任意两个不等于零的实数都有等差数列求和公式推导对吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-01-07 12:00 标签： 等差等比数列求和公式
讲等比数列
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一．【课标要求】
．通过实例，理解等比数列的概念；
．探索并掌握等差数列的通项公式与前
项和的公式；
．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体
会等比数列与指数函数的关系
二．【命题走向】
等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题
考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基
本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具
年高考对本讲的考察为：
）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的
道客观题目；
）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；
）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价
转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力
三．【要点精讲】
1．等比数列定义
一般地，如果一个数列从
起，每一项与它的前一项的比等于同一个
数，那么这
个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，
。（注意：“从第二项起”、“常数”
、等比数列的公比和项都不为零）
．等比数列通项公式为：
）由等比数列的通项公式可以知道：当公比
时该数列既是等比数列也是
等差数列；（
）等比数列的通项公式知：若
为等比数列，则
．等比中项
中间插入一个数
成等比数列，那么
的等比中项（两
个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）
．等比数列前
一般地，设等比数列
（错位相减法）。
各已知三个可求第四个；（
）注意求和公式中是
，通项公式中是
不要混淆；（
）应用求和公式时
，必要时应讨论
四．【典例解析】
：等比数列的概念
．“公差为
的等差数列是等比数列”；“公比为
的等比数列一定是递减数列”；“
三数成等比数列的充要条件是
三数成等差数列的充要条件是
上四个命题中，正确的有（）
解析：四个命题中只有最后一个是真命题。
中未考虑各项都为
的等差数列不是等比数列；
未必成立，当首项
，此时该数列为递增数列；
不是等比数列，所以应是
必要而不充分条件，若将条件改为
，则成为不必要也不充分条件。
点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注
意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。
是等比数列；
是等差数列；
既是等差数列，又是等比数列；上
述三个命题中，真命题有（）
解析：由命题
，所以只有当
时，此数列才是等比数列。
是等差数列，
，所以只有当
才是等差数列。
是一个常数列，即公
的等差数列，因此只有当
才又是等比数列。
点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到
系，它们是
，正确判断数列
是等差数列或等比数列，都必须用
上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择
：等比数列的判定
．已知等比数列
的取值范围是
∵等比数列
∴当公比为1时，
从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）
∵等比数列
【考点】：
此题重点考察等比数列前
项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的
【突破】：
特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前
项和，以及均值不等式的应用，
特别是均值不等式使用的条件；
点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。
．（2009浙江文）设
（II）若对于任意的
成等比数列，求
解（Ⅰ）当
）式成立，
成等比数列，
，整理得：
：等比数列的通项公式及应用
．一个等比数列有三项，如果把第二项加上
，那么所得的三项就成为等差数列，如
果再把这个等差数列的第三项加上
，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列
解析：设所求的等比数列为
2(aq+4)=a+aq
故所求的等比数列为
点评：第一种解法利用等比数列的基本量
，先求公比，后求其它量，这是解等差数
列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。
．(2009山东卷文)等比数列{
}的前n项和为
，已知对任意的
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数列的求和：1、数列求和的常用方法：（1）裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； （2）错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； （3）倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。（4）分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。（5）公式法求和：所给数列的通项是关于n的，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
2、数列求和特别提醒：（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“若数列{an}的每一项都不等于零，且对于任意的n∈N*，都有...”，相似的试题还有：
阅读下面给出的定义与定理：①定义：对于给定数列{xn}，如果存在实常数p、q，使得xn+1=pxn+q&对于任意n∈N+都成立，我们称数列{xn}是“线性数列”．②定理：“若线性数列{xn}满足关系xn+1=pxn+q，其中p、q为常数，且p≠1，p≠0，则数列{x_{n}-\frac{q}{1-p}}是以p为公比的等比数列．”(Ⅰ)如果an=2n，bn=3o2n，n∈N+，利用定义判断数列{an}、{bn}是否为“线性数列”？若是，分别指出它们对应的实常数p、q；若不是，请说明理由；(Ⅱ)如果数列{cn}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，都有Sn=2cn-3n，①利用定义证明：数列{cn}为“线性数列”；②应用定理，求数列{cn}的通项公式；③求数列{cn}的前n项和Sn．
对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈R*都成立，我们称数列{cn}是“K类数列”．(Ⅰ)若an=2n，bn=3o2n，n∈N*，数列{an}，{bn}是否为“K类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；(Ⅱ)证明：若数列{cn}是“K类数列”，则数列{an+an+1}也是“K类数列”；(Ⅲ)若数列an满足a1=2，an+an+1=3to2n(n∈N*)，t为常数．求数列{an}前2012项的和．并判断{an}是否为“K类数列”，说明理由．
设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N，都有Sn=(m+1)-man(m为常数，且m＞0)．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比q与m函数关系为q=f(m)，数列{bn}满足b1=2a1，点(bn-1，bn)落在q=f(m)上(n≥2，n∈N，求数列{bn}的通项公式；(3)在满足(2)的条件下，求数列{\frac{2^{n+1}}{b_{n}}}的前n项和Tn，使Tn≤no2n+2+λ恒成立时，求λ的最小值．科目：高中数学
设首项不为零的等差数列前项之和是，若不等式对任意和正整数恒成立，则实数的最大值为（&& ） A．0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．1
科目：高中数学
设首项不为零的等差数列前项之和是，若不等式对任意和正整数恒成立，则实数的最大值为（&& ） A．0&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&& B． &&&&&&&&&&&&& C．&&&&&&&&&&&&&& && D．1
科目：高中数学
来源：2012年江苏省四星高中高三数学小题训练（5）（解析版）
题型：解答题
设首项不为零的等差数列{an}前n项之和是Sn，若不等式对任意an和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为&&& ．
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！已知实数q不等于0,数列{an}前n项和为Sn,a1不等于0对任意正整数m,n,且n＞m,Sn-Sm＝q^mSn-m恒成立.证明数列{am}为等比数列
令n=m+1,则a(m+1)=s(m+1)-s(m)=q^ms(m+1-m)=s(1)q^m=a(1)q^m,所以a(n)=a(1)q^(n-1),n=1,2,...{a(n)}为首项为a(1),公比为q的等比数列.
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