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周长的认识
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你可能喜欢在磨课中反思，在反思中前行―以《周长》为例（张倩芸）--艺小低语
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在磨课中反思，在反思中前行―以《周长》为例（张倩芸）　
14:34:00 | By: 林中鸟 ]
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数学概念是根据小学生的思维特点和接受程度用不同的方式来进行揭示的：有的概念是正式下定义的，有的则是通过具体的描述、举例等方法直观给出的，还有一些原始概念既不下定义，也不给描述，而是作为口语或常识应用的。“周长”这一概念在揭示时应该属于第一种。针对这一事实，又面对一群活泼天真的三年级学生，我通过三个步骤来教学“周长”这个概念。
1.概念的引入。
在一次次的试教、探讨与反思中，对概念的引入部分不断地修改，尝试，再修改，在
转变教学方式的同时，激发学生的学习动力。
教学引入片段（初稿）：
师：这是我们每天都用到的数学书，请同学们仔细观察，看看书上的小蚂蚁是怎样爬动的？（播放课件小蚂蚁绕数学书一周的爬动过程）
生：小蚂蚁
小蚂蚁沿着数学书周长爬了一圈
师：像小蚂蚁一样，沿着数学书的边缘爬一圈，也就是一周，我们说小蚂蚁爬的长度就是这本数学书封面的周长，这节课我们就一起来学习有关周长的知识。（板书课题：周长）
教学引入片段（修改）：
师：（板书：周）同学们，老师写的这个字念什么？可以给这个周组个什么词语呢？
师：（指实物数学书）这是我们的数学书，请同学们仔细观察老师的动作（用手指绕数学书周长指一圈）谁来说说刚才老师是怎么指的？
生：老师的手指在数学书周围绕了一圈
生：老师绕着数学书周长指了一圈
师：那么刚才指的是我们之前说的哪个周呢？今天这节课我们就一起来学习有关周长的知识。（完整板书课题：周长）
教学引入片段（终稿）：
师：（板书：周）同学们，我们班是不是有姓周的小朋友啊？请姓周的小朋友起立,好吗？
师：我们班姓周的有三位小朋友，那么周除了作为姓之外，谁还能给周组词呢？
(板书:一周)
师：（指着“一周”）一周是什么意思啊?
生：一个星期
师：对啊，一周在时间上可以理解为一个星期，还有没有别的意思啊？
师：那老师这里的一周指的是什么呀？（拿出实物数学书）从这一点出发，再回到这一点（用手指绕数学书周长指一圈）刚才老师是怎么做的？
生：老师的手指在数学书周围绕了一圈
生：老师绕着数学书周长指了一圈
师：一圈就是一周，像这样，绕数学书封面一周的长度，就是数学书封面的周长。天这节课我们就一起来学习有关周长的知识。（完整板书课题：周长）
概念的引入从刚开始的生硬创设情景到最后语文味儿的凸显，经历了几次转变。从教学反馈的情况来看，尽管学生对小蚂蚁绕着数学书封面爬一圈表现出了较大的兴趣，但这样的兴趣并没有落实到学生对数学书封面一周的认识上，对之后学生认识周长的帮助也不大。
因此在修改中，直接舍去情景，通过简单、有趣且富有语文味儿的谈话，直接引入汉字“周”，通过组词帮助学生重点理解“一周”的含义，由此自然过渡到数学书封面一周的认识。在试教以及最后的公开课中，都能感觉到学生经过这样的引导后，能较快进入新一课内容的学习。
2.概念的深化
如果说概念的引入是概念课的关键，那么如何深化概念则是概念课学习的重中之重。新课标在第一学段空间与图形的教学中，指出我们要重视
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&
师：物体的周长我们会指了，那么这些图形你能不能来描一描它们的周长呢？练习纸上有这5个图形，请你用水彩笔描一描它们的周长。好，现在我们一起来看屏幕，你描对了吗?（课件演示图形的周长）
（4）用语言描绘周长。
师：小朋友们真棒，都能准确地描出这些图形的周长，那么现在你能不能用自己的话来说说什么是周长呢？
生：绕图形一周的长度
师：大家觉得还有没有补充？
（5）判断，明确周长的概念。
（出示课件：&&&&& &&&&）那这个图形，你觉得它有周长吗？为什么？
现在呢？（出示课件：& &&&&&&& ）
师：像这样的图形叫封闭图形（板书：封闭图形）那现在谁再来说说什么是周长？（板书完整:封闭图形一周的长度,是它的周长。）
师：那么现在请你们来判断，这些图形中，哪些有周长，哪些没有。
（课件出示各种图形：
&&&&&&&&& &&&&&&& &&&&&&&& &&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&& （1）&&&&& （2）&&&&& （3）&&&&& （4）&&&&&&&& （5）
师：像（2）（5）这样的图形是不封闭的，就没有周长，只有像（1）（3）（4）那样的封闭图形，才有周长。下面请同学们伸出手指，自己来描一描这三个封闭图形的周长。（课件动态演示三个封闭图形的周长）
经过不断地探讨和试教，最终通过对实物图片周长的描，对身边学具周长的找和指，对抽象几何图形周长的描，对概念的描语言描述和对各种图形的判断一系列的体验周长活动，由表及里，由浅入深，由直观到抽象，将概念融入了学生生活，帮助学生逐步建立周长这一概念的表象。
3.概念的巩固
概念的巩固并不是孤立的，它贯穿在概念的深化环节。如果说体验周长环节中最后一个判断活动是对概念的深化的话，那么它也同样是对周长这一概念的进一步巩固。在概念完整出示后，通过判断5个图形是否有周长，来帮助学生进一步巩固对“封闭图形”的理解，明确周长的含义。
从概念的引入到概念的深化再到概念的巩固，让学生在不断的体验中建立周长的概念体系，用自己的思维方式主动地接受，感知，理解和掌握周长的内在含义。
镜头二：将探究活动做实，让学生在操作中体验
学习是需要体验的，教学的目的不只是让学生接受知识，更重要的是让他们通过知识的学习获得终身学习的能力。在本节课的第二大环节探究测量图形周长的方法上，通过学具的准备，学情的预设，时间的控制三个方面，将这样的探究活动做实，让学生在操作中多角度的寻求解决问题的策略。
著名的心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展”。操作的前提是学具，因此学具的准备也不能忽视。
在准备《周长》这节课学生所需学具时，经历了这样几个思考：
（1）选择学具份数。学具的份数由合作的形式决定，由于在探究图形测量方法的过程中，需要学生合作完成，而且只需要学生选择1至2个喜欢图形来测量，因此选择同桌合作的方式进行操作。同桌两人一份学具，在这个过程中也培养了学生保管学具以及合作学习的能力。
（2）线的选择。学具中需要给学生准备一段线，其目的在于让学生能用线围圆的方法来知道圆的周长。由最初的彩带换成最后的粗线，更贴近数学实际，也更符合学生生活实际。
（1）长方形：用尺量长方形的四条边，得出长方形的周长。
&&&&&&&&&&&& 只量长方形的一条长和一条宽，得出长方形的周长
师：（老师拿着长方形走到他身边，让他演示量法）为什么可以只量一条长和一条宽我们就能知道长方形的周长了呢？
师：是啊，我们知道长方形的两条对边是相等的，量一条长和一条宽，算两个长和宽我们就能知道长方形周长了，当然我们也可以把四条边都量出来，相加也能知道长方形的周长。
（2）正方形：量正方形的四条边，可以知道它的周长。
（老师走下去让学生用教具正方形指一指）还有没有别的方法？
&&&&&&&&&&&& 量一条边，可以知道正方形的周长。
师：为什么只量一条边就能知道它的周长了呢？
生：因为正方形四条边相等，量出一条边，乘4就知道它的周长了。
（3）三角形：量三角形的三条边就能知道三角形的周长。
（4）五角星：量出每条边，就知道五角星的周长了。
&&&&&&&&& &&&只量一条边就可以知道五角星的周长。
师：怎么知道量一条边就能知道五角星周长了呢？
生：因为五角星每条边都是相等的，数一数一共几条边，乘一乘就能知道五角星的周长了。&&&
&&&&&&&&&&&& 量一个角旁边的两条边，把它看成一组，然后乘5也能知道五角星的周长了。
（5）圆形：用软尺绕圆形一周，读一读软尺的刻度就能知道圆形的周长了。（师生共同演示方法）
师：把我们的学具软尺利用起来了，真棒，还有没有别的办法呀？
&&&&&&&&&& 在圆形上做个记号，把这个记号对着零刻度线，在直尺上滚一圈就能知道圆的周长了（师生在黑板上共同演示：划一条直线，我们现在把这条线看成是一把直尺，写上0刻度线，在圆上做一个记号，把这个记号对着零刻度线，在直尺上滚一圈到记号处停止，就是圆的周长了）
&&&&&&&&&& 可以用线把圆绕一圈，再用尺量一量线的长度，就是圆的周长。
师：在没有尺的情况下，我们可以利用身边现有的工具量出图形的周长。
师：我们不但认识了周长，还用了这么多不同的方法测量了这些图形的周长，其实周长里面还有很多有趣的知识呢。
尽管课前做了充分得预设，但课堂上仍有一些细节变化是无法预料的，只有在反思每一次的试教中，才能慢慢体会并改进课前的预设，让课堂生成更加精彩，让学生更愿学。
有这样两只小蚂蚁，要在晚饭后去操场散步，绿蚂蚁说要沿着绿色的图形走一周，红蚂蚁说要沿着红色的图形走一周，那谁走的路线长呢？
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展开概念教学的过程
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概念教学对学生成长发展的价值究竟是什么？我们认为，概念教学不仅要帮助学生形成对概念内涵的丰富认识，形成比较和分类、分析与综合、概括与抽象的能力，提升准确、简练和严密的数学语言的表述水平，感悟数学思想方法。
根据小学数学概念形成过程的不同特点，概念教学的结构可呈现为：材料感知—寻找相同中的不同（分类分析）—归纳提炼—抽象命名。这一类概念教学，学生是在大量的感性材料观察和实践活动基础上，用分类分析的方法发现学习材料中的不同特点，再按照不同的特点进行分类从而抽象出概念的本质属性。第二类是材料感知—寻找不同中的相同（聚类分析）—归纳提炼—抽象命名。这一类概念教学，学生是在大量的感性材料观察和实践活动的基础上，用聚类分析的方法发现学习材料中的相同特点从而归纳提炼抽象出概念的本质属性。教师在教学中应对概念的形成过程进行理性分析，针对概念形成的不同特点采取不同的教学方法，让学生在学习概念的过程中体会概念学习的结构，学会分析、比较与概括。
教师在课前必须不断地追问自己：对所教概念的内涵是否清晰？要通过哪些途径来解读教学内容，学生学习的困难在哪里。其次，如何处理好概念教学发展性与阶段性的矛盾：本年段这个概念对于学生来说应掌握到什么程度？后继学习中概念还有哪些发展。再次，教师要不断地提升自己的数学素养。站得更高一点，用发展的眼光来看待我们现在所教学的概念，真正让课堂焕发生命活力，实现师生共同的生命成长。基于以上认识与思考，我们在实践层面进行了探索与反思。
一、关注学生的参与和体验，丰富概念的形成过程
学生对概念的认识有时停留在字面理解上，很难理解其抽象语义。教师在教学中要对所教学的概念进行理性分析，思考所教学的概念是采用分类分析还是聚类分析的方法，所提供的学习材料是否足够丰富？是否能让学生根据自己的经验进行分类或聚类分析，抽象出概念的本质特征？下面就以《认识分数》一课来谈谈我们的一些实践与反思。
以往我们见到的教学流程是“呈现概念—辨析概念—记忆概念—运用概念”，缺失的是在概念形成过程中学生的参与体验和自我建构的真实学习过程。因此，课一开始我们就为学生提供大量的学习材料：各种水果、花朵、动物或者家用物品等集合图，这些集合图里物体的个数有总数相等的，也有不等的；有平均分的，也有不平均分的；有平均分成2份、平均分成3份的，也有平均分成4份的。这些材料呈现在学生面前时教师提问：“上学期我们认识的是一个物体的部分与整体的关系，那么现在每一个物体与它整体之间有怎样的关系？你能给它们分分类吗？”学生这时需要找一个共同的标准去分类，分类的过程是认识、分析材料，并思考这些材料中整体与部分关系的一个真实的体验过程。
学生对这些材料进行分析后出现了几种分类：一级分类，平均分与不平均分的，剩下平均分的继续分类。二级分类，以整体个数为标准进行分类，没有考虑到部分；以部分的个数为标准进行分类，没有考虑到整体；以整体与部分的关系为标准进行分类。三年级的学生很难抓住整体与部分的关系为标准来分，但教师与学生在讨论这些分类及分类标准的过程中逐步剥离事物的非本质属性，向整体与部分之间关系这一本质属性靠拢。教师让学生再次经历这个分类的过程，对这一标准再次感悟：不管总数有多少个，也不管事物的类别是什么，都可以把这些物品平均分成几份。面对一组都是平均分成2份的集合图，在其中的一份涂上颜色。学生会很自然地说出这组图形都可以用来表示。学生用语言来表示自己的理解，也是把内隐的认识用语言表述出来，也是对概念内涵的认识逐步清晰的过程。
学生通过一级分类和二级分类凸显了研究的都是平均分这一本质现象，在分类的过程中学生的感悟是真实的，不是为分类而分类，而是通过这一次次的分类，丰富对分数概念内涵的认识。学生从自己理解的分类，到对他人分类依据的讨论，经历了感知材料、观察比较、讨论辨析、再次分类、归纳提炼的概念建构过程，真正参与到概念形成过程中来。& & &
二、提供典型多样的学习材料，实现概念的整体感悟
在概念教学中，有时教师不注意提供大量的感性学习材料，致使呈现的概念比较狭窄单一。我们期望改变只有知识点而缺乏整体感悟的状态，强调学生对概念内涵的整体感悟和丰富认识，并在整体感悟的过程中提升分类和比较、概括和抽象的与水平。下面以三年级《面积的意义》一课来谈谈我们的实践思考。
整节课分成两大环节：第一环节，教师由直观实物入手，用看、摸、说、听、想的学习活动，抽象出物体表面的大小就是物体表面的面积。具体分这样几个步骤：第一次感悟，摸扇子、照片、卡片、光盘的表面。第二次感悟，同桌互相摸积木、茶杯、药盒的表面，说说摸的是什么面，感悟表面有几个，有的是平面，有的是曲面。第三次，感悟物体表面有大小，比较数学书的封面与卡片封面的大小，并找一找比数学书封面大的面，比卡片封面小的面。在此基础上，概括面积概念。这样教学，注意提供大量丰富而典型的感性材料，让学生在充分感知的基础上由“物体有面—每个面有大小—几个面的大小是物体表面的面积”， 逐步抽象出面积的概念。
学生初步认识面积概念之后，我们又为每个小组准备了下面的学习材料：相同的是，一个信封里有四个图形，1号图形与2号图形可以一眼比较出大小，3号图形是边长为6厘米的正方形，4号图形是长为8厘米、宽为4厘米的长方形。不同的是，有的组提供彩色卡纸，有的组提供字母卡片、透明方格纸，还有的组是把这两个图形印在一张纸上。学生在比较3号和4号图形哪个面积大时，出现了多种比较方法：3号和4号图形可以重叠比较大小；用透明方格纸或字母卡片量；量边长，因为6＋6=12（厘米），8＋4=12（厘米），周长一样长，所以面积是一样大的。对于量边长的方法，教师组织学生辨析，体会面积的大小比较必须用面去量，而不是以前所学的长度单位去量。学生通过对外部的肯定或否定反应所获得的反馈信息进行不断地选择，从而概括出面积概念的本质属性。用字母卡片和用透明的格子纸量等许多方法，都蕴涵了比较面积需要运用统一的标准，面积单位的意义也就孕伏其中。
上述两个环节，通过丰富的学习材料让学生在整体感知的基础上不断地比较辨析、自主建构。学生利用已有的知识经验，在尝试和探究中不断理解面积的内涵和外延。
三、给予学生表述交流的机会，重视概念的归纳和提炼
& & 在概念形成过程中，我们不仅要关注学生对概念感性材料的整体感悟，关注学生的参与体验，还要关注学生在构建概念过程中的语言表述。
& & 研究《认识周长》这一课时，教师就有意识地提供给学生表述概念的机会。课一开始播放上海赛车比赛的录像，赛车绕“上”跑道的周长跑56圈。教师引出周长，并让学生指一指身边物体的周长，提供给学生红包、盖子、 树叶、学习用品等，学生在小组中交流。这时学生对周长的认识是比较直观的：红包外面的一周是红包的周长；沿着树叶的边比画，这是树叶的周长；手指绕树叶一周，从这儿一直到这儿才是树叶的周长。在此基础上，教师让学生量一量这些物体的周长。学生活动，交流用尺量、滚动一周量、用线绕等各种量法，活动后教师再次请学生根据上面的活动谈一谈什么是周长。这时学生对周长的内涵有了进一步的认识，表述语言逐步深入：周长可以用尺量的；树叶、盖子、树枝的周长都可以用一根线绕出来；周长就是物体一周的长度……教师又组织第三次活动：提供一些平面图形，有封闭的也有不封闭的，让学生画出平面图形的周长，学生操作并交流。在以上活动基础上，教师让学生用准确简练的语言来说说什么是周长。学生有了丰富的感性认识，多数都能概括提炼：图形的一周是这个图形的周长；周长是指封闭图形一周的长度；周长是物体一周或封闭图形一周的长度……
& & 数学语言是精练、准确、逻辑性很强的语言。在课堂教学中引导学生运用数学语言来表述自己的思维是数学教师的重要责任。从以上案例我们可以看出，教师不仅让学生经历丰富的感知、比较过程，而且在每一个环节都让学生用自己的语言概括对周长的认识，学生的认识逐步完善、逐步清晰，数学语言的表述水平也逐步得到了提高，抽象和概括能力得到了培养。
总之，数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，而且是学习其他数学知识的基础，也是培养学生数学思维能力、感悟数学思想方法的重要途径。学生学习概念是在教师指导下的自主建构与生成的过程。要充分体现概念教学过程的教育价值。
责任编辑：
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