关于超越函数所构成复合函数的定积分--《牡丹江师范学院学报(自然科学版)》1998年01期
关于超越函数所构成复合函数的定积分
【摘要】：利用多元函数的微分和积分的结论,给出超越函数所构成复合函数的定积分的求法。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O172【正文快照】：
微积分基本定理—牛顿一莱布尼兹公式给出了计算定积分统一的、简便的方法,但是求原函数时可能会遇到很大的困难,甚至可能遇到原函数根本就不能表成有限形式的情况。例如,一类超越函数e一护、1/Inx等等,其形成并不复杂,但是不论你用什么办法,它们的不定积分也是“算不出来”
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超越函数积分的五种解法
第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品超越函数积分的五种解法 On the five solutions to integral transcendental function袁玉军，陈婷婷， 袁玉军，陈婷婷，韩仁江 指导老师： 指导老师：李声锋 蚌埠学院 数学与物理系摘要: 摘要: 大学数学课程系统介绍
了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文基 于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种方法. 关键词： 关键词：超越函数；积分；大学数学 Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral Keywords:transcendental function ,integral1.引言 1.引言牛顿――莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函 数的原函数不能用初等函数表示，如sin x 1 ± x2 ， ， e 等函数. 在阻尼振动、热传导与正态 x ln x分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿――莱布尼茨公式求解.在 大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数 等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.2.五种解法 2.五种解法(1)基于幂级数展开法求积分 (1)基于幂级数展开法求积分[1] 若函数项级数 引理 1 [1]∑u ( x) 在区间 [a, b] 上一致收敛，且每一项都连续，则n∑∫例1 求定积分baun ( x ) dx = ∫ba∑ u ( x ) dx.nln x d x. 0 1? x ln x ln x ln x 在 ( 0, 1) 内连续，且 lim = ?∞, lim = 1. 分析 注意到 + ? x →0 1 ? x x →1 1 ? x 1? x∫1若定义函数1第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品x = 0, ? ?∞, ? ln x ? f ( x) = ? , 0 & x & 1, ?1 ? x x = 1, ?1, ?显然， f ( x ) 在点 x = 0, x = 1 为可去间断点，故 f ( x ) 在 [ 0,1] 上可积. 因此这是一道普通的 定积分问题，然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解. 因为 解ln x = ?∑n =1∞(1 ? x )nn,( 1 ? x & 1) ,所以n ?1 n ∞ 1 1 ? (1 ? x ) ?dx = ? 1 ∞ (1 ? x ) dx . ln x ∫0 ∑ n ∫0 1 ? xdx = ∫0 1 ? x ? ?∑ n ? ? n =1 ? n =1 ? ?1又因为级数∑n =1∞(1 ? x )nn ?1在区间[0,1] 上一致收敛，且通项 (1 ? x )n1n ?1连续，所以得到n ?1∞ ∞ 1 (1 ? x ) ln x 1 π2 dx = ?∑ ∫ dx = ?∑ 2 = ? . ■ ∫0 1 ? x 0 n 6 n =1 n =1 n（2）基于柯西积分公式求积分 基于柯西积分公式求积分 柯西积分公式求柯西积分公式）[2] 引理 2（柯西积分公式） 设区域 D 的边界是周线（或复周线） C ，函数 f ( z ) 在 D 内解[2]析，在 D + C 上连续，则有f ( z ) = 2π i ∫例2 求定积分cf (ξ ) dξ , ( z ∈ D ) . ξ?z∫π0e cos θ cos ( sin θ ) d θ .分析 若此题利用牛顿――莱布尼茨公式，则寻找被积函数的原函数比较困难. 考虑到 构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分. 解 考察复变积分ez ez dz , (| C |= 1) ，其中 f ( z ) = ，利用柯西积分公式得 ∫C z z I = 2π ie0 = 2π i .(1)2第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品令 z = cos θ + i sin θ ，代入ez 得 z2π ez e cosθ +i sin θ dz = ∫ d ( cos θ + i sin θ ) ∫C z 0 cos θ + i sin θ=∫=∫02π0( cos θ ? i sin θ ) ecosθ +i sinθ d ( cos θ + i sin θ )cosθ2π(e? ei sin θ )idθ= ∫ ecosθ ?cos ( sin θ ) + i sin ( sin θ ) ? idθ ? ? 02π= ∫ ? ?ecosθ sin ( sin θ ) + iecosθ cos ( sin θ ) ?dθ , ? 0 ?又因为 ecos θ2π(2)cos ( sin θ ) 在 [ 0, π ] 上为偶函数, 所以由 (1)和(2)可得∫π0ecosθ cos ( sin θ )dθ = π .■注：这题虽然不难，但给了我们启示――任意给定函数，构造复变函数且该函数在某区 域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的 积分.(3)基于留数理论求积分 (3)基于留数理论求积分[2] 若f 引理 3 柯西留数定理） （柯西留数定理） [2]( z ) 在周线或复周线 C 所围的区域 D 内除 α1 , α 2 , ...., α n外解析，在闭域 D + C 上除 α1 , α 2 ,...., α n 外连续，则∫[2]Cf ( z )dz = 2π i ∑ Re s f ( z ) .k =1 z =α kiθn若当尔引理）[2] 设函数 g ( z ) 沿半圆周 CR : z = Re (0 ≤ θ ≤ π , R 充分大 ) 上 引理 4（若当尔引理） 连续，且 lim g ( z ) = 0 在 CR 上一致成立，则R→+∞R →+∞ C R[2] 引理 5 [2]lim∫g ( z )e imz dz = 0 ( m & 0 ) .iθ设 f ( z ) 沿圆弧 Sr : z ? a = re(θ1 ≤ θ ≤ θ2 , r充分小) 上连续，且在 Sr 上一致成立极限lim ( z ? a ) f ( z ) =λ ，r→03第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品则有极限lim ∫ f ( z )dz = i (θ 2 ? θ1 ) λ .r→0 Srsin x dx. x + ∞ sin x 解 因为积分 ∫ dx 存在，且 0 x + ∞ sin x +∞ sin x 1 ∫0 x d x = 2 P.V .∫?∞ x dx.例 3 计算积分∫+∞0考虑函数 f ( z ) =eiz 沿图 1 所示闭曲线路径 C 的积分 z图 1 闭曲线路径 C根据柯西积分定理得∫ f ( z )dz = 0,c或改写成∫Rrix ?r e e ix e iz e iz dx + ∫ dz + ∫ dx ? ∫ dz = 0, CR z ?R x Cr z x(3)其中 C R , C r 分别表示半圆周 z = Re 及z = re 由引理 4 知iθiθ(0 ≤ θ ≤ π , r & R ) .eiz = 0. R →+∞ ∫CR zlim由引理 5 知lim ∫r →0eiz dz = iπ . Cr z在式(3)中，令 r → 0, R → +∞ ，得∫+∞ ?∞e ix dx 的主值为 x+∞ ?∞P.V .∫所以e ix dx = iπ . x4第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品+∞+∞ sin x π sin x 1 dx = P.V . ∫ dx = .■ ?∞ x 2 2 x∫?∞(4)基于拉普拉斯变换法求积分 (4)基于拉普拉斯变换法求积分从例 3 的解题过程看出，利用留数方法计算积分比较繁琐，以下利用拉普拉斯变换求解 上题，相对比较简单. 引理 6[3]由积分 F ( s ) =∫+∞0e ? st f ( t )dt 所定义的确定于复平面 ( Re s & σ ) 上的复变数s 的函数 F ( s ) ，称为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换，其中 f ( t ) 于 t ≥ 0 有定义，且满足不等式f ( t ) & Meσ t ，这里 M,σ 为某两个正数，称 f ( t ) 为原函数，而 F ( s ) 称为像函数.解 令 f (k ) =∫+∞0sin ( kx ) dx ， x对 f ( k ) 进行拉普拉斯变换，有L ? f ( k ) ? = ∫ e ? st ∫ ? ? 0 0交换积分顺序得+∞+∞sin ( kx ) dxdt ， x+∞ +∞ 1 L ? f ( k ) ? = ∫ e ? st sin ( kx )dt ∫ dx ， ? ? 0 0 x则∫+∞0e ? st sin ( kx )dt 为 sin ( kx ) 的拉普拉斯变换.由欧拉公式得sin ( kx ) =eikx ? e ? ikx ， 2i1 ， s ? ix 1 L ?e ? ikx ? = ? ? s + ix ，L ?eikx ? = ? ?其中把 k 看为变量. 从而1 ? ? 1 ? s + ix + s ? ix ? x L ?sin ( kx ) ? = ? ?= 2 2 . ? ? 2i ? ? s +x ? ?所以5第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品+∞ +∞ 1 +∞ 1 π ， L ? f ( k ) ? = ∫ e ? st sin ( kx )dt ∫ dx = ∫ dx = 2 2 ? ? 0 0 s + x 0 x 2s即 f (k ) = 所以∫+∞0sin ( kx ) π ， dx 的像函数为 x 2s sin ( kx ) π dx = .■ x 2f (k ) = ∫+∞0(5)含参变量积分法 (5)含参变量积分法[1] 引理 7 [1]设 f ( x, y ) 在若 [a, b] ×[c, +∞] 连续， I ( x ) = ∫+∞0f ( x, y )dy 在 [ a, b] 上一致收敛，则 I ( x ) 在[a, b] 上可积，且∫b adx ∫+∞cf ( x, y ) dy = ∫+∞cdy ∫ f ( x, y )dx .b a[1] 设 引理 8[1]f ( x, y ) 与 f x ( x, y ) 在区域 [ a, b] ×[ c, +∞] 上连续， I 若+∞( x) =∫c f ( x, y) dy+∞在[a, b] 上收敛， ∫cf x ( x, y ) dy 在 [ a, b] 上一致收敛，则 I ( x ) 在 [ a, b] 上可微，且I ′( x) = ∫+∞cf x ( x, y ) dy.通常，含参变量积分法主要有两种方法. 方法一：把超越函数的积分化为二元函数的积分问题，再利用引理 7 的积分交换顺序， 方法一 从而求出超越函数的积分. 例4 计算 I =∫+∞0e ? pxsin bx ? sin ax dx , ( p & 0, b & a ) . x解 因为b sin bx ? sin ax = ∫ cos xydy ， a x所以I = ∫ e ? px0+∞sin bx ? sin ax dx x= ∫ e ? px0+∞( ∫ cos xydy ) dxb a= ∫ dx ∫ e ? px cos xydy,0 a+∞b由于 e ? px cos xy ≤ e ? px 及反常积分 含参变量反常积分∫+∞0e ? px d x 收敛，根据威尔斯特拉斯判别式(M 判别式)，∫+∞0e ? px cos xydx 在 [ a, b] 上一致收敛，由于 e ? px cos xy 在 [ 0, +∞] ×[ a, b]上连续，根据引理 7，于是6第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品I = ∫ dy ∫ab+∞0e ? px cos xydx = ∫bap dy p + y22= arctanb a ? arctan . ■ p p方法二： 方法二：把超越函数积分看成某个变量的函数，利用引理 8，先微分，后积分，求出超越 函数的积分. [6] Define 例5f (t ) = ∫ and+∞?∞e ? x cos(tx )dx2(1)g (t ) = ?∫for+∞?∞xe ? x sin( xt )dx2(2),?∞ & t & +∞ .Both integrals exist (they converge absolutely) since the? x2absolutely values of the integrands are at most eand x e? x2, respectivelyNote that g is obtained from f by differentiating the integrand with respect to t . We claim that f is differentiabale and thatf ' (t ) = g ( t )( ?∞ & t & +∞)(3)To prove this ,let us first examine the difference quotients of the cosine:ifβ & 0 ,thencos(α + β ) ? cos αβ+ sin α =( sin α ? sin t )dt β ∫αβ21α +β(4)Since sin α ? sin t ≤ t ? α ,the right side of (4) is at most case β & 0 Is handled similarly. Thusthecos(α + β ) ? cos αβ+ sin α ≤ β(5)for all (if the left side is interpreted to be 0 when Now fix t,and fix h ≠ 0 .Apply(5)with (2)thatβ = 0)α = xt , β = it follows from(1)andf (t + h ) ? f ( t ) ? g (t ) ≤ h h∫+∞?∞x 2 e ? x dx.27第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品When h → 0 ,we thus obtain (3). Let us go a step further:An integration by parts, applied to (1),shows thatf (t ) = 2 ∫+∞?∞xe ? x2sin( xt ) dx t(6)Thus tf ( t ) = ?2 g (t ), and (3) implies now that f satisfies the differential equation2 f ' ( t ) + tf (t ) = 0(7)If we solve this diffrential equation and use the fact that f ( 0 ) =π ,we find thatf (t ) = π e .?t2 4(8)The integral (1) is thus explicitly determined.■3.小结 3.小结本文通过大量的数值实例，给出了关于超越函数积分问题的五种方法――幂级数展开法 求积分、基于柯西积分公式求积分、基于留数理论求积分、基于拉普拉斯变换法求积分以及 【4】 含参变量积分法，只是起到抛砖引玉的作用.还有其它的求解方法，如傅氏积分法 、最陡下 【5】 降法等 ，还需广大读者共同讨论。 【参考文献】 [1] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版，下册）[M].高等教育出版社，,187 [2] 钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].高等教育出版社，,243,246 [3] 王高雄，王寿松，周之铭.常微分方程（第三版）[M].高等教育出版社，] 刘锋，孙福树，杨巧林.复变函数与积分变换（第一版）[M].机械工业出版社，。 [5] 郭敦仁，王竹溪.特殊函数概论[M].北京大学出版社， [6] [美]Walter Rudin 数学分析原理（英文版，第三版）[M].机械工业出版社，，8
五六句是说三指乘积的被积函数,求解时(特注:此时三凑 dv ,指也可 凑 dv...cos x ln xdx 分别含有超越积分: cos x sin x dx 、 dx 。 积分正弦 ...其次,通过积分图像极大地简化了计算。最后,为保证...SURF 在各方面的性能均接近或者超越了 SIFT 的性能...叉相关函数 C(u,v)表示了模板在图像上每一个位移...1.2 本文要解决的问题和所用的方法 本文主要解决了三个问题: (1)一阶微分...即把微分方程的求解问题化为积分问题,其解的表达式由 初等函数或超越函数表示。...不定积分求解方法_教育学_高等教育_教育专区。探讨...C 5 3 (2).复杂的三角函数利用积化和差公式转化...(3)超越函数 ? 超越函数型 x x e sin x , e...的求解问题转化为积分问题,其解的表达式由初等函 数或超越函数表示,他们在实际...位置函数及其导数的关系式叫作微分方程,自变量只有一个的微分 方程叫作常微分...其解的表达式由初等函数 或超越函数表示,他们在实际问题中有着广泛的应用,值得我们...一个主要的问题就是“求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它们 的积分表达...( 《自然哲学的数学原理》 ) 最早公开发表微积分...超越函数 能表示两个整数之比的数叫?有理数 密尔...是 169. 首先获得四次方程一般解法的数学家是谁?...同时还扩展到各种超越函数的积分 法以及函数的积分法的各种例子。 如在最简单的...5 7 1645 题则为比较综合和难的题: 1645.求解 2 x ?1 ? 5x ?1 ? ...第五章 傅立叶变换(2+1) 基本要求: 1.了解非周期函数的傅里叶积分表达式和...理论分支,有时可以利用幂级数方法求解,这时可能会 出现高等超越函数,即特殊函数...不等式的解法 3.5 含绝对值的不等式 第四章 ...分部积分法 第五章 定积分及其应用 一 定积分的...函数的积分 (三)无理函数的积分 (四)超越函数的...
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