关于多元函数微积分学分的问题

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关于多元函数微分的两个问题 多谢大家了
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1 方向导数和可微的关系
如果一个函数可微那我们可以写出他任意方向的方向导数,那方向导数具备什么条件了才可以证明函数可微呢,还是没有必然联系。
2 关于全微分的判断
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00:04 上传
如图,在全平面除原点外给出了P和Q,判断Pdx+Qdy是否为一个函数的全微分
在这个非单连通区域,经过计算,满足偏导数相等的关系。但是经验证该积分不是与路径无关,所以不是某个函数的偏导数。
我的问题是:
如果我用积分的方法,硬求出来u的表达式(最后一个式子),那么是不是说因为这个函数的定义域缩小了(y不等于0),所以才说明Pdx+Qdy这个式子不是某个函数的原函数呢
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可微的充要条件你都说出来了 就是在任意方向都有方向导数存在!因为多元函数可微的几何意义是在某点处的图形可以近似用这点为中心的切平面来表示,这就要求要在一个切平面上的个个方向都存在导数及可导。
另外的一种说法,个人总结出来的充要条件是F(x+x0,x+y0)-F(x,y)=o[(x0*x0+y0*y0)^1/2]&&
不能说他定义域缩小了 应该说就不是连续完整的区域了(或者是单联通的)
[ 本帖最后由 lz_2004_xxw 于
00:20 编辑 ]
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原帖由 lz_2004_xxw 于
00:19 发表
可微的充要条件你都说出来了 就是在任意方向都有方向导数存在!因为多元函数可微的几何意义是在某点处的图形可以近似用这点为中心的切平面来表示,这就要求要在一个切平面上的个个方向都存在导数及可导。
可是我没有明白用切平面表示和方向导数存在之间为何有必然关系,我明天再想想,顺便问一下这个是哪里讲的啊?
哥们儿你看看这个函数,他各个方向的方向导数是存在的,可是他都不是连续函数。。。
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01:06 上传
先睡了。。明天再讨论哈。。。
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多元函数中可导和连续没必然联系
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一元函数而言 可导必连续 对于多元函数 因为不再是只有一个方向了 在各个方向上都有导数的存在也都有极限值的趋近 所以连续和可导就不再是一一对应的关系 也不能再简单的说是充分或是必要条件
从定义也可以看出来 可导:函数在这一点存在导数(左右导数均存在且相等)
& && && && && && & 连续:函数在这一点的极限值等于函数值
你举得这个例子里连续和可导都是分开来判断的
我用的是微积分 这本书 里面多元函数微分那章说的很具体
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原帖由 lz_2004_xxw 于
22:42 发表
一元函数而言 可导必连续 对于多元函数 因为不再是只有一个方向了 在各个方向上都有导数的存在也都有极限值的趋近 所以连续和可导就不再是一一对应的关系 也不能再简单的说是充分或是必要条件
从定义也可以看出来 可 ...
恩,多谢,我正在慢慢理解你说的,我想多问一句
对于这个函数,各个方向的方向导数都存在,按着你上面说的就是可微了,但是可微的必要条件是该函数连续,可是这个函数不连续,那应该怎么理解呢?
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多元函数可微的必要条件是连续且可偏导 这个题是不连续不可微 但允许可偏导
可微的充分条件是存在方向的方向导数连续 但只是充分条件 前者推不出后者 (这个前面理解错了 应该是充分非必要条件)
充要条件是 F(x+x0,x+y0)-F(x,y)=o[(x0*x0+y0*y0)^1/2]
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原帖由 lz_2004_xxw 于
08:35 发表
多元函数可微的必要条件是连续且可偏导 这个题是不连续不可微 但允许可偏导
可微的充分条件是存在方向的方向导数连续 但只是充分条件 前者推不出后者 (这个前面理解错了 应该是充分非必要条件)
充要条件是 F(x+x0,x+y0 ...
欧开了,我大概明白了,容我明天再想想,呵呵。
就是说各方向的方向导函数存在并不一定可微,各方向的方向导数连续才是可微的充分条件!
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多元函数微分教学中应处理好的几个关键问题
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血刺晨曦3738
dx,dy不用代入0,那只是微分的符号,如果代入0的话,那所有函数在原点处的微分就都等于0了
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考研数学多元函数微分学核心题型之极值问题
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