<h1 class="questionH1" topicId="2f74a2cdfc 1000包括1和1000各自然数的数字总和是多少列出算式
1 1000包括1和1000各自然数的数字总和是多少列出算式
08-12-04 &匿名提问
1；10；11；100；101；110；。。。。。。。。。。。。。。。。 1；；。。。。。。。。。 没懂你的意思
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1+2+3+……+1000 =（1+999）+（2+998）+（3+997）+……+（499+501）+500+1000 =0 =500500
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1+2+3+……+1000 =(1+1000)+(2+999)+.....+(500+501) = =500500
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1+2+3+4+.....+100=5050
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所有自然数之和究竟等于多少？ 正无穷？ 不！等于-1/12，你信么
所有自然数之和究竟等于多少？ 正无穷？ 不~~等于-1/12我没说错，所有自然数相加竟然等于-1/12...很神奇吧。。。
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看完 我觉得是错误的
视频来自：
（这里稍微补充了一些细节）发散级数在其它意义下的求和视频开头这个问题依赖于数列极限的定义。
考虑的数列极限定义：如果数列（部分和）收敛于有限数，则对于任意，存在正整数，当时，。即加的项数足够多以后，部分和与“要多接近有多接近”。在这个定义下级数是不收敛的。
这可以通过收敛定理加以说明：任何收敛的级数其通项必须趋于。显然这个交错级数不满足这一性质。其实从上面的定义中可以看出部分和在和之间来回震荡，不可能稳定于某个。
数学家为了让这样的数列收敛，就修改了数列收敛的定义。其中一个就是Cesaro平均收敛。Cesaro和的定义只需要收敛即可，即相当于对求平均值。在这个意义下级数收敛：在和之间来回震荡，它的平均值是。
所以问题归根结底是我们对“和”的定义不同。但是Cesaro和与和的定义是相容的，即如果一个数列在Cauchy和的意义下收敛于，则在Cesaro和的意义下也收敛于，但反之不然。有关在其他意义下的求和还有很多，比如Abel和定义为。容易证明Abel和比Cesaro和更强：如果一个数列在Cesaro和的意义下收敛于，则在Abel和的意义下也收敛于，但反之不然。一个反例是，这个数列在Abel和下收敛于，但不能Cesaro求和。其他一些例子可以参考：。
多年一线经验大师亲自传授，小班教学，生产实验环境，3月学习=2年工作经验
等出来论证这是真的吗？对于无限不知道能否这样简单的错位加减，或者第一个等式的0，1概率分布的结果是0.5对不对？
不过所有自然数的和这个级数在Cesaro和Abel和的意义下都不收敛。视频之后的计算存在问题：交错级数是不能随便改变求和顺序的。因此为了得到
Casimir effect与权重因子所有自然数之“和”是这个结论曾经出现在A.Zee的《Quantum Field Theory in a Nutshell》关于Casimir effect的推导中。具体可以参考1.9 Disturbing the vacuum一节。在弦论中也出现过很多类似的求和。这也就是说，这个奇怪的结果有确实可观测的物理效应。这已经不是单纯利用定义的不同所可以解释的了。
在A.Zee的关于Casimir effect的推导中，所用的解释是板振动的频率不可能无限高，高于某个以后的项都要忽略最终得到这样的结果。他所采用的方法是为配了一个的“权重因子”，再对权重因子求和，当时展开保留第一项，这是一种常见的方法。
下面的这段计算来源于Polchinski的String theory的书后习题：。它在附近的Laurent展开是。在Casimir效应中第一项被真空中的抵消，所以只剩下。真空中的也出现在中，而且弦论中类似的计算中第一项也会被消去。这种扔掉无穷大的方法实际就是重整化的方法。
函数与解析延拓（需要或者复变函数水平的背景知识）所有自然数之“和”是其实还有一种更简单的看法。注意到黎曼ζ函数的定义是。所谓所有自然数之“和”便是。在解析延拓的意义下，。解析延拓很不直观，这个结果和我们之前有关的结论能否对应？答案是肯定的。在陶哲轩的博文The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation中，便提到解析延拓和光滑渐进形式的联系。在第一部分陶哲轩把一个级数改写成smoothing sum的形式并且估计smoothing sum的余项。第二部分用这个渐进形式可以得到和解析延拓的关系。
笑尿了。。这绝壁是搞笑视频啊。。。
换种说法，视频中实际上要表达的级数 S1 应该写成：这个才等于 1/2 。同理，S2应该写成：所以，视频里想计算的S2其实是：这个级数才是收敛的，结果是1/4。
我转到数学吧问问
所有姿势都还给了老师~~~
我不懂那么多，我有一个疑问：对于不收敛的无穷数列，和结合律是否仍然成立？如果不一定成立，那么推导的过程中有好几处都是非法的，得出的结论也一定有问题
十五字十五字十五字十五字十五字
怎么又来了还搞了长篇大论来掩护 ，这个公式本身应该是在有什么意义的，但这里绝不可能是自然数只和。只是公式正好跟求和公式写法一样，他就造了个过程来逗你玩。所谓证明过程根本就是错误百出
第一个S1就肯定不能等于1/2，只能分为奇数和偶数两种情况来分析，把他那边所有的过程都分成奇偶两种情况了，答案就完全不一样了。。。比如2S2应该等于S1+n（奇数），S1-n（偶数）来着。。。
终于知道中世纪为什么要烧人了……
各位纠结S1为啥等于1/2，而且觉得我上面字帖的太多的，自己百度格兰迪级数，就这样，喵~~~=-=
摘自维基百科格兰迪级数(Grandi's series)，即1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + …，是在1703年由意大利数学家格兰迪发表的，后来荷兰数学家和数学家等人也都曾研究过它。格兰迪级数写作它是一个，也因此在一般情况下，这个是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时，就会有特定的“和”出现。格兰迪级数的和和切萨罗和均为。针对以下的格兰迪级数1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + …一种求和方式是求它的裂项和：(1 &#x2212; 1) + (1 &#x2212; 1) + (1 &#x2212; 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.但若调整的位置，会得到不同的结果：1 + (&#x2212;1 + 1) + (&#x2212;1 + 1) + (&#x2212;1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.用不同的方式为格兰迪级数加上进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：S = 1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + …，因此1 &#x2212; S = 1 &#x2212; (1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + …) = 1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + … = S，即2S = 1，可得到S = 1/2。依照上述的计算，可以得到以下的二种结论：格兰迪级数 1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + … 的和不存在。格兰迪级数的和为1/2。上述二个答案都可以精确的证明，但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用起，一直到现在严谨的数学成型之前，上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论。
稳定性及线性对于格兰迪级数1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + · · ·，看似可以用以下的方式处理，得到数值1&#x2044;2：两两的相加或相减。每一项乘以一个系数。调整括号顺序。在级数前面增加新的项。不过因为上述的处理方式只能适用在收敛的级数，而1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + · · ·不是收敛级数，因此上述处理都不适用。不过有许多的求和方式可以处理发散级数，并且可以对一些发散级数求和，其中最简单的方法是切萨罗求和。
切萨罗和恩纳斯托·切萨罗在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法，就是切萨罗和。基本概念类似莱布尼兹的机率法，一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个n，计算前n项的和σn的平均，当n趋近无限大时的极限值即为切萨罗和。以格兰迪级数而言，而数列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各项分别为,而.因此，格兰迪级数的切萨罗和为 1/2。也可以用广义的切萨罗和(C, a)来计算
发散性这个级数的部分和如下：S1 = 1S2 = 1 &#x2212; 1 = 0S3 = 1 &#x2212; 1 + 1 = 1S4 = 1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 = 0…由此得出另一个无穷序列，根据的定义，但是的无穷序列无法收敛到某个固定的值（不断在0和1之间来回变动），所以发散，因此这个级数也发散。
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1+2+3+……+99+100=（1+100）×100÷2=5050
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扫描下载二维码1至101所有自然数的所有数字之和是多少注意,数字不是数
先不考虑100,101零不用算,因为不影响和个位是1的有10个（01,11,21,...,91）同理个位的1到9分别出现10次十位是1的有10个（10,11,12,...,19）同理十位的1到9分别出现10次（1+2+..+9）*10*2=900再加100,101的3有903
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