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设f(x)=x33，对任意实数t，记gt(x)=t23x-23t．（I）求函数y=f（x）-g8（x）的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得g8（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立．
题型：解答题难度：中档来源：浙江
（I）y=x33-4x+163．由y'=x2-4=0，得x=±2．因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，当x∈（-2，2）时，y'＜0，当x∈（2，+∞）时，y'＞0，故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），单调递减区间是（-2，2）．（II）证明：（i）方法一：令h(x)=f(x)-gt(x)=x33-t23x+23t(x＞0)，则h′(x)=x2-t23，当t＞0时，由h'（x）=0，得x=t13，当x∈(x13，+∞)时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(t13)=0．故当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立．方法二：对任意固定的x＞0，令h(t)=gt(x)=t23x-23t(t＞0)，则h′(t)=23t-13(x-t13)，由h'（t）=0，得t=x3．当0＜t＜x3时，h'（t）＞0．当t＞x3时，h'（t）＜0，所以当t=x3时，h（t）取得最大值h(x3)=13x3．因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．（ii）方法一：f(2)=83=gt(2)．由（i）得，gt（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x0=2，使得gx（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．下面证明x0的唯一性：当x0≠2，x0＞0，t=8时，f(x0)=x033，gx(x0)=4x0-163，由（i）得，x033＞4x0-163，再取t=x03，得gx03(x0)=x033，所以gx(x0)=4x0-163＜x033=gx03(x0)，即x0≠2时，不满足gx（x0）≥gt（x0）对任意t＞0都成立．故有且仅有一个正实数x0=2，使得gx（x0）0≥gt（x0）对任意正实数t成立．方法二：对任意x0＞0，gx(x0)=4x0-163，因为gt（x0）关于t的最大值是13x03，所以要使gx（x0）≥gt（x0）对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0-163≥13x03，即（x0-2）2（x0+4）≤0，①又因为x0＞0，不等式①成立的充分必要条件是x0=2，所以有且仅有一个正实数x0=2，使得gx（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立．
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据魔方格专家权威分析，试题“设f(x)=x33，对任意实数t，记gt(x)=t23x-23t．（I）求函数y=f（x）-g8..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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& 已知函数f x 2log1 3x 已知函数f(x)=log1/2(ax^2+3x+a+1) 对于x属于[1,2],不等式（。
已知函数f x 2log1 3x 已知函数f(x)=log1/2(ax^2+3x+a+1) 对于x属于[1,2],不等式（。
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已知函数f(x)=log1/2(ax^2+3x+a+1) 对于x属于[1,2],不等式（。你好：解：（1/2）^f(x)-3x=(1/2)^[log&1/2&（ax²+3x+a+1）]-3x=ax²+3x+a+1-3x=ax²+a+1≧2即已知不等式 ax²+a-1≧0 在区间[1,2]内恒成立，设y=ax²+a-1，由于a是正实数，故y的图像是一条开口朝上的抛物线，其顶点为（0,a-1），故区间[1,2]在其对称轴的右侧，为了使不等式y=ax²+a-1≧0 在区间[1,2]内恒成立，必须使y(1)=2a-1≧0，即a≧1/2. 如果满意记得采纳哦！求好评！（*^__^*） 嘻嘻&&我还没上那么高的年纪呢。已知x0是函数f(x)=2^x-log1/3x的零点,若0&x1&x0则f(x1)的值。当x&0时2^x-log1/3x=2^x+log3x 2^x是递增函数，log3x在x&0也是递增函数。所以f(x)单调递增 所以若0&x1&x0 f(x0)=0&f(x1)。已知函数f(X)=log1/2(ax2+3x+a+1) 当a=0时求函数f(x)的定。a=0时，3x+1&0 定义域为 x&-1/3 值域为R，单调递减区间为（-1/3，+无穷大）。已知函数f(x)=log²3x-1/3x+1 1.求函数的定义域 2.证明函数是。f(x)=log²（3x-1）/(3x+1)吧定义域 ：（3x-1）(3x+1)&0x&1/3 or x&-1/3f(x)+f(-x)=log2 [(3x-1)/(3x+1)]+log2 [(-1-3x)/(1-3x)=log2[(3x-1)/(3x+1)*(1-3x)/(1-3x]=log2 1=0即：f(-x)=-f(x) 加上定义域是对称的所以函数是奇函数f(x)=log²（3x-1）/(3x+1)x (3x-1)(3x+1)&0x&1/3 or x&-1/3f(x)+f(-x)=log2 [(3x-1)/(3x+1)]+log2 [(-1-3x)/(1-3x)=log2[(3x-1)/(3。已知函数f(x)=log1/2(ax^2+3x+a+1) 已知函数f(x)=log&1/2&（ax²+3x+a+1） ；对于x&[1,2]，不等式（1/2）^f(x)-3x≧2恒成立，求正实数a的取值范围 解：（1/2）^f(x)-3x=(1/2)^[log&1/2&（ax²+3x+a+1）]-3x=ax²+3x+a+1-3x=ax²+a+1≧2 即已知不等式 ax²+a-1≧0 在区间[1,2]内恒成立，设y=ax²+a-1，由于a是正实数，故y的图像 是一条开口朝上的抛物线，其顶点为（0,a-1），故区间[1,2]在其对称轴的右侧，为了使不等式 y=ax²+a-1≧0 在区间[1,2]内恒成立，必须使y(1)=2a-1≧0，即a≧1/2. 这就是a的取值范围。已知函数f(x)=log1/2x+5的定义域是【2,4】,求f(x)的值域_百。根据对数函数性质2x-3=1时loga(2x-3)=0，则x=2,y=-1∵|x|&0， ∴函数的定义域是{x|x&R且x&0}.显然y=log2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x&0时，y=log2|x|y=log2x.故可画出y=log2|x|的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（-&，0），递增区间是（0，+&）.
原方程可转化为f(x)=-log2x+5[2,4]& log2x&[1,2]&f(x)&[3,4]x=1解：（1）f(x)=log(1/2)(x+5)x+5&[7,9]所以f(x)&[log(1/2)9,log(1/2)7](2)|log2|x||单调递增区间为（1，正无穷]（3）logx+4[x^2。已知函数f(x)=log1/2(ax^2+3X+a+1)当a=0时,求函数的定。a=0时，3x+1&0 定义域为 x&-1/3 值域为R，单调递减区间为（-1/3，+无穷大）。已知函数f(x^2-1)=log m((x^2)/(2-x^2))(m&O且m&1)） - 搜。f(x)+f(-x)=log以a为底（1+x^2-x^2）=log以a为底1的对数=0. 所以为奇函数。已知函数F(X)=log(2+x)+alog2(2-x)为奇函数,（1）求a的值（2）。解：因为函数F(X)=log(2+x)+alog2(2-x)为奇函数， 又因为F(x)定义域为（-2,2） 所以F(0)=0成立 log2(2)+alog2(2)=0 则a=-1 F(x)=log2(2+x)-log2(2-x) 可变形为F(X)=log2(2+x/2-x) 若要F(X)&log2(3x) 只需2+x/2-x&3x 因为F(x)定义域为（-2,2） 所以2+x&6x-3x² 则2/3&x&1。已知函数f(x)=x^3-x^2log1/2(a^2-2a-2)-3x+20,a属于R。OK。
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定义函数：f（x）=[x]，x大于等于0，若不等式f（β）大于等于-a^2-2a+1.5恒成立，则实数β的取值范围是
09-10-18 &
&img src=&&&因为函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x大于等于0时f（x）=2x-x^2，那么函数y=f(x)，当x&0时&/p&f(x)=x^2+2x，其函数图象草画如上图。&/p&问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[1/b，1/a]，可以理解成函数y=f(x)的图象上是否存在一段曲线，该曲线上点的横坐标在[a，b]上，纵坐标在[1/b，1/a]上。下面我们用探究的方式，去找正数a、b。&/p&因为a、b&0，从图上看出，要找的那段曲线只能在y=f(x)图象当x∈（0，2]的部分上，即[a，b]是（0，2]的子集。&/p&如果0&a&1，那么1/a&1，但函数y=f(x)，x∈（0，2]的值域是（0，1]，区间[1/b，1/a]不是（0，1]的子集；如果0&b&1，那么1/b&1，但函数y=f(x)，x∈（0，2]的值域是（0，1]，区间[1/b，1/a]不是（0，1]的子集；那么范围缩小到[a，b]是[1，2]的子集，此时[1/b，1/a]也是（0，1]的子集，而且a&b也能得到1/b&1/a，看来要找的a、b要浮出水面了（^&^）&/p& 因为函数y=f(x)在[1，2]上是减函数，是否有f(a)=1/b，且f(b)=1/a呢？如果f(a)=1/b，且f(b)=1/a，那么2a-a^2=1/b.....（Ａ）&/p&2b-b^2=1/a......(B)由（Ａ）÷（Ｂ）得到：（２a-a^2)/(2b-b^2)=a/b，化简得（２-a)/(2-b)=1，得到a=b，与前提a&b矛盾。&/p& 是否有f(b)=1/b呢？如果f(b)=1/b ，那么2b-b^2=1/b，得到一个含b的一元三次方程：b^3-2b^2+1=0容易看出b=1是这个方程的一个根，那么该方程可化为：(b-1)(b^2-b-1)=0解一元二次方程：b^2-b-1=0，得：b=(√5+1)/2或b=(1-√5)/2(它小于零，舍去）这样一来，f(b)=1/b在［１，２］上有两个根，他们是１，(√5+1)/2。&/p&因f(1)=1，所以函数y=f(x)在［１，(√5+1)/2］上的值域是［２／(√5+1)，１］&/p&那么存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[1/b，1/a]，此时&/p&a=1，b=(√5+1)/2。&/p&
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设x,y,z&0，x+y+z=1，f:(0,1)→R为连续可导函数，试讨论f(x)+f(y)+f(z)的最值？
此问题由另一问题（高中时代碰到的一道代数学最小值题目，不知是否有初等解答？）一般化而来，原问题因被怀疑是个人任务或未经思考而被关闭，故补充思考过程如下：原问题：设，求的最小值。令，则。令，则，。此即为本题要讨论的一般情况。对于原问题，即的情况，我们猜测当时，取到最小值，进而作的函数图像在处的切线，可以证明当时，。但对于,
此问题由另一问题（高中时代碰到的一道代数学最小值题目，不知是否有初等解答？）一般化而来，原问题因被怀疑是个人任务或未经思考而被关闭，故补充思考过程如下：原问题：设，求的最小值。令，则。令，则，。此即为本题要讨论的一般情况。对于原问题，即的情况，
我们猜测当时，取到最小值，进而作的函数图像在处的切线，可以证明当时，。但对于一般情况，不一定在时取到最值，此时我们如何确定最值点，进而继续沿用此方法，或者另有更可行更初等的解法？数学代数趣味数学高等数学高中数学知乎用户，數學系在讀/文言愛好者用高中方法也可以解決，這是典型的高中競賽題。知乎用户，航天/数学/教育抛砖引玉，判断边界点我是按照图像判断的，根据其他的代数方法也可以判断，因此可以认为我的方法是高等数学的方法，但是我认为应该有更加高级的方法：我直觉可以用抽象代数里面的同构的思想证明，但是时间长了不用，全忘记了。------------------------------下面的方法需要读者对拉格朗日乘子法熟悉-----------------------------------------------求S= f(x)+f(y)+f(z)在约束条件x+y+z-1=0条件下的最值。令F= S + λ(x+y+z-1);则有：?F/?x = f'(x)+λ;?F/?y = f'(y)+λ;?F/?z = f'(z)+λ;可见f'(x),f'(y),f'(z)的值相等为-λ；明显知道f(x),f(y),f(z)的结构相同。f(x) = (1-2*x)^2/((1-x)^2+x^2)= 2+2(x-1)*x/((1-x)^2+x^2);f'(x)=(4*x-2)/(4*x^4-8*x^3+8*x^2-4*x+1)f''(x)=-(24*x^2-24*x+4)/(8*x^6-24*x^5+36*x^4-32*x^3+18*x^2-6*x+1);首先假设x，y，z不相等，则或者它们均大于0.5，或者它们均小于0.5(依靠图像看出)；X,y,z均大于0.5则x+y+z&1不成立。如果x,y,z均小于0.5，如果x=y&z，则有x=y&0.25,z&0.36。x+y+z&1;我们假设x&y=z;x&0.25, y=z&0.36;x+y+z&1不合题意；因此x=y=z=1/3；匿名用户受到其他回答者的启发，搜索到这个文章 深入理解拉格朗日乘子法和KKT条件虽然看了文章我也没有理解到蛮深入 但对于一部分情况 我可以通过拉格朗日乘子法来解答题主的问题设F(x,y,z,λ) = f(x) + f(y) + f(z) + λ(x+y+z-1)然后求极值就好的了Vichare Wang，至少还爱好编程搜索”KKT条件“知乎用户，土木工程专业研究生用琴生不等式，高中竞赛必备
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