等差数列求和公式推导过程在（a+1）²=a²+2a+1中,当a分别去1,2,3,……,n时,可得下列n个等式；（1+1）²=1²——2*1+1（2+1）²=2²——2*2+1（3+1）²=3²——2*3+1……（n+1）²=n²——2*n+1当这n个等式的左右两边分别相加,可推到出求和公式；1+2+3+……+n=（ ）用含n的代数式表示
（1+1）²=2²（2+1）²=3²……相加之后,消去重复项得,（n+1）²=1²+2*（1+2+3+……+n）+1*n1+2+3+……+n=[（n+1）²-n-1]/2=（n²+n）/2=（n+1）n/2
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扫描下载二维码　　　　例谈《等差数列的前n项和》教学中问题情境的创设　　　　海口市第一职业中学
陈虹　　　　内容摘要：数学问题情境是学生掌握知识，形成能力，培养创新意识，发展心理品质的重要源泉。本文主要以等差数列的前n项和的教学中的几个片断为例，浅谈通过创设问题情境，引导学生积极参与教学的一些做法和体会。　　　　关键词：问题情境、创设、教学
　　　　 现代数学教学理论认为，数学教学是数学思维过程的教学，学生学习数学的过程是在头脑中建构数学认知结构的过程，是主体的一种自主行为。教师在教学活动中就要注意展现数学思想发展的脉络，注重创设问题情境，激发学生的亲身经历数学建构的过程。因此如何教学生学会学习，喜欢学习，激发学生的学习积极性就显得格外的重要。创设问题的情境，吸引学生积极的投入，积极的的思考无疑是事半功倍的方法。一节课既是知识的学习过程，也是学生的情感过程，当学生参与到教学中来，积极的思考和发言时，你会发现他们一脸的灿烂和兴奋，这样的一堂课无疑是最成功的。在数学教学中，课题引入需要情境，解题教学需要情境，培养学生的思维能力也需要创设问题情境。很多学生反映数学的单调和枯燥，实际上，问题创设得好，吸引学生积极的参与和主动的学习，他们会体会到数学的美和趣味。　　　　本文就以等差数列的前n项和教学中的几个片断为例，谈谈通过创设问题情境，引导学生积极参与教学的一些做法和体会。　　　　1、创设问题情境，激发学习兴趣。　　　　心理学告诉我们，兴趣是一种情绪激发状态，有了兴趣可使脑细胞运动加快，使人的神经紧张、精力集中、思维敏捷，感知力、理解力、记忆力处于最佳状态。所以说，求知欲是积极思维的重要动机因素。　　　　例1：等差数列前n和公式的引入。　　　　故事引入：1785年，8岁的高斯在德国农村的一所小学里念一年级。学校的老师是城里来的。他有一个偏见，总觉得农村的孩子不如城市的孩子聪明伶俐。不过，他对孩子们的学习，还是严格要求的。他最讨厌学生在课堂上不专心听讲、爱做小动作的学生，常常用小鞭子敲打他们。孩子们倒爱听他的课，因为他经常讲一些课本上没有的，非常有趣的东西。有一天，他给学生们出了一道算术题。他说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100等于多少？谁算不出来，就不准回家吃饭。”说完，他就坐在一边的椅子上，用目光巡视着趴在桌上演算的学生。不到一分钟的工夫，小高斯站了起来，手里举着小石板，说：“老师，我算出来了......”，没等小高斯说完，老师就不耐烦的说：“不对！重新再算！”小高斯很快的把算式检查了一遍，高声说：“老师，没错！”说着走下座位，把小石板伸到老师面前。老师低头一看，只见上面端端正正的写着“5050”，不禁大吃一惊，他简直不敢相信，这样复杂的数学题，一个8岁的农村孩子，用不到一分钟的时间就算出了正确的得数。要知道，他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。同学们，如果是你来算这道题，你们需要用多长时间呢？　　　　教师通过创设这一问题情境，引起了学生的认知与事实冲突，诱发了学生求知的热情及浓厚的兴趣，激发了思维的积极性，增强了再发现的内驱力，而且对发现等差数列的求和公式起到自然的引导作用。　　　　2、创设问题情境，提高合情推理能力。　　　　
长期以来,中学数学教学一直强调教学的严谨性,过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理,使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上,数学发展史中的每一个重要的发现,除演绎推理外,合情推理也起重要作用,如哥德巴赫猜想,费尔马大定理,四色问题等的发现，其它学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理,提出猜想、假说和假设,再经过演绎推理或实验得到的。如牛顿通过苹果落地而产生灵感,经过合情推理,提出万有引力的猜想,后来通过库仑的纽秤实验证实。海王星的发现更是合情推理的典范。合情推理与演绎推理是相辅相成的，波利亚等数学教育家认为,演绎推理是确定的,可靠的；合情推理则带有一定的风险性,而在数学中合情推理的应用与演绎推理一样广泛。严格的数学推理以演绎推理为基础,而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。因此,我们不仅要培养学生演绎推理能力,而且要培养学生的合情推理能力,合情推理的条件与结论之间是以猜想与联想作为桥梁的,直觉思维是猜想与联想的思维基础.培养学生善于合情推理的思维习惯是形成数学直觉,发展数学思维,获得数学发现的基本素质.因此在数学教学中,既要强调思维的严密性,结果的正确性,也要重视思维的直觉探索性和发现性,即应重视数学合情推理的合理性和必要性。　　　　合情推理包括类比推理和归纳推理。类比推理是一种横向思维，是借助于两个系统在某些部分的一致性来推测另一部分上的一致性。归纳推理是从特殊事物的性质推得一般对象的性质，是一种纵向思维。正如法国著名数学家和天文学家拉普拉斯所说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”在教学中适当地运用合情推理的思想方法，进行探索发现、解决问题，使学生体验到数学中发现真理的乐趣，提高学习积极性。　　　　2.1 创设类比性的问题情境　　　　
类比是对数学现象在比较中进行类推的一种推理方法。不同的事物，往往具有一些相同或者相似的属性，数学也是如此。新知识的学习总是在旧知识的基础上进行的，而新知识又是旧知识的自然延续或升华，它们之间既有联系又有区别。以新旧知识类比的方法探索新知识，既较好地体现了知识的发生与迁移过程，又有利于学生“内化”，便于将新知识纳入认知结构，使其得到充分发展。　　　　例2：(1) 如果换成1+2+3+…+200=？， 我们能否快速求和，如何求 ？　　　　如果换成1+2+3+…+n=？,又该如何求呢？　　　　
因为前面已推导了1+2+3+…100=（1+100）×100/2=5050
，此时学生可用类似的方法轻松地推导出1+2+3+…+200=（1+200）×200/2=20100， 1+2+3+…+n=（1+n）×n/2 .紧接着教师提出问题: {an}是等差数列,那么同学们能否猜想a1+a2+a3+…+an等于多少?此时同学们可猜想出a1+a2+a3+…+an=(a1+an) ×n/2　　　　(说明：激发兴趣,进一步引导学生发现等差数列的一种"对称性",即第k 项与倒数第k 项的和均等于首项与末项的和,为公式引入和推导作铺垫。)　　　　上述问题实际都是等差数列的求和问题,在我们的现实生活中,有很多这样的问题,如：　　　　⑶ 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支,这个V形架上共放着多少支铅笔？　　　　⑷ 一个剧场设置了20排座位,第一排有38个座位,往后每一排都比前一排多2个座位,这个剧场一共设置了多少个座位？　　　　(说明：安排问题[3]和[4]可让学生认识到求出等差数列前n 项和公式的必要性.)　　　　笔者经过教学实践和反思，认为采用创设如下的类比性问题情境，引导学生以积极的态度再发现求等差数列前n项和的一般规律性，效果较好。　　　　实际上适合于创设类比性的问题情境进行教学的内容很多。例如等差数列与等比数列类比，正切函数图象性质可与正弦函数图象性质类比，双曲线及抛物线的定义、标准方程、几何性质可与椭圆的定义、标准方程、几何性质类比，立体几何中的平面、四面体可与平面几何中的直线、三角形类比等等。　　　　类比方法符合人们认识事物的规律和当代教育学、心理学规律。应用类比方法，不仅可把抽象的新知识纳入到已有知识系统中来，变抽象为形象、变难为易、变繁为简，同时又可激发学生联想，具有启发思路、举一反三、触类旁通的作用。所以不失为一种促进学生知识“迁移”，提高学生素质的有效方法　　　　
运用类比推理应注意的几个问题：　　　　(1)要善于观察事物的特点，注意从不同事物身上发现它们的共同或相似之处，并追究造成这种共同或相似的原因。要大胆放宽眼界，不受自己的研究对象与学科的限制。　　　　(2)要善于联想，从一事物联想到与它性质相似的其他事物，从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法；从一个概念或定理联想到与它关系比较密切的一串概念或定理。　　　　(3)类比常与归纳、演绎综合运用，另外它也离不开分析。归纳、类比和探索性演绎法通常是靠猜想与联想、直觉等心智运动串联起来的，因此必须自觉掌握创造性思维等特征，并运用到实际工作中去。　　　　
2.2 创设归纳性的问题情境　　　　　
拉普拉斯说：“数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。人们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物入手，通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性。这种“从特殊到一般的推理方法”，叫做归纳法。　　　　　　
在研究某个问题的过程中，经过对若干次出现的现象的观察，有的人经过分析思考能很快地找到其中的某种规律，有的人却熟视无睹。这就反映他们的归纳能力不同。因此创设归纳性的问题情境，培养学生细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力，是非常必要的。　　　　例3：{an}是等差数列,那么a1+a2+a3+…+an等于多少 ？前面同学们已经猜想了其结论，那同学们能否推导验证猜想的正确性呢?　　　　　　　　有了例1和例2的推导发现为前提，例3的归纳性问题情境的创设，能使学生亲身经历了从特殊到一般、从一般到特殊的认识过程，体验到“一般问题特殊化”这种思维策略的重要作用，并且这种思维策略具有普通性的指导意义。比如数列中的许多问题、解析几何中的点到直线距离公式的发现和证明都可如此处理。因此，教师在教学中要舍得留出时间给学生，让他们动手、动口、动脑，亲自去探索公式的发现和证明的过程，去体验成功的喜悦，增强他们学习的自信心，激发他们的创新思维萌芽，培养他们的创新意识和创新能力。　　　　3、创设问题情境，培养勇于探索的科学精神。　　　　注重教学探究活动，引导学生从整体上把握问题，鼓励学生大胆猜想和运用直觉去寻求解题策略，以及广泛应用分析、综合、演绎、归纳、联想、类比等各种数学思维方法，与学生共同探讨各种成功的解法，促使数学教学各种因素互动。为了在课堂教学中推进素质教育，从发展性的要求来看，不仅要让学生“学会”数学，而更重要的是“会学”数学，学会学习，具备在未来的工作中，科学地提出问题、探索问题、创造性地解决问题的能力。问题可以由教师提出，也可以引导学生自己发现和提出，要结合教学实际，因势利导，适时地进行学法指导，使学生在自主学习中，逐渐领会和掌握科学的学习方法。当然，学生自主学习也离不开教师的主导作用，这种作用主要在问题情境设置和学法指导两个方面．学法指导有利于提高学生自主学习的效益，使他们在学习中把摸索体会到的观念、方法尽快地上升到理论的高度。　　　　通过一些练习让学生熟悉等差数列的前n项和公式后，可安排如下题目：　　　　例4：数列{an}是等差数列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10.　　　　让学生思考解答此题后，教师紧接着提出问题：“ 同学们可否将此题改编成新的题目？下面就看谁编得又快又好。”　　　　
此时学生们会编出各式各样的题目，如：　　　　① 数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n.　　　　② 若此题不求a1，d而只求S10时，是否一定非得先求得a1，d不可呢？ 　　　　这样放手给学生编题，让学生自主提出问题，并交给其他学生解答，这样极大地调动了学生的思维积极性，激活了课堂的教学活动，这也是课堂教学进行创新的有效途径。通过创设问题情境，引发学生对问题情境进行探究、研讨，激发了教学互动，引导了学生的自主学习。课堂中师生双方都处于一种积极的态度，而没有主动与被动之分，学生也脱离了静止的状态，始终处于最积极、最活跃的思维活动之中，成为学习的主人，发挥了勇于探索的科学精神，这有利于发挥其主动性、独立性、和创新性。　　　　4、结束语　　　　问题情境的设计不仅在教学的引入阶段要格外注意，而且应当随着教学过程的展开要成为一个连续的过程，并形成高潮。问题情境的设计应利于激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性；应利于发展思维，培养能力。只要我们精心创设问题情境，认真组织实施教学，使学生经常处于“愤悱”的状态中，就能激发学生的学习动机，学生就能真正成为问题的解决者。因此，高中数学课堂教学中创设问题情景、引导学生的自主学习是社会发展的需要，是落实高中数学课程改革的一种实际行动，是我们广大数学教师的责任和义务。　　　　参考文献：　　　　[1] 吴庆麟 . 《教育心理学》. 华东师范大学出版社,2003.　　　　
[2] 葛 军:《数学教学论与数学教学改革》,东北师范大学出版社,1999　　　　[3]郭思乐. 数学思维教育论. 上海教育出版社，1997年　　　　
[4]章建跃，朱文芳. 中学数学教学心理学. 北京教育出版社，2000年　　　　等差数列求和公式怎么推导？求解啊！
倒序求和法
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这个怎么推导呢？
把等差的通相公式代入
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1 3 9 19 33像这样子的数怎样用等差数列表示？
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等差数列求和公式推导练习题
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&&& 小编寄语：关于等差数列求和公式推导练习，等差数列求和是高考数学中必考的知识点，同学们需要认真对待这部分知识点，下面小编为大家提供等差数列求和公式推导练习题，供大家参考，希望对大家的学习有帮助。
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