高数求极限 &
你写的这个步骤已经很详细了.如果再详细一点,你就在第二行和第三行之间写一下极限的运算.
第二行的那个，是用等比数列前n项和公式么
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高等数学求极限
习题1-1 习题发散 !limx 2k = 1k→∞但 | xn |= 1,且 lim | xn |= 1n→∞27/28lim f ( x ) = A
xlim+ f ( x ) = xlim f ( x ) = A →
x →xx → x000注意： 注意：1. 函数极限与 f ( x )在点 x 0是否有定义无关 ;lim f ( x ) = A x → x0ε & 0, δ & 0, 使当0 & x
x0 & δ时, 恒有 f ( x )
A & ε .x →0+lim f ( x ) = lim2 1 2 +11 x1 xx →0+= 1，x → 0lim f ( x ) = lim2 1 2 +11 x1 xx →0= 1.1 2 n 例 求 lim( 2 + 2 +
+ 2 ) n→∞ 2n 2n 2n解 先变形再求极限. 先变形再求极限. ( 通分)1 2 n 1+ 2 ++ n lim( 2 + 2 +
+ 2 ) = lim 2 n→∞ 2n n→∞ 2n 2n 2n1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim (1 + ) = . = lim n→ ∞ 4 n→ ∞ 4 n 2n213/22a0 x + a1 x +
+ am lim x →∞ b x n + b x n 1 +
+ b 0 1 nmm 1 = a0 , b0 0, ∞,n = n & n & m.17/222+ x
2 lim x→2 3x + 3
2)( 2 + x + 2)( 3 x + 3 + 3) = lim x→2 ( 3 x + 3
3)( 3 x + 3 + 3)( 2 + x + 2)( x
2)( 3 x + 3 + 3) 1 = lim = . x → 2 (3 x
6)( 2 + x + 2) 2x →+∞lim ( x 2 + x + 1
x + 1)( x 2 + x + 1
x + 1)( x 2 + x + 1 + x 2
x + 1) x2 + x + 1 + x2
x + 1= limx →+∞= lim2x x2 + x + 1 + x2
x + 1x →+∞= lim2 1 1 1 1 1+ + 2 + 1 + 2 x x x xx →+∞=1x2 + 1 ∵ 0 = lim(
b ) x →∞ x + 1(1
( a + b ) x + 1
b = lim x →∞ x +1∴1
a = 0,a + b = 0,∴ a = 1, b = 1.x 1 lim 不存在. x→1 x
1证x 1 1 x = lim ( 1) = 1 lim = lim x → 0 x →1
1 x →1 0 x
1x 1 x 1 lim = lim = lim 1 = 1 x →1+ 0 x
1 x → +0| x -1| 左右极限存在但不相等, x →1 左右极限存在但不相等 ∴ lim x - 1 不存在.是多项式 , 且 求 解: 利用前一极限式可令f ( x) = x3 + 2x2 + ax + b再利用后一极限式 , 得f ( x) 1 = lim x→ 0 x可见 故b = lim(a + ) x→0 x习题1-2 习题x+x +x 1 = lim k x →0 x 1 k 2 k 3 k = lim( x + x + x )2 3x→0= lim xx→01 k(1 + x + x )2∴ k = 1.1 1 y = sin x x 1 y( ) = nπ sin nπ = 0, nπ1 π ) = nπ + → ∞,( n → ∞ ) y( nπ + π / 2 21 1 故y = sin x x不是无穷大量，但是无界变量。 不是无穷大量，但是无界变量。8 x ( x
2)1/ 3 (4 + 2 x + x 2 )1/ 3 lim = lim x → 2 k ( x
2) x→2 k ( x
2)3 3(4 + 2 x + x 2 )1/ 3 = lim =∞ 2/ 3 x→2 k ( x
2)8 x 低阶的无穷小量。 ∴ 是 比 x
2 低阶的无穷小量。 k3 3a bx a lim(1 + ) = lim(1 + ) x →∞ x →∞ x xx ab a=eablim(1 + ax ) = ex→0b xab1 1 2 x sin x sin x = lim x lim x → 0 sin 2 x x →0 2x21 1 = lim x sin = 0 x 2 x →0x x lim = lim+ = 2 2 x → 0+ 1
cos x x →0 x 2tan x
sin x lim 3 x →0 sin xtan x(1
cos x ) = lim 3 x →0 sin x 2 x x 2 = 1. = lim 3 x →0 x 2lim(1
x ) tanx = lim(1
x ) x →1 x →1 2 2 2 π 1 x = lim(1
x ) = lim x →1 x →1 π 2 tan (1
x ) 2 1 x 2 = lim = x →1 π π (1
x ) 2πππ1 x2 1 x2 lim x→1 sinπ x = lim x→1 sin(π π x)(1 x)(1+ x) = lim x→1 sinπ (1
x)(1 x)(1+ x) 2 = lim = . x→1 π (1 x) π例. 求[(sin + cos ) ] 解: 原式 = lim x→∞ →∞1 x 1 2 xx 2= lim (1+ sin 2) xx→∞x 2(1+ sin 2) x1 sin 2 x=ex + tan x + x sin x lim 2 x →0 x sin x3 3 2x + tan x + x sin x = lim 3 x →0 x3 3 2tan x x sin x = lim(1 + 3 + )=3 3 x →0 x x32tan x
sin x tan x(1
cos x ) lim = lim x 2 3 x → 0 x ( e
1) x →0 xx x 2 =1 = lim 3 x →0 x 22常用等价无穷小: 常用等价无穷小:当 x → 0 时，sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ x，1 2 e
cos x ~ x , (1 + x )a
1 ~ ax (a ≠ 0) 2x5/13
x → 0 1 + sin x
1 sin x 1 + sin x + tan x
x →0 1 + sin x
1 sin x1 sin x tan x
x →0 1 + sin x
x →0 1 + sin x
1+ sin tan x
sin x 1 tan x
sin x 1+ sin x sin x=etan x
sin x 1 lim x → 0 1+ sin x sin x=etan x (1 cos x ) 1 lim x →0 1+ sin x sin x=e1 cos x x → 0 1+ sin x lim=11 ∵ f ( x ) → 0, ∴ 1 + f ( x )
f ( x ) 21 f ( x) 1 + f ( x)
1 3 = lim = lim 2 2 2 x →0 x →0 x x1 ax = lim 2 2 x→0 xb∴ a = 6, b = 2.{ xn }( xn ≤ 1)x1 & 01 xn +1 = (2 xn + 3) (n = 1, 2,3,) 5n →∞证明lim xn 存在，并求之。1 1 (2 xn + 3)
3xn ) 5 5证： xn +1
xn =∵ xn ≤ 1, ∴ xn +1
xn ≥ 0,即{xn } 单调增。 单调增。∵ xn ≤ 1,1 ∴ xn +1 = (2 xn + 3) ≤ 1, 5n →∞即{xn } 有界。 故 lim xn 存在。 有界。设 lim xn = A,n →∞1 由xn +1 = (2 xn + 3)，得 51 A = (2 A + 3), 5∴ A = 1.习题1-3 习题
x ≠ 1 f ( x) =
0 x = 1解：x → 1+lim f ( x ) = lim ex →1+ x → 11 x 1 1 x 1= 0 = f (1), = ∞,x → 1lim f ( x ) = lim e右连续。 ∴f(x)在x=1右连续。 f(x)在 右连续
1 + x, 1& x &1 1+ x
f ( x ) = lim x & 1 or x & 1 =
0, 2n n→∞ 1 + x
, x = ±1,
2x → 1+lim lim f ( x ) = 0 ≠ f (1), x→1 f ( x) = 2 ≠ f (1)x →1+lim f ( x ) = 0 = f ( 1), xlim f ( x ) = 0 = f ( 1), →1是间断点， 是连续点。 ∴x=1是间断点， x=-1是连续点。 是间断点 是连续点f ( x) =ln x x + 5x
62=ln x ( x + 6)( x
1)∴间断点为x=0,-6,1. 间断点为lim f ( x ) = limx→0 x →0ln x( x + 6)( x
1) ln x lim f ( x ) = lim =∞ x →6 x →6 ( x + 6)( x
1)ln xx →1=∞lim f ( x ) = limx →1( x + 6)( x
1) x 1 1 = lim = x →1 ( x + 6)( x
1) 7= limx →1ln 1 + x
1( x + 6)( x
1)分别为无穷间断点， ∴x=0,-6,1分别为无穷间断点，无穷间断点，可去间断点。 分别为无穷间断点 无穷间断点，可去间断点。f ( x)
2 lim =1 x →1 x 1f ( x)
2 f (1) = lim f ( x ) = lim[
1) + 2] x →1 x →1 x 1 f ( x)
1) + 2 x →1 x
1 x →1= 1 0 + 2 =2
2x x → 0++ 1 arc sin ax x & 0 + x 1 3 x=0
1 ln(1 + bx ) + x&0 x +12 1 2 +11 x 1 xlim f ( x ) = lim[x → 0+ln(1 + bx ) ]= 1+ b + xx →0lim[2 +1 2 11 x1 xarc sin ax ] = 1 + a + x连续， 若f(x)在x=0连续，则 f(x)在 连续1 + b = 1 + a = 3∴ a = 4, b = 2f (0) = f (2a )令F ( x )= f ( x )
f ( x + a )F ( x ) ∈ C[0, 2a ] F (0)= f (0)
f ( a )F ( a )= f ( a )
f (2a ) = f ( a )
f (0)若f (0) = f ( a ) 则 ξ 可取0或a, 可取0 若f (0) ≠ f ( a )则 F (0) F ( a ) & 0,由零点定理，得证。 由零点定理，得证。x
a sin x = b ξ ∈ (0, a + b] 0 & a & 1, b & 0令F ( x ) = x
bF ( x ) ∈ C[0, a + b]F (0) = 0
b = b, F ( a + b) = a + b
a sin( a + b)
a sin( a + b) ≥ 0,若F ( a + b ) = 0, 那么ξ = a + b， 那么由零定理， ）, 若F ( a + b ) ≠ 0, 那么由零定理，ξ ∈ 0, a + b , （ ） 使得 F (ξ ) = 0 证毕。 证毕。
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x趋近告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0?”“”时候直接用 0?(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x) f(x)?g(x)?111g(x)f(x)f(x)g(x)11(iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。1 0?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)， 3.泰勒公式(含有e的时候，含有正余弦的加减的时候） xx2xne?xe?1?x?????xn?1 ； 2!n!(n?1)!xx3x5x2m?1cos?x2m?3m sinx?x?????(?1)?(?1)m?1x3!5!(2m?1)!(2m?3)!2mx2x4cos?x2m?2mx
cos=1?????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!nx2x3xn?1n?1xn4.5.6.1）设a?b?c?0，xn?
（2）求n??n??xn?a n??limn???111? ?????n2(n?1)2(2n)2???111111????2?2???2?，以及22n(n?1)(2n)nnn
解：由0?1?2nlimn??0?limn??1?0可知，原式=0 n(3)求lim?n???1?11? ?????2?22n?2n?n??n?1n????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n2 解：由,以及1n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如： n??n??lim1?limnn?n2?limn??1??1得，原式=1求lim?1?2x?3xn??2???nxn?1
(|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 ?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：
=1?????????lim?1?n?1)??1 lim??1?2?2?3???n(n?1)??lim?n?1)???223???n???111??111???n??n??9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如：（1）已知a1?2,an?1?2?1，且已知liman存在，求该极限值。
xk?xk?1?2。所以，A2?A?2?0。? 10.
（i11.n快于n！,n！快12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限nlimx?0arccosx??。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。 22sin2x2xsin2xarccosx?2x??limx?0原式=limx?0arccosx?2x??limt?0t1?? ?2sint21111?。由于113．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim?，所以???????in?in?2n?n?n???n?11?n3??????lim?n?n?lim?n?1n?2n??n???111????121???1?1?ln2 ???n?1x?1???1?nn??14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这 '种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）例:设f(a)?0,f(a)'??1??fa?????n??? 存在，求lim?fa?n?????n解：原式=limn??
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落落为君14079
令1+x=a则a趋近于0原式化为lim(ln(1+a)/(1-(1-2a)^(1/3)) a趋近于0利用泰勒展开ln(1+x)= x-x^2/2+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+...(1+x)^a=+ax+a(a-1)x^2/2!+a(a-1)(a-2)x^3/3!+...消去高阶小量,得原式=3/2
有其他方法吗？我们还没学泰勒展开
其实只会以下两个极限就行
lim(ln(1+a)/a) =1
lim(((1+x)^a-1)/x)=a
对于第一个，化为ln((1+a)^(1/a))再由e的定义化为lne=1
对于第二个，用洛必达法则，马上可得出。洛必达法则没听过的话最好自己查一查，求极限的时候很有用：/view/420216.htm
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