这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~《分块矩阵的行列式》_精选优秀范文十篇
分块矩阵的行列式
分块矩阵的行列式
范文一：第６卷第４期２００６年８月泰州职业技术学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴａｉｚｈｏｕＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶｏｌ．６Ｎｏ．４Ａｕｇ．２００６几类分块矩阵的行列式周从会（连云港职业技术学院基础部，江苏连云港２２２００６）摘要：利用Ｌａｐｌａｃｅ展开定理的特例—分块三角阵的行列式，研究了几类分块矩阵的行列式，得到了三个结果，并利用得到的结果计算一些特殊的行列式，能达到简化计算的目的。关键词：分块矩阵；应用；行列式中图分类号：Ｏ１５１．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－０１４２（２００６）０４－００６７－０３用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块。以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵，它的重要用处是可以通过子块进行运算。本文将探讨分块矩阵在行列式计算上的应用，约定字母Ｏ和Ｅ分别表示零矩阵和单位矩阵，Ａ表示方阵Ａ的行列式。定理１、定理１定理２定理３若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，则若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，则ＡＥ＝ＣＡ－ＢＢＣＡＡＣ＝Ｄ－ＢＡ－１ＣＢＤ若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，且ＡＢ＝ＢＡ，则ＡＣ＝ＡＤ－ＢＣＢＤ定理的证明２、引理１（分块三角阵的行列式）设分块矩阵Ｇ＝ＡＯ!，其中Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏ分别是ｋ阶、ｎ阶、ｎ×ｋ型、ｋ×ｎ型矩阵，则Ｇ＝ＡＢ证明见参考文献［１］。定理１的证明：根据分块矩阵的乘法易得：ＡＥＯ!－ＥＥＯ，＝ＡＣＣＡ－ＢＯ－Ｅ的第ｉ列与第ｎ＋ｉＥＡ因为矩阵Ａ，Ｂ和Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，因此交换行列式列（ｉ＝１，２，…，ｎ）得：由引理１得：从而有：Ｏ－Ｅ－ＥＯ（－１）ｎ，＝ＥＡＡＥＡ（－１）ｎ－Ｅ＝Ｏ－ＥＥＥ＝１，ＥＯＣＣＡ－Ｂ＝ＣＡ－ＢＥ＝ＣＡ－Ｂ证毕．ＡＥＡＥ＝ＢＣＢＣＯ!－Ｅ＝ＣＡ－Ｂ．Ａ定理２的证明：作者简介：周从会（１９６８－），女，江苏连云港人，硕士，讲师．６８泰州职业技术学院学报第４期ＡＣ由矩阵Ａ可逆，因此可有：ＢＤ交换行列式!Ａ－１ＯＥＣＡ＝ＯＡＢＡ－１ＤＡＡ，的第ｉ列与第ｎ＋ｉ列（ｉ＝１，２，…，ｎ），ＢＡ－１ＤＡＥＣＡＣＡＥｎ并根据定理１得：（）（－１）ｎＢＡ－１ＣＡ－ＤＡ＝Ｄ－ＢＡ－１Ｃ－１＝＝－１－１ＢＡＤＡＤＡＢＡ因此ＥＣＡＡＣＡＣ＝ＢＤＢＤＡ－１ＯＥＣＡ＝＝Ｄ－ＢＡ－１Ｃ－１ＯＡＢＡＤＡＡ．证毕定理３的证明：由矩阵Ａ可逆和ＡＢ＝ＢＡ易得ＢＡ－１＝Ａ－１Ｂ，根据定理２的证明立得定理３结论。定理的应用３、３－５例１计算行列式．１０－２３０１．４－９－３－７２－６－３２３＝７２．２７解由定理１得原式＝－３－７１３－５４－９＝－!!ａｂｃｄ１１０ｃ０１１１０１例２证明１１０ａｂｃａｂ证明：左式＝（－１）２ｃｄ２１计算０１＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ．１０１ｂ０１１１＝ｂａ１ａａ＋ｂ－ｃａ１ｃ０＝－!!２ａ＋ｂ－ｃ（ａ＋ｂ－ｃ）２－２（２ａｂ－ｄ）＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ＝右式．＝原式!５６０１３－５５１２５５６５－１０＝!－!＝!－!＝ａ…例４计算阶行列式……５５１３５０例３１５６２３４２５３－５解：易看出Ａ＝可逆，且Ａ－１＝，因此有：１３－１２７＝－２１３ｂａｂｂａ…ｎ行ｎ＋１行ａ（ａｂ≠０）ｂ第４期周从会：几类分块矩阵的行列式６９ａ解记Ａ＝…，Ｂ＝ｂ…．由ａｂ≠０易得Ａ可逆，且与Ｂ可交换，根据定理３得ｂａａ２－ｂ２原式＝Ａ２－Ｂ２＝…（ａ２－ｂ２）ｎ＝ａ２－ｂ２从以上各例可以看出利用上面给出的三个定理计算一些特殊的行列式可简化计算过程。参考文献：［１］同济大学数学教研室．工程数学线性代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．ＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｏｆＳｏｍｅＢｌｏｃｋＭａｔｒｉｃｅｓＺＨＯＵＣｏｎｇ－ｈｕｉ（ＢａｓｉｃＳｃｉｅｎｃｅｓＤｅｐｔ．，ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＪｉａｎｇｓｕ２２２００６，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｏｆｓｏｍｅｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｃｅｓｂｙｕｓｉｎｇｓｐｅｃｉａｌｃａｓｅｏｆＬａｐｌａｃｅｄｅｖｅｌｏｐ－ｍｅｎｔｔｈｅｏｒｅｍ：Ｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｏｆｂｌｏｃｋｔｒｉａｎｇｌｅｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｔｈｒｅｅｔｈｅｏｒｅｍｓｈａｖｅｂｅｅｎｇｉｖｅｎａｎｄａｐｐｌｉｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｓｏｍｅｓｐｅ－ｃｉａｌｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｓｏａｓｔｏｓｉｍｐｌｉｆｙｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｃｅｓ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ（责任编辑刘红）（上接第６１页）参考文献［１］罗萍香，梁春燕．异丙酚静脉麻醉下人工流产临床观察［Ｊ］．中国计划生育学杂志，２００１，９（５）：３０５．［２］李促廉．临床疼痛治疗学［Ｍ］．天津：天津科学技术出版社，１９９４，３８５．［３］袁桂莲，许我先．妇产科综合征［Ｍ］．北京：人民卫生出版社，１９９８，２２３－２２４．（１０）：５８９．［４］王育华，王波．无痛人工流产术的临床应用［Ｊ］．中国实用妇科与产科杂志，２００３，１９［５］李俊岩．异丙酚复合芬太尼麻醉在早孕钳刮术中的应用［Ｊ］．中国计划生育学杂志，２００３，９０（４）：２４２．［６］周荣向，陈洪贵，高清花，等．异丙酚配伍米索前列醇用于无痛人工流产术的临床观察［Ｊ］．中国计划生育学杂志，２００３，８８（２）：９９．ＴｈｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｎ１７０ＰａｔｉｅｎｔｓｗｉｔｈＰａｉｎｌｅｓｓＡｂｏｒｔｉｏｎＬＩＵＬａｎ－ｑｉｎ（ＴｈｅＰｅｏｐｌｅ’ｓＨｏｓｐｉｔａｌｏｆＴａｉｚｈｏｕ，ＴａｉｚｈｏｕＪｉａｎｇｓｕ２２５３００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔｓ：Ｐｕｒｐｏｓｅ：Ｃｏｍｐａｒｅｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎａｒｃｏｔｉｃｓｒｅｓｕｌｔｂｙｏｂｓｅｒｖｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋｏｒｉｎｖｅｉｎ．Ｍｅｔｈｏｄ：Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｔａｋｅｓ３４０ｐａｔｉｅｎｔｓａｓｔｈｅｓｕｂｊｅｃｔｓ．Ｔｈｅｙａｒｅｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｗｏｇｒｏｕｐｓｒａｎｄｏｍｌｙ：ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｇｒｏｕｐａｎｄｔｈｅｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｇｒｏｕｐ．Ｔｈｅｆｏｒｍｅｒａｒｅｏｐｅｒａｔｅｄｗｉｔｈｐａｉｎｌｅｓｓａｂｏｒｔｉｏｎｂｙｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｖｅｉｎａｎｄｔｈｅｌａｔｔｅｒｗｉｔｈｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋ．Ｒｅｓｕｌｔ：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｉｓｏｂｖｉｏｕｓｂｙｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｔｗｏｇｒｏｕｐｓ＇ｒｅｓｕｌｔｓｏｎｒｅｌｉｅｖｉｎｇｐａｉｎ．Ｔｈｅｆｏｒｍｅｒｉｓｂｅｔｔｅｒｔｈａｎｔｈｅｌａｔｔｅｒ．Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ：ｔｈｅｐａｔｉｅｎｔｓｆｅｅｌｎｏｐａｉｎｄｕｒｉｎｇｔｈｅｏｐｅｒａｔｉｏｎｗｉｔｈｔｈｅａｉｄｏｆａｎａｅｓｔｈｅｔｉｃ，ｗｈｉｃｈｇｅｔｒｉｄｏｆｔｈｅｉｒｆｅａｒｆｏｒｔｈｅｏｐｅｒａ－ｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋ；ｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｖｅｉｎ（责任编辑崔洁）第６卷第４期２００６年８月泰州职业技术学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴａｉｚｈｏｕＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶｏｌ．６Ｎｏ．４Ａｕｇ．２００６几类分块矩阵的行列式周从会（连云港职业技术学院基础部，江苏连云港２２２００６）摘要：利用Ｌａｐｌａｃｅ展开定理的特例—分块三角阵的行列式，研究了几类分块矩阵的行列式，得到了三个结果，并利用得到的结果计算一些特殊的行列式，能达到简化计算的目的。关键词：分块矩阵；应用；行列式中图分类号：Ｏ１５１．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－０１４２（２００６）０４－００６７－０３用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块。以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵，它的重要用处是可以通过子块进行运算。本文将探讨分块矩阵在行列式计算上的应用，约定字母Ｏ和Ｅ分别表示零矩阵和单位矩阵，Ａ表示方阵Ａ的行列式。定理１、定理１定理２定理３若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，则若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，则ＡＥ＝ＣＡ－ＢＢＣＡＡＣ＝Ｄ－ＢＡ－１ＣＢＤ若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，且ＡＢ＝ＢＡ，则ＡＣ＝ＡＤ－ＢＣＢＤ定理的证明２、引理１（分块三角阵的行列式）设分块矩阵Ｇ＝ＡＯ!，其中Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏ分别是ｋ阶、ｎ阶、ｎ×ｋ型、ｋ×ｎ型矩阵，则Ｇ＝ＡＢ证明见参考文献［１］。定理１的证明：根据分块矩阵的乘法易得：ＡＥＯ!－ＥＥＯ，＝ＡＣＣＡ－ＢＯ－Ｅ的第ｉ列与第ｎ＋ｉＥＡ因为矩阵Ａ，Ｂ和Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，因此交换行列式列（ｉ＝１，２，…，ｎ）得：由引理１得：从而有：Ｏ－Ｅ－ＥＯ（－１）ｎ，＝ＥＡＡＥＡ（－１）ｎ－Ｅ＝Ｏ－ＥＥＥ＝１，ＥＯＣＣＡ－Ｂ＝ＣＡ－ＢＥ＝ＣＡ－Ｂ证毕．ＡＥＡＥ＝ＢＣＢＣＯ!－Ｅ＝ＣＡ－Ｂ．Ａ定理２的证明：作者简介：周从会（１９６８－），女，江苏连云港人，硕士，讲师．６８泰州职业技术学院学报第４期ＡＣ由矩阵Ａ可逆，因此可有：ＢＤ交换行列式!Ａ－１ＯＥＣＡ＝ＯＡＢＡ－１ＤＡＡ，的第ｉ列与第ｎ＋ｉ列（ｉ＝１，２，…，ｎ），ＢＡ－１ＤＡＥＣＡＣＡＥｎ并根据定理１得：（）（－１）ｎＢＡ－１ＣＡ－ＤＡ＝Ｄ－ＢＡ－１Ｃ－１＝＝－１－１ＢＡＤＡＤＡＢＡ因此ＥＣＡＡＣＡＣ＝ＢＤＢＤＡ－１ＯＥＣＡ＝＝Ｄ－ＢＡ－１Ｃ－１ＯＡＢＡＤＡＡ．证毕定理３的证明：由矩阵Ａ可逆和ＡＢ＝ＢＡ易得ＢＡ－１＝Ａ－１Ｂ，根据定理２的证明立得定理３结论。定理的应用３、３－５例１计算行列式．１０－２３０１．４－９－３－７２－６－３２３＝７２．２７解由定理１得原式＝－３－７１３－５４－９＝－!!ａｂｃｄ１１０ｃ０１１１０１例２证明１１０ａｂｃａｂ证明：左式＝（－１）２ｃｄ２１计算０１＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ．１０１ｂ０１１１＝ｂａ１ａａ＋ｂ－ｃａ１ｃ０＝－!!２ａ＋ｂ－ｃ（ａ＋ｂ－ｃ）２－２（２ａｂ－ｄ）＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ＝右式．＝原式!５６０１３－５５１２５５６５－１０＝!－!＝!－!＝ａ…例４计算阶行列式……５５１３５０例３１５６２３４２５３－５解：易看出Ａ＝可逆，且Ａ－１＝，因此有：１３－１２７＝－２１３ｂａｂｂａ…ｎ行ｎ＋１行ａ（ａｂ≠０）ｂ第４期周从会：几类分块矩阵的行列式６９ａ解记Ａ＝…，Ｂ＝ｂ…．由ａｂ≠０易得Ａ可逆，且与Ｂ可交换，根据定理３得ｂａａ２－ｂ２原式＝Ａ２－Ｂ２＝…（ａ２－ｂ２）ｎ＝ａ２－ｂ２从以上各例可以看出利用上面给出的三个定理计算一些特殊的行列式可简化计算过程。参考文献：［１］同济大学数学教研室．工程数学线性代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．ＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｏｆＳｏｍｅＢｌｏｃｋＭａｔｒｉｃｅｓＺＨＯＵＣｏｎｇ－ｈｕｉ（ＢａｓｉｃＳｃｉｅｎｃｅｓＤｅｐｔ．，ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＪｉａｎｇｓｕ２２２００６，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｏｆｓｏｍｅｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｃｅｓｂｙｕｓｉｎｇｓｐｅｃｉａｌｃａｓｅｏｆＬａｐｌａｃｅｄｅｖｅｌｏｐ－ｍｅｎｔｔｈｅｏｒｅｍ：Ｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｏｆｂｌｏｃｋｔｒｉａｎｇｌｅｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｔｈｒｅｅｔｈｅｏｒｅｍｓｈａｖｅｂｅｅｎｇｉｖｅｎａｎｄａｐｐｌｉｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｓｏｍｅｓｐｅ－ｃｉａｌｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｓｏａｓｔｏｓｉｍｐｌｉｆｙｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｃｅｓ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ（责任编辑刘红）（上接第６１页）参考文献［１］罗萍香，梁春燕．异丙酚静脉麻醉下人工流产临床观察［Ｊ］．中国计划生育学杂志，２００１，９（５）：３０５．［２］李促廉．临床疼痛治疗学［Ｍ］．天津：天津科学技术出版社，１９９４，３８５．［３］袁桂莲，许我先．妇产科综合征［Ｍ］．北京：人民卫生出版社，１９９８，２２３－２２４．（１０）：５８９．［４］王育华，王波．无痛人工流产术的临床应用［Ｊ］．中国实用妇科与产科杂志，２００３，１９［５］李俊岩．异丙酚复合芬太尼麻醉在早孕钳刮术中的应用［Ｊ］．中国计划生育学杂志，２００３，９０（４）：２４２．［６］周荣向，陈洪贵，高清花，等．异丙酚配伍米索前列醇用于无痛人工流产术的临床观察［Ｊ］．中国计划生育学杂志，２００３，８８（２）：９９．ＴｈｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｎ１７０ＰａｔｉｅｎｔｓｗｉｔｈＰａｉｎｌｅｓｓＡｂｏｒｔｉｏｎＬＩＵＬａｎ－ｑｉｎ（ＴｈｅＰｅｏｐｌｅ’ｓＨｏｓｐｉｔａｌｏｆＴａｉｚｈｏｕ，ＴａｉｚｈｏｕＪｉａｎｇｓｕ２２５３００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔｓ：Ｐｕｒｐｏｓｅ：Ｃｏｍｐａｒｅｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎａｒｃｏｔｉｃｓｒｅｓｕｌｔｂｙｏｂｓｅｒｖｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋｏｒｉｎｖｅｉｎ．Ｍｅｔｈｏｄ：Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｔａｋｅｓ３４０ｐａｔｉｅｎｔｓａｓｔｈｅｓｕｂｊｅｃｔｓ．Ｔｈｅｙａｒｅｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｗｏｇｒｏｕｐｓｒａｎｄｏｍｌｙ：ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｇｒｏｕｐａｎｄｔｈｅｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｇｒｏｕｐ．Ｔｈｅｆｏｒｍｅｒａｒｅｏｐｅｒａｔｅｄｗｉｔｈｐａｉｎｌｅｓｓａｂｏｒｔｉｏｎｂｙｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｖｅｉｎａｎｄｔｈｅｌａｔｔｅｒｗｉｔｈｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋ．Ｒｅｓｕｌｔ：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｉｓｏｂｖｉｏｕｓｂｙｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｔｗｏｇｒｏｕｐｓ＇ｒｅｓｕｌｔｓｏｎｒｅｌｉｅｖｉｎｇｐａｉｎ．Ｔｈｅｆｏｒｍｅｒｉｓｂｅｔｔｅｒｔｈａｎｔｈｅｌａｔｔｅｒ．Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ：ｔｈｅｐａｔｉｅｎｔｓｆｅｅｌｎｏｐａｉｎｄｕｒｉｎｇｔｈｅｏｐｅｒａｔｉｏｎｗｉｔｈｔｈｅａｉｄｏｆａｎａｅｓｔｈｅｔｉｃ，ｗｈｉｃｈｇｅｔｒｉｄｏｆｔｈｅｉｒｆｅａｒｆｏｒｔｈｅｏｐｅｒａ－ｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋ；ｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｖｅｉｎ（责任编辑崔洁）
范文二：分块矩阵行列式约翰r.西尔维斯特1引言?e?ab?
让我们先考虑2×2阶矩阵M=??和N=?gcd???f?.他们的和与乘积为 h???a?eb?f??ae?bhaf?bh?M+ N=?和MN=. ????c?gd?h??ce?dgcf?dh?其中的字母a,b,c,d,e,g,h,f来自数域，例如实数域，或者更普遍的来自于环，可交换或不可交换。的确，假如F是一个数域，然后集合R在R=nFn的所有n×n阶矩阵形成环（假如n≥2且非可交换），因为它的元素可以相加，相减，相乘和所有的环公理（associativity、distributivity等等。）假如a; b……. h是来自环R，然后M;N可认为无论是来自2R2（在R上的2×2阶矩阵）或是来自2nF2n，这是大家所共知的，我们留下给读者调查。我们是否把这些矩阵作为2n×2n阶矩阵或作为2×2 “分块”矩阵来计算（那些块a;…是n×n阶矩阵，i.e…是R中的元素）不产生变化就矩阵的加法，减法和相乘而言。在符号中，环2R2和2nF2n可被看作是相同的：22=2n2nRF,或者 2(nFn)2=2nF2n 通常，我们可以把mn×mn阶矩阵分成为n×n块m×m阶矩阵即m(nFn)m=mnFmn.本文的要点是分块矩阵的行列式。如果a; d是在环R中，然后规定R在可交换的条件下是M的一个行列式，因而我们将它写为detR，因此detRM=ad-bc。当然这是在R上，如果R是不可交换的，这些元素ad-bc，ad-cb, da-bc,da-cb可能不相同。并且我们不知道他们中的哪些（若有）是detRM合适的选择。这是正确的情况，如果R= nFn，其中F是数域（或可交换环）且n≥2，为了避免困难，我们采取R是一些可交换的子集R? nFn，而不是整个的矩阵环。行列式的一般理论在2R2上及更多的mRm上成立，对于M? mRm，我们能很容易求出其行列式的值，该值是R中的一个元素。但是R? nFn，故M的行列式实际上是F上的一个矩阵。并且我们可以计算出detF(detRM),那些将是F中的元素。另一方面，如R? nFn，我们有M? mRm? m(nFn)m=mnFmn.所以我们能计算出detFM,它同样也是F中的元素。我们的主要结论是，这两项计算，得到相同的结果： 定理1 R是nFn中的可交换子集，其中F是数域（或是可交换的）并且使M ? mRm。则detFM= detF(detRM)
(1)?AB?例如：假如M=?，其中A, B, C, D是F上的n×n阶矩阵，那些都具有相关性，??CD?定理1说：detFM= detF(AD-BC)
(2)定理1以后将被证明。首先，在第2部分中，我们应注意限制的情况m=2并给予一些初步的（和熟悉的）结果。关于分块对角和分块三角矩阵，作为副的，分块矩阵的证明由行列式乘法决定。在第3部分中，相比定理1我们要证明的东西多一点在条件m=2的情况下，关于定理1本身，对于一般情况下的m，将在第四部分中给出证明。2、乘法性质设M?F2n2n，M=???AB?nn?，，如果B?C?O是n?n的零矩阵，使得A,B,C,D?F??CD?M是一个对角矩阵，那么我们容易得出：?A0?detF??0D???detFAdetFD
（3） ??观察仔细的读者将会马上注意到这样一个事实，由于detFAdetFD?detF(AD)
(4)式（3）是式（2）在B?C?O时的特殊情况。不过，我们先不讨论这步，因为我们可以小心地得到一个（4）的证明，这是由主要结论所带来的。其中一个证明（3）的方法是利用M的行列式前n行的拉普拉斯扩展，结果显然而知。一个更基本的证明更加深化：归纳到一种情况，当A是r?r时，D仍然可以是n?n。当r=1时，如果对第一行进行扩展，这个结果是明显的。因此对r进行数学归纳，第一步是扩展第一行，具体细节留给读者自己证明。即使我们仅知道B?O，这个结论仍然成立，而且证明过程很简单。我们得到了：?AO?detF??CD???detFAdetFD
(5) ??通过重置或以列代替行反复证明，，当C?O时，我们一样可以得出这样一个结果，即?AB?detF??OD???detFAdetFD
(6) ??为了证明（4），我们需要对行列式作出相关假定，如增加一行的倍数（分别，列）到另一行（分别，列）而不改变行列式。在矩阵A的左边（分别，右边）乘以一个可逆矩阵，对应于在行或列有上述变化，但都不改变行列式的值。（一个unitriangular矩阵是斜对角线上全是1的三角形矩阵）。我们同时给定detFIn?1，其中In是n?n上的单位矩阵，故下面得出：?In??O??In??In???In???OO??In???In???O?In??AB???C?D?????CD?????A?.
(7) In?B??????AB???C?D??? detF??detF??CD??A?B????因为（7）的左侧的前三个矩阵是unitriangular矩阵，根据（5）和（6）可得?AB??OB??detF??det(?C)detB?detFFF??CO??CD??
(8) ?????A而且有???I?nO??In???D???OD??A????In????InAD?? O??在左边的第二个矩阵是unitriangular矩阵，于是利用行列式及（5）和（8）的第一部分，我们有：detFAdetFD?detFIndetF(AD);由于detFIn?1，（4）中的乘法法则对于F中所有的矩阵均成立。3、二阶分块矩阵的行列式既然我们已经知道detFAdetFD?detF(AD)，以及detF(?C)detFB?detFBdetF(?C)?detF(B(?C))?detF(?BC)，据（5）和（6）及（8）我们可以得到：定理2、如果M???C??AB??，那么detFM?detF(AD?BC)
（9） ?D?当且仅当矩阵A,B,C,D中至少有一个为零。（与（2）比较）我们现在设法推断一些东西，假设分块C与D可交换，即CD?DC，那么有： ?AB??D??CD????????CnnO??AD?BCB??AD?BCB?????CD?DCD??????
（10） In?OD?????我们证明在F中（4）对任意n成立，因此我们能运用它，得出（5）和（6）detFMdetFD?detF(AD?BC)detFD以及(detFM?detF(AD?BC)detFD?0现在，如果detFD不等于零（或者当F是一个环不是域时，detFD不是为零的除数），然后通过（11）能很快推出（9）；但是我们实际上并不需要额外的假定，正好我们下面所说明的：作一个环F[x]上的映射关系r到F。这是一个可交换环，而且显然满足加法，除法以及交换法则。为了书写简便，我们标记D为纯量矩阵。
范文三：第３ 卷 ２第 １ 期 １四 川 兵 工 学 报２１ 年 １ 月 ０１ １【 其他研究】分 块 矩 阵 的行 列 式王力梅 ， 郭莉琴 ， 邵海琴 ， 唐保祥（ 天水师范学 院 ， 甘肃 天水 ７ １０ ） ４０ １摘要： 由行列式 的若干性质 ， 利用分块矩阵 的初等变换推导 出分块矩 阵的若 干行列式 。关键词 ： 行列式 ； 分块 矩阵 ； 初等变换 ； 拉普拉斯定理 中图分类号 ： １ １２ ０ ５ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ６— ７７ ２ １ ） １ ０ ４ ０ １０ ０ ０ （０ １ １ — １９— ２１ 预备知识定义 １ １ 在一 个 １级行 列 式 Ｄ 中任 意选定 ｋ行 ｋ列 ． ７ ， （ ７ ， 于这些行列交点上 的 ｋ 素按照原来 的次 序组 ≤／ 位 ， ） 元 成一个 ｋ 级行 列 式 ， 为行 列式 Ｄ 的一个 ｋ级 子式 。 当 称 ｋ＜ｎ时 ， Ｄ 中划去这 ｋ ｋ 后余 下的元素按照原来 的次 在 行 列（ ｌ， 为 时 ：ｌ ｌ 一 ｌ ｌ 偶 ， ｌ ， １ 若 数 ｌ ＝Ｉ若 ） ｍ ｍ Ａ ｌ 曰 Ａ ｌ 曰为 数 Ｉｌ 为奇数 ， ｌ Ａ 一 奇 ， ０ ｌ 则 ＝ ＩＩ 则 ： ＡＢ性质 ２ ２ 设 Ａ 为 ｍ 。矩 阵 ， 为 ｍ２×ｎ ． １Ｘｎ Ｂ ２矩 阵１ Ａｌ ０（ ｎ ２ ） ｛０ 。 ＃ ， ， ｌ ： ｍ 则 ｌ 。序组成的 ｎ ｋ — 级行列式 称为 ｋ 级子式 的余子式 。定义 １ ２ 设 Ｄ的 ｋ ． 级子式 在 Ｄ中所在 的行 ， 列指标（ （ ＝ （ｎ ＋ｎ ， ｍ１ １ｍ ＝ｎ 与题设矛盾 ｌ ２故 ：ｎ ， ２ ２设＝ Ｐ （分别是 ｉ， ， ， ； Ｊ， ， 。则 Ｍ 的余子式 前 面加上 。ｉ … ｉ ， … Ｊ ２ ｋ若 ｌ ， ｌ ， Ａｌ ， ｌ 则 Ｂｌ Ｐ ≠０ Ｂ ≠０ ｌ Ａ ≠０ 故秩（ ） ２而秩 Ｂ曰 ＝ｎ，（ ）≤秩 Ｂ≤ ｍ ， 理 秩 （ ＝／ ≤ ｍ１ 而 ｍｌ＋ｍ２＝ ＢＢ ２同 ＡＡ） ７ ， ｌ ，符号 （ １ ?ｚ “）（ ２ ） 一 ） “ ｋ √ ‘ 后称作 的代数余 子式 。 ＋ Ｊ 儿定义 １３ 设 在行列式 Ｄ中任 意取定 了 ｋ １ ≤ｎ一１ ． （ ≤ｋ ） 个行 。由这 ｋ行元素 所组 成 的一 切 ｋ级 子式 与它 们 的代数 余子式 的乘积 的和等 于行列式 Ｄ。１ ＡＩ ０推 ２ 在 质 ?中若 Ａ则 ０ 论? 性 ２ ， ２ ＝ ， ｌ Ａ ｌ ，』一） ｌ Ａ 阶 阵 若 Ｂ ：Ａｌ ｌ 为ｍ 方 ， Ａ， － ＇则【， ０ Ａ 不是 方 阵２主 要性质? ２ １ 设 Ａ 和 Ｂ 是 ｍ 阶 矩 阵 和 ｎ阶 矩 阵 ， 眭质 ． 则ｌ 三ｃ 其 为阶 方 Ｉ一 中 ｍ 逆 ： ， 可 阵性质 ２ ３ 设 是 ｍ 阶 方 阵 ， 是 ｎ 阶 方 阵 ， ． Ｄ 则一ｍ ｌＡ （１ ＩＩ ０ Ｉ ）ＩＩ ： Ａ证： （三 ） ： 边行式 明于 ） ＝ ） 取列 由： （ （ ， 两得 －ＢＩ ｔｌ Ｄ Ｉ１Ｂ ｍ方 １ 朋－ 为 阶阵 ＰＡＤ Ｃ １Ｉ １ ｌ ｌ ｌ ， Ｃ Ｐｌ０ＩｌＥ 一， ｍ Ｉ ｌ 故 Ｅ Ｂ， Ｅｃｎ 曼 Ｉ Ａｌ０ １ ０ Ｅ 。而 ＝ ＝Ｂ ０Ｉ证： ） ）：Ｐ，边行 明（ （ ＝ 。． 取列 ‘ 三 （ Ｂ? ． 。 ）两 ．Ｉ Ｐ Ｂｌ ｌ Ｂｌ Ａ１ Ａ （１ Ｉ ＿ｍ Ｉ ０ ｌ ）Ｉ１ ： ａ８推论２ １ 在 性 质 ２ ． ．１中， ｍ ＝ｎ 则 ｌ 若 ， ｌ ＝式得Ｊ Ｄｌ １Ｃ ｌ Ｃ ＝ｌ Ｄ Ｐｌ ｆ ｌ性质 ２４ 设 是 ｍ 阶方 阵 ， ． Ｄ是 ｎ阶方阵 ， Ｑ为 ｎ× ｍ矩则 Ｄ曰Ｉ ｌ 阵』Ａ＋Ｊ ， ＋ ｌ Ｄ Ｉ Ｊ Ｑ ｝ Ｃ 曰 Ｑ ＝ Ｃ Ａ矩阵 ， 则收 稿 日期 ：０ １— ９— １ ２ １ ０ ２ 基金项 目： 天水师 范学 院中青年资助项 目（ Ｓ ０ ４ Ｔ Ａ１１ ） 作者简介 ： 王力梅 （９ ０ ） 女 ， １８ 一 ， 硕士 ， 讲师 ， 主要从 事高等代数 的研究 。ｌ０ ５四 川 兵 工 学 报ｈｔ ：／ ｃｇ ｊｕｓｒ． ｏ ／ ｔ ／ ｓｂ ． ｒ ｖ ｃｒ ｐ ｏ ｅ ｎ…‘ （? ．．ｃ 。推论２６２ ．．＝ Ｉ￣ Ｂ － ＣＩ Ｅ ，． 取 ， ＤＢｌ ‘ 一 １＋ ． ． ￣ ｏ ＋ ‘ 两１ 哥 Ｑ ＱＩ１ 端－ Ｈ Ａ ｊ ｊ ｌ 曰 ｌ Ｉ Ｃ １Ｄ ： Ｉ Ａｌ Ｃ性质 ２ ５ 设 Ａ 是 ｍ 阶 方 阵 ， 是 ｎ 阶 方 阵 ， ． Ｄ 则ＣＥｃＥＢ ｌ 一＝一 ＝ Ｂ ｃ证 ：性 ２，， 都 逆ｌ Ｂ 明由 质? 可 ，ｃ ６ ｌ ＥＥ Ｅ 一 Ｅ 一 ＝ ｌ Ｃ ＝ｌ Ｂ ｌＥ ｌ ｌ Ｃ ｌ Ｂｌ Ｅ 一 Ｂｌ Ｅ 一 Ｅ 一Ｃ ： ＩＣｌ ｌｏ １Ｄ Ｉｌ， Ｄ ｌｌ ｌＡＤ ｌｌ Ａ口 ｛ｌ ｌ ０ Ａ Ｄ ： Ｃ ：证明 ： 由拉普拉斯定理展开即得 性质 ２ ６ 设 Ａ是 ｍ 阶方 阵 ， ． Ｄ是 ｎ阶方 阵 ， 则若 Ａ可Ｉ Ｂ Ａ ｌ一 ｌ理得ｆ ｌ ｍ ｃ — － ， 可：一 ｌ ∞ ｃ同 Ｂ ＝ ｃ性 质 ２７ ．翮逆， Ｉ Ｄｌ ｌ —Ａ 则Ｉ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ ＝ｌ ｌ Ｄ ｌ若Ｄ可逆， Ｉ 则 Ｉ Ａ Ｂ Ｃ ＝ｌ — Ｄ Ｄｌ Ｊ ｌ１ Ａ 日Ｂ ＋Ａ、证 明Ａ ｌｌ ：证： Ａ 逆则一 ） ） 明 可， （ 一 （ ＝ 若 三 （。 一 ， ：一。 端取行列式得 三曰 两 ）ｌ ｌ ｌ Ｃ Ｂｌ ＝Ｉ ｌ Ａ Ａ Ｄ—。Ｅｍ肟 Ａ Ｂ两边取行列式即得参考文献 ：若。可 ， 一 逆则（／ —Ｂ Ａ Ｄ Ｃ ０＼● ＝Ａ 口 Ａ，． 口 ，． ． ， －＿＼ ＿＿ Ｉ＝＝［ ］ 北京大学数学 系几何与代数 教研 室前 代数 小组． １ 高等 代数 ［ ． Ｍ］ 北京： 高等教育 出版社 ，０ ３ ２０ ．＼ Ｉ ＣＤ 端 取 行 列 式 得 ／ ｌ两４［ ］ 王品超． ２ 高等代数新方 法： 下册［ ． 州 ： Ｍ］徐 中国矿 业 出版 社 ．０ ３ ２０ ．ｌ Ｄ １Ｉ Ｃｔ Ｉ Ｂ－ － －１ ＡＢ Ａ ｌＡＤ Ｉ １ Ｃ●口 ＋口 Ａ ＼Ｊ［ ］ 钱 吉林． ３ 高等代 数题 解精粹 ［ ． 京： Ｍ］ 北 中央 民族 大学出版 社 ．０ ２ ２０．推论 ２ ６ １ 设 Ａ是 ｍ阶方阵 ， ．． Ｄ是 ｎ阶方阵 ， 若 Ａ可 则Ｂ，，Ｉ－＿＿●＼［ ］ 徐仲． ４ 线形代数典 型题 解解集 ［ ． Ｍ］２版． 西安 ： 西北 工业大学 出版社 ，０ ０ ２０ ． ［ ］ 杨晓英 ， ５ 刘新 ， 赵姣 珍． 分块矩 阵 Ｄ ａｉ 和群逆 表示 ｒｚ ｎ逆逆且Ａ ＝ ， Ｉ Ｄｌ — Ｂ Ｃ Ｃ 则 Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｄ ＝ｌ ｌＩ Ｂ ｌ ＡＡ＋ ＢＢ证明： 由 性 质 ２ ６ 中 ． ｌ Ｂｌ＝ Ａ ｌｌ Ｄｌ Ｃ的充要 条件 ［ ］ 重 庆 工学 院 学报 ： Ｊ． 自然科 学版 ，０ ９ ２ ０（ ） １ ７—１ ０ ９ ：６ ７．］ Ｃ１ｌ Ｄ Ａ ｌ： － －ｌ Ｂａ１Ｄ— Ｃ 。 ＝ＩＤ— Ｂ１ Ａ Ａ Ａ Ｂ１ Ａ ＣＤ 一ｌ： 一 日（ 责任编辑陈松）
范文四：Vol.13,No.1 高等数学研究Jan.,2010STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS89矩阵分块方法的应用乔占科(苏州科技大学数学系,江苏苏州,215009)摘 要 矩阵的分块方法是矩阵论的一种重要方法,选择合适的分块方法可使一些证明变得简单明了.利用矩阵的分块方法给出关于矩阵的秩、特征多项式、行列式的若干等式、不等式及相关命题的简洁证明,有利于初学者理解和掌握.关键词 矩阵分块;矩阵的秩;行列式.中图分类号 O151.21在线性代数的学习中,很多读者对于涉及矩阵或行列式的相关命题的证明感到困难.事实上,利用矩阵分块方法可使这些命题的证明大大简化.本文将利用矩阵的分块方法给出若干命题的证明,从而说明矩阵分块方法对解决线性代数相关问题的重要性.命题1 设A为n阶方阵,证明A2A-EAE-E(1)+(2)-A×(1(2)A-EAE0(E-A)×(2)+(1)=E Ζ r(-=AE2其中E为n.证明00A+EA-A0.A-E×(2)+(1)所以2r(A-E)+r(A)=r(E)+r(A-A)=2n+r(A-A),A+EA-EA--E×(1)+(2)A-E2-2EA--2E2×(1)+(2)因此A2=AΖr(A)+r(A-E)=n.A+E命题3 两个矩阵的和的秩不超过这两个矩阵的秩的和.即22002(2)+(1)r(A+B)≤r(A)+r(B).-22,证明A 0B AA 00 E×(2)+(1)E×(2)+(1)A+BBBB从而r(A+E)+r(A-E)=r(2E)+r(A-E)=2n-r(A-E).2,记G=,则同时有:r(G)=r(A)+r(B),所以A2=EΖr(A+E)+r(A-E)=n.r(G)=A+B B命题2 设A为n阶方阵,则2A=A Ζ r(A)+r(A-E)=n.A-E0E×(2)+(1)证明0A收稿日期:.基金项目:苏州科技大学重点学科基金资助.作者简介:乔占科(1960-),男,甘肃白银人,副教授,主要从事半群代数理论及矩阵论的教学与研究,E_mail:.B B≥r(A+B),所以r(A+B)≤r(A)+r(B).命题4 设A为s×m阵,B为m×n阵,且E=Em,则r(AB)≤min{r(A),r(B)}.AB 0证明0 B×(2)+(1)90ABBAB高等数学研究 2010年1月-A×(2)+(1)B-1E,EA|E+BA|=-BE=EAE+BAAE=记C=,则E+AB=|E+BA|,r(C)=r(AB)+r(E)=0B-AE≤由此即得E+AB可逆ΖE+BA可逆.r(B,E)+r(A)=r(E)+r(A).另外,B-AE≤-AE+r(B)=r(E)+r(B).命题8 设A、B为n阶方阵,则AB与BA有相同的特征多项式,即λE-AB=λE-BA证明 当λ=0时,等式成立.而当λ≠0时,因λEA-A×(2)+(1)λE-AB0BA所以r(C)≤r(E)+min{r(A),r(B)},B,因此,r(AB)≤min{r(A),r(B)}.λEBλEλ(1)+(2)E-,命题5 设A=(aij)s×n,B=(bij)n×m,则r(AB)≥r(A)+r(B)-n.证明EAEEBλ所以-|=AB-A×(1)+(2)E|-BA|,00B×+(BA0,记C=.可进而证明,当A、B分别为m×n和n×m阵时,m-n4|λEm-AB|=λ|λEn-BA|.用分块方法可更简洁地证明下述命题:命题9 设A是秩为r的m×n矩阵,则存在秩为r的m×r矩阵B和秩为r的r×n矩阵C,使A=BC.,则r(C)≥r(A)+r(B),而r(C)=r(AB)+n.所以n+r(AB)≥r(A)+r(B),命题10 设T1=A,B,D可逆,则T1-1ACD因此r(AB)≥r(A)+r(B)-n.,T2=AB00,命题6 设A、B、C均为同阶方阵,则r(AB)+r(BC)≤r(B)+r(ABC).B0A×(1)+(2)证明0ABB0B-BC,ABAB-C×(1)+(2)AB0所以r(B)+r(ABC)≥r(BC)+r(AB).==A-DA-1-1-1CA-1D-1-1,.T2-1-ABDD-1能用分快方法证明的命题还有许多,限于篇幅,其余不再列举.总之,在学习高等代数时,许多问题都可尝试用分块方法解决.参考文献[1]王萼芳.高等代数教程[M].北京:清华大学出版社,.[2]谢邦杰.线性代数[M].北京:人民教育出版社,1978:47-87.[3]屠伯埙.线性代数方法导引[M].上海:复旦大学出版社,.[4]屠伯埙.高等代数[M].上海:上海科学技术出版社,.命题7设A、B为n阶方阵,若E+AB可逆,则E+BA也可逆.证明 因为E-BB×(2)+(1)E+BA0AEAE-BEB×(1)+(2)AEA,E+AB,所以
范文五：[摘 要]矩阵的行列式计算是其它计算和分析的基础。对于超大矩阵行列式，其过程是非常耗时，采用分块计算方法是一个有效的、可行的方案。本文提取一种分块计算算法并加以证明。简单分析表明，该算法可以大幅减少计算量，最后给出了Matlab实现程序。[关键词]矩阵 行列式 排列 组合 分块矩阵[中图分类号] O151.21 [文献标识码] A [文章编号] （7-02一、简介在线性代数中，一个方阵的行列式提供了该方阵的重要信息。[1]行列式可以看作是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。除了线性代数，在多项式理论，在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。[2]例如，当线性系统方程组的系数组成方阵时，通过行列式可以确定该方程组是否有解，解是否唯一等。[3]四、结论在工程和数学中，行列式是其它矩阵计算和分析的基础。实际中，有时需要计算一些超大矩阵的行列式，有时矩阵大到不宜直接全部读入内存中。此时，应用分块计算是一个有效的、可行的方案。本文提取了一种分块计算方法，并做出了证明，分析表明该方法较直接计算可以大幅减少计算量。[ 参 考 文 献 ][1] 张贤科.高等代数学第二版[M].北京：清华大学出版社，.[2] 项武义.基础代数学[M].北京：人民教育出版社，.[3] Steven J.Leon箸，张文博，张丽静翻译，第八版[M].北京：机械工业出版社，.[4] Steven Roman，Advanced Linear Algebra[M].Springer，0.[责任编辑：王 品][收稿时间][基金项目]北京市自然科学基金：7142022;北京市教委基金：KM。[作者简介]石宏理（1967-），男，陕西户县人，博士，副教授，研究方向：信号、图像处理，数值计算。邓军民（1971-），男，湖南慈利县人，博士，副教授，研究方向：信号、图像处理，数值计算。
范文六：矩阵与行列式的关系矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生?1?．行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势．1.1 矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样?1?．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．定义1?2? 设A是m?n矩阵，将A的行分割为r段，每段分别包含m1m2?mr行，将A的列分割为s段，每段包含m1m2?ms列，则?A11??AA??21???A?r1A12A22?Ar2?A1s???A2s?， ????Ars??就称为分块矩阵，其中Aij是mi?mj矩阵（i?1,2,?,r,j?1,2,?,s）．注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数．
例如，对矩阵A分块，?1???1A??1??0?其中0320??2012??A11??A0103????211012??A12??， A22???10??320??10??103?A11????12??，A12???012??，A21???01??，A22???012??．????????1.2 矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待． 加法运算 设A?(aij)m?n和B?(bij)m?n为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即Am?n?(Aij)s?t，B?(Bij)s?t，其中Aij、Bij是mi?nj矩阵，i?1,2,?,s,j?1,2,?.t，且?mi?m，?nj?n，则A与Bi?1stj?1可直接相加，即A?B?(Aij?Bij)s?t．数乘运算 设分块矩阵Am?n?(Aij)s?t，k为任意数，则分块矩阵与k的数乘为kA?(kAij)s?t．乘法运算 一般地说，设A?(aik)sn，B?(bkj)nm，将矩阵A、B分块，?A11??AA??21???A?s1A12A22?As2?A1t??B11???A2t??B21B?，????????B?Ast??t1B12B22?Bt2?B1r???B2r?， ???Btr??其中每个Aij是si?nj小矩阵，每个Bij是ni?mj小矩阵，于是有?C11??CC?AB??21???C?s1C12C22?Cs2?C1r???C2r?， ????Csr??其中Cij是mi?kj矩阵，Cij??ABiji?1nij．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB时，对矩阵A、B分块要求，矩阵A的列的分法必须与矩阵B的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有AB?BA．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A与矩阵B相乘时，对B的一个分块方式，A可以有几种分块方式都可与B相乘，同样对A的一个分块方式，B也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知?100??1010?????，A??010?B??0101?，?002??0110?????我们把B分块为?1010????E20101??????0110??B21??E2??， B22??其中E2为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A可以分块为?100??100??100???????010?， ?010?、?010?或??002??002??002???????我们可以看到第一种分法中有单位块，而?E2A???O?对于乘法运算显然更加简便，即O??， A22???100??1010??????E2AB??010??0101?????002??0110??O????O??E2???A22???B21E2?? ?B22??E2???AB?2221设?1010??E2?????0101?． A22B22???0220????A11??A21A?????A?s1A12A22?As2?A1t???A2t?????Ast??是一个分块矩阵，那么它的转置为??A11???A12?A?????A??1t??As?1?A21???As?2?A22．?????t?Ast??A2?分块矩阵的转置应遵守如下规则： (1) A的每一块都看成元素，对A转置； (2) 对A的每一块都转置．1.3 特殊的分块矩阵形式如?A1?????O?A2O???? ??Al??的矩阵，其中Ai是ni?ni矩阵(i?1,2,?,l)，通常称为准对角矩阵．准对角矩阵具有如下性质： (1)
设?A1??A????O?A2O??? ， ???Al??则有A?A1A2?Al；(2) A可逆?Ai可逆(i?1,2,?,l)，且?A1?1??A?1??????A1??A????O??1A2???； ????1?Al?O????， ??Bl??(3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵A2O??B1????B?，???????OAl??B2如果它们相应的分块是同级的，那么显然有?A1B1??AB????O?A2B2O??A1?B1????A?B?，???????OAlBl??A2?B2???? ??Al?Bl??O它们还是准对角矩阵．与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k（矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2?3? 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，?Em??O?O??， En??对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P；某一行（列）乘以矩阵Q加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵?O??E?m(2) 分块初等倍乘阵En??； O??O??； P???PO??Em??O?OE??，??n??(3) 分块初等倍加阵?Em??O?Q??Em?，??En???Q?AB???CD??， ??O??． En??与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：?OEm??AB??CD?????(1) ?； ???????E??nO??CD??AB??PO??AB??PAPB??(2) ?； ?CD?????C??OE???D?n?????B??EmO??AB??A?????(3) ??． ?PE??CD??C?PAD?PA?n??????同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．定义3[2] 在一个n级行列式D中任意选定k行k列(k?n)．位于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式．当k?n时，在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n?k级行列式M?称为k级子式M的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了k(1?k?n?1)个行．由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D．定理1 设A是m阶方阵，B是m?n阶矩阵，C是n阶矩阵，则AB?AC． OC证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式ABOC按后n行展开，在其所有的n阶子式中，除C外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C的余子式为A，且C位于整个矩阵的第m?1,m?2,?,m?n行，第m?1,m?2,?,m?n列，即可得AB?AC． OC类似地行列式的形式为AOBC时，由行列式的转置值不变，因此仍有A?O?A?C??AC．B?C?通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式ABOC换成ABCO又会有怎样的结论，它的值等于CB吗？定理2 设A、B、C均为n阶方阵，则AB2?(?1)nCB． CO证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n行， 在其所有n阶子式中，除C外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C的余子式为B，且C位于整个矩阵的第n?1,n?2,?,n?n行， 第1,2,?,n列，因此AB?(?1)sBC， CO其中s?(n?1)(n?2)?????(n?n)?(1?2?????n)?n2?偶数，即AB2?(?1)nCB． CO?AB?定理3 P??是分块n阶矩阵，其中A为r阶方阵，B为r?s阶阵，C为s?r??CD?阶阵，D为s阶方阵．(1) 若A可逆，则P?AD?CA?1B； (2) 若D可逆，则P?DA?CD?1B． 证明 (1) 当A?0时，有O??AB??AB?I?????????CA?1I??CD??OD?CA?1B?? ??????两边取行列式可得P?AD?CA?1B．(2) 当D?0时，有?I?BD?1??AB??A?BD?1C?????????O??CDI??C???O?? D??两边取行列式可得P=DA?CD?1B．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A、B、C、D分别是r，r?s，s?r，s矩阵，则有 (1) (2)ErCBD?D?CB；ABCEs?A?BC．证明 (1) 只需在定理3中令A?Er，即有ErCBEr?DOB?D?CB．D?CB(2) 只需在定理3中令B?Es，即有ACErCBEs?A?BCCOEs?A?BC．推论2 设B、C分别是r?s，s?r，则有BEs?Es?CB?Er?BC．证明 只需在定理3中令A?Er，B?Es，则有ErCBEs?Es?CB?Er?BC．定理4?4,5? 设A、B、C、D都是n阶方阵，则 (1) 当A?0且AC?CA时，(2) 当A?0且AB?BA时，AB?AB?CD；
CDAB?DA?CB； CDAB?AD?BC； CDAB?DA?BC． CD(3) 当D?0且DC?CD时，(4) 当D?0且DB?BD时，证明 由A、B、C、D均为n阶方阵，当A?0且AC?CA时，利用定理3得AB?AD?CA?1B?AD?ACA?1B?AD?CAA?1B CD?AD?CB，即AB?AD?CB， CD(2)、(3)、(4)类似可得．定理5?6,7? 设A、B都是n阶方阵，则有ABBA?A?BA?B． 证明 根据分块矩阵性质有ABA?BBA?BBBA?B?AA?OA?B?A?BA?B．定理6?8? 设A为n阶可逆方阵，?与?均为n维列向量，则A???T?A(1??TA?1?)．证明 因??E??????A??01????????T?????A???T0?1?????T1??，
???E0?????A??TA?11?????A????T1?????????01??TA?1???，?(1)式、(2)式两边各取行列式，又E??E01???T1?1， 从而有A???T1?A???T?A(1??TA?1?)．(1) (2)矩阵与行列式的关系矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生?1?．行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势．1.1 矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样?1?．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．定义1?2? 设A是m?n矩阵，将A的行分割为r段，每段分别包含m1m2?mr行，将A的列分割为s段，每段包含m1m2?ms列，则?A11??AA??21???A?r1A12A22?Ar2?A1s???A2s?， ????Ars??就称为分块矩阵，其中Aij是mi?mj矩阵（i?1,2,?,r,j?1,2,?,s）．注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数．
例如，对矩阵A分块，?1???1A??1??0?其中0320??2012??A11??A0103????211012??A12??， A22???10??320??10??103?A11????12??，A12???012??，A21???01??，A22???012??．????????1.2 矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待． 加法运算 设A?(aij)m?n和B?(bij)m?n为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即Am?n?(Aij)s?t，B?(Bij)s?t，其中Aij、Bij是mi?nj矩阵，i?1,2,?,s,j?1,2,?.t，且?mi?m，?nj?n，则A与Bi?1stj?1可直接相加，即A?B?(Aij?Bij)s?t．数乘运算 设分块矩阵Am?n?(Aij)s?t，k为任意数，则分块矩阵与k的数乘为kA?(kAij)s?t．乘法运算 一般地说，设A?(aik)sn，B?(bkj)nm，将矩阵A、B分块，?A11??AA??21???A?s1A12A22?As2?A1t??B11???A2t??B21B?，????????B?Ast??t1B12B22?Bt2?B1r???B2r?， ???Btr??其中每个Aij是si?nj小矩阵，每个Bij是ni?mj小矩阵，于是有?C11??CC?AB??21???C?s1C12C22?Cs2?C1r???C2r?， ????Csr??其中Cij是mi?kj矩阵，Cij??ABiji?1nij．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB时，对矩阵A、B分块要求，矩阵A的列的分法必须与矩阵B的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有AB?BA．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A与矩阵B相乘时，对B的一个分块方式，A可以有几种分块方式都可与B相乘，同样对A的一个分块方式，B也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知?100??1010?????，A??010?B??0101?，?002??0110?????我们把B分块为?1010????E20101??????0110??B21??E2??， B22??其中E2为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A可以分块为?100??100??100???????010?， ?010?、?010?或??002??002??002???????我们可以看到第一种分法中有单位块，而?E2A???O?对于乘法运算显然更加简便，即O??， A22???100??1010??????E2AB??010??0101?????002??0110??O????O??E2???A22???B21E2?? ?B22??E2???AB?2221设?1010??E2?????0101?． A22B22???0220????A11??A21A?????A?s1A12A22?As2?A1t???A2t?????Ast??是一个分块矩阵，那么它的转置为??A11???A12?A?????A??1t??As?1?A21???As?2?A22．?????t?Ast??A2?分块矩阵的转置应遵守如下规则： (1) A的每一块都看成元素，对A转置； (2) 对A的每一块都转置．1.3 特殊的分块矩阵形式如?A1?????O?A2O???? ??Al??的矩阵，其中Ai是ni?ni矩阵(i?1,2,?,l)，通常称为准对角矩阵．准对角矩阵具有如下性质： (1)
设?A1??A????O?A2O??? ， ???Al??则有A?A1A2?Al；(2) A可逆?Ai可逆(i?1,2,?,l)，且?A1?1??A?1??????A1??A????O??1A2???； ????1?Al?O????， ??Bl??(3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵A2O??B1????B?，???????OAl??B2如果它们相应的分块是同级的，那么显然有?A1B1??AB????O?A2B2O??A1?B1????A?B?，???????OAlBl??A2?B2???? ??Al?Bl??O它们还是准对角矩阵．与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k（矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2?3? 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，?Em??O?O??， En??对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P；某一行（列）乘以矩阵Q加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵?O??E?m(2) 分块初等倍乘阵En??； O??O??； P???PO??Em??O?OE??，??n??(3) 分块初等倍加阵?Em??O?Q??Em?，??En???Q?AB???CD??， ??O??． En??与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：?OEm??AB??CD?????(1) ?； ???????E??nO??CD??AB??PO??AB??PAPB??(2) ?； ?CD?????C??OE???D?n?????B??EmO??AB??A?????(3) ??． ?PE??CD??C?PAD?PA?n??????同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．定义3[2] 在一个n级行列式D中任意选定k行k列(k?n)．位于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式．当k?n时，在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n?k级行列式M?称为k级子式M的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了k(1?k?n?1)个行．由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D．定理1 设A是m阶方阵，B是m?n阶矩阵，C是n阶矩阵，则AB?AC． OC证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式ABOC按后n行展开，在其所有的n阶子式中，除C外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C的余子式为A，且C位于整个矩阵的第m?1,m?2,?,m?n行，第m?1,m?2,?,m?n列，即可得AB?AC． OC类似地行列式的形式为AOBC时，由行列式的转置值不变，因此仍有A?O?A?C??AC．B?C?通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式ABOC换成ABCO又会有怎样的结论，它的值等于CB吗？定理2 设A、B、C均为n阶方阵，则AB2?(?1)nCB． CO证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n行， 在其所有n阶子式中，除C外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C的余子式为B，且C位于整个矩阵的第n?1,n?2,?,n?n行， 第1,2,?,n列，因此AB?(?1)sBC， CO其中s?(n?1)(n?2)?????(n?n)?(1?2?????n)?n2?偶数，即AB2?(?1)nCB． CO?AB?定理3 P??是分块n阶矩阵，其中A为r阶方阵，B为r?s阶阵，C为s?r??CD?阶阵，D为s阶方阵．(1) 若A可逆，则P?AD?CA?1B； (2) 若D可逆，则P?DA?CD?1B． 证明 (1) 当A?0时，有O??AB??AB?I?????????CA?1I??CD??OD?CA?1B?? ??????两边取行列式可得P?AD?CA?1B．(2) 当D?0时，有?I?BD?1??AB??A?BD?1C?????????O??CDI??C???O?? D??两边取行列式可得P=DA?CD?1B．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A、B、C、D分别是r，r?s，s?r，s矩阵，则有 (1) (2)ErCBD?D?CB；ABCEs?A?BC．证明 (1) 只需在定理3中令A?Er，即有ErCBEr?DOB?D?CB．D?CB(2) 只需在定理3中令B?Es，即有ACErCBEs?A?BCCOEs?A?BC．推论2 设B、C分别是r?s，s?r，则有BEs?Es?CB?Er?BC．证明 只需在定理3中令A?Er，B?Es，则有ErCBEs?Es?CB?Er?BC．定理4?4,5? 设A、B、C、D都是n阶方阵，则 (1) 当A?0且AC?CA时，(2) 当A?0且AB?BA时，AB?AB?CD；
CDAB?DA?CB； CDAB?AD?BC； CDAB?DA?BC． CD(3) 当D?0且DC?CD时，(4) 当D?0且DB?BD时，证明 由A、B、C、D均为n阶方阵，当A?0且AC?CA时，利用定理3得AB?AD?CA?1B?AD?ACA?1B?AD?CAA?1B CD?AD?CB，即AB?AD?CB， CD(2)、(3)、(4)类似可得．定理5?6,7? 设A、B都是n阶方阵，则有ABBA?A?BA?B． 证明 根据分块矩阵性质有ABA?BBA?BBBA?B?AA?OA?B?A?BA?B．定理6?8? 设A为n阶可逆方阵，?与?均为n维列向量，则A???T?A(1??TA?1?)．证明 因??E??????A??01????????T?????A???T0?1?????T1??，
???E0?????A??TA?11?????A????T1?????????01??TA?1???，?(1)式、(2)式两边各取行列式，又E??E01???T1?1， 从而有A???T1?A???T?A(1??TA?1?)．(1) (2)
范文七：第 ２ ３卷 第 ６ 期 ２１ Ｏ Ｏ年 １ ２月高等 函授 学报 （ 自然 科 学 版 ）Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔｏ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｆＨ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉｎ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｓＶ ｏ ． ３ Ｎｏ ６ １２ ．２Ｏ１ Ｏ?大 学教 学 ?分 块 矩 阵行 列 式 的性 质 及 其 应 用张 燕（ 京审计学院 数学与统计 学院 江苏 南京 ２０２ ） 南 １ ０ ９摘 要 ： 用 分 块 矩 阵 的 乘 法 ， 明 了分 块 矩 阵行 列 式 计 算 的 相 关 性 质 ， 给 出其 在 某 些 １ 利 证 并 ２阶行 列 式 计 算 中 的应 用 实例 。关 键 词 ： 块 矩 阵 ； 列 式 计 算 分 行 中 图 分 类 号 ： ５ Ｏ１ １ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：ｏ ６ ７ ５ （０ ０ ０ － ０ ３ － ０ １Ｏ— ３３２ １）６ ０ １ ３在线 性代 数 的学 习 中 ， 分块 矩 阵 的思 想不 仅 在 矩 阵运算 中起 着 重 要 的作 用 ， 很 多行 列式 的 在计 算 中 ， 果 巧 妙 利 用 矩 阵 分 块 的 思 想 ， 能 起 到 如 也意 想不 到 的效果 。 其 是 对 于 某 些 特 殊结 构 的行 尤 列 式 的计算 问题 ， 用 矩 阵 分 块 行 列 式 计算 的相 利 关 结论 ， 以 简单 而 又迅 速 地解 决 。 对 于纷 繁复 可 这 杂 的行 列式 计算 方 法 提 供 了一 条 有 效 的 途 径 。 本 文 首先 总结 分块 矩 阵 的行列 式 计算 方 面的相 关性 质 ， 应用 其解 决某 些行 列 式计 算 问题 。 并 １ 相关 命题 及结 论两 同 取 列 得 ｌＤ 边 时 行 式 ：Ａ ｃ ｌ Ｂ ? Ｉ Ａ Ａ一一 ｌ— Ｄ０Ｂ ：— 。 ０ 一 一 ＥＩ ｌ Ｂ ＣＩ Ａ则有 ：ＰＩ Ｉ Ｃ ＢＩ ｌ Ｉ Ｄ— Ａ — Ａ ?ｌ（） 同 理 ， ２ 若 Ｄ 可 逆，０则：ＤｊＦ Ｂ］ Ａ 广 Ｌ ｌ Ｄ． Ｃ Ｊ ｌ ｔ ｌ－．Ｄ～ Ｃ Ｅ Ｊ Ｌ －０ ］ ｒ — Ｂ Ｂ１ Ａ ＤｑＣ ｌ：Ｉ ＝ ＝ Ｉ再 两 边 同 时 取 行 列 式 得 ： ｌ — Ｉ Ｐ ｌ Ａ—Ｂ Ｃ１ Ｄｌ Ｄ ．Ｉ 。推论 ｌ 若 Ａ， Ｃ， Ｂ， Ｄ均 为 阶方 阵 ， 中 其命 １ 设阵 ＝Ａ三 竹 Ｉ ≠ ０， ＡＣ— Ｃ 则有 ： 题叫 矩 Ｐ ［ ］ ＋ ｌ 且 ｃ 为 Ａ Ａ，阶 矩 阵 ， 中 Ａ， 其 Ｄ分别 为 ｍ 与 阶方 阵 ， Ｂ为 ｍ ×一，矩 阵 ， ｌ Ｃ为 ×ｍ 矩 阵 ， ： 则Ｉ一ｃ ｓＩ 。（ Ａ逆，Ｐ Ｊ三 Ｉ １ 可时ｌ ｌＡ ） 当 有 Ａ ＝ ｃ ＝Ｉ Ｉ — ?ｌ Ｄ—Ｃ Ｂｌ Ａ证明由 ｌ ｏ 则 Ａ 可逆 ， ｌ Ａ ≠ ， 由命 题 １可得 ：一 ?ｃ当 可时有 ｌ暑 ｌＤ—ＡＣＡｑＢ — ｌＤ— Ｃ Ａ Ｂ — ２ Ｄ逆，ｌ 会 Ｉ Ｐ Ｊ — Ａ — Ｉ Ａ Ａ ｌＩ Ａ—Ｂ １Ｃｌ Ｄ ＤＩ ?Ｉ 。证 明 （ ）若 Ａ 可 逆 ， 分 块 矩 阵 的 乘 法 １ 由可得 ：广 Ａ Ｂ ］ｒ 一 Ｅｍ Ｂ］ 厂 Ａ ｏ ］［－ Ｄ－Ｉ Ｄ—Ｃ 。 Ａ ＢＩ命 题 ２。 Ｅ（设阵一Ａ三 ｍ 矩， １ 矩 Ｐ ［ ］ ＋阶阵 ） ｃ 为 其中 Ｂ， Ｃ分 别 为 ｍ 和 阶 方阵 ， Ｏ为 ×ｍ矩 阵 ， Ａ为 ｍ × 矩 阵 ， ： 则Ｌ Ｄ儿 ０ ＣＥ － Ｌ Ｄ— Ｃ Ｊ Ｃ Ａ Ｂ． Ｉ收 稿 Ｅ期 ： ０ ０ ｉ 一 ０ ． ｌ ２ １一 ｉ ６ 作 者 简 介 ：作 者 简 介 ： 燕 （ ９ ８ ） 女 ， 苏 省 溧 阳人 ， 士 ， 师 ， 究 方 向 ： 用 数 学 张 １７ 一 ， 江 硕 讲 研 应３ １第２ ３卷 第 ６期２１ ０ ０年 １ ２月高等 函授学 报 （ 自然科 学版）Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａｉｎ（ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｆＨｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅ Ｅｄ ｃ ｔｏ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｓＶ０ ． ３ Ｎｏ ６ １２ ． ２ １ ＯＯＩ Ｉ三 （ 会 ｌ一 ｌ Ｉ Ｐ 一 １ ｌ — ） ＩＩ Ｂｃ ?；中 Ｂ， Ｃ分别 为 ｍ 和 阶方 阵 ， Ｏ为 ｍ ×，矩阵 ， ｚ Ｄ为 × 矩 阵 ， ： 则ｎ维 列 向量 ， 明 ： 证ｌ ｌ Ａ＋ ＝证 明 因 为（设阵＝ 言 ｍｎ矩， ２ 矩 Ｐ［ ］ ＋阶阵 ） 詈 为 其＝Ｌ ］ １ ］ ［ １ Ａ Ｏ［ １㈣ Ｊ ］ Ｊ 一 ｊ ［ Ｌ ． 一 毒 Ｌｌ 口 １ 厂 口 一 ＋ １Ｊ ０ Ａ ｌ ‘ ２在 （）２ 式 两 边 同 时 取 行 列 式 得 ： １ （）Ｉ Ｉ丢 ｃ ｃ 罢 ｆ一 Ｉ ｆ Ｐ — Ｉ — ， Ｉｌ Ｂ 。 ?证 明 （） 由 分 块 矩 阵 的 乘 法 － １ ｎ － ： Ｉ得Ｉ １Ｊ ｆ — ＡＪ — ㈣ 两 同 求 列 可： 。 Ｉ Ｏ 边 时 行 式 得 ｌＢ 盎 １ ｌ ? ． １ 乏 ４ ＋（ 『 ） — Ｉ ｌ Ｉｆ ｆ ＯｌＯ 一Ｃ 由（ 得』 ； Ｉ印— （） ： ｆ ３ 可 一 — ＋Ｉ ） ４ Ａ ＡｍＬ Ｂ ｌ × ［Ａ ［Ｏ ［ ｍ一Ｏ ］ Ｊ Ｅ ］－ Ｊ ｌ ］。 『Ｃｌ ＪＩ ｌ Ａ Ｃ ? ● Ｌ ｌＢ —Ｏ即有：Ｉ ．（ １ 一 Ｉ ．１ ， 中 Ｉ 一 ） Ｐ Ｉ 其 Ｂ ＣＩｌ ＋ Ａ～ Ｉ （ ＋ｆＡ ） 结论 １ １ － ａ — Ｉ １ ｌ ～ａ ， Ａ ．１ Ｉ Ａ ? ｒ得证 。Ｉ一 从， 而Ｊ （ ） ｌ Ｉ 一１ １ Ｃｌ Ｐ ＝ Ｂ ．ＩＡ ｒｌ推论 ３ 设 Ａ 为 ｎ阶可逆 矩 阵 ， ａ与 均 为 ｎ（）同 理 ， 由 分 块 矩 阵 的 乘 法 可 得 ： ２维列 向量 ， ： Ｉ 则 Ｅ十Ａ Ｉ １ 一。 一 十 口 证明 由命 题 ４ Ｉ Ｉ １ ，ｌ Ａ＋ ： Ｉ ＋ Ａ（～［ ? ］［暑 罢 ［ ＝ ］ ］．＋Ｅ）则有 ｆ ｆ Ｉ １ 一 ， ， ＡＩ Ａ＋ 一 ＋ ａ 即 ｌｑ（ Ａ＋ ） ＝ Ａ Ｉ Ｉ Ｅ＋Ａ Ｉ １ １ 一同样 的 ， 两边 同时求 行列式 可得 ：、 ， Ｉ ●Ｌ － ，●～＋～ａ 。Ｉ （ ） Ｊ ｆ Ｉ 一１ １ Ｃ 。 Ｐ一 Ｂ ．Ｊ２ 典 型 例 题推２ 矩 Ｐ［ 论 若阵 ＝ ： ＝ 罢口 １１ ＪＡ＋阶 论 ， 可以解决 一 些 常见 的特 殊 结构 ｎ阶行 列 矩 我们式 的计算 问题 ， 体如 下 ： 具例 １ Ⅲ 计 算 ２ 阶 行 列 式 ｎ Ｄ孙应用 上述有 关分块 矩 阵行列 式计算 的相关 结阵， 其中 Ｂ Ｃ分别 为 ｍ 和 阶方阵， Ｉ ， 则： ｌ Ｐ —ｌ Ｉ一 Ｉ 罢 — ｌ 言ｃ Ｂｃ ｌＩ ?。证 明 由推论 １ 易得 。 命题 ３。 ｃ 设 Ａ， 均 为 阶 方 阵 ， 明 ： Ｂ 证ｚ‘?ｌ ＝ ＋?—。 会 ： ＢＩＢ ＩＡ Ａ ＩＩ Ｉ证 明 由分块矩 阵 的乘 法可知 ：’ ’‘Ｉ 。ｂ ?? ? ｂ解 具 体 的解 过程 见文献 ［ ］ ４。例 ２ 计 算 ，阶 行 列 式 ｚａｌ ｂ［ｒ ＋ Ｂ Ａ Ｌ Ｂ［ 会Ｏ ］ Ａ — Ｂ－ ｝ｂ Ⅱ， Ｄ 一 ６ ６ｂ?? ?ｂ６３ …上式两边 同时求行列 式 即得所证 结果 。 命题 ４ 设 Ａ 为 阶可逆矩 阵 ， 与 均为 ａｂ ｂｂ … ａ第 ２ ３卷第 ６ 期２１ ０ ０年 １ ２月高 等 函授学 报 （ 自然科 学版 ）Ａ Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｇ ｅ ｒ ｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉｎ Ｎ ａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＨｉ ｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔｏ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ）Ｖｏ． ３ Ｎｏ ６ １２ ．２ Ｏ１Ｏ一一●其中 口 ≠ ｂ（ ， 一 １ ２ ， ， ， … ） 。Ｏ口１ ｌ２ ２Ａ Ｂ］；解 由命 题 １ 得 Ｄ ， 一 丌（ ） 口 一 ｂ ｂ ｎ 一６ ［ 。 （Ｂ二 Ｂ １ Ａ一 一Ａ一（ ， ， ， 一 １ ２ … ）１ ２一口） ａ —— ０ ， 昙 ］具体过程略。０ ｎ ａ ０则ｆ 一 ｆ Ｄ｛ Ａ＋１１例 ３ 试 计 算行 列式ｂ ｃｃ ｂ的值ｒ ， 一 ＋ Ｉ ● 一贝 Ｂ－ ＝ｌ Ａ－ ｆＡ－口一 （ ， ， ， ｒ １ １ ２ … ） 有 ．命 题● Ａ一ｌ解阵ａ茎 将一ｂ 矩 Ｐ兰 ａ。３进行分块 ，结引Ｉ Ｉ一！± 丝２由命题 ４ 结论得 ：Ｄｌ ｌ ｌ ｌ １ Ｉ — Ａ＋ — Ｉ Ａ （ ＋ Ａ－ａ １ １ ｌ ｌ）一 ×（ ＋ ）一 三 三 兰 － 三 二。厶厶３ 总 结ｌ试 计 算３ ３ ４从 分块 矩 阵行 列 式 的性 质 及 其 应 用 中 得 知 ：灵 活 应用 分块 矩 阵 的行 列 式 性 质 ， 以简 化 某 些 可 阶行 列式 的计 算 。 在实 际 应用 的过程 中 ， 能 结 若＝ ：：（。 （ ６ 一 口＋ ｃ ）?（ 一 （ ） ６ 口一 ｃ 一 （ ）） 口＋ｂ＋ ｃ （ ） 口＋ ｃ ６ （ 一 ） 口一 ｃ ６ （ ＋ ） ｎ— ｃ一 ６ ）合 行 列式 的结 构特 点 ， 选择恰 当的分 块矩 阵 ， 使 将Ｄ 该 方 法得 到更 为广 泛 的应 用 。参 考 文 献例２ １ １４２ ３ ２阶 行 列 式Ｅ ］ 禾 瑞 ， 钢 新 ． 等 代 数 ［ ． 京 ： 等 教 育 出 版 １张 郝 高 Ｍ］ 北 高社 ， ０ ４ ２０．１２３Ｅ ３ 子 胥 ． 等 代 数 习题 解 （Ｉ ） Ｍ］ 济 南 ： 东 科 学 ２杨 高 － ［ ． 册 山１ １技 术 出 版 社 ，０ ２ ２０．［ ］ 京 大学 几 何 与代 数 教 研室 代 数 小组 编． 等 代数 ３北 高 ［ ．北 京 ： 等 教 育 出版 社 ，９ １ Ｍ］ 高 １９ ．１解 令 Ａ 一［ ３ 儒 生 ， 天 平 ． 性 代 数 习题 解 集 ［ ． 京 ： 苏 教 ４杨 朱 线 Ｍ］ 南 江育 出 版 社 ， ９ ６ １ ９．口一 （ １ … ， ） ， 一 （ ， … ， ） ， １， ， １ １ ２， ， ｚ湖 北 省 科 学 技 术 期 刊 编 辑 学 会 召 开 ２１ ０ ０年 度 年 终 总 结 表 彰 大 会２１ ０ ０年 １ ２月 ２ 日上 午 ， 北 省 科 学 技 术 期 刊 编 辑 学 会 在 武 昌 瑞 丰 大 酒 店 召 开 ２ １ ２ 湖 ０ ０年 度 年 终 总结 表 彰大 会 。各 编 辑部 的编 友们 欢 聚一 堂 ， 相互 交 流 ， 同庆 ２ １ ， 迎更 加 辉煌 的 ２ １ 年 的 到来 。 ０ ０共 ０１３ ３
范文八：维普讯 htt资p://ww.cqvwipc.om２卷 ２第第２ 期忻州 师范 学
学 院报ＪＲＮ
Ｌ ＯＦ ＸＩ Ｚ ＵＥ Ｃ Ｒ
ＮＩＥ Ｓ Ｔ
ＨＥＡＳ Ｕ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙｏ ＿Ｖ２ ｏ ２ Ｎ２Ｉ
．Ａ ．ｐ ０ ２ｒ０６２０
４月 年０ ６矩阵分块在行 列
计算式中的运
用彭清 丽（ 忻州范师院 ， 学西山忻
） ３０ ０摘要本：利文分块矩用的特阵殊性质 给了它在出求列行值 式的一中些用。运
献标文识码：
文Ａ编号章６： １ ４１２
０）２ ０ １ ０
７ １—１９ ０６（０ — ３０— ２关键词
： 分矩块 阵 ；列 ； 式 可行矩逆 阵中图分类号：
２６ １ ４Ｏ．利矩用阵块分方的 求行列式 的值是法行 式列值 求用 常ｎ０的方法
，但常教通 材介绍中的
方 ，法多 为特 数形殊式 的列行 式，文将在本教的基础上材给 出外一些行另列式的 分矩块阵解的法。Ｄ— Ｉ ＝０● ●●ｎｉ●●●００Ａ／ 一定方Ｔ １。， Ａ 分是 ［ 而阶ｌ／ ９ｌ ｎ一 壹理：阵
＝ Ｂ其 ， ｍ别
ｃ ３＝ 。若 三 ］ 中。和 ｎ 阶方阵
Ｂ， 是＿×矩阵 。
ｌ，Ｃ ×ｍ矩 是阵 ，： 当１ Ａ
（则）逆可时 ，ｆ Ｔ ＡｌＤ—Ｃ１ ２ 当
可Ｄ逆时 ， Ｔ ｆ ｆ ＝
Ｉｆ Ａ
＝ ｌ Ａ —Ｂ１ 。
ｌ ｌＤ
Ｄ ＣＩ ｌ ｕ
证 ：明根 １分据块矩 阵乘 法的
，：（） 有上１＝ ａｉ ；所： ＤＪＢＡ ｃｚ 一 （ 以Ｊ＝去 —Ｉ
Ｊ Ｊ Ｄ＝ Ｊ
…耋 例２计算行 式 列一０
０ ～ｚ 一０ ｚ
１ —０…
０ …０ … ０ ０ａ ｏ
ａａ２，Ｌｍ］ —一 Ａ Ｅ［［ ［ＤＢ三 一Ｂ一］
Ｊ Ａ ｊ １ Ｃ
＝ ＬＡ ｊ 。Ｅ
０Ｃ ］
＿ Ｃ 舍两 取行列边式即得 （） 同 理证 可（） １
２，。１
０｝ ＝（≠０
）在进行行 式列的求运算值时 ，
若找能符到本定合要理的求 矩阵分方块 ， 法可 就应用该以理 定的论结进行列式的计行 算
１计算行 列式ａ ｏ １ １ … １］０ ００
００ …
… ０ｚａ － ｎ２一 １ｚ＋ａ
一 ＂ ｌ矩Ｔ解块＝ 行暑 ：阵进Ｔ分 三 对］［ ，其 Ｂ中＝０ ［ｎ … ａ ］－ Ｃ＝［０ …
ｎ ｌｎ ２
００ ，—１，
… ０ｌＴ Ｉ＝．０１０… ０
０ ，１ 。２ ＇ ’ ， （
…其ｎ Ｊ＿１ＡＤ ［７ ＝］
＋， ａ ２１ ００…０００ …
ｚ解 矩Ｔ 块行 ］ ：阵＝进分［Ｔ， 对 三
其 中Ａ＝
［０ ，ａ ］Ｂ＝［
１Ｃ］＝［ ｌ
］ １ …１ ， １
…１， ａ０ ’’
ｏ ’ Ｄ ＝于 由 可Ａ逆， 且广 ｘ ／ １＝０００ｌＬ／ １ １． ０
３０ ａ … ０ ，由 于Ｄ 可 ，逆００ …ａ收稿日
：０ ５期１ ２— ０２— ２ １者简作介
彭：丽清９ （４
～７女 ）山忻西州 人，
州范学院师 数学 助教 ，系 代数事学教
与学 究。 研 忻 从维普资讯 http://ww.wqcivpcom３. ２忻 州 师 范学 院
学报明 证 由：分块矩阵乘法
：第 ２卷２论推：
为均 阶ｎ方 阵， Ａ
逆 可 Ｃ＝，
Ｂ若， Ｄ 且 Ａ＝?Ｊ一－ －舍 Ｃ。Ｂ１１
１ Ｔ
＝ １ １Ｂ］？ ］ ：
Ｂ Ａ明： 由证理， Ｔ定ｌＡ ｌ
—ＣＤ ＝
Ｄ—Ａ １｛ ｛＝ ｌ
Ａ一 Ｂｌ
ＡＡ（一Ｂ ）＝ ｌ Ｄ — ＡＣ一Ｂｌ
Ａ Ａ ＝Ｉ Ａ ～Ｃ Ｄ Ｂｌ３例计 行列算式２１
—２ ３两即： 行Ａ ｒ ＡＢ 边 Ｂ列得Ｂ － 取
＋Ｉ Ａ
ｌ＝ １２ ３ ４例计算４行列式 Ｉ ＝
ｆ Ｔ２３ ４ １ ３４１ ２１
２０５４１
１ ２１解
：矩 阵 Ｔ对进行 分 块 ＩＴｆ ＝［Ｂ ＝Ｔ解行块 言＝ Ａ ， ［］［ ：
分进［ ］中Ｔ ＝ ， 对 舍 其ｃ［＝ ［显然 Ａ
逆 ， Ａ可：ＣＣ 以所ｌ ＝
ｌＤ—Ｃ 。 且 Ａ ，
ＴＩ Ａ
Ａ Ｂ＇ ：中
１ ｊ［４］ ３由 ＡＢ ：［—＝ 二２
于＝ ＋］Ｂ
，责（编
贺： 霞）ｍＤ［ ，＝ １ ＝ Ｃ 删 ［ ３ ａ 一Ｂ］Ｔ。所以Ｔ：ｌ ｌ ＝
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一８） １＝０
ｌ ＝（０
。Ｉ。１ １
５Ｉ３参文献 考 ： ［
北］京大学
数学系 何与代几 数研 室代数教 小组．
高１等代 数（ 第三 ） 版］Ｍ 北京： ［．
等教 高育 出社版 ，０３
０ ．２定２Ａ均阶
会 ，Ｉ ＋ 理、若为方
Ａ 则Ｂ ：Ｊ Ｂ 阵 Ｉ
Ａ Ｂ ｌ ＝［贾］长友， 块矩分阵的一个用运定理［］理哲畜牧木 ２ 等 ．Ｊ． 学院学报９ ６ ６ ， ． １ ４ ９（ ， ）Ａｐ
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ｉｖ ｒｉ ｔｅｘ； ｂ
范文九：龙源期刊网 .cn矩阵行列式的分块计算法作者：石宏理 邓军民来源：《大学教育》2015年第06期[摘 要]矩阵的行列式计算是其它计算和分析的基础。对于超大矩阵行列式，其过程是非常耗时，采用分块计算方法是一个有效的、可行的方案。本文提取一种分块计算算法并加以证明。简单分析表明，该算法可以大幅减少计算量，最后给出了Matlab实现程序。[关键词]矩阵 行列式 排列 组合 分块矩阵[中图分类号] O151.21 [文献标识码] A [文章编号] （7-02一、简介在线性代数中，一个方阵的行列式提供了该方阵的重要信息。[1]行列式可以看作是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。除了线性代数，在多项式理论，在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。[2]例如，当线性系统方程组的系数组成方阵时，通过行列式可以确定该方程组是否有解，解是否唯一等。[3]四、结论在工程和数学中，行列式是其它矩阵计算和分析的基础。实际中，有时需要计算一些超大矩阵的行列式，有时矩阵大到不宜直接全部读入内存中。此时，应用分块计算是一个有效的、可行的方案。本文提取了一种分块计算方法，并做出了证明，分析表明该方法较直接计算可以大幅减少计算量。[ 参 考 文 献 ][1] 张贤科.高等代数学第二版[M].北京：清华大学出版社，.[2] 项武义.基础代数学[M].北京：人民教育出版社，.[3] Steven J.Leon箸，张文博，张丽静翻译，第八版[M].北京：机械工业出版社，.[4] Steven Roman，Advanced Linear Algebra[M].Springer，0.[责任编辑：王 品]
范文十：廖
５ １年 ６月 Ｕｎ ｉｖ
ｒ ｅ ｉ ｓｔ ｙ ｄＥ ｃｕ
ｔ ｉ ａｏ ｎ矩行阵列式的分 计算块法石宏理（都首 科 医学大［摘程 。序军邓民 １００ ０ ６
９）物 工生 学程院 ， 北京要 ］阵矩的行列式计
算其 是计它算和析的基分础。 对超于大阵行 列式，矩其 程是过非常 耗，时 采分块用计算方法是一 有个效的
、可行的 方 案。文提取 一种本块计分算算并加法以 证。简单明析表分明 ，
该法可 以算大减少幅计算， 量后 给最出
ａ ｂｆ现实［关 键 ］词矩阵
列式行 列排组 合 分矩 块 阵［ 文章 编号
］ ０ ９ ５２ —３
２ ０ ５ １）０
— ０ ６０
２¨［中 图分类 号 ０ １ ５ １ ． ２］１［ 一文标识码献 ］
Ａ、介简可逆
那， 矩阵么行列的可以式写做在线性 代数中， 一 方 阵个的行 式提供列了
方阵 的 该重 信 要息。
［１ 】行列 可 以式作看是
向面积有或体
积的概念在般一 欧的里得空 间几中推广的。除
数， 多 在如１ ／ Ｍ
Ｍ Ｉ ２
（ｔ２１ ２／“…‘～Ｍ ）由于式涉上到及阵求矩逆计算， 实 际计算 时 以真 难正有 效少计减算量。
本 将文介绍种一效有 的 行式列块计算方分 法 。方该 法应 适于何任超矩 大阵计算， 并
能有效减少运算 量 。当项式理 论，在 微 积学分中（
如比换说 元分 法 中 积 ，）行列式作为
基本的 学工数具， 都 有着重 的要用 。回应例如 ， 当 线 性系统方 程 的系组数组成 阵方 ， 时通行列 过可式 以确定该方程组是有解 ， 解是否否 一唯 等［ 。３１最直接的
算计行列式法是按方照定义算 ， 设计１１ ０．矩大阵到 算计机 存难 内以存 放 ，时 该法算 仍 能够然 计 算 ，特殊 是况情行列式下计的必然算选。择二 、阵矩表为示２
块分 阵矩时算的法ａ１ ２ ．１ｎ口．啦１ ．ａ
２ ２ ．ｏ ， ２ ｎ 。Ｍ＝首先讨论 最简
的单可表 示为
ｘ ２分２ 块矩阵时 的 行式计算列法方：●．１％ ． ２％ ．ｎ题命： 设
个一 方阵Ｍ∈ｃ （分块矩阵１ Ｍ ２，表被示为 如 下 ｘ２
２ｄｅ ｔ（
Ｍ） ＝ ∑（ 一
） ％Ｈ㈤＝ ∑（ 一
） １ 。 ｒ ２ＪⅡＴＥ ｎ
＝ ｉ １ｄＥ Ｔｎ… ａｎ（ ２）＼．．ｚ１／ ， Ｍ∈其 中表示有所 ｛
１ ， ２ ，… ｎ 排列 ｏ｝ｒ
的合 集，
（） 表其 ｃ表中 示复 数
∈ ， Ｍ
Ｍ ２ ∈２ Ｃ，一则示列排 ｏｒ的 逆序数个。
直计接算行列式算法的需要计ｎ ！ 算 ｎ次一
１）个 数 乘积的 和ｎ！ 次的 加 法 ，复杂度是指 数 函 数在，实际 计的 算只能用于中算 阶计数很 小的行
列 式。ｄｔ （ ｅＭ ＝ ） ∑ ）
‘ 。
ｉ ） ） ｄ ｔ （ｅＤ （
）ｉ ）（ ３ ）其中（ｒ
）） 示数列 表ｏ ｒ ｉ（）
的逆数 ； （ 序 ） ＝［
，）实际经 使用 的方法常 是照按Ｌ ｅ ｉ ｂ
ｎ ｉ （ｚＬ ａ ｐ ｌ
ａｃ ｅ ） 公式 进行归运算递 ；ｄ ｅ （ ）
） Ａｆ（） ］， Ｓ ｎ
ｉ）是 序从数
， …， ２ ＋ ｎ｝ｍ 选中
择ｎ个数并 保持小 从到大排 列成组的 个一有序 列 ， 数剩 余序的 数持 从小到排列大 组成 有序 数 列 ｄ （
；列 数 ｏｒ（
可 有能 的其 中 示一表 （ 个ｎ一
） 余的 式 ，子 其去掉为 原矩阵 的 第
ｉ行 第 ．列 后 成形 的
一 ｎ１ 方 阵 的行列 阶式。当然
，更简加便 算的法是利用高消去斯法或
ＬＵ解分， 法矩把阵 通过初等换 变成变 三矩角阵三 或矩阵角的乘积来 算计行式列 的值 。一组合构成的 合集示为表 ｓ ｛ （
ｏ，－ （ ２
ｏ （ ） ｝ｒ（）表 示
矩 选阵 ． 择 ｓ （
…， ｎ ｝ 行， 组成的矩
， 阵（Ｄｉ
表）示 矩阵选择 （
） 列 、 ｎ ｛ ｌ ， ｎ＋ ＋２ ，
， 叶 ｍ…｝ 组成 的行 阵。矩 证 明：序
列｛１ ， ２ ，
， 叶ｍ｝… 的每个一列排可以 作看为般来讲
，可分 表 示 块的 阵矩的行 列 式并不 能简单地表成每示分块个 阵行矩式 的乘 积列组 。合 分块若 矩阵 的对角 元素
中 有个是可 逆一 矩阵
例如下，式
中 ，假设大小 为ｎ集的合．
的某 排种列 大小和为ｍ的集 合ｄ
的 某种列排组 成的。很 显
然， 据根合集 和 包所含元 素［稿收时间
基［项金 目 ］北市 京自然科 基金 学：７ １ ４
京北教委基市 金 Ｋ：Ｍ
２０ １ ４ １ ０
［ 作者 简 介 石］理宏 １（９ ６
男，陕西户县人
，士博，副 授 ，教研
方 究：向 信号
图像、理 ，处 值计算数
。邓民军 （ ９ ７１ １一
，南湖 慈 利县 人， 博士 ， 副教 授， 研究方 向 ：信、号 图像理处， 数值 计算 ６ 。７
