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如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．
（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为____．
（2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；
（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．
解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC′，连接C′E．
根据垂径定理得弧BD=弧DE．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠C′AE=45°，
又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，
∴∠C′=∠C′AE=45°，
∴C′E=AE= √22?&&AC′=2 √2?&，
即AP+BP的最小值是2 √2?&．
故答案为：2√2?& ；&
（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短） & & & & & & & & & & & & & & & & & &
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′osin45°=ABosin45°=10×√22?&& =5√2?& ，
∴BE+EF的最小值为5√2?& ．中考数学真题训练圆的切线
1、AB是?（2015?重庆）如图，
AE是?O的切线，A为切点，点C在?O上，连接BC并延长交AE于点D， O的直径，
若?AOC=80°，
则?ADB的度数为（
20° 解：∵AB 是⊙O 直径，AE 是⊙O 的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=∠AOC/2=40°，
∴∠ADB=90°∠B=50°， 故选B．
2．（2015?吉林）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（
A． 40° B． 50° C． 80° D． 100°
解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，∴∠OCD=90°，∵∠BCD=50°，∴∠OCB=40°，∴∠AOC=80°，故选C．
3, （2015?四川南充）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（
（D）75° 【答案】C （A）60°
4、（2015?四川自贡）如图，AB是⊙O
的直径，弦CD?AB,?CDB?30o，CD?则 阴影部分的面积为（
解：∵AB是⊙O的直径，
E是弦CD的中点,B是弧CD的中点（垂径定理）
∴在弓形CBD中，被EB分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质)
∴阴影部分的面积之和等于扇形COB的面积.
的中点，CD?
CE?CD??∵AB?CD ∴?OEC?90o
∴?COE?60o ,OE?2OC . 在Rt△OEC中，根据勾股定理可知：OC2?OE2?
CE2即OC2???OC??.
解得:OC?2;S扇形COB =
260o???OC260o???222
???.即 阴影部分的面积之和为?.故选D. oo
5. （2015?浙江滨州） 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为(
【解】如图，等腰直角三角形ABC中，⊙D为外接圆，可知D为AB的中点，因此AD=2，AB=2AD=4，根据勾股定理可求得AC=根据内切圆可知四边形EFCG是正方形，AF=AD,因此EF=FC=AC－AF=设CD=x，
由勾股定理得：在Rt△ABD中， AD2=AB2BD2=400（7+x）2， 在Rt△ACD中，AD2=AC2x2=225x2， ∴400（7+x）2=225x2， 解得：x=9，∴AD=12， ∴S△ABC=
=×7×12=42，∴21r=42，∴r=2，该圆的最大面积为：S=πr2=π?22=4π（cm2），故选C．
2015?BC=7cmAC=15cm △ABCAB=20cm解：如图1所示，S△
ABC=?r?（AB+BC+AC）=
=21r，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，
7. （2015?浙江湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， ∠OAB=30°，则AB的长是(
【答案】D.
8. （2015?四川泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为
解答：解：∵PA
、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°
， +90°+130°又∵∠
=360°（90°）=50°．故选C． 9.（2015湖北鄂州）
已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1， AB是⊙O的弦，AB=【答案】1或
，连接PB，则PB=
10、（2015?四川自贡）已知，AB是⊙O的一条直径 ，延长AB至C点，使AC?3BC,CD与⊙O相切于D点，
解：连接半径OD.又∵CD与⊙O相切于D点 ∴OD?CD ∴?ODC?90o
∵AC?3BC AB?2OB ∴OB?BC ∴ OB?
∴在Rt△OPC cos?DOC?
? ∴?DOCOC2
∴?AOD?120o ∴在Rt△OPC根据勾股定理可知：OD2?DC2?OC2
∵CD∴OD2?
解得：OD?1
则劣弧AD的长为
120o???OD120o???12?
11. （2015?四川省宜宾市）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于
点F若⊙O的半径为2，则CF=
12．（2015?四川资阳）如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE. （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接AE，若∠C=45°，DE=
解：（1）连接OD，BD，∴OD=OB∴∠ODB=∠OBD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°．∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD， ∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°， ∴∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切线； （2）作EF⊥CD于F，设EF=x
∵∠C=45°，∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，∴BE=CE=在RT△ABE中，AE=
x，∴AB=BC=2
13. （2015山东省德州市）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点. ∠APC=∠CPB=60°. (1)判断△ABC的形状：(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积. 【答案】（1）等边三角形；（2）（2）PA+PB=PC.（3）
理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
14. (2015.天津市)已知A， B，C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D. （Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小；
AB交于点F，连接AF，求∠FAB的大小.
（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与?
??DC?，连接AC，AD，延长AD交15. (2015.北京市)如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且DABM于点E.(l)求证：△ACD是等边三角形；(2)连接OE
，若DE＝2，求OE的长. 【答案】(1）见解析（2）证：∵BM是⊙O切线，AB为⊙
O直径，∴AB⊥BM，
∵BM//CD，∴AB⊥CD，
16. （2015，广西柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．
证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC， ∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；
（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB， ∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，
，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，
在△ABH和△ACF中，
，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH．
17．（2015?湖北十堰）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2∥BC，交AB的延长线于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若∠BAC=60°，DE=
，连结OD交BC于P求；PE的长
证明：（1）连结OD，如图1，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD， ∴
，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；
．过点D作DF
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，
OB=BD=2∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=
PD=3，在Rt△DEP中，∵PD=
18．（2015?丹东）如图，AB是⊙O的直径，于点C．（1）若
=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线
，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．
，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，
解： （1）解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，
，OA=OD，∴OD=CD=2
∴S阴影=S△OCDS扇OBD=
（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°， 又∵
，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，
，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．
19. （2015?北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；
（1）证明：如图，连接OE．∵CD是圆O的直径，∴∠CED=90°．∵OC=OE，∴∠1=∠2． 又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，∴∠PED=∠2，∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°， ∴OE⊥EP，又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等）． 又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，VA⊥平面ABC．（1）求异面直线DE与AB所_答案_百度高考
如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，VA⊥平面ABC．（1）求异面直线DE与AB所_答案_百度高考
数学 二面角的平面角及求法...
如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，VA⊥平面ABC．（1）求异面直线DE与AB所成的角；（2）证明：DE⊥平面VAC．（3）若，求二面角A-BC-D的大小．
第-1小题正确答案及相关解析
证明：（Ⅰ）因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角．
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形．于是∠ABC=45°．故异面直线DE与AB所成的角为45°．（Ⅱ）因为VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥VA．由（Ⅰ）知，BC⊥AC，所以BC⊥平面VAC．
又由（Ⅰ）知，BC∥DE，故DE⊥平面VAC．
（ III）由（Ⅱ）知，BC⊥VA，BC⊥AC，则∠ACV为所求二面角的平面角．又，则VA=AC，故∠ACV=45° 上传我的文档
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如图，已知AB是圆O的直径，点C在圆O上，过点C的直线与AB的
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