)=1,0≤x≤1得 -1≤y≤1.第二步,确定新积分次序中x的上下限(视y为[-1,1]上的常数).由原积分次序的积分限可确定以102下两个不等式组许昌师专学报2001年3月-(x+1) ≤y≤1+xx-1≤y≤1-x与-1≤x≤00≤x≤11x≥-(1+y)由Ⅰ得x≥y-1,即max(-1-y,y-1,-1)≤x≤01-1≤y≤1-1≤x≤0当-1≤y≤0时,max(-1-y,y-1,-1)=-(1+y);当0≤y≤1时,max(-1-y,y-1,-1)=y-11再解Ⅱ,由x-1≤y得x≤1+y,由y≤1-x得x≤1-y,又0≤x≤1,故:0≤x≤min{1+y,1-y,1}1-1≤y≤1当-1≤y≤0,min{1+y,1-y,1}=1+Y;当0y,{1y,1-,Y1综合以上情况可知,当-1≤y≤-(1,y-1≤x≤1-y,从而有:∫dx-10(x+1)-(+)f(,y10x-11-1x01+-(1+y)f(x,y)dy+dy∫∫f(x,y)dxy-111-y,还适用于三次积分1例5 dx∫∫dy∫1-x1-x-ydz的积分次序.解 第一步,先求新积分次序中变量z的上下限.(1-x-y)=1下限c=0≤inf10=0,上限d=0supx≤≤x≤10≤y≤1-x0≤y≤1-x第二步,y的积分限.0≤y≤1-x-z因为0≤z≤10≤y≤1-x所以有:下限=inf0=0,上限=sup{1-x,1-x-z}=1-x0≤z≤10≤z≤1第三步:求新积分次序中积分变量x的积分限.0≤x≤1因为0≤1-y,所以有:0≤x≤min{1,1-y,1-y-z}=1-y-z10≤z≤1x≤1-y-z从而∫∫∫11-x01-x-y0dxdydz=∫∫∫11-x01-y-z0dzdydx1当然,三次积分的次序不仅仅是这一种,也可以换成其它次序,请读者自己来求.总之,用初等代数的知识来解决交换积分次序的问题,只需掌握不等式组的一些解法即可,这种方法不需要画出复杂的几何图形,会给读者带来一些方便.参 考 文 献[1] (日)堑江诚夫1桑原,焕?笠原皓司1微积分学讲解[M]1成都:四川人民出版社,19831[2] 武汉大学数学系1数学分析[M]1北京:人民教育出版社,197811责任编校:周 伦ANewMethodofExchangingtheOrderofQuadraticIntegralFENGChun2wei,WUZhi2wei(PingdingshanIndustralSchool,Pingdingshan469001,China)Abstract:Thearticleintroducesamethodinwhichtheorderofquadraticintegralcanbeexchangedwiththeknowledgeofelementary.Keywords:exchanging责任审校:黄怡俐
范文八：二重积分应用1、 定积分的元素法就如第六章中所述，许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理，这个元素法也可以推广到二重积分，如果所求的某个量对于闭区域来说具有可加性，并且在闭区域内取任意小区域dσ时，相应的部分可以用f(x,y)dσ来表示，其中x,y在dσ内，，这个f(x,y)dσ成为总量的元素。2、 曲面的面积的投影,函数在D上具有连续的偏导数，我们要计算曲面的面积A。dσdA=cosγ法向量的方向余弦cosγ=.1+fx(x,y)+fy(x,y)2222dA=+f(x,y)+f(x,y)dσxy既得：∫∫dA=D+fx(x,y)+fy(x,y)dxdy223、在xoy平面内有n个质点，它们分别位于：(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)……(xn,yn)上，质量分别为：m1，m2，m3……mn则该质点系的重心坐标为：x=MMy=∑mi=1ni=1nixii∑miMx=y=Mn∑mi=1ni=1nyiin∑mxiMy=∑mi=1iMx=∑mi=1iyi称作该质点对于y轴和x轴的静矩。 若其面密度为：ρ(x,y)对X轴和Y轴的静矩元素为：dMx=yρ(x,y)dσdMy=xρ(x,y)dσ重心坐标为：x=MMy=∫∫xρ(x,y)dσD∫∫ρ(x,y)dσDMx=y=M∫∫DDyρ(x,y)dσ∫∫ρ(x,y)dσ4、 形心如果薄片是均匀的，即其线密度是常数，则这时的重心坐标为：x=MMy1=A∫∫xdσDMx1y==MA∫∫ydσD把均匀薄片的重心，称作这个平面薄片所占平面图形的行心。5、 平面薄片的转动惯量在xoy平面内有n个质点，它们分别位于：(x1,y1)，(x2,y2)，(x,y)……(x,y)上，质量分别为：m，m，m3……mn该质点系对于x轴和y轴的转动惯量为：Ix=Ix=∑∑nnyimiyimi222i=1i=1dIx=yρ(x,y)dσ dIY=xρ(x,y)dσ26、 平面薄片对质点的吸引力设有一薄片，占有xoy平面内的闭区域D，在（x,y）处的面密度为ρ(x,y)，且ρ(x,y)在D内连续，现要计算该薄片利用元素法求引力F面积元素ρ(x,引力为：F=G={FX,FY,FZ}y)dσr2ρ(x,y)dσ方向为：={x-0,y-0,0-a}则引力在三个坐标轴的投影的元素为：xdFx=Go 2rrρ(x,y)dσydFy=Go 2rrρ(x,y)dσ(0-a)dFz=Go 2rrρ(x,y)dσ则可得引力的坐标表达式：Fx=∫∫DFy=∫∫DFz=∫∫DxGo 2rrρ(x,y)dσyGo 2rrρ(x,y)dσ-aGo2rrρ(x,y)dσ其中：r=x2+y2+a27、 附加知识1） 圆的极坐标方程： ① 中心在Ｃ（ａ，０），半径为ａr＝2acos θ，半径为ａ ② 中心在（ａ，π／2）r＝2asin θ ③ 中心在极点，半径为a r=a2） 圆的参数方程x=acosθ y=asinθ3） 1+cos2θ=2cos2θ21-cos2θ=2sinθ4） 扇形面积公式：12s=rθ2.5） 弧长的公式：
L=rθ6） 球的体积公式：43V=πr
范文九：§9.3 二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件： 1、所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即:当闭区域D分成许多小闭区域d?时, 所求量U相应地分成许多部分量?U,且U???U)。 2、在D内任取一个直径充分小的小闭区域d?时, 相应的部分量?U可近似地表示为 f(x,y)d?, 其中(x,y)?d?, 称f(x,y)d?为所求量?U的元素, 并记作dU。?U?f(x,y)d?是d?直径趋于零时较(注: f(x,y)d?的选择标准为:d?更高阶的无穷小量)3、所求量U可表示成积分形式U???f(x,y)d?D一、曲面的面积设曲面S由方程z域,函数面的面积?f(x,y)给出,Dxy为曲面S在xoy面上的投影区f(x,y)在Dxy上具有连续偏导数fx(x,y)和fy(x,y),现计算曲A。在闭区域Dxy上任取一直径很小的闭区域d?(它的面积也记作d?),在d?内取一点P(x,y),对应着曲面S上一点M(x,y,f(x,y)),曲面S在点M处的切平面设为T。 以小区域d?的边界为准线作母线平行于z轴的柱面,该柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于d?的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面S在点M处的法线向量( 指向朝上的那个 )为?n?{?fx(x,y),?fy(x,y),1}它与z轴正向所成夹角?cos??的方向余弦为12?fx2(x,y)?fy(x,y)d?dA?cos?而所以2dA??fx2(x,y)?fy(x,y)?d?这就是曲面S的面积元素, 故A????fx2(x,y)?fy2(x,y)d?DxyA???故Dxy??z???z???????dxdy??x???y?22222222x?y?z?ax?y?ax(a?0) 内部的【例1】求球面含在柱面面积。 解:所求曲面在xoy面的投影区域Dxy?{(x,y)|x2?y2?ax}222z?a?x?y曲面方程应取为 , 则zx??xa?x?y2zx222zy?,?ya2?x2?y2??z2y?aa2?x2?y2曲面在xoy面上的投影区域Dxy为据曲面的对称性,有A?2??Dxyaa?x?yacos?222dxdy??2?d??2??aa?r22?rdr2?2?2a??a2?r2????acos?0d?2??2a?(a?asin?)d??2?2??4a?(a?asin?)d?2?2a2(??2)若曲面的方程为x?g(y,z)或y?h(z,x),可分别将曲面投影到yoz2DyzDzxzox面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有A???或Dyz??x?1?????y???x????dydz??z?22A???Dzx??y??????z?2??y????dzdx??x?二、平面薄片的重心1、平面上的质点系的重心其质点系的重心坐标为n?Mym?n?mixii?1?mi,M??nm?miyii?1n?mi2、平面薄片的重心设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为?(x,y),假定?(x,y)在D上连续,如何确定该薄片的重心坐标(,)。这就是力矩元素,于是Mx???y?(x,y)d?,DMy???x?(x,y)d?Dm????(x,y)d?又平面薄片的总质量 从而,薄片的重心坐标为D?Mym??x?(x,y)d?????(x,y)d?D,M??m???(x,y)d?D??y?(x,y)d?特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则?11xd?,?????yd?ADAD(A???d?D为闭区域D的面积)十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。 【例2】设薄片所占的闭区域(0?aD为介于两个圆r?acos?,r?bcos??b)之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。解: 由D的对称性可知: ?0?2bcos?A???d???d??rdr?D??4(b2?a2)??acos?22bcos?My???xd???d?而D??acos?2r?cos?dr2?22?13??13????rcos??d????(b?a3)cos4??d???3??3?acos????22bcos???)!!?3?(b?a)?cos4?d??(b3?a3)?334!!2 0?My?8(b3?a3)b2?ba?a2x??A2(b?a) 故三、平面薄片的转动惯量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有n个质点, 它们分别位于点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)1,m2,?,mn。 处, 质量分别为m设质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量依次为,Iy??x2miii?1nIx??yimii?1n22、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片,占有假定xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为?(x,y),?(x,y)在D上连续。 现要求该薄片对于x轴、y轴的转动惯量Ix,Iy。与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为【例3】求由抛物线对于直线y??1的转动惯量。y?x2及直线y?1所围成的均匀薄片(面密度为常数?)解: 转动惯量元素为dI?(y?1)2?d?I???(y?1)2?d?D11???dx?(y?1)2dy?1x21??1?????(y?1)3?dx??8?(x2?1)3dx3?1?x2?1?311??1664368??????335105四、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点 (x,y)处的面密度为?(x,y),假定?(x,y)在D上连续,现计算该薄片对位于z轴上点M0(0,0,1)处的单位质量质点的引力。?F,Fy,Fz于是,薄片对质点的引力F在三个坐标轴上的分力x的力元素为dFx?dFy?k?(x,y)xd?r3 k?(x,y)yd?r3k?(x,y)(0?1)d?dFz?r3故Fx?k???D?(x,y)xd?r3?(x,y)yd?Fy?k???r3D?(x,y)d?Fz??k???r3D
范文十：二重积分的应用（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）摘要：二重积分对于工程技术有着十分重要的作用．对于建筑设计，不仅要求外观设计漂亮，有时还需要计算它们的容积．比如体育馆的比赛大厅、影视院的观众厅等．因为容积大小直接影响声音传播的效果与空气质量等．另外由于核算成本，计算所需原材料，还要计算建筑物的表面积．而有些公共设施建筑物的顶部是曲顶，那么如何计算这些建筑物的容积？如何计算这些建筑物顶部的表面积？都需要用到数学中的二重积分。二重积分在建筑设计中的应用，将诸多实际问题抽象为数学问题，使问题简单易懂。同时二重积分在建筑设计中的应用可以与数学建模、数学实践进行有机结合。 关键词：二重积分，应用，体积The Application of Double IntegralABSTRACT:The double integral plays an important role in engineering. For the architectural design, requires not only the appearance design is beautiful, sometimes need to calculate their volume. For example, the stadium in the game hall, film and Television Institute audience hall. Because the volume size directly affects the sound propagation effect and air quality and so on. In addition to the cost calculation, calculation the raw materials required for the building, but also to calculate the surface area. While some of the top public facilities building is a top volume, then how to calculate these buildings? How to calculate the surface area of the top of the building? Need to use mathematics in double integrals. Application of double integral in architectural design, many practical problems to mathematical problems, make the problem easy to understand. At the same time the application of double integral in architectural design can be combined with mathematical modeling, mathematical practice.KEYWORDS：Double integral, applications, volume一． 二重积分的应用（1）在力学上的应用1）质量（薄板）假设薄板xy在平面上覆盖区域?，设在点(x,y)的密度为? (x,y)（质量／单位体积）。把S分成小矩形R1,R2,Rk，在Rk上找一点(xk,yk)，那么Rk的质量近似于? (xk,yk) A(Rk)，整个薄板____的质量近似于m???(x,y)A(R)kkkk?1n__实际质量科通过分割的小矩形对角线长趋近与零时，计算上式的极限得到m?［1］ ???(x,y)dA。S12）质心如果m1,n,mn分别是位于平面上点(x1,y1),(x2,y2)nkkxkk,(xn,yn)的质量，关于x轴和y轴的总力矩是My??xm,M??ymk?1k?1nn此外，质心（平衡点）的坐标(x,y)为x?___Mym??xmkk?1nk?mk?1M y?x?m_?ymkk?1nkkk?mk?1考虑一个密度为变量?(x,y)的薄板在平面上覆盖S区域，对薄板进行分割，假设Rk每个的质量近似的集中在(x,y)处k?1,2,__,n，最后，当分割的小矩形对角线趋近与零时取极限，导出公式x?_Mym???x?(x,y)dAs???(x,y)dASy?_Mx?m??y?(x,y)dAs???(x,y)dAS（2）转动惯量12mv2（1）。假如物体不是沿直线运动，而是以角速度?绕着一条轴运动，它的速度是v?r?，其中，r是它1222的圆形路线的半径。当代入（1）时，得到Ek?(rm)?。表达式rm叫做质点的转动惯量（惯性2矩），记作J。从物理学上，我们知道，一个质量是m、速度v是且沿直线运动的物体，其动能是Ek?因而，对于一个旋转的质点Ek?1J?2（2） 2由（1）和（2）可知：对于一个做圆周运动的物体，转动惯量在其中扮演的角色与质量在直线运动的物体扮演的角色类似。对于一个在平面内包含了质量分别是m1,m2211,mk，距离直线L分别为r1,r222,rn的n个物体系统，这个系统关于L的转动惯量定义为J?mr?m2r换而言之我们，我们把每一部分加起来。2?mnrnn??mkr2k
［2］k?1n现在，我们考虑密度是?(x,y)，覆盖位于xy面内的区域S的薄板，如果我们类似图二把S分块，求出每一小块Rk的转动惯量的近似值，加起来，求极限，可以推出关于x轴y轴和z轴的转动惯量（也叫第二力矩）的公式分别为Jx???y?(x,y)dA,JS2y???x2?(x,y)dA，SJz???(x2?y2)?(x,y)dA?Jx?JyS二． 二重积分的具体运用（1）体积问题由二重积分的几何意义知：若f(x,y)?0，二重积分表示以z?f(x,y)为曲顶，以Ｄ为底的曲顶柱体的体积．即V?lim重积分来解决． 1）求曲顶建筑物的容积． 例.计算国家大剧院的容积如果把国家大剧院的顶部看成球面x2?y2?z2?4a2的一部分（把大剧院的中心部位作为坐标原点），大剧院的下面部分看成是柱面x2?y2?2a2的一部分，因此，国家大剧院的容积问题，可以粗略的看成一个二重积分题．即：求由球体x2?y2?z2?4a2和圆柱体x2?y2?2a2及xoy面上方所围成的公共部分的体积．通过以上分析，可以把大剧院的容积问题抽象成一个数学问题，也就是二重积分问题，从而建立数学模型求出结果．［3］由球的对称性知V?4????f(?,?)?????f(x,y)d?因此，建筑物的容积问题可以使用数学中二iii?1inDD，其中Ｄ 为xoy面上圆周y?y在第一卦限的区域，在极坐标系下，Ｄ 可表示为0????2?2，0?r?的）为V?4D? ?4?d02??(8?a332)求两圆形管道相交部位的体积这个问题可以抽象成两个等半径（或不等半径）的圆柱体相交所围成的立体体积问题．［4］ 某学校在建学生宿舍楼时，需要安装下水管道，下水管道拐弯处需要设计两个管道相交，现有半径为a的圆形管道材料，试计算两管道在拐弯处所形成的体积（体积的大小直接影响水的流量）．222此问题可以抽象成求圆柱体x?y?a和x?z?a所围立体的体积因此，两管道在拐弯处所形成的的体积为a222V?8???8?Ddy ?3163a 3（2）表面积问题为了解决建筑设计中曲顶建筑物的表面积问题，下面引入曲面面积公式．二重积分中曲面面积公式为：A???1）曲顶建筑物的表面积问题．计算伊斯兰教堂（主楼）顶部的面积．假如伊斯兰教堂（主楼）顶部是以旋转抛物面z?1?x2?y2为顶的曲面，那么这个问题就是数学中的曲面面积问题．［5］ 设顶部是以旋转抛物面z?1?x2?y2被xoy平面所截得曲面，由于它的对称性，该抛物面的面积是它在第一卦限部分面积的４倍．由曲面面积公式得伊斯兰教堂（主楼）顶部的面积为：?S?4D2?4?4?D001??61)三．总结我们知道数学在建筑设计中的应用，可以利用二重积分求解曲顶建筑物的容积和表面积计算的问题．理解“数学来源于实践，服务于实践”的含义．进一步展示数学作为一门公共基础课如何与专业课进行有机的结合，数学作为一门工具性学科对于社会实践，科学技术、工程问题所起到的作用。参考文献［1］ 范玉军．高等数学（上册）（工科类专业）［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１１，１． ［2］ 西安建筑科技大学等七校合编．房屋建筑学［Ｍ］．北京：中国建筑工业出版社，２００６. ［3］ 彭德正．信息技术与课程整合实施过程中的误区及对策［Ｊ］．教育科研论坛，２０１１． ［4］ 马震安．信息技术与课程整合热下的冷思考Ｊ］．中小学电教（教师版），２０１０． ［5］ 应之宁．浙江省信息技术辅助高中数学教学的现状分析与对策［Ｊ］．中学数学２００４.4
