求平行于向量a=(2,-1,2)且在x,z轴截距分别为-2,3的平面方程
yaofen0006C
在x,z轴截距分别为-2,3的平面过点A(-2,0,0),B(0,0,3),向量AB=(2,0,3),设所求平面的法向量为m=(n,p,1),则ma=2n-p+2=0,mAB=2n+3=0,解得n=-3/2,p=-1.∴m=(-3/2,-1,1)=(-1/2)(3,2,-2),∴所求平面方程是3x+2y-2(z-3)=0,即3x+2y-2z+6=0.
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3.2第1课时
本 专 题 栏 目 开 关3.2 第1课时第 1 课时本 专 题 栏 目 开 关空间向量与平行关系1．理解直线的方向向量和平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系．3.2 第1课时在学习用空间向量方法证
明平行关系、 垂直关系时，本 专 题 栏 目 开 关应先复习必修二中学习的线面、面面平行与垂直的判定 定理， 将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算， 体现向量的工具性作用.填一填? 知识要点、记下疑难点3.2 第1课时1．直线的方向向量和平面的法向量本 专 题 栏 目 开 关直线的方 向向量 平面的法 向量能平移到直线上的 ________ 非零 向量，叫做 直线的一个方向向量 直线 l⊥ α，取直线 l方向向量 n， 的 __________ 叫做平面 α 的法向量填一填? 知识要点、记下疑难点3.2 第1课时2.空间中平行关系的向量表示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向 量分别为 μ，v，则本 专 题 栏 目 开 关线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直a∥b ? a＝ kb (k∈ R) l∥ m? ________a⊥u ? ________ a? u=0 l∥ α? ________u＝kv(k∈R) α∥ β? ________ μ∥v ? ____________l⊥ m? a⊥ b? a? b＝ 0 l⊥ α? a∥ u? a＝ ku， k∈ R α⊥ β? u⊥ v?u? v＝ 0.研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时探究点一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系本 专 题 栏 目 开 关问题 1 对于一条确定的直线和一个确定的平面， 它的方向 向量及法向量有几个？答案 一条直线的方向向量有无数多个，它们都是共线 向量；一个平面的法向量也有无数多个，它们也都是共 线向量．研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时问题 2 怎样求一个平面的法向量？ 答案 若要求出一个平面的法向量的坐标， 一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)．本 专 题 栏 目 开 关②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝ (a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组 ? ? a＝0， ?n? ?a1x＋b1y＋c1z＝0， ? 即? ? ? b＝0. ?n? ?a2x＋b2y＋c2z＝0.④解方程组，利用赋值法，只要给 x，y，z 中的一个变 量赋一特值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋 值不同，所求法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时试一试已知 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的本 专 题 栏 目 开 关一个法向量． 解 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． → → 由题意AB＝(－1,1,0)，BC＝(1,0，－1)．→ → ∵n⊥AB且 n⊥BC， ? → ?n? AB＝－x＋y＝0， ∴? → ? BC＝x－z＝0， ?n?令 x＝1，得 y＝z＝1.∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1， l2 的方向向量分别是 a＝(1，－ 3，－1)， b＝ (8,2,2)；本 专 题 栏 目 开 关(2)平面 α， β 的法向量分别是 u＝ (1,3,0)， v＝(－ 3， － 9,0)； (3)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝ (1， － 4，－ 3)， u＝ (2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量， 平面 α 的法向量分别是 a＝ (3,2,1)， u＝ (－ 1,2，－ 1)．解 (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，∴a? b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即 l1⊥l2.研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时(2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，∴v＝－3u，∴v∥u，即 α∥β.本 专 题 栏 目 开 关(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a? u≠0 且 a≠ku (k∈R)， ∴a 与 u 既不共线也不垂直，即 l 与 α 相交但不垂直． (4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)， ∴a? u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，即 l?α 或 l∥α.研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时小结 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂 直)；否则两直线相交或异面．本 专 题 栏 目 开 关(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂 直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面 内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直． (3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否 则两平面相交但不垂直．研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时跟踪训练 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1 与 l2 的方向向量分别是 a＝ (2,3，－ 1)， b＝ (－ 6，－ 9,3)；本 专 题 栏 目 开 关(2)直线 l1 与 l2 的方向向量分别是 a＝ (－ 2,1,4)， b＝ (6,3,3)； (3)平面 α 与 β 的法向量分别是 u＝ (1，－ 1,2)， ? 1? v＝?3， 2，－ ?； 2? ? (4)平面 α 与 β 的法向量分别是 u＝ (2，－ 3,4)， v＝ (4，－ 2,1)； (5)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝ (0，－ 8,12)， u＝ (0,2，－ 3)．研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时解(1)∵ a＝ (2,3，－1)，b＝(－ 6，－ 9,3) 1 ∴a＝－3b，∴a∥b，∴l1∥l2. (2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a? b≠0 且 a≠kb(k∈R)， ∴a，b 既不共线也不垂直，即 l1 与 l2 相交或异面． ? 1? (3)∵u＝(1，－1,2)，v＝?3，2，－2?， ? ?本 专 题 栏 目 开 关∴u? v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即 α⊥β. (4)∵u＝(2， －3,4)， v＝(4， －2,1)， ∴u? v≠0 且 u≠kv(k∈R)， ∴u 与 v 既不共线也不垂直，即 α 和 β 相交但不垂直． (5)∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)， 1 ∴u＝－4a，∴u∥a，即 l⊥α.研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时探究点二 用向量法证明立体几何定理 例 2 证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行．本 专 题 栏 目 开 关已知：直线 l，m 和平面 α，β，其中 l，m?α，l 与 m 相 交，l∥β，m∥β，求证：α∥β.证明 设相交直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量分别为 u，v， 因为 l∥β，m∥β，所以 a⊥v，b⊥v. 所以 a? v＝0，b? v＝0.因为 l，m?α，且 l，m 相交， 所以 α 内任一直线的方向向量 p 可以表示为如下形式p＝xa＋yb，x，y∈R.研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时因为 p? v＝(xa＋yb)? v＝xa? v＋yb? v＝0，即平面 β 的法线与平面 α 内任一直线垂直．本 专 题 栏 目 开 关所以平面 β 的法向量也是平面 α 的法向量，即 u∥v.因此，α∥β. 小结 在 “平面与平面平行的判定定理 ” 的证明过程中突出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用 向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是 重要的工具．研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时跟踪训练 2 用向量方法证明： 平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 已知：直线 l，m 和平面 α，其中 l?α，m?α，且 l∥m，本 专 题 栏 目 开 关求证：l∥α.证明 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α 的 法向量分别为 u.因为 l∥m，所以 a＝kb，k∈R. 又因为 u⊥α，m?α，所以 u⊥b， 因此 u? b＝0，u? a＝u? kb＝0.所以 l∥α.研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时探究点三 利用空间向量证明平行关系 问题本 专 题 栏 目 开 关怎样利用向量证明空间中的平行关系？可以按照下列方法证明空间中的平行关系. 线线 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 平行 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R) ①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 线面 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a? u＝0； 平行 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可；答案研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时线面本 专 题 栏 目 开 关③证明一条直线 l 与一个平面 α 平行， 只需证明 l 的方向向量能用平面 α 内两个不共线向量线性 表示 ①转化为相应的线线平行或线面平行； ②求出平面 α，β 的法向量 u，v，证明 u∥v， 即可说明 α∥β平行 面面 平行研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时例 3 已知正方体 ABCD―A1B1C1D1 的棱长为 2，E、 F 分 别是 BB1、DD1 的中点，求证： (1)FC1∥平面 ADE；本 专 题 栏 目 开 关(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， → → → 所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，→ → 则 n1⊥DA，n1⊥AE，研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时? → ? ?n1? DA＝ 2x1＝0 ?x1＝ 0 即? ，得? ， ? → ?z1＝－ 2y1 ? AE＝ 2y1＋ z1＝0 ?n1?令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1,2)． → → 因为FC1? n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1.又因为 FC1?平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE. → (2)∵C1B1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个 → → 法向量．由 n2⊥FC1，n2⊥C1B1， ? → ? ?n2? FC1＝2y2＋z2＝0 ?x2＝0 得? ，得? . ? → ?z2＝－2y2 ? n ? C B ＝ 2 x ＝ 0 ? 2 1 1 2令 z2＝2，得 y2＝－1，所以 n2＝(0，－1,2)， 因为 n1＝n2，所以平面 ADE∥平面 B1C1F.本 专 题 栏 目 开 关研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时本 专 题 栏 目 开 关小结利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量 之间的关系证明平行问题．研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时跟踪训练 3 如图，在四棱锥 S―ABCD 中，底 面 ABCD 为正方形，侧棱 SD⊥底面 ABCD， E、F 分别为 AB、SC 的中点．本 专 题 栏 目 开 关证明：EF∥平面 SAD.证明 建立如图所示的空间直角坐标系．设 A(a,0,0)，S(0,0，b)，则 B(a，a,0)， ? ? ? a a b? C(0，a,0)，E?a， ，0?，F?0， ， ?. 2 2 2? ? ? ? b? → ? EF＝?－a，0，2?. ? ?取 SD 的中点? b? G?0，0，2?，连接 ? ?AG，研一研? 问题探究、课堂更高效3.2 第1课时本 专 题 栏 目 开 关b? → ? 则AG＝?－a，0， ?. 2? ? → → 因为EF＝AG，所以 EF∥AG，又 AG?平面 SAD，EF?平面 SAD， 所以 EF∥平面 SAD.练一练? 当堂检测、目标达成落实处3.2 第1课时1．若 a＝(1,2,3)是平面 γ 的一个法向量，则下列向量中能本 专 题 栏 目 开 关作为平面 γ 的法向量的是 A．(0,1,2) C．(－1，－2,3) B．(3,6,9) D．(3,6,8)( B )解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．练一练? 当堂检测、目标达成落实处3.2 第1课时2．若 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方本 专 题 栏 目 开 关向向量为( A )A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) → → 解析 ∵AB＝(2,4,6)， 而与AB共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量．练一练? 当堂检测、目标达成落实处3.2 第1课时3．若两个不同平面 α， β 的法向量分别为 u＝(1,2，－1)， v＝(－3，－6,3)，则本 专 题 栏 目 开 关( A ) B．α⊥β D．以上均不正确A．α∥β C．α，β 相交但不垂直解析 ∵v＝－3u，∴v∥u.故 α∥β.练一练? 当堂检测、目标达成落实处3.2 第1课时本 专 题 栏 目 开 关4．已知 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向 ? ? 1 量为?1， ，2?，则 m＝________. －8 2 ? ? ? 1 ? 1 ?1， ，2?＝2＋ m＋2＝0. 解析 ∵(2，m,1)? 2 ? 2 ?∴m＝－8.练一练? 当堂检测、目标达成落实处3.2 第1课时5．正方体 ABCD―A1B1C1D1 中，证明：平面 A1BD∥平面 CB1D1.证明本 专 题 栏 目 开 关以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为x，y，z 轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长 为 1.则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)． → → → ∴A1D＝(－1,0，－1)，A1B＝(0,1，－1)，D1B1＝(1,1,0)， → D1C＝(0,1， －1)， 设平面 A1BD 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，练一练? 当堂检测、目标达成落实处3.2 第1课时? → ?n1? A1D＝0， 则? → ? A1B＝0 ?n1?? ?－ x1－ z1＝ 0， ?? ? ?y1－ z1＝ 0，令 z1＝1，得 x1＝－1，y1＝1.本 专 题 栏 目 开 关∴平面 A1DB 的一个法向量为 n1＝(－1,1,1)．设平面 CB1D1 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， ? → ? ?n2? D1B1＝0， ?x2＋y2＝0， 则? ?? ? → ?y2－z2＝0， ? D1C＝0， ?n2?令 y2＝1，得 x2＝－1，z2＝1，∴n2＝(－1,1,1)，∴n1＝n2，即 n1∥n2.∴平面 A1BD∥平面 CB1D1.3.2 第1课时1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系， 用空间向量表示问本 专 题 栏 目 开 关题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向 量问题； (2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系 (距 离和夹角等)； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题． 2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的 法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量 共线来证明 .
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A．（0，-3，1）
B．（2，0，1）
C．（-2，-3，1）
D．（-2，3，-1）
∵（-2，3，-1）=-（2，-3，1），∴向量（-2，3，-1）与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量．故选D．
=（2，-3，1）是平面α的一个...”；主要考察你对
等知识点的理解。
下列说法正确的是(
A．为了检测一批电池使用时间的长短，应该采用全面调查的方法；
B．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大；
C．打开电视一定有新闻节目；
D．为了解某校学生的身高情况，从八年级学生中随机抽取50名学生的身高情况作为总体的一个样本.
下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③若点A在y=2x-3上，且点A到两坐标轴的距离相等时，则点A在第一象限；④半径为5的圆中，弦AB=8，则圆周上到直线AB的距离为2的点共有四个。正确命题有（　▲　）
下列说法“①任意两个正方形必相似；②如果两个相似三角形对应高的比为4：5，那么它们的面积比为4：5；③抛物线y=-（x-1）2+3对称轴是直线x=1，当x＜1时，y随x的增大而增大；④若
；⑤一元二次方程x2-x=4的一次项系数是-1；⑥
不是同类二次根式”中，正确的个数有（　　）个
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该知识易错题
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