初等函数的导数是否仍是初等函数?两者的定义域是否相同?请举个例子
初等函数的导数仍是初等函数.但反过来不一定成立,即导数为初等函数的不一定是初等函数.两者的定义域不一定相同.比如y=x^(1/3) 定义域为R,y'=(1/3)x^(-2/3),其定义域不包含x=0.
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扫描下载二维码4.6函数的连续性；例30函数在某点连续则该点的极限必定存在，但是某；?x,x?(??,0)?(0,??)反例：f(x；1,x?1?；例31若f(x)在x0处连续，则f(x)与f(x；立，,；?2,x?022；?x?R于是有f(x)或者f(x)连续，反例：若；??2,x?0；f(x)不在x?0处连续；4.7连续函数的局部性质；定理9（局部有界性）若函数f在点
4.6 函数的连续性
例30 函数在某点连续则该点的极限必定存在，但是某点极限存在不一定就意味着在该点连续。
?x,x?(??,0)?(0,??)反例：f(x)??，f(x)在x?0处不连续但是极限存在。
例31 若f(x) 在x0 处连续，则f(x)与f(x)在x0处一定连续。但是其逆命题不一定成
?x?R 于是有f(x)或者f(x)连续，反例：若f(x)??则有f(x)?2,f(x)?4，
f(x)不在x?0处连续。
4.7 连续函数的局部性质
定理9 （局部有界性）若函数f在点x0处连续，则f在U(x0)上局部有界。 例32 定理9的是其逆命题不成立。
反例：有符号函数sgnx??0,x?0 其在定义域内皆有界，但是该函数并不在其定义域
定理10 （局部保号性）若函数f在点x0连续，且f(x)?0[或f(x)?0]，则对任何正数
f(x0)?r [或f(x0)??r]，存在某U?x0?，使得对一切x?U(x0)有
f(x)?r?或f(x)??r?。
例33 定理10的逆命题不成立。
反例：函数f(x)??2 ，?a?f(5) ，一定有U(5) ，对?x?U(5)使得a?f(x) 成
x,x?5?立，但是该函数并不在x?5处连续。 4.8 函数在闭区间上性质
定理11 （最大最小值定理）若函数f在闭区间?a,b?上连续，则f在?a,b?上有最大最小值。
例34 定理11的逆命题不成立。
反例：f?x???，其中x?2 处是间断点，f(x)在闭区间具有最值，但是
2x?1,1?x?2?该函数在闭区间?1,2? 上并不连续，所以可知最大最小值定理的逆命题是不成立的。
定理12（有界性定理）若函数f在闭区间?a,b?上连续，则f在?a,b?上有界。 例35 定理12的逆命题不成立。
反例：f(x)?? ，该函数定义域为闭区间，且f(x)在??2,2? 上为有界函数，
f(x)?limf(x)，f(x)在闭区间??2,2?并不连续，由此说明定理12不2?f(x)?3，但是lim??
定理13 （介值性定理）若函数f在闭区间?a,b?上连续，且f(a)?f(b)。若?为介于f(a)与f(b)之间的任何实数f(a)???f(b)或f(b)???f(a)，则至少存在一点x0?(a,b)，使得
例36 在闭区间上，定理13的逆命题不成立。
?2x2,0?x?1
反例：f(x)??，对于f(0)?0 ，f(1)?1，? 是介于f(0)?0,f(1)?1之间
?1,x?1的数，该函数满足?x0?[0,1] ，使得f(x0)??。但是f(x)在闭区间[0,1] 并不连续。该反例反映了连续函数的逆命题不成立。
定理14 （根的存在定理）若函数f在闭区间?a,b?上连续，且f(a)与f(b)异号（即
f(a)?f(b)?0），则至少存在一点x0?(a,b)，使得
例37 在闭区间上，定理14并不成立。
2x?1,?x?2?111?2
反例：f(x)?? ，此时?x?使得f()?0，而且f(?)?f(2)?0，但
222?2x?3,?1?x?1
是函数lim?f(x)?lim?f(x)，所以函数f(x)并不连续。
定理15 （函数一致收敛性定理）函数f在闭区间?a,b? 上连续，则f在?a,b?一致连续。
例38 定理15只适合闭区间区域，在非闭区间区域上不一定成立。
反例：f(x)?x2在闭区间[a,b]上是一致连续的,但在(??,??)一致收敛是不成立的。 证明：反例f(x)?x2在[a,b]上一致连续，但是在(??,??)不一致收敛。 证：首先f(x)?x2是初等函数故而在闭区间上[a,b]一致收敛， 再证f(x)?x2在(??,??)上不一致收敛。 取?0?1，无论??0取多小，又有 lim
?0 可知，n 只要充分大时总可以使得n??n
x'?n? ，x''?n的距离x'?x''??? ，但是
f(x)?f(x)?(n?)2?n2?2????1??0 ，故f(x)?x2在(??,??)非一致连续。
''
上述证明，反映出闭区间一致收敛和非闭区间一致收敛的区别，不可将连续函数闭区间一致收敛定理推广到非闭区间之中。
4.9 初等函数连续性
定理16 一切初等基本函数都是其定义域上的连续函数。 例39 定理16的逆命题不成立。
反例：sgnx??，该符号函数是连续的但却不是基本初等函数。
?2x,x?1定理17 一切初等函数都是其定义区间上的连续函数。 例40 定理17的逆命题不成立。 反例：同例39，进行说明。
5 一元微分学中导数以及微分方面的若干反例
5.1导数的定义
定义10 （导数的定义）设函数y?f(x) 在点x0 的某领域内有定义，若极限
f(x)?f(x0)
存在，则称函数f在点x0出可导，记为f(x)'
f(x)'?lim
f(x)?f(x0)
例41 函数在某点的导数存在，则该点极限存在。但是该命题的逆命题不成立。
反例：函数f(x)?x,x?R,则y?f(x)在x?0 处极限存在但是不可导。 定理18 若函数在某点x0可导，则必然f在点x0处连续。 例42 定理18的逆命题是不成立的。
反例（1） 函数f(x)??，其中f?'(0)?2，f?'(0)?0左导数不等于右导数，x?0
处函数f(x)不可导，但是在x?0连续。该反例反映了连续不一定可导。
反例（2）在x?0时，函数f(x)?x?sin
，在x?0时，f(x)连续，且f(0)?0，但是在x
此点既无左侧导数，又无右侧导数。该反例反映了连续不一定可导.。
例43 函数f(x)在其不连续点可以有无穷的导数，如y?f(x)?sgnx在x?0处不连续，其中
?x?y1?????，(?x?0)， ?x?x?x
可知有无穷的导数。但是函数f(x)在其不连续点却不存在有穷的导数。
反例：假设函数f(x)在其不连续点存在有穷的导数，就可以推出该函数f(x)在该点的连续性，所以函数f(x)在其不连续点却不存在有穷的导数。 5.2 函数的极大（小）值
定义11 （函数极大小值的定义）若函数y?f(x)在x0的某个邻域U(x0) 上对一切
x?U(x0) 有
f(x0)?f(x)?f(x0)?f(x)? ，
则称y?f(x)在点x0出取得极大（小）值,x0为极大（小）值点。
例44 函数的极大（小）值不一定是最大（小）值。
反例：设f(x)?x3?4x?4,x?[?6,6]该函数的极值点分别为极大值 ，极小值?，
而最大值是52，最小值是-44，例44成立。 5.3 函数的稳定点
定义12 （稳定点定义）满足方程f'(x)?0是的点就是稳定点。
例45 函数的极值点不一定都是稳定点。
反例：函数f(x)?x，x?R。其中x?0 是极值点但却不是稳定点。
定理19 （费马定理）设函数f在点x0的某邻域上有定义，且在x0上可导。若点x0为f的极值点，则必有
f'(x0)?0。
例46 定理19的逆命题不成立。
反例：函数f(x)?x3，x?R。其中x?0时满足f'(0)?0，x?0处时稳定点，但是(0,0)点不满足极大（小）值定义，所以并不是函数f的极值点。 5.4 函数导数的四则运算法则
例47 导数的四则运算法则的逆命题是不成立的。
反例（1）：设函数f????，如果f在点x0 处可导，则?，?不一定在点x0可导。有函数??x??1?x，?(x)?x?x，f(x)???x???(x)?x?1。可知当x?0时f(x)可导，然而
??x?，?(x)并不都是可导的。
反例（2）：设函数f????，如果f在点x0 处可导，则?，?在不一定在点x0可导。有函数??x??x，?(x)?x2，f(x)???x???(x)?x3。可知f(x)?x3在x?0处可导，但是
??x??x在此处不可导。
反例（3）：设函数f?
，如果f在点x0 处可导，则?，?在不一定在点x0可导。有?
3x?(x)??x2，规定x?0时，f(0)?0。可知当点x?0时，??x??x，?(x)?x3，f(x)?
可导，但是??x??x，?(x)?x3并不都是可导的。 ?(x)
例48 函数f(x)在点x0处有导数，而函数g(x)在这点有导数，则F(x)?f(x)?g(x)在点x0
处有导数。但是改变条件如：函数f(x)，g(x)二者在点x0都没有导数时，F(x)?f(x)?g(x)不一定没有导数。
x?xx?x反例：函数f(x)?，g(x)?，其中f(x)，g(x)二者在点x?0处都没有导数，
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初等函数在定义域都连续，那都可导、可积吗？
今天看到一题真题，定义域（-1，1）的arctanx，说根据初等函数性质，在定义域可导那么我想问所有初等函数都在定义域内可导吗？那么y=|x|在定义域内有不可导点啊。。。那所谓的初等函数性质是什么呢谢谢老师
提问时间： 23:36:54提问者：
同学你好，初等函数在定义域内不一定可导，需要具体题目具体分析。y=|x|不是初等函数，实质上是分段函数，以x=0为分段点的。初等函数的性质主要是有界性、单调性、奇偶性和周期性，建议你自己整理下，学学。 欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
回答时间： 11:31:18
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京公安备110-1081940初等函数的导数都连续吗?初等函数的导数都是初等函数吗?
呵呵OYI881
初等函数的导函数一定是初等函数,在导函数的定义域中连续.
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