二次型——矩阵合同、相似、等价之间的关系
实对称矩阵，较之于普通矩阵，有许多好的性质，这几乎可以类比成“一白遮百丑”，实际上想说的是“一步领先，步步领先”。
1、普通矩阵，它的不同特征值对应的特征向量，只是线性无关；而实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。
2、普通矩阵，其非零特征值的个数与矩阵秩之间没有明确关系；而实对称矩阵非零特征值的个数等于矩阵的秩。
3、普通矩阵A,B，两矩阵相似，可以推导出它俩具有相同的特征值，但反之未必；而俩实对称矩阵相似的充要条件就是它俩具有相同的特征值（证明请见后面的题目）。
4、普通矩阵，未必可以相似对角化；而实对称矩阵一定可以相似对角化，而且是正交对角化。
★5、普通矩阵A,B，A与B相似（P^(-1)AP=B）
A与B等价（或等秩）（PAQ=B），A与B合同（P'AP=B）
&rA A与B等价（或等秩）。但反之未必，而且“相似”与“合同”之间也没有什么明确关系。
而实对称矩阵A,B，除了满足普通俩矩阵成立的两个性质之外，还成立：（1）A与B合同
&hA&二次型x'Ax与x'Bx有相同的正（负）惯性指数（证明请见文末的第二篇相关博文）；（2）A与B相似
A与B合同（因为A与B的特征值相同，且存在正交变换使得P'AP=Λ=&Q'BQ，从而(PQ')'A(PQ')=QP'APQ'=B.）。给个示意图吧：
&&&&&&&下面一道题目，就是对实对称矩阵的相关性质的一个检验：
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关于俩同维（阶）矩阵A与B，“等价 &hA
等秩r(A)=r(B)& ”的证明，请见博文：
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第15卷　第1期
2002年3月邵阳高等专科学校学报
JournalofShaoyangCollegeVol.15.No.1
文章编号:02)01-0007-03
矩阵的相似变换与合同变换异同
(衡阳市职工大学,湖南衡阳421001)
摘要:相似变换和合同变换是高等代数矩阵理论中的两个等价基本变换.它们是似同实殊异的两个概念.在
《高等代数》里,我们仅讨论了它们简单而直接的应用问题,用相似变换讨论可角化矩阵的相似对角形问题,用合同变换讨论了对称矩阵对角化及二次型标准化问题,矩阵的相似和合同有诸多相同性质,也有许多不同性质.
关键词:矩阵;相似变换;合同变换;秩
中图分类号:O151.21　　　文献标识码:A
定义1　设A,B是数域F上的两个n阶矩阵,若存在F上一个n阶可逆矩阵T,使等式B=T-1AT成立,那么就说矩阵B与矩阵A相似,记作A∽B.
定义2　设A,B是数域F上的两个n阶矩阵,若存在F上一个n阶可逆矩阵P,使等式B=P′AP成立,那么就说矩阵B与矩阵A合同,记作A B.
1定义3　若A,B是数域F上的两个n阶矩阵,若存在F上一个n阶可逆矩阵U,使等式B=U-AU成立,则称矩阵B
-1与矩阵A正交.其中n阶可逆矩阵U称为正交矩阵.显然有U=U′,U′U=UU′=I.
由上述三个定义可知,矩阵的相似变换集合与合同变换换集合的交集非空,它们的交就是矩阵的正交变换集合.有了这三个定义,下面对它们性质上的同异展开讨论,分别以定理的形式给出.
定理1　相似变换、合同变换都具有自反性、对称性、传递性,从而都是矩阵集的等价关系.
证明　仅证相似变换,合同变换完全类似.
设A,B是两n阶矩阵,T,U是n阶可逆阵,则
①因A=I-1AI,故相似具有自反性.
11-1②因若B=T-1AT,则有　A=TBT-=(T-)1BT-,故相似具对称性.
1-1③由B=T-1AT,C=V-BV,得　C=U-1(T-1AT)U=(TU)A(TU);故相似具传递性.
综上所述,相似变换是矩阵集的等价变换.
由于正交变换集是相似变换集和合同变换集的交,故正交变换显然满足上述性质定理1,是等价变换.
定理2　相似的矩阵、合同的矩阵均有相同的秩.
-1证明　若A∽B,则B=TAT,T是可逆阵,故可有秩A=秩(AT)
11又因T-可逆,所以秩(AT)=秩[T-(AT)]=秩B,即秩A=秩B,证毕.
合同的矩阵同理可证.
注　我们可说相似矩阵、合同矩阵,指的是两个或多个矩阵相似、合同,而正交矩阵,由定义3可知,乃是一个矩阵,故定理2对“正交矩阵”是无意义的.
定理3　相似矩阵有相同的特征多项式、特征根和行列式.
1111证明　设B=T-AT,|λI-B|=|λI-T-AT|=|T-(λI-A)T|=|T-|·|λI-A|·|T|=|λI-A|
即若A∽B,则A与B的特征多项式相等.故特征根也相同.
-1-1又|B|=|TAT|=|T||A||T|=|A|
若A∽B,则它们的行列式也相同.
11-11001-12
例1　设A=120,　　B=010;现令P=01-1,则有B=P′AP　即A B,但A
与B323|λI-A|=λ-3λ+2　　|λI-B|=λ-3λ+2
注②　,即定理3是非充要的.
1011例2　设A=,　　B=0101
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矩阵的等价关系与分类
2014年21期目录
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　　【摘 要】本文对矩阵的相抵、相似、合同三种等价关系及它们之间的联系和区别做了总结，并利用等价关系和分类的知识对矩阵进行等价分类，最后通过一个简单的例子说明了这种分类的意义。可以加深非数学专业学生对矩阵知识的了解。 中国论文网 /8/view-6598403.htm　　【关键词】相抵；相似；合同；等价类 　　1 预备知识 　　2 矩阵的等价关系 　　2.1 矩阵的相抵关系 　　定义2.1：如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A与B是相抵的。 　　定理2.1：任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是：1）A、B同型且秩相等；2）存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。 　　2.2 矩阵的相似关系 　　定义2.2：对于n阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。 　　由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件：两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A与 B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究，即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。 　　定理2.2 　　（1）A与B相似？圳矩阵A能够经过相似变换变成矩阵B 　　？圳，A与B是同阶方阵且它们有相同的不变因子组 　　即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。 　　也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。 　　相似矩阵的性质： 矩阵相似，则它们的秩相等，迹相等，行列式相等，特征值相等，特征多项式也相等；它们还有相同的可逆性，且可逆时它们的逆矩阵也相似。 　　注意，两个同阶方阵如果它们可以对角化（例如实对称矩阵），则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值（或特征多项式相等）；否则，同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。 　　2.3 矩阵的合同关系 　　定义2.3：对于n阶方阵A、B，若存在可逆阵P，使得PTAP=B，则称 A与B合同。 　　两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。如果 A是实对称矩阵，则它一定能与对角矩阵合同。但合同一般是对于对称矩阵来说的，n阶对称矩阵必然有n个实特征根。如果两对称矩阵的不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同，那么两矩阵是合同的。反之，如果两矩阵合同的话，那么这两个矩阵不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同。 　　定理2.3：在复数域上，n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r。 　　定理2.4：在实数域上，n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r、正惯性指数p、负惯性指数q和符号差s中的任意两个。 　　注意：合同与二次型有关，同一数域上的二次型与对称矩阵之间一一对应，因此矩阵合同一般针对的是对称矩阵。 　　2.4 矩阵相抵，相似与合同之间的关系 　　（1）相抵关系最弱。合同与相似是特殊的相抵关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定相抵，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但如果相似矩阵为正交相似，合同阵为正交合同，则相似与合同一致。 　　（2）对于实对称矩阵，特征值是相似的不变量，秩和正惯性指数是合同关系下的全系不变量，因此实对称矩阵相似则一定合同。 　　（3）相抵，相似与合同具有：反身性，对称性，传递性，因此都是等价关系。 　　所以可以基于这三种等价关系对矩阵进行分类。 　　3 等价关系下的分类 　　4 根据等价关系将矩阵分类的意义 　　矩阵的全体很复杂，都是无限个矩阵，我们要研究它自然就要选代表元，这个代表元肯定是在某种意义下的代表元，那么我们就需要给一个等价关系，比如在相抵关系下，可以通过研究相抵标准型这种结构简单的矩阵来研究整个类。 　　【参考文献】 　　[1]姚慕生.高等代数学[M].上海：复旦大学出版社，2008. 　　[2]王天泽.线性代数[M].北京：科学出版社，2013. 　　[责任编辑：孙珊珊]
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