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MATLAB高效编程之向量化积分
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本帖最后由 winner245 于
01:54 编辑
前些天和吴兄（编著）闲谈中，谈到了如何提高数值积分的效率，达成的共识是利用向量化积分来实现高效率的数值积分。
众所周知，MATLAB为我们提供了两个非常易用的向量化积分函数：quadv 和 integral 函数。本帖的目的是探讨一下，如何利用这两个积分函数，解决三类不同的向量化积分问题。
我先抛砖引玉，在跟帖里给出我个人这些天的体会。欢迎大家参与讨论，批评指正，希望能把这个话题继续下去。欢迎任何数值积分的话题
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本帖最后由 winner245 于
12:26 编辑
关于单个函数向量化积分的探讨winner245 向量化积分简介
给定一个函数f，我们可能需要计算一系列定积分。比如，i) 求解一个带参数函数f(x,t),x为自变量，t为参数，在M个不同参数取值t= t1, …, tM时在某固定区间[a,b]上的定积分；ii)对于同一个函数f(x)，求解在N个不同区间上[a1,b1]、[a2,b2]、…、[aN,bN]的定积分；iii)求解带参数函数f(x,t)在M个不同参数取值和N个不同区间上的定积分。显然，无论是上述哪一种情形，我们都将面临求解一系列定积分。本文重点关心的是如何通过向量化运算，求解出该函数所有的定积分，且计算过程不涉及任何循环（以及循环的简写代码：arrayfun）。本文将能够实现这类积分功能的向量化运算称之为“向量化积分”。
本文假定所求积分不存在解析解，即符号积分失效。故将重点讨论如何通过数值积分（借助quad、quadl、quadgk、quadv、integral等函数）来实现向量化积分。
在数值计算中，我们常常会碰到下列三类积分问题。
问题1（带参数函数在固定区间上的定积分）：求带参数函数f(x,t) 当参数t取M个不同数值时在某固定区间[a,b]上的定积分：
& && && && && && && && && && & 问题2（不带参数函数在多个区间上的定积分）：求函数f(x)在N个不同区间[an,bn], ,上的定积分：
问题3（带参数函数在多个区间上的定积分）：求带参数函数f(x,t) 当参数t取M个不同数值，在N个不同区间[an,bn], n = 1,2, …, N,上的定积分：
为了方便后面写代码，本文将考虑下面的被积函数：
其中，x为自变量，t为参数。
要求解一系列积分，最容易想到的办法就是循环求解。比如，通过for循环实现每次循环求解一个定积分。另外，for循环代码还可以通过arrayfun函数来简写，这种“简写”本质上还是循环，只不过代码看起来更简洁，代码效率与for循环相当（依然很低）。但下文仍会给出基于arrayfun的代码，作为参照系来衡量向量化积分的优越性。
对于问题1（固定区间上的带参数函数的定积分），可以直接调用MATLAB向量化积分函数quadv或integral，这两个函数是MATLAB提供的仅有的两个支持向量化积分的函数。具体做法是：将被积函数f(x,t) 定义为可接受向量化参数t的关于x的函数句柄，然后直接调用quadv或integral，其中，integral函数要求将'ArrayValued' 参数设置为 true。
问题2、3所示的积分都是在变化的多个区间上求解。然而，无论是quadv还是integral函数，在求解向量化积分时，均要求积分区间是一个固定区间（即积分上、下限里不存在任何变量）。如果不对积分做必要的处理，是无法实现一次quadv或integral调用同时求解多个不同区间上的定积分的。本文的做法是：使用换元法，将多个不同区间上的积分转换到一个相同区间（如[0,1]）上，即实现将积分上、下限里的变量转移到被积函数里，从而得到固定区间上带参数函数的定积分，这也就是问题1描述的一类积分。最后，直接调用quadv或integral函数即可。
因为quadv是quad的向量化版本，我将会比较（向量化的）quadv和（非向量化的）quad的效率。同样的，integral在'ArrayValued' 参数为 true时，是integral在不带'ArrayValued' 参数时的向量化版本，故我们会比较integral函数在'ArrayValued'参数为true和false时的效率。本文不会去比较向量化的quadv和向量化的integral之间的效率，也不会比较非向量化的quad和integral的效率，因为此类比较的结果严重依赖于被积函数类型，比如，与被积函数是否震荡、是否有奇异点有关，即不同的函数可能得到不同的结果。感兴趣的朋友还可以把quad换成quadl、quadgk来参与相关比较。
本文的所有测试结果均基于“i7-3630QM + 8GB RAM”硬件平台和“Win8 64 bit + MATLAB 2012b 64 bit”软件平台。
问题1解决方法
问题1代码：求参数t为0 ~ 10之间的随机数构成的2*6矩阵时（即M = 12），f(x, t)在区间[0, 1] 上对x的所有积分值t = 10*rand(2,6);
f = @(x,t) (x.^2-1)./(x.^2+1).*cos(t.*x.*exp(-x));
I_quad = arrayfun(@(t) quad(@(x) f(x,t), 0, 1), t)
I_integral = arrayfun(@(t) integral (@(x) f(x,t), 0, 1), t)
I_quadv = quadv(@(x) f(x,t), 0, 1)
I_integralv = integral(@(x) f(x,t), 0, 1, 'ArrayValued', true)复制代码
运行后得到：
I_quad =&&-0.2576& & 0.0450& &-0.4421&&-0.2076& &-0.3398& &-0.5510&&-0.5348& &-0.5549& &-0.4850&&-0.5576& &-0.5535& & 0.0471I_integral =&&-0.2576& & 0.0450& &-0.4421&&-0.2076& &-0.3398& &-0.5510&&-0.5348& &-0.5549& &-0.4850&&-0.5576& &-0.5535& & 0.0471I_quadv =&&-0.2576& & 0.0450& &-0.4421&&-0.2076& &-0.3398& &-0.5510&&-0.5348& &-0.5549& &-0.4850&&-0.5576& &-0.5535& & 0.0471I_integralv =&&-0.2576& & 0.0450& &-0.4421&&-0.2076& &-0.3398& &-0.5510&&-0.5348& &-0.5549& &-0.4850&&-0.5576& &-0.5535& & 0.0471
可以看出，向量化和非向量化积分得到了相同的结果。下面对比一下代码效率。
问题1代码效率：取M = 1e4（即M = 1e4个不同参数取值）t = 10*rand(1,1e4);
f = @(x,t) (x.^2-1)./(x.^2+1).*cos(t.*x.*exp(-x));
I_quad = arrayfun(@(t) quad(@(x) f(x,t), 0, 1), t); t_quad =
I_integral = arrayfun(@(t) integral(@(x) f(x,t), 0, 1), t); t_integral =
I_quadv = quadv(@(x) f(x,t), 0, 1); t_quadv =
I_integralv = integral(@(x) f(x,t), 0, 1, 'ArrayValued', true); t_integralv =
disp([' t_quad = ', num2str(t_quad),', t_quadv = ',num2str(t_quadv),', t_integral = ',num2str(t_integral) ,', t_integralv = ',num2str(t_integralv)])
disp([' t_quad/t_quadv = ', num2str(t_quad/t_quadv)])
disp([' t_integral/t_integralv = ', num2str(t_integral/t_integralv)]) 复制代码运行结果如下：
&&t_quad = 4.5577, t_quadv = 0.018436,t_integral = 5.3036, t_integralv = 0.053569&&t_quad/t_quadv = 247.2156&&t_integral/t_integralv = 99.0046
可见，向量化的quadv比非向量化的quad效率提高了247倍，向量化的integral比非向量化的integral效率提高了99倍。
问题2，3解决方法
问题2，3均可以通过如下式子换元：
则积分（2）、（3）分别转化为：
& && && && &
以上两个积分都是在固定区间上的带参数积分。
问题2代码：假设N= 10, 即针对10个区间[0,1], [1, 2],[2, 3], …, [9, 10]分别求解定积分a = [0:9];&&% 积分下限
b = a + 1;&&% 积分上限
f = @(x) (x.^2-1)./(x.^2+1).*cos(x.*exp(-x));
g = @(x) (b-a).*f(a+(b-a)*x);
I_quad = arrayfun(@(a, b) quad(f, a, b), a, b)
I_integral = arrayfun(@(a, b) integral (f, a, b), a, b)
I_quadv = quadv(g, 0, 1)
I_integralv = integral(g, 0, 1, 'ArrayValued', true)复制代码
运行结果为：
I_quad=& &-0.7&&0.4 0.2&&0.9&&0.0I_integral=& &-0.7&&0.4 0.2&&0.9&&0.0I_quadv=& &-0.7&&0.4 0.2&&0.9&&0.0I_integralv=& &-0.7&&0.4 0.2&&0.9&&0.0
可见，向量化代码得到了和循环代码相同的结果。表面上看起来，循环代码似乎更简洁（主要归因于arrayfun的特性），但向量化代码在效率上有显著优势。下面给出a=[0:1e4]的代码效率对比：
问题2代码效率：取N= 1e4+1（即N= 1e4 + 1个定积分区间）a = [0:1e4];&&% 积分下限
b = a + 1;& & % 积分上限
f = @(x) (x.^2-1)./(x.^2+1).*cos(x.*exp(-x));
g = @(x) (b-a).*f(a+(b-a)*x);
I_quad = arrayfun(@(a, b) quad(f, a, b), a, b); t_quad =
I_integral = arrayfun(@(a, b) integral (f, a, b), a, b); t_integral =
I_quadv = quadv(g, 0, 1); t_quadv =
I_integralv = integral(g, 0, 1, 'ArrayValued', true); t_integralv =
disp([' t_quad = ', num2str(t_quad),', t_quadv = ',num2str(t_quadv),', t_integral = ',num2str(t_integral) ,', t_integralv = ',num2str(t_integralv)])
disp([' t_quad/t_quadv = ', num2str(t_quad/t_quadv)])
disp([' t_integral/t_integralv = ', num2str(t_integral/t_integralv)])复制代码
运行结果为：&&t_quad = 1.4122, t_quadv =0.014844, t_integral = 4.7597, t_integralv = 0.060604&&t_quad/t_quadv = 95.1414&&t_integral/t_integralv = 78.5379
可见，向量化的quadv比非向量化的quad效率提高了95倍，向量化的integral比非向量化的integral效率提高了78倍。
问题3代码：假设M= 2，N= 6, 即针对2个不同的参数值t（t=1, 5）和6个不同区间[0,1], [1, 2],[2, 3], …, [5, 6]求解定积分。
a = [0:5];& &% 积分下限
b = a + 1;& &% 积分上限
t = [1 5].';
f = @(x,t) (x.^2-1)./(x.^2+1).*cos(t*x.*exp(-x));
g = @(x,t) bsxfun(@times, (x.^2-1)./(x.^2+1), cos(t*(x.*exp(-x))));
g = @(x,t) bsxfun(@times, b-a, g(a+(b-a)*x, t));
I_quad = cell2mat(arrayfun(@(t) arrayfun(@(a, b) quad(@(x) f(x,t), a, b), a, b), t, 'UniformOutput', false))
I_integral = cell2mat(arrayfun(@(t) arrayfun(@(a, b) integral(@(x) f(x,t), a, b), a, b), t, 'UniformOutput', false))
I_quadv = quadv(@(x) g(x,t), 0, 1)
I_integralv = integral(@(x) g(x,t), 0, 1, 'ArrayValued', true)复制代码
问题3代码效率：取M = 100, N = 101（即M= 100个不同参数取值，N= 101个定积分区间）a = [0:100];& &
b = a + 1;& &
t = 10*rand(100,1);
f = @(x,t) (x.^2-1)./(x.^2+1).*cos(t*x.*exp(-x));
g = @(x,t) bsxfun(@times, (x.^2-1)./(x.^2+1), cos(t*(x.*exp(-x))));
g = @(x,t) bsxfun(@times, b-a, g(a+(b-a)*x, t));
I_quad = cell2mat(arrayfun(@(t) arrayfun(@(a, b) quad(@(x) f(x,t), a, b), a, b), t, 'UniformOutput', false)); t_quad = toc
I_integral = cell2mat(arrayfun(@(t) arrayfun(@(a, b) integral(@(x) f(x,t), a, b), a, b), t, 'UniformOutput', false)); t_integral = toc
I_quadv = quadv(@(x) g(x,t), 0, 1); t_quadv = toc
I_integralv = integral(@(x) g(x,t), 0, 1, 'ArrayValued', true); t_integralv = toc
disp([' t_quad = ', num2str(t_quad),', t_quadv = ',num2str(t_quadv),', t_integral = ',num2str(t_integral) ,', t_integralv = ',num2str(t_integralv)])
disp([' t_quad/t_quadv = ', num2str(t_quad/t_quadv)])
disp([' t_integral/t_integralv = ', num2str(t_integral/t_integralv)])复制代码
运行结果为：
&&t_quad = 2.2115, t_quadv =0.022581, t_integral = 5.4, t_integralv = 0.06808&&t_quad/t_quadv = 97.9367&&t_integral/t_integralv = 79.3189
可见，向量化的quadv比非向量化的quad效率提高了97倍，向量化的integral比非向量化的integral效率提高了79倍。
本文重点介绍了向量化积分利器：quadv 和integral函数，以及如何利用这两个函数实现三类不同的向量化积分。基本的思路是将所求积分转化为quadv或integral函数可以接受的有效形式，然后直接利用这两个函数的求出一系列积分。通过比较，证实了在向量化尺寸足够大时（如1e4级别），向量化积分的效率远高于循环实现。
Future Topic：关于多个函数向量化积分的探讨
本文仅探讨了如何对单个函数（带参数f(x,t) 或者不带参数f(x)）的向量化积分方法。本人计划在下一期分享帖里，继续探讨同时对多个不同函数f1,f2, f3, fn（带参数或不带参数）在任意个区间上的向量化积分方法，该方法将实现通过一次integral或quadv调用计算出所有（带参数或不带参数）函数在任意个区间上的向量化积分。
希望大家多多支持与鼓励！
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总结的不错
另外可以考虑用odesolver求解
而且再比较效率的同时再比较下精度就更加完善了
期待你的下期分享帖
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关注者： 414
kaaaf123 发表于
总结的不错
另外可以考虑用odesolver求解
而且再比较效率的同时再比较下精度就更加完善了
多谢你的建议！上面都是按默认精度在比较，我争取下次分享的时候把精度考虑进去。
另外，能否简要指导一下，odesolver求解方法或思想？
关注者： 201
本帖最后由 kaaaf123 于
04:39 编辑
winner245 发表于
多谢你的建议！上面都是按默认精度在比较，我争取下次分享的时候把精度考虑进去。
另外，能否简要指导一 ...
我是说不同积分算法的精度，例如quadv应该是是基于quad，quad的特点是速度快精度低；另外odesolver的精度估计也不是很高
就用你给的例子好了：
t = 10*rand(2,6);
f = @(t)@(x,~) (x.^2-1)./(x.^2+1).*cos(t(:).*x.*exp(-x));
[~,y] = ode45(f(t),[0 .5 1],zeros(size(t)));
y = reshape(y(3,:),size(t));
也可以不用嵌套匿名函数，而直接用参数，中间两句改为
f = @(x,~) (x.^2-1)./(x.^2+1).*cos(t(:).*x.*exp(-x));
[~,y] = ode45(f,[0 .5 1],zeros(size(t)));
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本帖最后由 winner245 于
02:51 编辑
kaaaf123 发表于
我是说不同积分算法的精度，例如quadv应该是是基于quad，quad的特点是速度快精度低；另外odesolver的精度 ...
kaaaf123 提供的这个 用 odesolver 求解向量化定积分 的例子实在是太经典了！创意很好、很新颖！不过，kaaaf 兄的代码实在是太精炼了，很多人未必能真正体会到这个方法的精髓。下面，基于我个人的理解加以解释。
1. 先说说 odesolver 求解定积分，尤其是向量化定积分的原理
我们常见的 odesolver 函数，比如：ode45、ode23、ode15s， 都是把方程组里多个微分方程看做一个整体（列向量），通过一次 odesolver 函数调用来求解每个微分方程。如果我们将每个参数值 t 对应的定积分的被积函数看做一个微分方程，我们就得到了一个微分方程组，方程的个数正好等于 t 的不同取值个数。然后，直接用 odesolver 求解该微分方程组，得到的就是我们要求的不同参数 t 对应的积分。
2.&&odesolver 函数要求微分方程组是一个函数句柄，且该函数句柄返回的是一个列向量。这就是上述代码中为什么出现了 t(:)
3. odesolver 求解微分方程组时，定义的函数默认是两个自变量，常见的形如： y' = f(x, y)，这里的微分是针对第一个变量 x 进行。odesolver 考虑的是一般情形，即微分方程组右边还会出现 y。而本帖考虑的积分全部是 y = int f(x) dx 的情形，也就是微分方程里不包含第二个变量 y。但是，为了符合 odesolver 的语法规则，我们依然需要将 f 定义为两个自变量，第二个自变量可以随意给个名字，也可以像 kaaaf123 那样，直接给个占位符 ~。
4. 正是因为我们的积分函数是 y = f(x) ，而不是 odesolver 的一般情形 y ' = f(x, y)，我们可以任意指定 y 在积分起始点 0 处的初值（这是因为 y 并没有出现在 f 中，任意给定的初值并不会改变微分方程组本身）。待我们按任意初值求得积分后，我们还需要用求得的积分数值减去我们指定的初值，这样求得的差值才是我们真正需要的定积分。举个例子，我们将上面代码里的初值改成随机数：t = 10*rand(2,6);
f = @(t)@(x,~) (x.^2-1)./(x.^2+1).*cos(t(:).*x.*exp(-x));
[~,y] = ode45(f(t),[0 .5 1],rand(size(t)));
y = reshape(y(3,:)-y(1,:),size(t))复制代码可以发现，这段代码得到了相同的结果。显然，为了省去最后这一步求差值，最方便的办法莫过于把初值全部设置为0，这也就是 kaaaf123 的做法 （现在，大家能知道上面代码的精妙所在了吧）
5. odesolver 默认是求解积分区间（这里是[0,1]）上许多个点的积分，并将每个点的结果全部存储到返回值里，这样，返回值的每一行对应一个点的积分，最后一行就是积分终点1的积分，第一行就是积分初值。但我们这里显然只需要得到最后一个点积分值，中间的积分值是不需要的，为了避免无谓的存储开销，可以将积分区间参数指定为3个变量，即在0~1之间增加一个点（如0.5），变成了 [0 0.5 1]，odesolver 就默认只存储这3个点的积分数值了，这样能节省一点内存（但odesolver 内部还是会自动计算每个点的积分，只是不会全部存储，因此，这样做不会对运算效率有明显的影响）。另外，这个点是可以在积分区间里随意选取的，kaaaf123 选的是积分区间的中点0.5。因为我们只关心终点1处的积分，故需要取最后一行（第3行），这就是上面代码里为什么是 y(3,:)
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信息来源：胜利日报班级量化积分统计表_百度文库
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你可能喜欢核心提要●梳理60条具体情形，把够不上违规违纪，但让群众反感的言行纳入监管视线●坚持量化积分管理，以负面清单为扣分准线，根据扣分累积情况分类处置●采取“一人一册”“一年一表”“一期一库”，确保刚性处置触线扣分干部本报奉化讯 （通讯员 邬利辉）在突发事件处理中严重失职造成恶劣影响，下！对配偶、子女、身边工作人员违法违纪行为知情不管，下！……日前，浙江奉化市制定出台《实施不适宜担任现职领导干部负面清单管理制度暂行办法》，通过建立60条负面清单深化不适宜担任现职领导干部退出机制，严厉整治“庸懒散”不正之风。目前，已有5名领导干部因符合负面清单有关情形，被给予改任、免职、召回、诫勉谈话等组织处理。该市全面梳理分析历年来干部违规违纪和调整处置有关情形，结合信访举报、群众反响强烈的不良言行等信息，按照政治素质、工作能力、工作作风、廉洁自律四大类，提炼形成“工作适应性差，到新岗位较长时间后仍难以有效打开工作局面”“工作中不催不办、不推不动、拖拉推诿、拈轻怕重等‘中梗阻’现象”“社会交往杂滥，有不正常小圈子，损害干部形象”等60条具体情形，把一些虽够不上违规违纪，但让群众反感的干部言行纳入监管视线。为增强干部下的可操作性，该市推行积分管理分类处置。以60条负面清单为扣分准线，视情节轻重、负面影响程度、主体责任情况分别赋予2-10分不同分值，并根据扣分累积情况分类处置。领导干部在2年周期内，扣分值达到10分的，列入不适宜担任现职领导干部建议调整名单，组织部门根据其素质能力、个性特征、身体原因等实际，作出轮岗、改任、降职、免职等组织处理。扣分值在5-9分的，列入召回管理领导干部建议名单，采取离岗集中教育培训、安排实践岗位锻炼等办法，视情形安排原职或给予相应组织处理。扣分值未达5分的，则由组织部门进行提醒、函询或诫勉谈话，对苗头性、倾向性问题咬耳扯袖。今年2月，该市组织慰问优抚对象，某局、某街道相关责任人员因情况不清、作风不实，造成工作严重差错，依据负面清单管理制度，对负有直接领导责任的某局局长扣10分，作出免职的组织处理，对某局分管副局长、某街道分管领导扣4分，相应作出诫勉谈话等组织处理。该市拓宽干部负面言行来源渠道，构建立体化监管模式，把上级领导、各单位党委（党组）和主要负责人提出的建议，以及群众来信来访、社会舆情反映具体问题都作为扣分情形的线索来源，结合巡查巡视、纪检监察、审计信访、督查考核等工作提供的素材，最大限度掌握干部触碰负面清单情况。同时，加强调查核准力度，建立扣分情形实时考察机制，组织部门会同市纪委等有关部门组建考察组，通过函询、面谈、征求意见等方式进行核实，结合干部一贯表现实行综合分析，确保干部下得科学规范、公正公平。今年2月，某局一名副局级干部无故连续旷工7天，且平时工作精力不集中，责任心不强、作风不检点，造成严重负面影响，经研究决定扣10分，给予该同志降级的组织处理。为确保刚性处置触线扣分干部，该市建立定期盘点制度。“一人一册”建立扣分干部档案，列明具体情形和处置措施；“一年一表”汇总每年干部下的情况，梳理分析重点负面情形，以及重点部门和岗位；“一期一库”建立每周期被处置干部库，明确被调离岗位、免职的一年内不得提拔，降职的两年内不得提拔。健全后续保障机制，对因工作问责、不适宜担任现职调整下来的干部，继续关心关爱给予指导帮助，根据工作需要，按照德才表现和工作实绩，经组织考察后符合任职条件的，重新进行任职。
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