斯托克斯公式疑问关于变换的区域问题如第二类曲线L积分，其中L为圆 - 爱问知识人
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斯托克斯公式疑问
斯托克斯公式是表述曲面积分与在这曲面边界曲线上曲线积分之间的关系。
所以当L为圆周X^2+Y^2=2Z,Z=2，即平面Z=2上以（0，0，2）为心、2为半径的圆时，∑应该是以这个圆为边界曲线的任何一个曲面，当然可以是Z=2（X^2+Y^2≤4），也可以其它的曲面。
注意，曲线L与曲面∑的方向是有规定关系的。
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斯托克斯公式是表述曲面积分与在这曲面边界曲线上曲线积分之间的关系。
所以当L为圆周X^2+Y^2=2Z,Z=2，即平面Z=2上以（0，0，2）为心、2为半径的...
回答如下：
x^2+y^2+4z^2=1
---&2x^2+4z^2=1
设x=y=(根号{2}/2)cost, z=(1/2)sint
0&=t&=2...
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大家还关注一个对斯托克斯公式的理解问题,求高数哥解决!斯托克斯公式能将空间闭合曲线积分变为第二型曲面积分.但变换前、变换后的积分都与曲面的形状无关,是不是变换之后的曲面可以是任意边界线为该闭合曲线的曲面?是不是一个有边界线的曲面积分,先变为空间闭合曲线积分,然后再变回曲面积分,曲面的形状就可以改变了?（it seems ridiculous,but I just cannot figure it out!）但是如果一个向量场是(z,0,z),曲线是x^2+y^2=1，z=0 .那么它的曲线积分是0。但用斯托克斯公式将它变为曲面积分，将曲面取为x^2+y^2+z^2=1,那么它的曲面积分就不是0了。还请ekll老师不吝赐教！书上推导过程中似乎隐含着一个假设：曲面S在面x0y上投影的边界为曲线L在面x0y上的投影。对于面y0z,面z0x，也有同样的假设，这是不是说明，曲面S的选取必须满足其在面x0y、面y0z、面z0x的投影的边界为L在那三个面的投影？例如上面举的那个例子不符合，就是因为面选得不符合这个假设？
色色的0363
斯托克斯公式积出来的本来只是空间曲线上的旋度,又不是积曲面面积什么的,当然与曲面无关,可以任意取.考虑一下它的物理意义吧,在斯托克斯公式的适用条件下,曲面的选取是无关紧要的.
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ekll说的对。你如果把你推导的过程一步一步写出来，而不是大概一想，就能发现问题在哪里了。
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第五节一、高斯公式二、通量与散度机动目录上页下页返回结束高斯公式斯托克斯公式第十一章三、斯托克斯公式四、环流量与旋度一、高斯公式定理1.设空间闭区域?由分片光滑的闭曲?上有连续的一阶偏导数,??????????????面先证函数P,Q,R在面?所围成,则有式高斯目录上页下页返回结束?的方向取外侧,2?3?1??,,,,?,,11?证明,321???????,21??????,21??????2????yx??1????3?,,22?则,,????2,,,1目录上页下页返回结束设所以?????????不是区域,则可引进辅助面将其分割成若干个区域,故上式仍成立在辅助面正反两侧面积分正类似可证?????????????????????????dd????????式相加,即得所证式定理1目录上页下页返回结束例1.用式计算其中?为柱面闭域?的整个边界曲面的外侧.解这里利用式,得原式???????????sin??用柱坐标dsin01020????????29???y,?,0?Q?及平面z0,z3所围空间思考若?改为内侧,结果有何变化若?为圆柱侧面取外侧,如何计算机动目录上页下页返回结束例2.利用式计算积分其中?为锥面222??作辅助面,1?,,222??取上侧;??????1I????介于z0及zh0之间部分的下侧.1,??记围区域为?,则机动目录上页下页返回结束??????1????1222????????2利用重心公式,注意0?????h???421h?????z??h???动目录上页下页返回结束???????2???????1I????1222?例3.2223???????为曲面21,222?????上侧,求解作取下侧的辅助面11??z1,22????????????11?????2?????2??????20?先二后一轮换对称性机动目录上页下页返回结束22???????????????????????coscosco上具有一、二阶连续偏导数,证明格林第一公式.设函数????u??u?????????其中?是整个?边界面的外侧.uP?uR?分析??????????????????高斯公式????????????????222222录上页下页返回结束证令,,,由高斯公式得????????????????222222???????????????coscosco??u机动目录上页下页返回结束二、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,,,,,,,,???理意义可知,设?为场中任一有向曲面,???????的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为?????????dcoscoscos????????d?机动目录上页下页返回结束若?为方向向外的闭曲面,???????0时,说明流入?的流体质量少于当?0时,说明流入?的流体质量多于流出的,则单位时间通过?的流量为当?0时,说明流入与流出?的流体质量相等.流出的,表明?内有涌出;表明?内有吸入;根据高斯公式,流量也可表为机动目录上页下页返回结束③方向向外的任一闭曲面,记?所围域为?,设?是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以?的体积V,并令?以任意方式缩小至点M则有?????????此式反应了流速场在点M的特点其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.机动目录上页下页返回结束定义设有向量场,,,,,,,,???其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,?是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,????通过有向曲面?的通量流量x,y,z处称为向量场A在点M的散度??????机动目录上页下页返回结束0A表明该点处有正源,0A表明该点处有负源,0A表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度处处有,则称A为无源场.例如,匀速场,,,,,为常数其中0录上页下页返回结束说明由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且例5.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为d求解?????????3????????3???????????????3??,,30?0?录上页下页返回结束????iv????????33522斯托克斯公式定理1.设光滑曲面?的边界?是分段光滑曲线,?????斯托克斯公式个空间域内具有连续一阶偏导数,?的侧与?的正向符合右手法则,在包含?在内的一则有简介目录上页下页返回结束注意如果?是上的一块平面区域,则变成格林公式????????????????格林公式????????????用第一类曲面积分表示oscoscos?????????????????理1目录上页下页返回结束?????斯托克斯公式行列式辅助记忆式?????????.利用斯托克斯公式计算积分其中?为平面xyz1被三坐标面所截三角形的整个解记三角形域为?,取上侧,则边界,方向如图所示.???????yx3?录上页下页返回结束例7.?为柱面与平面yz的交线,从计算设?为平面zy上被?所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得SId????0?则其法线方向余弦???coscosco??????公式目录上页下页返回结束四、环流量与旋度斯托克斯公式?????的单位法向量为曲线?的单位切向量为cos,cos,cos????ncos,cos,cos?????机动目录上页下页返回结束令,引进一个向量,,??????向量称为向量场A的称为向量场???????沿有向闭曲线?的环流量t?????????或nrot???????①于是得斯托克斯公式的向量形式旋度录上页下页返回结束则斯托克斯公式可写为?????dcoscoscos???l转动,建立坐标系如图,,角速度为?,r,,0,0???点M的线速度为???0?0,,???0???????2,0,0???2?此即旋度一词的来源旋度的力学意义机动目录上页下页返回结束向量场A产生的旋度场穿过?的通量注意?与?的方向形成右手系nrot???????为向量场A沿?的环流量斯托克斯公式①的物理意义例8.求电场强度?????ro解0,0,0?除原点外这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋录上页下页返回结束?????ro计算解1,0,0?SIdcos???????8?232.t?????为录上页下页返回结束思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确1?????2?????????????????????????31R?????3331R??????d3222?为?机动目录上页下页返回结束思考与练习,222??设则.radgd???,2r?r,322r?322?322?0,0,0?radgrotradgdiv????0机动目录上页下页返回结束00co?????00?补充题设?是一光滑闭曲面,所围立体?的体?是?外法线向量与点x,y,z的向径试证证设?的单位外法向量为则???coscosco??Srdco????????V?的夹角,积为V,机动目录上页下页返回结束
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关&键&词： 高斯 2斯托克斯公式合
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