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人工智能 谓词逻辑与归结原理
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第4章谓词逻辑
第4章 谓词逻辑4.1 个体、谓词、量词和函词本讲内容1 23个体及个体域 谓词 量词: ?, ?4函词第1页Chapter 4 谓词逻辑原子命题是命题逻辑研究的基本单位, 在实际思 维
中, 仅有命题逻辑工具是不够的. 例如:著名的苏格拉底(Socrates)三段论大前提：所有的人都是要死的，小前提：苏格拉底是人,结论：苏格拉底是要死的.第2页具有上述性质的推理有: 大前提：所有的有理数是实数， 小前提：-3是有理数,结论：-3是实数.显然有效的推理在命题逻辑中无法证明, 因为上面的每个命题都是原子命题,可以分 别用p, q, r表示,然而在命题逻辑中p, q ? r 是无效推理.第3页谓词逻辑研究的内容: 对原子命题的内部 结构及其逻辑关系进行讨论. 逻辑关系的进一步深入. 计算机专业为何需要谓词逻辑?第4页利用谓词逻辑建立起来的数据库设计理论, 具有牢固的数学基础和一定的智能特点. 同时, 现实世界中的任何问题只要能用谓 词逻辑推理系统方式表示出来, 就可以将它 写成逻辑程序设计PROLOG(PROgramming in LOGic)或LISP语言, 并用计算机加以实现, 如已经开发出的一些智能教学专家系统等.第5页4.1 个体、谓词、量词和函词1. 个体(individual)下面4个命题均为原子命题：(1) 5是素数.(2) 3大于2.(3) 张三是学生.(4) 所有的人都是要死的.命题的考虑对象称为个体(individual)，它是独 立存在的事物. 个体可以是具体的，如5、3和2、 张三，也可以是抽象的，如人等. 第6页表示特定的、具体的个体称为个体常量 (constant), 用字母表中靠前的小写英文字母 a, b, c, …或带下标表示, 如在(2)中,可以用a: 3, b: 2, 也可以直接用表示该个体常量的原符 号表示,如“3”、“2”、“张三”等. 不确定的个体称为个体变元(variable), 用 字母表中靠后的小写英文字母x, y, z, …或带 下标表示表示.第7页在讨论个体时, 通常要指定个体讨论的范 围,称为个体域(domain of individuals)或论域 (universe),用D表示. 如同时讨论(1)和(2)时,可以指定个体域为正整数集合, 也可以是整数集合, 还可以是实数集合 等.要同时讨论(3)和(4),可以指定个体域为所有人 组成的集合,也可以是所有动物组成的集合等.第8页指定个体域D后, 所涉及到的个体变元在所给的 个体域中可任意取元素.个体域可以是有限集合,可以是无限集合.把世界上所有能想象得到的对象,如所有的动物、 所有植物、所有字母、所有数字等组成的集合称 为全总个体域, 简称全域,它是最大的个体域.之所以要给出这样的个体域, 是因为在很多问题 讨论时都没有指定个体域, 这时就在全总个体域中 讨论,它是默认的个体域.第9页本讲内容1 23个体及个体域 谓词 量词: ?, ?4函词第10页2. 谓词(predicate) (1)中“…是素数”，(3)中“…是学生”, (4)中“…是要死的”是表示一个个体具有的 性质, (2)中“…大于…”是表示两个个体之间 的关系. 我们把表示个体性质以及个体之间 关系的词称为谓词(predicate). 表示一个个体性质的谓词称为1元谓词, 表 示n个个体之间关系的谓词称为n元谓词. 谓词就是关系!第11页一般用大写字母, 如P, Q, R, …等大写英文 字母表示谓词. 对于任意的n元谓词, 为了把谓词及其元数 同时表示出来, 象表示n元函数一样, 用诸如 P(x1, x2,…,xn)表示. 例如, 用P(x): x是素数, S(x): x是学生, D(x): x是要死的, G(x,y): x & y, R(x, y, z): x 通过y和 z等等.第12页对于n元谓词P(x1, x2,…,xn)(n ? 1), 当个体 变元取定个体域D中元素后就是一个命题, 如G(3, 2): 3 & 2, 它是关于命题的函数, 称为 命题函数(propositional function). 显然, 命题 函数不是命题.第13页Remark 谓词的选取与个体域有关. 例如, 对于命题“所有人都是要死的”, 若 在所有人组成的个体域D中考虑, 只需一个 谓词D(x): x是要死的；若在全域D中考虑, 需 要两个谓词P(x): x是人, D(x): x是要死的, 其 中P 称为特性谓词, 使用这个特性谓词是将 “人”从全域中分离出来.第14页本讲内容1 23个体及个体域 谓词 量词: ?, ?4函词第15页3. 量词(quantifier) (1) 量词的概念 对于命题函数, 如P(x): x是素数, 在个体域 D为自然数集合N时, 对于x的每一个取值, 就 得到一个命题. 使成为命题的另一种方法是量化个体变元.第16页常使用的方法有两种：全称量化和存在量 化. 如D中任意x有P(x), 即“任意自然数是素 数”, D中存在x有P(x), 即“有些自然数是素 数”, 它们都是命题了.第17页表示个体数量特征的词称为量词, 常用的 量词有: 全称量词? 和存在量词?. 全称量词?相当于“任意”、“全部”、 “所有”、“每一个”、“一切”等. 存在量词?相当于“有些”、“某些”、 “有的”、“存在”、“至少有一个”等.其他量词: 十几个、大多数等?第18页(2) 量词的使用 首先注意,量词单独使用是没有意义的,量 词的后面一定要跟个体变元,如?x, ?y, ??, …, ?x, ?y, ??, … ?x, ?x等是一个整体. 量词后面所跟的个体变元称为指导变元.?xP( x), ?xP( x) ?x?yG( x, y), ?x?yG( x, y), ?x?yG( x, y), ?x?yG( x, y).第19页若将命题函数中的所有个体变元都进行了 量化, 则得到一个命题, 否则不是命题.?xG ( x, y)?第20页(3) 量词与个体域 量词是对个体变元进行量化, 所给的个体 域D至关重要. 同一个带量词的命题, 如 ?x?yG(x, y), 而G(x, y): x & y, 则在自然数集 合N中, ?x?yG(x, y)表示没有最小的自然数, 是假命题, 而在整数集合Z中, ?x?yG(x, y)表 示没有最小的整数, 是真命题. a. ?xP(x) c. ?xP(x) b. P(x) d. P(a)第21页(4) 量词的辖域、约束变元与自由变元 ?x(P(x) ? D(x)); ?x(R(x) ? Q(x)).量词?x或?x的作用或管辖的范围称为?x 或?x的作用域或辖域(scope), 辖域内的个体 变元称为约束变元(bound variable).第22页若量词后有括号, 则括号里面的部分是其 辖域, 如?x(P(x) ? D(x)). 若没有括号, 则与量词相邻的部分是辖域.?x?yG ( x, y)? ?xP ( x ) ? D( x )?第23页不受任何量词约束的变元称为自由变元 (free variable).?xG ( x, y)(5) 约束变元与自由变元的改名(rename) 对于上小节中的“所有人都是要死的”, 也可以?y(P(y) ? Q(y)), ?w(P(w) ? Q(w)).?xG ( x , w )? ?xG ( x, t )?第24页为何改名? 一是为了避免同一个个体变元 既是约束的又是自由的；二是为了方便后面 计算谓词公式的范式. 需要注意的是, 在对个体变元改名时, (1) 将量词辖域中某约束变元及相应的指 导变元改成本辖域中未曾出现过的(约束或 自由)个体变元, 其他个体变元不变； (2) 某自由变元全部改成同一个与出现的 别的所有个体变元不同的个体变元.第25页本讲内容1 23个体及个体域 谓词 量词: ?, ?4函词第26页4. 函词(function) 要把如“张三的父亲”、“两个数的平方 和”等表示出来, 就要用函数, 在谓词逻辑中 习惯称为函词(function: 函数). 设个体域D为所有人组成的集合, f(x): x的 父亲,则f是D上(即D到D)的1元函数.f :D?Dx ? x的父亲第27页令D = R, f(x, y) = x2 + y2, 则f是D上(即D2到 D)的2元函数.f : D? D ? D第28页小结与作业个体及个体域 谓词 量词: ?, ? 函词作业习题4.1 3, 4, 5.第29页第4章 谓词逻辑4.2 谓词公式及命题的符号化本讲内容1 谓词公式2(使用谓词)命题的符号化第31页4.2 谓词公式及命题的符号化1.谓词公式谓词公式(predicate formula)可简称公式. 跟命题公式的理解一样, 只要是书写正确、 意义清楚的(含谓词)符号串或表达式是谓词 公式.第32页(1) P(t1, t2,…,tn), n ? 0. ti可以是个体常量、个体变元, 也可以是用 函词表示的个体常量或个体变元(term). n = 0: 1, 0, p, q, r, …(0元谓词?)p; O( x); G( x, y); I ( f ( x), y); E (a, y);...第33页(2) 若A是谓词公式, 则?A是谓词公式. ?W(a). ?P(x).(3) 若A和B是谓词公式, 则A*B是谓词公式, 其中*是2元逻辑联结词. R(x) ? Q(x), Q(x) ? R(x);B(x) ? G(x).第34页(4)若A是谓词公式, 则?xA和?xA是谓词公 式. ?x(R(x) ? Q(x)), ?x(Q(x) ? R(x); ?yG(x, y). (5)有限次使用上面的(1)(2)(3)(4)得到的符 号串是仅有的谓词公式.由于在(1)中规定了命题常量和命题变元是 谓词公式, 所以命题公式是谓词公式.第35页2. 命题的符号化 与命题逻辑中命题的符号化不同, 我们是 在谓词逻辑或一阶逻辑中将命题符号化, 它 要求必须使用谓词. 在谓词逻辑中将命题符号化: A. 找出所给命题中的所有个体常量,并用a, b, c,…表示.第36页B. 确定在给定个体域中应该选用的所有谓 词, 特别注意特性谓词的选取. C. 确定函词.D. 确定量词. E. 找出联结词,将所给命题符号化.第37页在谓词逻辑中将命题符号化是本章重点内 容之一. 这种形式化方法和技巧在软件测试、软件 工程及软件理论等研究中是至关重要的.第38页例4-1 在谓词逻辑中, 将下列命题符号化. (1)小孙选修复杂网络课程或人工智能课程. (2)米卢教练是年老的但是健壮的.Solution (1)用a: 小孙, C(x): x选修复杂网 络, A(x): x选修人工智能.? C (a ) ? A(a ).(2)用b: 米卢教练, O(x): x是年老的, S(x): x 健壮的.? O(b) ? S (b).第39页例4-2 在谓词逻辑中,将下列命题符号化. (1) 所有有理数是实数. (2) 有些实数是有理数.Solution 令R(x): x是实数, Q(x): x是有理数, 则 (1) ?x (Q( x ) ? R( x )).(2) ?x( R( x) ? Q( x)).Remark 在符号化时, ? 与?的正确选择.第40页例4-5 在谓词逻辑中, 将命题“经过两个不 同的点有且仅有一条直线”符号化. Solution 令P(x): x是点, L(x): x是直线, E(x, y): x = y, R(x, y, z): z通过x和y.? ?x?y ( P ( x ) ? P ( y ) ? ?E ( x, y ) ? ?z ( L( z ) ? R( x, y, z ) ? ?w ( L( w ) ? R( x, y, w ) ? E ( z , w )))).第41页例4-6 在谓词逻辑中, 将下列命题符号化. (1) 没有最大的素数. (2) 并非所有的素数都不是偶数.(3) 任意大于4的偶数都是两个奇素数之和.第42页Solution P(x): x是素数, E(x): x是偶数, O(x): x是奇数, G(x, y): x & y, F(x): x & 4, f(x, y) = x + y, I(x, y): x = y. (1) 没有最大的素数: ??x(P(x) ? ?y(P(y)??I(x, y)?G(x, y))).第43页(2)并非所有的素数都不是偶数: ??x(P(x) ? ?E(x)).(3)任意大于4的偶数都是两个奇素数之和: ?x(F(x) ? E(x) ??y?z(O(y) ? O(z) ?P(y) ? P(z) ? I(x, f(y, z)))).第44页小结与作业理解谓词公式掌握谓词逻辑中命题的符号化作业习题4.2 8, 9, 10第45页第4章 谓词逻辑4.3 谓词公式的解释及类型本讲内容1 谓词公式的解释2谓词公式的类型第47页4.3 谓词公式的解释及类型1. 谓词公式的解释命题公式的指派或解释? 谓词公式的解释有无限多种, 每种解释 (interpretation)I由下面5部分组成,下面结合 谓词公式进行说明.?x( P ( z ) ? ?yQ( f ( x, y), a )) ? r ?第48页(1) 指定个体域D. 个体域D可以是有限集合, 也可以是无限集 合. 为了方便, 取D = {1, 2}. (2) 对于谓词公式中的命题变元指派其真 值.?x( P ( z ) ? ?yQ( f ( x, y), a )) ? rr ? 1.第49页(3) 对于谓词公式中的个体常量及其自由 变元解释为指定个体域D中的元素.?x( P ( z ) ? ?yQ( f ( x, y), a )) ? r谓词公式中的个体常量为a, 应解释为D中 a 某个体, 如 ,它表示a取D中元素2； 对于公式中的自由变元z, 它可以在D中任 意取值, 但对它进行解释时, 还得要任意指定 z D中一个元素,如 .2第50页2(4) 对于谓词公式中的函词解释为D上的函 数. ?x( P ( z ) ? ?yQ( f ( x, y), a )) ? r f是一个2元函词,可以将解释为如下的D上 的2元函数, 如：f (1,1) ? 2, f (1,2) ? 1, f (2,1) ? 1, f (2,2) ? 2.也可以写成下述形式:f (1,1) f (1,2) f (2,1) f (2,2) , , , . 2 1 1 2第51页(5) 对于谓词公式中的谓词解释为D上的谓 词.?x( P ( z ) ? ?yQ( f ( x, y), a )) ? rP是1元谓词, Q是2元谓词,对谓词进行解释, 有两种方式：第52页a. 根据谓词定义, 可以将P解释为P(x): x是 素数, 将Q解释为Q(x, y): x & y. b. 根据命题函数的定义:P (1) P (2) , ; 0(false ) 1( true )Q (1,1) Q (1,2) Q (2,1) Q (2,2) , , , . 0 0 1 0上述两种对谓词的解释方式a, b是相同的.第53页谓词公式在任何解释I下都会取得一个真 值. Remember 两个消去量词的逻辑等值式： 若D为有限集合: D ? {d1 , d 2 ,..., d m }.?xP ( x) ? P (d1 ) ? P(d 2 ) ? ... ? P(d m ). ?xP ( x) ? P (d1 ) ? P (d 2 ) ? ... ? P (d m ).第54页?x( P( z ) ? ?yQ( f ( x, y), a)) ? r ? ?x( P(2) ? ?yQ( f ( x, y),2)) ? 1 ? ?x?yQ( f ( x, y),2)) ? ?x(Q( f ( x,1),2) ? Q( f ( x,2),2))? (Q( f (1,1),2) ? Q( f (1,2),2)) ? (Q( f (2,1),2) ? Q( f (2,2),2))? (Q(2,2) ? Q(1,2)) ? (Q(1,2) ? Q(2,2)) ? 0.第55页例4-8 分别求下列两个谓词公式, (1)?x(A(x) ? B(x)), (2)?xA(x) ? ?xB(x),在给定解释I: D = Z, A(x): x是偶数, B(x): x 是奇数下的真值.第56页Solution (1)在所给解释I下, ?x(A(x) ? B(x)) 表示“任意整数是偶数或奇数”是真命题. (2)在所给解释I下, ?xA(x)表示“任意整数 是偶数”是假命题, ?xB(x)表示“任意整数 是奇数”是假命题,于是?xA(x) ? ?xB(x)在 所给解释I下取假.第57页2. 谓词公式的类型 Definition 在任何解释下均为真的谓词公 式称为永真式或有效式(valid). 下面的几个例子说明, 在谓词逻辑中是如 何证明一个公式是永真式的.第58页例4-9 证明谓词公式?xA(x) ? A(t)永真. Proof 任意给定个体域D上的解释I, 假定 在该解释下?xA(x)取1, 则对于任意d ? D, A(d)取1, 于是A(t)为1.第59页例4-10 证明谓词公式 (?xA(x) ? ?xB(x)) ? (?x(A(x) ? B(x)) 永真.Proof 任意给定个体域D上的解释I, 假定 在该解释下?xA(x) ? ?xB(x)取1, 则?xA(x) 或?xB(x)取1, 这时?x(A(x) ? B(x)取1, 因此 (?xA(x) ? ?xB(x)) ? (?x(A(x) ? B(x))永真.第60页例4-11 证明谓词公式?x?yA(x, y) ? ?y?xA(x, y)永真. Proof 任意给定个体域D上的解释I, 假定 在该解释下?x?yA(x, y)取1, 则存在d0 ? D, 对于任意d? D,有A(d0, d)为1, 所以?y?xA(x, y)为1.第61页Remark 对于命题逻辑中的任何永真式, 如(p ? q) ? p ?q, 分别用任意谓词公式A, B 去全部替换命题变元p, q所得到的谓词公式 (A ? B) ? A ?B是永真式.第62页Definition 至少存在一种解释使其为1的谓 词公式称为可满足式(satisfactable formula), 否则称为不可满足式或矛盾式或永假式 (contradiction). 既存在取1的解释,又存在取0 的解释的谓词公式称为中性式(contingency).第63页1936年Church(丘奇)和Turing(图灵)分别 独立证明了：中性谓词公式无法在有限步内 判定；永真(或永假)谓词公式可在有限步内 判定.第64页小结与作业谓词公式的解释谓词公式的类型作业习题4.3 1, 2, 3第65页第4章 谓词逻辑4.4 逻辑等值的谓词公式本讲内容谓词公式等值的定义12基本等值式第67页4.4 逻辑等值的谓词公式1. 谓词公式等值的定义Def 4-3 设A和B是谓词公式, 若A和B在任 何解释下的取值都相同, 则称A和B是等值的, 记为 A = B. (i) A = B的充要条件是谓词公式A ? B永 真. (ii) “=”与“ ?”?第68页(iii) 根据命题逻辑中的等值式得到一些谓 词逻辑中的等值式. 对于命题变元p 和q, 有p ? q = ?p ? q, 因 为p ? q ? ?p ? q永真, 所以对于谓词公式A 和B, 有A ? B ? ?A ? B永真, 进而有A ? B = ?A ? B. 照这种方式, 可以得到很多的谓词 逻辑中的等值式.第69页2. 基本等值式(remember) 10个与量词有关谓词逻辑中的基本等值式. I. 量词转换(1) ??xA(x) = ?x?A(x).(2) ??xA(x) = ?x?A(x).第70页例4-12 举例说明I(1)(2)成立. Solution 令D是全班所有同学组成的集合, A(x): x今天来上课, 则“并非每位同学今天 都来上课”逻辑等价于“有同学今天没有来 上课”, “并非有同学今天来上课”逻辑等价 于“每位同学今天都没有来上课”.第71页II. 量词辖域的收缩与扩张 设B中不含自由变元x, 则有 (1) ?x(A(x) ? B) = ?xA(x) ? B.(2) ?x(A(x) ? B) = ?xA(x) ? B.(3) ?x(A(x) ? B) = ?xA(x) ? B.(4) ?x(A(x) ? B) = ?xA(x) ? B.第72页首先要说明的是, A(x){单独看A(x)!}含自 由变元x, 而B中不含自由变元x,但A(x)和B都 可能含其他自由变元. 就(1)来说, 左边?x的辖域为A(x) ? B, 右边 ?x的辖域为A(x), 从左边到右边量词的辖域 收缩了, 而从右边到左边量词的辖域扩张了. 可以粗略地这样理解, 因为B中不含自由变 元x, 所以?x及?x对B都不起作用.第73页(1)的证明: 对于任意的个体域D上的解释I,假定 ?x(A(x) ? B)真,则对于任意d?D, A(d) ? B真, 于是A(d)和B都为真, 所以?xA(x)和B取真,因 此?xA(x) ? B真. 反过来亦成立.第74页例4-13 证明下列与蕴涵联结词有关的4个 等值式, 其中B中不含自由变元x. (1) ?x(A(x) ? B) = ? xA(x) ? B. (2) ?x(B ? A(x) ) = B ? ?xA(x). (3) ?x(A(x) ? B) = ?xA(x) ? B. (4) ?x(B ? A(x) ) = B ? ?xA(x) .Proof (3) ?x( A( x) ? B) ? ?x(?A( x) ? B)? ?x?A( x) ? B ? ??xA( x) ? B ? ?xA( x) ? B.第75页III. 量词分配律(量化算子?) (1) ?x(A(x) ? B(x)) = ?xA(x) ? ?xB(x). (2) ?x(A(x) ? B(x)) = ?xA(x) ? ?xB(x).第76页Remark (1) ?x(A(x) ? B(x)) ? ?xA(x) ? ?xB(x). (2) ?x(A(x) ? B(x)) ? ?xA(x) ? ?xB(x).在给定解释I: D = Z, A(x): x是偶数, B(x): x 是奇数. How to remember? D = {班上同学}, A(x): x会唱歌, B(x): x会跳舞.第77页Proof (2)任意给定个体域D上的解释I, 若 ?x(A(x) ? B(x))在I下取真, 则存在d?D, 使得 A(d) ? B(d), 于是A(d)或B(d)为真,因此?xA(x) 或?xB(x)取真,进而?xA(x) ? ?xB(x)真. 反过来亦成立.第78页IV. 双重量词 (1) ?x?yA(x, y) = ?y?xA(x, y). (2) ?x?yA(x, y) = ?y?xA(x, y). Remark ?x?yA(x, y) ? ?y?xA(x, y).D = R.A(x, y): x & y.第79页例4-14 ?x?y(A(x) ? B(y)) = ?xA(x) ? ?yB(y). Proof?x?y ( A( x) ? B( y )) ? ?x?y (?A( x) ? B( y )) ? ?x(?y (?A( x) ? B( y ))) ?最后要说明的是, 等值置换定理在谓词逻 辑中仍然成立.第80页小结与作业谓词公式等值的定义基本谓词公式等值式作业习题4.4 5, 8第81页第4章 谓词逻辑4.5 谓词公式的前束范式本讲内容谓词公式前束范式的定义12谓词公式前束范式的计算第83页4.5 谓词公式的前束范式讨论谓词公式的标准形式是很有意义的.仅讨论谓词公式的前束范式(prenex normal form). 在前束范式的基础上, 可以进一步得出谓 词公式的Skolem范式, 进而得出一个谓词公 式永真(假)在有限步内可判定的著名结论 (Church & Turing).第84页1.谓词公式的(前+束)范式的定义 Def 设A是谓词公式, 若A ? Q1 x1Q2 x2 ...Qn xn (...B...) Qi : ?, ?, i ? 1,2,.., n.A ? ?xP ( x ) ? Q( x, y) ?直观地理解, 谓词公式的前束范式是将所 有量词放在最前面, 去作用整个B.第85页2. 谓词公式的前束范式的计算 前束范式的计算步骤如下: Step1 将逻辑联结词归约到只含?, ?, ?的 谓词公式.因为在要求记住的谓词逻辑等值式中,没 有出现除?, ?, ?外的其他联结词.第86页Step2 使用以下两个等值式将否定联结词 往里面移: (1) ??xA(x)=?x?A(x). (2) ??xA(x)=?x?A(x).Step3 使用等值式将所有量词移到最前面, 必要时使用改名技巧.第87页例4-15 求?xA(x) ? ?xB(x)的前束范式. Solution ?xA(x) ? ?xB(x) = ?x(A(x) ? B(x)).第88页例4-16 求?xA(x) ??xB(x)的前束范式. Solution ?xA(x) ??xB(x)= ??xA(x) ??xB(x)=?x?A(x) ??xB(x)=?x(?A(x) ? B(x)).第89页例4-17 求?xA(x) ? ?xB(x)的前束范式. Solution ?xA(x) ? ?xB(x)= ?xA(x) ? ?yB(y)=?x(A(x) ? ?yB(y))= ?x?y(A(x) ? B(y))第90页采用改名的技巧总可以利用等值式得出前 束范式, 但要求前束范式中的量词要尽可能 地少. ?xA(x) ? ?xB(x) ?第91页例4-18 求?xF(y, x) ? ?yG(y)的前束范式. Solution ?xF(y, x) ? ?yG(y)= ??xF(y, x) ? ?yG(y)= ?x?F(y, x) ? ?yG(y)=?x(?F(y, x) ? ?yG(y))= ?x(?F(t, x) ? ?yG(y))= ?x?y (?F(t, x) ? G(y)).第92页小结与作业理解谓词公式前束范式的定义掌握谓词公式前束范式的计算作业习题4.5 2(1)(2), 3(1)(2)第93页第4章 谓词逻辑4.6 谓词逻辑中的推理本讲内容1 谓词逻辑中的逻辑蕴涵式2谓词逻辑中的基本推理规则3谓词逻辑中的自然推理系统第95页4.6 谓词逻辑中的推理1. 逻辑蕴涵式H1 , H 2 ,..., H n ? C. H1 ? H 2 ? ... ? H n ? C永真.第96页首先, 根据命题逻辑中的逻辑蕴涵式可以 产生谓词逻辑的逻辑蕴涵式. 如在命题逻辑中有p ? q, p ? q, 则(p ? q) ? p ? q永真, 对于谓词公式A和B, (A ? B) ? A ? B永真, 从而有A ? B, A ? B.第97页其次,可以得出与量词有关的一些逻辑蕴 涵式. 例4-19 证明?xA(x) ? A(t). Proof 因为由4.3节例2知, ?xA(x) ? A(t) 永真.第98页例4-20 证明?x?yA(x, y) ? ?y?xA(x, y). Proof 任意给定个体域D上的解释I, 假定 在该解释下?x?yA(x, y)取1, 则存在d0 ? D, 对于任意d? D,有A(d0, d)为1, 所以?y?xA(x, y)为1. 因此,?x?yA(x, y) ? ?y?xA(x, y)永真. 故之.第99页例4-21 证明?y?xA(x, y)不是?x?yA(x, y)的 有效结论. Proof D = R, A(x, y): x & y +3. ?y?xA(x, y)? ?x?yA(x, y)??x?yA(x, y) ? ?y?xA(x, y)?第100页本讲内容1 谓词逻辑中的逻辑蕴涵式2谓词逻辑中的基本推理规则3谓词逻辑中的自然推理系统第101页2.基本推理规则 命题逻辑中的基本推理规则可以很方便地 推广到谓词逻辑, 参见上章3.7节. 谓词逻辑中有两个非常重要与量词有关的 逻辑蕴涵式.第102页Theorem 4-1 下列逻辑蕴涵式成立: (1) ?xA(x) ? ?xB(x) ? ?x(A(x) ? B(x)). (2) ?x(A(x) ? B(x)) ? ?xA(x) ? ?xB(x). How to remember? D = {班上同学}, A(x): x会唱歌, B(x): x会跳舞.第103页例4-22 证明或反驳下列结论. (1) ??xA(x) ? ?x?A(x). (2) ?x(A(x) ? B(x)) ? ?xA(x) ? ?xB(x).第104页Solution (1) D = Z, A(x): x是偶数.A(1) A(2) B(1) B(2) , ; , . 1 0 0 0(2) D = {1, 2},?x(A(x) ? B(x)) = 1??xA(x) ? ?xB(x) = 0?第105页本讲内容1 谓词逻辑中的逻辑蕴涵式2谓词逻辑中的基本推理规则3谓词逻辑中的自然推理系统第106页3.谓词逻辑的自然推理系统 谓词逻辑的自然推理系统是命题逻辑的自 然推理系统的一种推广. 初始符号增加了函 词、谓词、量词；谓词公式的形成规则参见 4.2节谓词公式的定义；没有公理；基本推 理规则增加定理4-1中两个逻辑蕴涵式,以及 下述4个与量词有关的基本推理规则. 我们以最简洁的方式加以介绍.第107页I. US(Universal quantifier Specification)规 则: 全称量词消去规则 (1) ?xA(x) (2) A(c) (其中c为个体域中任意个体)第108页II.UG(Universal quantifier Generalization) 规则: 全称量词产生规则 (1) A(c) (其中为个体域中任意个体) (2) ?xA(x)第109页III.ES(Existential quantifier Specification) 规则: 存在量词消去规则 (1) ?xA(x) (2) A(c) (其中c为个体域中某个体) Remark 由?xA(x)推出A(c), 要确保c与其 他自由变元无关.第110页IV.EG(Existential quantifier Generalization)规则: 存在量词产生规则 (1) A(c) (其中c为个体域中某个体) (2) ?xA(x)第111页例4-23 证明苏格拉底三段论推理的有效性. Proof 用s:苏格拉底, P(x): x是人, D(x): x是 要死的,?x( P( x) ? D( x)), P( s) ? D( s).(1)P(s) (3)P(s) ? D(s)P US(2)(2)?x(P(x) ? D(x)) P (4)D(s) T(1)(3)第112页例4-24 用构造法证明以下推理: ?x(F(x) ? G(x)), ?xF(x) ? ?xG(x).第113页Proof (1) ?xF(x) (2) F(c) P ES(1)(3) ?x(F(x) ? G(x)) P(4) F(c) ? G(c) US(3)(5) G(c)(6) ?xG(x)T(2)(4)IEG(5)第114页Remark (1)(2)与(3)(4)的顺序不能颠倒. (2) 中F(c)中的c是某个体, (4)中F(c) ? G(c)中的 c本来是任意个体, 现取为(2)中出现的c, 这是 可以的. 但反过来就不行. 避免这种错误的最好方法是象上面的证明 过程一样, 先消去存在量词, 再消去全称量词.第115页例4-25 用构造法证明以下推理: ??x(F(x) ? H(x)), ?x(G(x) ? H(x)) ? ?x(G(x) ? ?F(x)).第116页Proof (1)??x(F(x) ? H(x)) (2) ? x(?F(x) ? ?H(x)) (3) ?F(c) ? ?H(c)P T(1)E US(2)(4) H(c) ? ?F(c)(5) ?x(G(x) ? H(x))T(3)EP(6) G(c) ? H(c)(7) G(c) ? ?F(c)US(5)T(4)(6)I(8) ?x(G(x) ? ?F(x))UG(7)第117页例4-26 设个体域D为所有人组成的集合,在 谓词逻辑中符号化下列各命题,并用构造法 证明以下推理: 每位科学家都是勤奋的,每个 勤奋且身体健康的人在事业上都会获得成功, 存在身体健康的科学家, 所以存在事业获得 成功或事业半途而废的人.第118页Solution 令Q(x): x是勤奋的, F(x): x是健康 的, S(x): x是科学家, C(x): x是事业获得成功 的人, F(x): x是事业半途而废的人,则?x( S ( x) ? Q( x)), ?x(Q( x) ? H ( x) ? C ( x)), ?x( S ( x) ? H ( x)) ? ?x(C ( x) ? F ( x)).第119页关于多重量词的推理,需要注意的问题比 较多. 例4-27 指出下列推理步骤中的错误. (1)?x?y(x & y) (2)?y(c & y) P US(1)(3)c & d(4)?x(x & d)ES(2)UG(3)(5)?y?x(x & y)EG(4)第120页Solution (3)错. 在(2)中的c是个体域中任意 个体,实际上是自由变元,当由(2)消去存在量 词?y时,不能利用ES规则. 换句话说,(3)中所 得到的d与c密切相关. 已经有例子表明, ?x?yA(x, y) ? ?y?xA(x, y)不是永真式.第121页小结与作业谓词公式的逻辑蕴涵式 基本推理规则 谓词逻辑中的推理作业习题4.6 7, 8, 9, 10, 11第122页离散数学第33讲 第4章复习 小结1、个体、谓词、量词和函词对原子命题内部结构及其逻辑关系进行讨 论就是谓词逻辑, 这些讨论涉及集合、映射、 运算和关系.命题的考虑对象称为个体, 个体所在的范 围称为个体域.第124页表示个体性质以及个体之间关系的词称为 谓词. 对于n元谓词P, P(x1, x2, …, xn)是命题函数.第125页常用的量词有：全称量词和存在量词. 全称量词?相当于“任意”、“全部”、 “所有”、“每一个”、“一切”等. 存在量词?相当于“有些”、“某些”、 “有的”、“存在”、“至少有一个”等.第126页量词?x或?x的作用或管辖的范围称为?x 或?x的作用域或辖域. 辖域内的个体变元称为约束变元.不受任何量词约束的变元称为自由变元.第127页表示个体之间的函数关系就是函词.重点掌握量词的辖域, 能区分约束变元和 自由变元.第128页例1 在谓词公式 ?x(P(x) ? ?yR(y)) ? Q(x) 中, 量词?x的辖域为( ), P(x)中x是(), Q(x)中的x是().第129页例2 在谓词公式 ?xF(x, y) → ?yG(x, y) 中个体变元x是( )(A) 自由变元(B) 约束变元(C) 既是自由变元, 又是约束变元(D) 既不是自由变元, 又不是约束变元.第130页例3 (判断题) 1. 在谓词公式 ?x?yP(x, y) ? Q(x, z) ? ?xP(x, y) 中?x的辖域为P(x, y). ( ×)2. 在谓词公式 ?x(P(x, y) ? Q(x, z)) ? ?zR(x, z) 中y是自由变元. (√)第131页2、谓词公式及命题的符号化使用谓词将命题符号化得到的含义正确的 表达式就是谓词公式. 要求能熟练在谓词逻辑中将命题符号化, 具体步骤: 第1步 首先找出所给命题中的所有个体常 量, 并用a, b, c等表示.第132页第2步 确定在给定个体域中应该选用的所 有谓词, 特别注意特性谓词的选取; 再其次是 确定量词. 第3步 确定函词. 第4步 通过找出联结词, 将所给命题符号 化.第133页例4 (填空题) 令G(x): x是金子, F(x): x是闪光的, 则命题 “金子都是闪光的, 但闪光的未必是金子”符号化为().?x((G(x) ? F(x)) ? ?x(F(x) ? ?G(x))第134页例5 (选择题) 1. 令T(x): x是火车, B(x): x是汽车, F(x, y): x 比y快, 则“某些汽车比所有的火车慢”符号 化为( ). (A) ?y(B(y) ? ?x(T(x) ? F(x, y)))(B) ?y(B(y) ? ?x(T(x) ? F(x, y)))(C) ?x?y(B(y) ? (T(x) ? F(x, y)))(D) ?y(B(y) ? ?x(T(x) ? F(x, y)))第135页2. 令A(x): x是人, B(x): x犯错误, 则“没 有不犯错误的人”符号化为( ). (A) ?x(A(x) ? B(x)) (B) ??x(A(x) ? ?B(x)) (C) ??x(A(x) ? B(x))(D) ??x(A(x) ? ?B(x))第136页3、谓词公式的解释及类型了解谓词公式的解释I:(1)指定个体域D. (2) 谓词公式中的命题变元指派其真值. (3) 个体常量及其自由变元 (4) 函词解释为D上的函数.(5) 谓词解释为D上的谓词.第137页会计算谓词公式在给定解释I下的真值. 在任何解释下均为真的谓词公式称为 永真式或有效式, 至少存在一种解释使其为1的谓 词公式称为可满足式, 否则称为不可满足式 或或矛盾式或永假式. 既存在取1的解释, 又 存在取0的解释的谓词公式称为中性式或偶 然式.第138页例6 (填空题) 1. 谓词公式?x(A(x) ? B(x))在给定解释I: D = Z, A(x): x是偶数, B(x): x是奇数下的真值为 ( ). 2.D ? {d1 , d 2 ,..., d m } :?xP( x) ? ( ?xP( x) ? () ).第139页4、逻辑等值的谓词公式设A和B是谓词公式, A = B是指A和B在任何 解释下的取值都相同. 记住10个基本谓词公式等值式, 特别是下 面两个较难记住的等值式:(1) ?x(A(x) ? B(x)) = ?xA(x) ? ?xB(x). (2) ?x(A(x) ? B(x)) = ?xA(x) ? ?xB(x).第140页例7 (判断题) 1. ?x(A(x)?B(x)) = ?xA(x)??xB(x). (×)2. ??xA(x) = ?x?A(x).(√)3. ?x?yA(x, y) = ?y?xA(x, y).(× )第141页5、谓词公式的前束范式设A是谓词公式, 若A = Q1x1Q2x2…QnxnB, 其中Qi为?或?, B中不含量词, 则称Q1x1Q2x2…QnxnB为A的前束范式.第142页要求熟练掌握谓词公式前束范式的计算, 计算步骤如下: 第1步 将逻辑联结词归约到只含?, ?, ?的 谓词公式. 第2步 使用以下两个等值式将否定联结词 往里面移. (1) ??xA(x)=?x?A(x).(2) ??xA(x)=?x?A(x).第143页第3步 使用基本谓词公式等值式将所有量 词移到最前面, 必要时使用改名技巧. 例8 (判断题) ?xA(x) ??xB(x)的前束范式为 ?x(?A(x) ? B(x)).(√ )第144页例9 分别计算下列谓词公式的前束范式. (1) ?xA(x)?(B(y)??(?yC(y)??xD(x)))(2) (??xA(x)??yB(y))?(A(x)??zC(z))第145页Solution (1) ?xA(x)?(B(y)??(?yC(y)??xD(x))) = ?xA(x)?(B(y)??(??yC(y)??xD(x)))= ?xA(x)?(B(y)? (?yC(y) ? ??xD(x)))= ?xA(x)?(?B(y)?(?yC(y) ? ?x ?D(x)))= ??xA(x)?(?B(y)?(?yC(y)??x?D(x)))= ?x?A(x)?(?B(y)?(?yC(y)??x?D(x)))第146页= ?x?A(x)?(?B(t)?(?yC(y)??z?D(z))) = ?x?A(x)??y?z(?B(t)?(C(y)??D(z))) = ?x?y?z(?A(x)??B(t)?(C(y)??D(z)))第147页(2) (??xA(x)??yB(y)) ? (A(x)??zC(z)) = (?x?A(x)??yB(y)) ? (?A(x)??zC(z)) = ?x?y(?A(x)?B(y)) ? ?z(?A(x)?C(z))= ?x?y(?A(x)?B(y)) ? ?z(?A(t)?C(z))=?x?y?z((?A(x)?B(y)) ? (?A(t)?C(z)))第148页6、谓词逻辑中的推理要求能对较简单的谓词逻辑中推理有效性 进行构造性证明. 重要的两个谓词逻辑蕴涵式:(1) ?xA(x) ? ?xB(x) ? ?x(A(x) ? B(x)). (2) ?x(A(x) ? B(x)) ? ?xA(x) ? ?xB(x).第149页I. US(Universal quantifier Specification)规 则: 全称量词消去规则 (1) ?xA(x) (2) A(c) (其中c为个体域中任意个体)第150页II. UG(Universal quantifier Generalization) 规则: 全称量词产生规则 (1) A(c) (其中为个体域中任意个体) (2) ?xA(x)第151页III. ES(Existential quantifier Specification)规 则: 存在量词消去规则 (1) ?xA(x) (2) A(c) (其中c为个体域中某个体)Remark 由?xA(x)推出A(c), 要确保c与其他 自由变元无关.第152页IV. EG(Existential quantifier Generalization) 规则: 存在量词产生规则 (1) A(c) (其中c为个体域中某个体) (2) ?xA(x)第153页例10 举例说明 ?xA(x) ? ?xB(x) ? ?x(A(x) ? B(x))不成立. Solution 例如, 若令D = Z, A(x): x是偶数, B(x): x是奇数, 则?xA(x)和?xB(x)在上述解释下取1, 进而 ?xA(x) ? ?xB(x)在上述解释下取1. 另一方面, ?x(A(x) ? B(x))在上述解释下取0.第154页例11 用构造法证明： ?x(P(x) ? (Q(y) ? R(x))), ?xP(x) ? Q(y) ? ?x(P(x)?R(x)) Proof (1) ?xP(x) P(2) P(c)US(1)P(3) ?x(P(x) ? (Q(y) ? R(x)))(4) P(c) ? (Q(y) ? R(c))US(3)第155页(5) Q(y) ? R(c) (6) Q(y) (7) R(c) T(5)I T(5)IT(2)(4)I(8) P(c) ? R(c)T(2)(7)I(9) ?x(P(x)?R(x)) UG(8)(10) Q(y) ? ?x(P(x)?R(x)) T(6)(9)I第156页例12 符合化下列命题, 并构造推理证明: 有理数都是实数, 有些有理数是整数, 所以有 些实数是整数. Proof 令Z(x): x是整数, Q(x): x是有理数, R(x): x是实数 ?x(Q(x) ? R(x)), ?x(Q(x) ? Z(x)) ? ?x(R(x) ? Z(x))第157页(1) ?x(Q(x) ? Z(x)) P (2) Q(c) ? Z(c) (3) Q(c) ES(1) T(2)I(4) Z(c)T(2)I US(5)T(3)(6)(5) ?x(Q(x) ? R(x)) P(6) Q(c) ? R(c)(7) R(c)(8) R(c) ? Z(c)T(4)(7)IEG(8)第158页(9) ?x(R(x) ? Z(x))Any Problems?第159页
应用离散数学 谓词逻辑 第 2 章:谓词逻辑§2.1 个体词、谓词与量词 个体词...xP (x ) (4) P ( y ) (5) Q ( y ) (6) ?xQ (x ) 5. 用...第2 章 谓词逻辑参考答案 1.(1)设 W(x):x 是工人;c:小张。原命题可符号...11.(1)真(2)假(3)真(4)真(5)假(6)真 12.(1)可满足式 (4)可满足...第四章 谓词逻辑及演算 44页 免费 离散第1-4讲 11页 免费 谓词逻辑 20页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处...第2章-谓词逻辑_理学_高等教育_教育专区。离散数学及算法课后习题答案第二章第...(x P ) x ( ) CP(1) (7) (?x ) ( (6) 证明: (1) 4.将下列...第二章 谓词逻辑 1.什么叫做客体和客体变元?如何表示客体和客体变元? 2.么叫做谓词? 3.什么叫做论域?我们定义一个“最大”的论域叫做什么? 4.填空题: 1....第2章 谓词逻辑_理学_高等教育_教育专区。谓词逻辑习题2 1.在一阶逻辑中将下面...F(y) (2)UI (4) ?x(G(x)→H(x)) 前提引入 (5) G(y)→H(y) ...第七章 谓词逻辑初步_经济学_高等教育_教育专区。第七章 谓词逻辑初步 一、填空...答:第 4 和第 6 是直言命题,第 1、2、3 和第 5 是关系命题。 (六)...第二章 谓词逻辑一、原子命题的内部结构 12.谓词逻辑?谓词和个体词?量词、全称量词和存在量词?个体域?量词的辖域?自由 .谓词逻辑?谓词和个体词?量词、全称...一阶谓词逻辑 76页 1财富值 谓词逻辑 谓词逻辑 87页 1财富值 第4章 谓词逻辑 84页 免费 第2章 谓词逻辑1 91页 10财富值 第四章 谓词逻辑 59页 20财富值...4谓词逻辑 93页 1财富值 第3章 谓词逻辑 48页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
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