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(-1)^(-4/5)有意义吗?为什么计算器算不出来?负数的负分数指数幂是否有意义
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当然有意义啊,(-1)^(-4/5)=[(-1)^4] ^(-1/5)=1^(-1/5)=1 ,1 的任何次方都等于1 晕哦,楼上的都在搞笑啊,不要误导青少年!-1要是开偶次方确实没意义,但是开的是奇次方啊!这可是数学的基本呢
那是计算器的程序设定了不能算还是计算器有问题？我和十几个同学都按了，全都算不出来，全显示的是错误
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请写详细的算术法计算过程包括每步的意义（方程解法我会）谢谢!如果每人分3个,还剩9个苹果；如果每人分4个,则少5个.有几人分苹果?苹果有几个?
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每人分3个,还剩9个苹果；如果每人分4个,则少5个.说明每人多分1个苹果,苹果的数量前后相差（9+5）=14个,所以人数就是14人,列式：（9+5）÷（4-3）=14人每人分3个,还剩9个苹果,所以：14×3+9=51个答：有14人分苹果,苹果有51个.
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你可能喜欢科学领域中目前有意义的最大数字是多少？
科学领域的数字，都很小，用多重指数（多层科学计数法）就可以表达出来。
1 层指数：粒子的数目。
1 摩尔是 6&10^23，而整个可观测宇宙范围内的质子数则是 136&2256（约为 1.575&1079。这个奇怪的表达式是 Arthur Eddington 给出的），光子数是 1.1&1089，而所有的基本粒子的数目则约为 1097。
2 层指数：粒子的排列。
只需要很少的几个粒子，它们的排列数就已经可以超过宇宙中所有基本粒子的数目了。比如 6 阶魔方的状态数是 1.。“微观状态数”就是这样一种排列的概念，而且参与排列的粒子数目更大。整个可观测宇宙的熵大约是 10^120，这意味着微观状态数大概是&。
3 层指数：庞加莱回归时间。
到这个层次，单位已经不重要了（于是会出现“Planck times, millenia, or whatever”）。
一个箱子仅包含一个质量为 M 普朗克质量的黑洞，那么它的庞加莱回归时间是&。如果把整个可观测宇宙的质量代入，就是&&这样的数字。最后，如果用林德暴胀模型来估计整个宇宙的大小，再代入前面的式子，那就会得到&&这样的数字。
题主一定会想：才这么点大，太无趣了。因为现实世界实在是太小太小了。如果你踏入数学领域，那么你将看到更加巨大的数字。
这些“更加巨大的数字”，我主张分成 3 类。第一类，最小的，是可定义、可计算的数，或者能被这样的数限制住的数。第二类，更大的，是可定义、不可计算的数，或者能被可定义的数限制住，却没有算法可以计算的数。第三类，最大的，则是不可定义的数。
一、Moser 数
见。作为对比，“5 放进一个 4 边形”就已经超过科学领域的最大数字了。
二、Graham 数
见。作为对比，&（就只有 2 层）就已经超过 Moser 数了。
三、Goodstein 数列
这是一个非常重要的东西，从这里我们将引出序数在大数里的运用。
首先，把一个正整数 n 写成下面这种形式，称作“k 进制形式”。
&其中&&都是小于 k 的正整数，&&且都是正整数。
其次，定义“以 k 为底的遗传记法”。如果 n&k，那么 n 是以 k 为底的遗传记法。如果想把一个不小于 k 的数写成以 k 为底的遗传记法，那就要先写成 k 进制形式，然后把指数都写成以 k 为底的遗传记法。
接下来就可以定义 Goodstein 数列了。给定一个起始数&&，就可以得到一种 Goodstein 数列。
&可以用这种办法得到：先把&&写成以 n 为底的遗传记法，然后把里面出现的 n 都改成 n+1，最后减去 1。
比如起始数为 10，那么&&，写成以 2 为底的遗传记法，就是&&，简单一点就是&&。如果把 2 改成 3，就得到&。
&，写成以 3 为底的遗传记法，就是&&。如果把 3 改成 4，就得到&&。&
&，写成以 4 为底的遗传记法，就是&&。如果把 4 改成 5，就得到&&。
&，写成以 5 为底的遗传记法，就是&&。如果把 5 改成 6，就得到&&。
&，写成以 6 为底的遗传记法，就是&。
如果把 6 改成 7，就得到&。
，写成以 7 为底的遗传记法，就是
。如果把 7 改成 8，就得到&。
这个数列看上去在一直递增，似乎没完没了的样子。但我们总还得问一句，如果某一项是 0 那怎么办？答：到此为止。如果某一项&&，那这个数列就只有 n 项，只有有限项。
下面的定理令人吃惊：
所有的 Goodstein 数列都只有有限项。
这样我们就能定义出 Goodstein 函数了。
&是以 n 为起始数的 Goodstein 数列的非零项数。
于是，G(1)=1，只有两项：1,0。
G(2)=3，只有四项：2,2,1,0。
G(3)=5，只有六项：3,3,3,2,1,0。
G(4)则比较大。
第 1 项：2^2=4；
第 2 项：3^3-1，但这种写法不是以 3 为底的遗传记法，得改写成 2*3^2+2*3+2 才行。
第 3 项：2*4^2+2*4+1
第 4 项：2*5^2+2*5
第 5 项：2*6^2+2*6-1=2*6^2+6+5
第 6 项：2*7^2+7+4
第 10 项：2*11^2+11
第 11 项：2*12^2+12-1=2*12^2+11
第 12 项：2*13^2+10
第 22 项：2*23^2
第 23 项：2*24^2-1=24^2+23*24+23
第 24 项：25^2+23*25+22
第 46 项：47^2+23*47
第 47 项：48^2+23*48-1=48^2+22*48+47
虽然我们没有办法把它一项一项地列出来，但可以想象出，这个过程，如果总是用遗传记法来表示，那么就像是一个倒计时的钟表，只不过每一个“小时”值好多“分钟”，每一个“分钟”值好多“秒”，而且随着项数的增加，每一个“分钟”值的“秒”数会增多，每一个“小时”值的“分钟”数也会增多，但不管怎样，这个倒计时总会结束。
无独有偶，集合论中的序数（ordinal）刚好也具有这种性质。如果一个序数的序列，每一项都小于前一项，那么一定只能有有限项。像刚才的倒计时那样，“每一项都小于前一项”的方式，可以是扣掉这一“秒”，也可以是把一个“分钟”换成许多“秒”，把一个“小时”换成许多“分钟”等等。这就启发我们定义一种通用的、基于序数的“倒计时”，称作 Hardy hierarchy。
，其中 n 是任意自然数。
，其中 n 是任意自然数，α是任意序数。
，其中 n 是任意自然数，α是非零极限序数。
而最后这个表达式中的α[n]，就是把一个“小时”换成许多“分钟”的方式。
用 Cantor 标准式来表示序数，即&&，其中&&都是正整数，
&且都是序数。用这种方式表示的非零极限序数，可以定义&。而且&&。然后&
；如果β是非零极限序数，那么&。
于是我们就得到了 Goodstein 函数的一种比较简单的表达式：，其中α是把 n 写成以 2 为底的遗传记法，再把 2 换成ω，所得的序数。
作为对比，G(12)大于 Graham 数。Graham 数若用 Hardy hierarchy 表示，仅仅介于&&和&&之间罢了，而 Goodstein 函数却能达到&&这种级别。
四、TREE(3)
TREE(3)源于 TREE 函数。
在所有由“顶点 k 染色的树”组成的，而且满足下面的两个条件的序列中，序列的最大长度就记作 TREE(k)。
任意正整数 i，序列的第 i 项只有不超过 i 个顶点
任意正整数 i&j，序列的第 i 项不能嵌入第 j 项
这里，顶点染色的树之间的嵌入关系比较复杂，但可以转换成下面这个比较简单的定义。如果树 A 能够通过有限次“去掉一个叶子”和“去掉一个子顶点数为 1 的顶点，并把它的子顶点和它的父顶点连接起来”操作变成树 B，那么 B 就能嵌入 A。
定义到此为止。
来试一试吧！我们用一对括号表示一个顶点，最外层的括号表示根顶点，一对括号里面一层的括号是它的子顶点。用不同括号（如()、[]、{}、&&、（）、【】、《》等）表示不同的顶点颜色。
()，只有 1 个顶点的树
首先是[]，然后我们就不能用任何带有[]的树了。
接下来就到 TREE(3)了。
首先当然是{}
然后[[]]，当然，这里我们只列了一种可能的序列，因此我们只能得出 TREE(3)的一个下限。
[(()())]，注意，由于最外面的小括号有 2 个子顶点，所以不能直接去掉，意味着这个树不能嵌入[()()]。
[(((())))]
(([((()))]))
([((()))][][])
([((()))][]()())
([((()))]()()()())
([((()))](())(())())
([((()))](()()())()())
接下来的事情有点复杂，所以我们还需要一个辅助函数来帮忙——tree 函数。
在所有满足下面的两个条件的“树列”中，“树列”的最大长度记作 tree(n)。
任意正整数 i，“树列”的第 i 项只有不超过i+n个顶点
任意正整数 i&j，“树列”的第 i 项不能嵌入第 j 项
tree 和 TREE 的不同之处在于，tree 的序列中，顶点数可以更多，但它全都只能用一种颜色。但，tree 和 TREE 的相同之处在于，有限树的嵌入关系是。这就直接使得 TREE(n)和 tree(n)都是有限值，有点类似于 Goodstein 数列和序数。但和序数不同的是，树与树之间是可以互不嵌入的，但序数与序数之间肯定得有一个小于等于另一个。
不过，我们仍然可以作一个从有限树到序数的对应，使得如果两个树之间有嵌入关系，那一定是序数小的树嵌入序数大的；而任意两个树，序数大的树一定不能嵌入序数小的。然后，把初始的树选成一个尽可能大的序数，按照 Goodstein 数列那里说的办法，一点一点地降下来，直到 0 为止。最后用 Hardy hierarchy 把 tree(n)还有 TREE(3)表示出来！
于是，问题就转化成了，如何作一个从有限树到序数的对应，而且得到的序数上限可以尽可能地大？对于 tree 中的序列，给出了答案，不过它讨论的是有向树（就是分左右的树。其实无向树的情况也类似，极限是&；作为对比，Goodstein 函数的增长率仅仅到达&&罢了）。
为了表示更大的序数，我们需要一点新记号——φ函数。
&，其中α是非零极限序数&&，其中α是非零极限序数&，其中β是非零极限序数
以上仅仅是二元φ函数罢了，还不够。接下来是广义的φ函数（标准记法是&，其中&），只有这样才能赶上 TREE 序列。
，其中α是非零极限序数
，其中β是非零极限序数
，其中α是非零极限序数
，其中β是非零极限序数
其中#表示任意多个（或者 0 个）形如“α @ β”的项，“α @ 0”项可直接写作“α”，“0 @ β”这样的项则可以省略。
那么，接下来便是 TREE(3)的序列中，有限树到序数的对应。
(([]))对应
([]())对应
([](()()()))对应
([][])对应
(([][]))对应
(([][])(()()()))对应
(([])[])对应
((([]))[])对应
(([]())[])对应
(([][])[])对应
((([][])[])[])对应
(([])([]))对应
(([][])([][]))对应
((([][])([][]))(([][])([][])))对应
([]()())对应
([](())())对应
([][]())对应
([](())(()))对应
([][][])对应
([]()()())对应
([][][][])对应
([]()()()())对应
[(())]对应
[((()))]对应
中间的过程比较繁琐，不过最后还是可以得出结果的——&
其中，tree(3)不像 TREE(3)那样巨大，但也至少是 262140。而 tree 函数则增长得和&&一样快，远远快于 Goodstein 函数。
五、SCG(3)
如果说 TREE 函数是因为有限树之间的嵌入关系是 well-quasi-ordering 而成为有限值，那么 SCG 函数则是因为有限图之间的嵌入关系是 well-quasi-ordering 而成为有限值——前者是后者的一种特殊情况。SCG 是 subcubic graph 的缩写，这个函数的完整定义如下：
在所有满足下面的三个条件的“图列”中，“图列”的最大长度记作 SCG(n)。
所有图的所有顶点的度都不超过 3
任意正整数 i，“图列”的第 i 项只有不超过 i+n 个顶点
任意正整数 i&j，“图列”的第 i 项不能嵌入第 j 项
图的嵌入关系又可以这么定义。如果图 A 通过有限次“把一条边分成两段，中间添加一个顶点”的操作，图 B 通过有限次“去掉一个度为 0 的顶点”和“去掉一条边”的操作，成为相同的图，那么图 A 就能嵌入图 B。
因为有限图之间的嵌入关系是 well-quasi-ordering，所以我们也可以作一个从有限图（每个顶点的度不超过 3）到序数的对应，像前面 tree 函数中所作的那样。只不过复杂得多，所需的序数也大得多——大得连φ函数都无法表示（可以用表示）。然后把这些大得连φ函数都无法表示的序数放到 Hardy hierarchy 里面，那就是 SCG 函数的增长率。
作为对比，SCG(3)&TREE(TREE(…TREE(TREE(3))…))，其中有 TREE(3)个 TREE。
（不写 SCG(3)的近似表达式了，太复杂）
六、燃烧数（fusible number）
给你们足够过的能够燃烧的绳子，已知每根绳子烧完需要 1 分钟，但是绳子不均匀，所以你没有办法在绳子燃烧的中途判断时间。那么你将如何测量出 45 秒？
这个问题看似简单，其中蕴含的模型可不简单。把这个模型中的数学关系提炼出来，可以得到这样一个关系。假设 S 是用这些绳子能够测量的所有时间（分钟）组成的集合，那么&
这样，开头的问题就很明显啦。S 中先有 0，然后取 a=0、b=0 就有 1/2，最后取 a=0、b=1/2 就有 3/4。
但是，其中蕴含的模型可不简单。你会发现，在 0~1/2 之间有一段空白，这段空白的时间用这些绳子是烧不出来的。换句话说，超过 0 的能烧出的最小数是 1/2 分钟。于是定义&
也就是说，m(x)是超过 x 的能烧出的最小数与 x 的差。
当 x 是自然数的时候，m(x)迅速地衰减。于是定义&，这就是一个增长得飞快的函数。
这个函数增长得比 Goodstein 函数快，但比 ZFC 的可证性极限要慢。而它的准确的增长率仍是个未解之谜。
七、Loader 数
如果仅仅给你们 512 个字符（不计空白）的空间，编出一段程序，在一台假想的、有着足够大的内存的计算机上，运行足够长的时间，你最多能让它输出多大的数呢？乍一看，512 个字符少之又少，甚至根本难以把像 TREE 函数、SCG 函数那样的东西定义出来，然而 Ralph Loader 却写出了下面这段 C 语言代码，输出一个疯狂的大数——Loader 数。
#define R { return#define P P (#define L L (#define T S (v, y, c,#define C ),#define X x)#define F );}int r, a;P y, X
R y - ~y && x;}Z (X
R r = x % 2 ? 0 : 1 + Z (x / 2 FL X
R x / 2 && Z (x F#define U = S(4,13,-4,T
f - v ? t - (f & v) * c : y :
c, Z (X )))
Z (X ) F}A (y, X
R L y) - 1
? 5 && P y, X
: S (4, x, 4, Z (r) F#define B (x /= 2) % 2 && (D (X {
while (x && D (x - 1 C
d = L L D (X ) C
c - r || (
L u) || L r) - f ||
B u = S (4, d, 4, r C
t = A (t, d) C
c = P d, c C
~u & 2 | B
u = 1 && P L c C
c = P t, c C
R a = P P t, P u, P x, c)) C
a F}main ()
R D (D (D (D (D (99)))) F
这里，假定整数类型可以容纳足够大的数而不溢出，当这段程序从 main 函数结束的时候，它的返回值就是 Loader 数。
Loader 数的建立是基于一种强规范化的形式系统——构造演算而得到的。它是如此巨大，直到目前，仍然没有人能把它估计出来。
八、Busy beaver
现在，我们将远离第一类大数，进入第二类大数的领域，而 Busy beaver 则是第二类大数的大门。毫不夸张地说，第一类数和第二类数之间的差别，正如人与神仙之间的差别。因为，
第二类大数是不可计算的。
不仅如此，生成第二类大数的函数，它们的增长率都会超过一切可计算的函数。前面所述的大数，不论是 Graham 数、TREE(3)还是 Loader 数，它们都有算法把它算出来，只是你需要的时间、空间可能会很多罢了。
下面是这个函数的定义。
在所有 n 状态、2 色的、能够停机的图灵机中，从开始运行到停机为止所经过的最大步数，记作 BB(n)。
很简洁，对不对？但这个定义里面就包含了一个不可解的问题——你怎么知道一个图灵机能不能停机？你可能会想，试着运行一下不就明白了？可是，当它运行了很多很多步以后，看上去还没有停机，那样你怎么能知道它到底是“不能停机”，还是“能停机”只不过需要更多的步数呢？
不过，对于某个特定的图灵机，如果你仔细琢磨，还是能得出它能否停机的结论的。但是，不存在这样一种算法，对于所有的图灵机，都能判断出能否停机。因此，也就不存在这样一种算法，能够对于所有的正整数 n，得出 BB(n)的值。这，正是“不可计算”的含义。
，这就超过整个宇宙的庞加莱回归时间了
BB(18)&Graham 数
，这就超越 Goodstein 函数了
BB(1919)则被证明独立于 ZFC。
上面这些不等式中，很多都是很弱的下界。比如 BB(10)的下界就是从&&得到的。而取 n=1，你发现 BB(6)远远大于 27。又如从前人们认为 BB(64)&Graham 数，但后来证明了 BB(25)&Graham 数，然后这个界限一直被缩小到了 BB(18)。
与 Busy beaver 处在同一等级的，还有从元胞自动机、标记系统、λ演算、组合子演算、各式各样的高级编程语言等等这些系统引申出的函数。例如评论里所说的，如果我们定义 f(x)为“一个长度为 x 的 C 语言程序能输出的最大数（规则类似于 Loader 数）”，那么 f(512)至少是 Loader 数，并且这个 f 函数也是不可计算的，和 BB(n)增长得一样快的，增长得比一切可计算函数都快的。
神仙，也有俯瞰人间的时候。当这些不可计算的“神仙”下凡，来到人间的时候，便成了可计算的函数。然而这些所谓的可计算的函数却可以轻轻松松地超越前面那些大数。这些“神仙”，一种通用的“凡间装束”，就是——
设 T 是一个形式演绎系统。可以把某个图灵机能停机这种命题转换成 T 中的命题。首先列出 T 中所有不超过 n 个字符的证明，然后在这些证明之中找出“图灵机 M 能停机”（其中图灵机 M 是 2 色的、不超过 n 状态的图灵机）的证明，最后取所有这些图灵机从开始运行到停机为止所经过的最大步数，记作 BB(T,n)。
既然上面这个定义已经是一种计算的办法，那么这个函数就是可计算的了。对于任何形式演绎系统 T，BB(T,n)的可计算性在 T 中不能被证明，而且 BB(T,n)总是增长得比 T 能够证明可计算的任何函数都要快。
比如 Peano 算术（PA），BB(PA,n)增长得和&&以及 Goodstein 函数一样快。
二阶算术的一个子系统，&增长得比 SCG 函数还快。
ZFC，BB(ZFC,n)增长得肯定比燃烧数快，甚至可能比 Loader 数里面定义的 D 函数还快。
而在 ZFC 之上，则是 ZFC 再加上“存在具有‘某性质’的基数”一条公理，所得的玩意儿。其中最为强大的，加的是下面这条公理：（不知道怎么翻译）
I0: There exists a cardinal number ρ that satisfy &There exists a nontrivial elementary embedding
即使“神仙”下凡，隐藏了绝大部分的实力，成为 BB(ZFC+I0,n)，也能傲视“可计算的”群雄。
九、Ξ函数
即便是“神仙”一样的第二类大数，它们之间也有高下之分。上面说到的 busy beaver，虽然能够傲视“可计算的”群雄，却是第二类大数的领域里最下等的角色。
Ξ函数是由组合子演算中的 SKI 演算引申出来的。为了理解它的定义，我们首先需要了解 SKI 演算。
首先定义 SKI 演算中的“公式”：
S 是一个公式。K 是一个公式。I 是一个公式。
如果字符串 a 和 b 都是公式，那么(ab)也是一个公式。
然后是演算本身。下面 3 种操作的有限次复合称作β- 规约：
把形如(((Sa)b)c)的公式变换为((ac)(bc))
把形如((Ka)b)的公式变换为 a
把形如(Ia)的公式变换为 a
SKI 演算的计算能力和图灵机一样强。因此，按照下面的方法定义出的 SKI 函数，其增长率与 busy beaver 相当：
把不能进行β- 规约的公式称作β- 范式。从所有长度不超过 n 的公式开始，通过β- 规约，所能得到的最长的β- 范式的长度记作 SKI(n)。这里，“长度”指的是一个公式里字母的个数，不计括号。
例如(((SS)S)(SI))经过β- 规约得到((S(SI))(S(SI)))，就不能进行β- 规约了，这个((S(SI))(S(SI)))就是一个从长度为 5 的公式出发得到的β- 范式，它的长度为 6，所以。又如(((SI)I)((SI)I))经过β- 规约得到((I((SI)I))(I((SI)I)))，然后又得到(((SI)I)(I((SI)I)))，又能得到(((SI)I)((SI)I))自己。不论如何操作，不论操作多少次，总是不能得到β- 范式。
下面就是Ξ函数超越 busy beaver 的办法。定义一个新符号：Ω，作为一种公式。它在β- 规约中的地位相当特殊：
对于形如(((Ωa)b)c)的公式，如果 a 能够通过β- 规约得到 I，那么把(((Ωa)b)c)变换为 b，否则变换为 c。
这个符号有能力引起一些悖论。可以证明存在一个这样的公式 p，它可以β- 规约为(((Ωp)(((SI)I)((SI)I)))I)。引出的问题是，p 能不能β- 规约为 I 呢？如果能，那么根据新规则，(((Ωp)(((SI)I)((SI)I)))I)将变换为(((SI)I)((SI)I))，它就不能β- 规约为 I；如果不能，那么根据新规则，(((Ωp)(((SI)I)((SI)I)))I)将变换为 I。对于任意的公式，它是否会引起这样的悖论，是不可判定的（没有通用的算法），这就使得它比 busy beaver 还要强大。
最后，Ξ函数定义如下：在含有Ω的 SKI 演算中，从所有长度不超过 n 的公式开始，通过β- 规约，所能得到的最长的β- 范式的长度记作Ξ(n)。
&，超过 Graham 数
人们对Ξ函数了解得太少，还不知道当 n 有多大的时候Ξ(n)能够超越 busy beaver。
十、Rayo 数
如果说 busy beaver 是第二类大数的大门，那么 Rayo 数便是第三类大数的大门。与前两类大数相比，Rayo 数简直就是开挂。简单说来，Rayo 数是在一阶集合论语言中用不超过&&个字符能够定义出的有限的数的上确界。
感觉是不是很像“用不超过十七个字能够表示的最大的数”之类的定义方式？为了避免自我指涉的麻烦，Rayo 数选定的是一阶集合论语言这一形式语言，但为此付出的代价就是，Rayo 函数（把 Rayo 数的定义里面的“”换成自变量）不能在一阶集合论语言中定义。
人们对 Rayo 函数了解得实在太少，还未发现它的一些函数值。
（全文完）
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