向量方法在高中数学解题中的应用_百度文库
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向量方法在高中数学解题中的应用
&&本文档讲述了向量在中学的重要性和解题思想
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高中数学中证明或求二面角的几何问题用传统方法好还是向量法吗?
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看情况了啊~空间证明一般不会有太多计算,当然前提是你的空间构建能力比较好~构建坐标系用向量的方法可以节省一下思考时间,xyz坐标轴网上一架咵咵地算就好了~我高考时候读了题就直接上坐标了想都没想~但是我的建议是,立体几何先空间,如果短时间内头绪不清的话就马上向量.这是应试的方法~平时肯定是要多做题才好~见多了题思路就广~
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高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十四 用空间向量法解决立体几何问题
专题十四用空间向量法解决立体几何问题
考问题　用空间向量法解决立体几何问题
　山东在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，∠＝，⊥平面，⊥，＝＝来源学科网
求证：⊥平面；
求二面角的余弦值．
证明　因为四边形是等腰梯形，∥，∠＝，
所以∠＝∠＝又＝，所以∠＝，
因此∠＝，⊥，又⊥，且∩＝，
，?平面，所以⊥平面
解　连接，由知⊥，所以⊥又⊥平面，因此，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，
所在的直线为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设＝，
因此＝，＝，－．
设平面的一个法向量为＝，，，
则＝，＝，所以＝＝，
取＝，则＝，．
由于＝是平面的一个法向量，
则〈，〉＝＝＝，
所以二面角的余弦值为
对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．
空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性
直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线，的方向向量分别为＝，，，＝，，．平面、的法向量分别为＝，，，v＝，，以下相同．
∥?⊥?＝?＋＋＝
⊥?∥?＝?＝，＝，＝
∥?∥v?＝v?＝，＝，＝
⊥?⊥?v＝?＋＋＝
空间角的计算
两条异面直线所成角的求法
设直线，的方向向量为，，其夹角为，则
＝＝其中为异面直线，所成的角．
直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有＝＝
二面角的求法
①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈，〉即为所求二面角的平面角．
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．
如图所示，二面角，平面的法向量为，平面的法向量为，〈，〉＝，则二面有的大小为或
空间距离的计算
直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离．
点到平面的距离，＝其中为的法向量，为内任一点．
．空间角的范围
异面直线所成的角：＜≤；
直线与平面所成的角：≤≤；
二面角：≤≤
．用向量法证明平行、垂直问题的步骤：
建立空间图形与空间向量的关系可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；
通过向量运算研究平行、垂直问题；
根据运算结果解释相关问题．
．空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系：求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；
求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析
多以多面体特别是棱柱、棱锥为载体，求证线线、线面、面面的平行或垂直，其中逻辑推理和向量计算各有千秋，逻辑推理要书写清晰，“充分”地推出所求证解的结论；向量计算要步骤完整，“准确”地算出所要求的结果．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例】?如图所示，已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠＝，且＝，、、分别为、、的中点．求证：
审题视点　
审题视点建系后，在平面内寻找一向量与共线；在平面内寻找两个不共线的向量与垂直．
如图建立空间直角坐标系，
取中点为，连接，
∴＝－，＝－，
∴∥，又∵?平面，
?平面故∥平面
＝－，－，
＝，－，－，＝．来源学科网
＝－×＋×－＋－×－＝，
＝－×＋×＋－×＝
∴⊥，⊥，即⊥，⊥，
又∵∩＝，∴⊥平面
要证明线面平行，只需证明与平面的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量与相等．
要证明线面垂直，只要证明与平面的法向量平行即可；也可根据线面垂直的判定定理证明⊥，⊥
【突破训练】在正方体中，，分别是，的中点．来源学科网
求证：⊥平面；
设正方形的中心为，的中点为，求证：∥平面
如图，不妨设正方体的棱长为，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
，，，，，
＝－，＝，，－，
＝－，，－＝
又＝，，＝，，－，
∴＝，，，－＝－＝
又∩＝，?平面，
∵，，，，，∴＝，
由知，＝，，－是平面的法向量．
又∵＝＋－＝，∴⊥
∵?平面，∴∥平面
多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体，考查线线角、线面角的求法，正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例】如图，四棱锥中，底面为菱形，⊥底面，＝，＝，是上的一点，＝
证明：⊥平面；
设二面角为，求与平面所成角的大小．
审题视点　
审题视点由＝可得△∽△，则∠＝，易得⊥、⊥
作⊥于，由二面角为，易得底面为正方形，可得∥面，则点到平面的距离＝，找出线面角求解即可．也可利用法向量求解，思路更简单，但计算量比较大．
证明　因为底面为菱形，所以⊥，又⊥底面，所以⊥
设∩＝，连接因为＝，＝，＝，故＝，＝，＝，从而＝，＝
因为＝，∠＝∠，所以△∽△，∠＝∠＝，由此知⊥
与平面内两条相交直线，都垂直，所以⊥平面
解　在平面内过点作⊥，为垂足．
因为二面角为，所以平面⊥平面
又平面∩平面＝，故⊥平面，⊥
与平面内两条相交直线，都垂直，故⊥平面，于是⊥，所以底面为正方形，＝，＝＝
设到平面的距离为来源
因为∥，且?平面，?平面，故∥平面，、两点到平面的距离相等，即＝＝
设与平面所成的角为，则＝＝
所以与平面所成的角为
法二　证明　以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，，设，，其中＞，则，
，，，，－．
于是＝，，－，
＝，－，，
从而＝，＝，
又∩＝，所以⊥平面
解　＝，＝，－．
设＝，，为平面的法向量，则
＝，＝，即＝且－＝，
令＝，则＝，，．
设＝，，为平面的法向量，则
即－＝且＋＋＝，
令＝，则＝，＝－，＝，－，
因为面⊥面，故＝，即－＝，故＝，于是＝，－，，＝－，－，．
〈，〉＝＝，〈，〉＝
因为与平面所成角和〈，〉互余，故与平面所成的角为
运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．
求直线与平面所成的角，主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即＝
【突破训练】如图，在△中，∠＝，∠＝，是上的高，沿把△折起，使∠＝
证明：平面⊥平面；
设为的中点，求与夹角的余弦值．
证明　∵折起前是边上的高，
∴当△折起后，⊥，⊥
又∩＝，∴⊥平面
∴平面⊥平面
解　由∠＝及知，，两
两垂直，不妨设＝，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得
∴＝，＝，
∴与夹角的余弦值为〈，〉＝＝＝
用空间向量法求二面角的大小是高考的热点．考查空间向量的应用以及运算能力，题目难度为中等．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
如图，在四棱锥中，⊥平面，⊥，⊥，∠＝，＝＝，＝
证明：⊥；
求二面角的正弦值．
审题视点　
审题视点建立空间坐标系，应用向量法求解．
解　如图，
以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，，
，－，，，．
证明：易得＝，－，
于是＝，所以⊥
＝，－，＝，－．
设平面的法向量＝，，，
则即不妨令＝，
可取平面的法向量＝．
于是〈，〉＝＝＝
从而〈，〉＝
所以二面角的正弦值为
借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法．求解过程中应注意以下几个方面：
两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求；
求平面的法向量的方法：①待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程解之；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．当平面的垂线较易确定时，常考虑此方法．
【突破训练】如图，
在三棱柱中，⊥底面，底面是边长为的正三角形，，分别是棱、的中点．
求证：∥平面；
若二面角为，求的长．
证明　设的中点为，连接、
∵綉，綉，∴綉，
∴是平行四边形，∴∥
∵?平面，?平面，
解　如图，以为原点，建立空间直角坐标系，使轴、轴、轴分别与、、同向．
则，，，，
－，，，设，＞，
则－，，，
＝，，－，＝－，，，＝，，
设平面的法向量＝，，，
则＝，＝，
则＝，令＝，则＝，即＝．
设平面的一个法向量是＝，v，w，
则＝，＝，
则w＝，令v＝，则＝，即＝，．
所以〈，〉＝，
依题意，〈，〉＝，则＝，解得＝，所以的长为
　　　　　　探索性问题
此类问题命题背景宽，涉及到的知识点多，综合性较强，通常是寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题，全面考查考生对立体几何基础知识的掌握程度，考生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例】?如图所示，
四边形是边长为的正方形，⊥平面，⊥平面，且＝＝，为的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
审题视点　
审题视点建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量法求解，第问中设＝，由⊥平面可得值．
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系
依题意，易得，，
∴＝－，，－，
∵〈，〉＝＝＝－，
∴异面直线与所成角的余弦值为
假设在线段上存在点，使得⊥平面
∵＝，可设＝＝，，，
又＝，－，∴＝＋＝，－，
由⊥平面，得即
故＝，此时＝，，，＝
经检验，当＝时，⊥平面故线段上存在点，使得⊥平面，此时＝
空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，因此使用问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．
【突破训练】如图，
∠＝，＝，过动点作⊥，垂足在线段上且异于点，连接，沿将△折起，使∠＝如图所示．
当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得⊥，并求与平面所成角的大小．
解　法一　在如题图所示的△中，设＝＜＜，则＝－由⊥，∠＝知，△为等腰直角三角形，所以＝＝－
由折起前⊥知，折起后如题图，⊥，⊥，且∩＝，
所以⊥平面又∠＝，所以△＝＝－，于是＝△＝－－＝－－≤＝，
当且仅当＝－，即＝时，等号成立，
故当＝，即＝时，三棱锥的体积最大．
法二　同法一，得
＝△＝－－
＝－＋．令＝－＋，
由′＝－－＝，且＜＜，解得＝
当∈时，′＞；当∈时，′＜
所以当＝时，取得最大值．
故当＝时，三棱锥的体积最大．
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
由知，当三棱锥的体积最大时，＝，＝＝
于是可得，，
，，且＝－．来源学科网
设，，，则＝－，－
因为⊥等价于＝，
即－，－－＝＋－＝，
故＝，，，
所以当＝即是的靠近点的一个四等分点时，⊥
设平面的一个法向量为＝，，，
由及＝－，，，得可取＝，－．
设与平面所成角的大小为，则由＝－，－，，＝，－，可得＝－＝＝＝，即＝
故与平面所成角的大小为
利用向量法求空间角要破“四关”
利用向量法求解空间角，可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程，利用法向量求解空间角的关键在于“四破”．第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角．
【示例】如图所示，在三棱锥中，已知⊥平面，点在平面内的射影在直线上．
求证：⊥平面；
设＝，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成的角；
在的条件下，求二面角的余弦值．
满分解答　∵⊥平面，?平面，
∴⊥∵点在平面内的射影在直线上，
又∵?平面，∴⊥
又∵∩＝，∴⊥平面分
∵⊥平面，
∴∠为直线与平面所成的角．
于是∠＝，设＝＝，则＝＝，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
＝，－，，＝，
∵〈，〉＝＝，
∴异面直线与所成的角为分
取的中点，连接，则＝，，，
∵＝，∴⊥又∵平面⊥平面，
∴⊥平面∴是平面的法向量．设平面的法向量为＝，，，则由得取＝，得
∴＝－，．
于是〈，〉＝＝＝－
又∵二面角为锐角，
∴所求二面角的余弦值为分
老师叮咛：()解决此类问题，一定要先分析已知条件中，是否直接说出此三条直线是两两垂直，否则，要先证明以后才能建立坐标系，另外，要在作图时画出每条坐标轴的方向()有的考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错如本例中求得＝－，不少考生回答为：二面角的余弦值为－，这是错误的，原因是忽视了对二面角的大小的判断
【试一试】如图所示，在三棱柱中，⊥平面，＝＝＝，为的中点．
求证：∥平面；
求二面角的平面角的余弦值．
如图所示，以的中点为原点建立空间直角坐标系，设＝＝＝＝
设＝，，是平面的一个法向量，则
又＝，，，＝，，
所以令＝，＝－，＝，
所以＝，－．因为＝－，
所以＝－＋＋＝
又?平面，所以∥平面
解　设＝，，是平面的一个法向量，
则又＝，＝，，
所以令＝，＝－，
所以＝－，．所以〈，〉＝＝－
所以所求二面角的余弦值为－
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