已知集合a={x|xz^2+4x=0}b={x|x^2-ax-6x=0}若a交b=a求a的取值_百度知道&>&&>&近三年全国高考理科数学题分类汇编及解答
近三年全国高考理科数学题分类汇编及解答 24612字 投稿：姜弢弣
在全市教育工作会议上的讲话中共宁德市委书记 陈荣凯（日） 同志们：这次全市教育工作会议，是在全市上下认真学习贯彻海西发展《规划》，深入实施环三战略，奋力开创“十二五”良好开局的关键时刻召开的一次重要会议。市委、市政府高度重视，全省…
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近三年全国高考理科数学题分类汇编及解答
考点分布表
选择填空考点分析
考点一：集合及其运算
1: (2012新课标全国Ⅰ，理2)
已知集合m?（B）
A?,B??1,m?,A?B?A
D．1或3 【解析】
A?,B??1,m?
A，故mm?3，解得m?0或m?3或m?1，又根据集合元素的互
异性m?1，所以m?0或m?3。
2: (2012新课标全国Ⅱ，理1)：已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（ D ）
3: (2013新课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|
B．A∪B＝R
解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2. ∴集合A与B可用图象表示为： 由图象可以看出A∪B＝R，故选B.
4: (2013新课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( A )．
A．{0,1,2}
B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3}
D．{0,1,2,3}
解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A.
5: (2014新课标全国Ⅰ，理1)已知集合A={x|x2?2x?3?0}，B={x|－2≤x＜2}
D.[1,2） 6: (2014新课标全国Ⅱ，理1).设集合M=｛0,1,2｝，N=?x|x2?3x?2≤0?，则
C. ｛0，1｝
D. ｛1，2｝
考点二：复数
1：(2012新课标全国Ⅰ，理1)复数1?i
D．1?2i 【命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则。通过利用除法运算来求解。
?1?3i(?1?3i)(1?i)2?4i
???1?2i1?i(1?i)(1?i)2【解析】因为
2：(2012新课标全国Ⅱ，理3).下面是关于复数z=
P2: z2=2i P3:z的共轭复数为1+i
P4 ：z的虚部为-1 其中真命题为
（A）. P2 ,P3
（B） P1 ,P2
（C）P2,P4
（D）P3,P4
3： (2013新课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(
的四个命题(
解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|， ∴z?
55(3?4i)34
???i. 3?4i(3?4i)(3?4i)55
故z的虚部为
4：(2013新课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(
D．1－i 答案：A 解析：z=
?2?2i2i2i?1?i?
?＝＝－1＋i.
21?i?1?i??1?i?
5：(2014新课标全国Ⅰ，理2)
D.?1?i 6：(2014新课标全国Ⅱ，理2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
z1?2?i，则z1z2?（
D. - 4 - i
考点三：程序框图
1：(2012新课标全国Ⅱ，理6)如果执行右边的程序图，输入正整数N(N?2)和
实数a1,a2,?an，输入A，B，则
（ C ） （A）A+B为的a1,a2,?an和 （B）
为a1,a2,?an的算式平均数 2
（C）A和B分别是a1,a2,?an中最大的数和最小的数 （D）A和B分别是a1,a2,?an中最小的数和最大的数
2：(2013新课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( A )．
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]5．
解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)． 若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.
故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．
综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.
3：(2013新课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( B )．
111+??C．231
解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1； 当k＝2时，T?当k＝3时，T?当k＝4时，T?
11，S=1+； 22
，S?1+?； 2?322?3
?，S?1+?；…；
2?3?422?32?3?412?3?4?
当k＝10时，T?，S?1+
，k增加1变为11，满10!
足k＞N，输出S，所以B正确．
4. (2014新课标全国Ⅰ，理7)执行下图的程序框图，若输入的a
,b,k分别为1,2,3，则输出的M= (
5: (2014新课标全国Ⅱ，理7)执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （
考点四：三视图
1：(2012新课标全国Ⅱ，理7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ B ）
2．(2013新课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )．
C．16＋16π
D．8＋16π
解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体
1积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.故选A.
3．(2013新课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( A )．
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：
则它在平面zOx
上的投影即正视图为
4. (2014新课标全国Ⅰ，理12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为( B )
5. (2014新课标全国Ⅱ，理6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（
考点五：二项式定理
x的展开式中第3项与第7项的二项式系数1．(2012新课标全国Ⅰ，理15)若
相等，则该展开式中x的系数为
【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用。利用二项式系数相等，确定了n的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。
C?C?n?2?6?8， nn【解析】根据已知条件可知
T?Cx，令8?2r??2?r?5 xr?18所以的展开式的通项为
C所以所求系数为8?56。
2．(2013新课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( B )．
D．8 答案：B
解析：由题意可知，a＝Cm2m，b＝C2m?1，
又∵13a＝7b，∴13?即
?2m?!?2m?1?!
=7?， m!m!m!?m?1?!
?.解得m＝6.故选B. 7m?1
3．(2013新课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( D )．
rr22解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为C5r∈Z)，则含x2的项为C5xx(0≤r≤5，
＋ax·＝(10＋5a)x，所以10＋5a＝5，a＝－1. C1x5
4.(2014新课标全国Ⅰ，理13) (x?y)(x?y)8的展开式中x2y2的系数为20
.(用数字填写答案)
5. (2014课标全国Ⅱ，理13) ?x?a?的展开式中，x7的系数为15，则
a=________.(用数字填写答案)
考点六：数列
1: (2012新课标全国Ⅰ，理5)：已知等差数列?n?的前n项和为Sn,a5?5,S5?15，?1?
则数列?nn?1?的前100项和为（A）
【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。 【解析】由Sn,a5?5,S5?15可得
?a1?1?????an?n?5?4
d?15??5a1??d?1
anan?1n(n?1)nn?1
111100?(?)?1??
S100?(1?)?(?)?
2:(2012新课标全国Ⅱ，理5)已知{an}为等比数列，a4?a1?2，a5?a6??8，则
a1?a10?(D)
3：(2012新课标全国Ⅱ，理16)数列?an?满足an?1?(?1)nan?2n?1，则?an?的前60项和为_____1830___。
4:(2013新课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( C )．
D．6 解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3. ∴d＝am＋1－am＝3－2＝1. ∵Sm＝ma1＋
×1＝0，∴a1??. 22
又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴?∴m＝5.故选C.
5．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝＝
，则( B )． 2
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
21an?33，则{an}的通项
6：(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和公式是an＝__(－2)n－1解析：∵Sn?
an?，① 33
∴当n≥2时，Sn?1?①－②，得an?即
＝－2. an?1
21an?1?.② 33
an?an?1， 33
∵a1＝S1＝a1?，
∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.
7．(2013新课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( C )．
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.
∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，
1?q1?q3＝q＋10，整理得q2＝9. 1?q
∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.
8．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为____－49______． 16．答案：－49
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝10a1＋①
d＝10a1＋45d＝0，2
S15＝15a1?
d＝15a1＋105d＝25.② 2
联立①②，得a1＝－3，d?所以Sn＝?3n?
n(n?1)21210
??n?n. 2333
令f(n)＝nSn，则f(n)?n3?n2，f'(n)?n2?n.
令f′(n)＝0，得n＝0或n?当n?
时，f′(n)＞0,0<n<时，f′(n)＜0，所以当n?时，f(n)取最小值，而333
n∈N＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.
考点七：三角函数， 正余弦定理
sin??cos??
，则cos2??1： (2012课标全国Ⅰ，理7)已知?
为第二象限角，
sin??cos??
121?sin2???sin2???
33 ，两边平方可得
?是第二象限角，因此sin??0,cos??0，
cos??sin????
?cos2??cos2??sin2??(cos??sin?)(cos??sin?)??
2：(2012课标全国Ⅰ，理14)
当函数y?sinxx(0?x?2?)取得最大值时，
【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。
y?sinx?x?2sin(x?)
3 【解析】由0?x?2???
?2?2sin(x?)?2
6取得最大值。2即6时取得最小值，32时即
3：(2012课标全国Ⅱ，理9)已知w＞0，函数f(x)?sin(?x?)在(,?)单调递
24减，则?的取值范围是（A）
（D）(0,2]
4：(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝
解析：f(x)＝sin x－2cos x
＝? 则f(x)
α＋x)， 当x＝2kπ＋
－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)
即θ＝2kπ＋
－α(k∈Z)， 2
所以cos θ＝cos?2kπ+???＝cos????＝sin α
5：(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若tan?????，则sin θ＋cos
θ＝__________.
11π?1?tan?1?
解析：由tan??????，得tan θ＝?，即sin θ＝?cos θ.
334?1?tan?2?
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得
cos2??1. 9
因为θ为第二象限角，所以cos θ
sin θ＋cos θ
6： (2014课标全国Ⅰ，理8)设??(0,)，??(0,)，且tan??，则( C
7：(2014课标全国Ⅰ，理16)已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边，
a=2，且(2?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC，则?
(2014课标全国Ⅱ，理4)钝角三角形ABC的面积是，AB=1，，则
9.(2014课标全国Ⅱ，理14)函数f?x??sin?x?2???2sin?cos?x???的最大值为_____1____.
考点八：向量
1: (2012课标全国Ⅰ，理6)?ABC中，AB边上的高为CD，若
CB?a,CA?b,a?b?0,|a|?1,|b|?2，则AD?（D）
a?ba?ba?ba?b3
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用，结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用。
【解析】由a?b?0可得?ACB?90?
4444AD?AB?(CB?CA)?a?b
5555，故选答案D ，故
2: (2012课标全国Ⅱ，理13)已知向量a，b夹角为45°，且a?1，2a?b?，则b
3:(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝_____2_____. 解析：∵c＝ta＋(1－t)b， ∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.
又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c， ∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，
0＝t＋1－t.
4:(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE?BD＝____2______.
解析：以AB所在直线为x
轴，AD所在直线为y轴
建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，所以
5:(2014课标全国Ⅰ，理15)已知A，B，C是圆O上的三点，若AO?(AB?AC)，
则AB与AC的夹角为
6: (2014课标全国Ⅱ，理3)设向量a,b满足|a+b
，则a?b = (
考点九：线性规划
?x?3y?3?0，则z?3x?y的最1．(2012课标全国Ⅰ，理13)若x,y满足约束条件?
2： (2012课标全国Ⅱ，理14)设x，y满足约束条件?则z?x?2y的取
?x?0??y?0值范围为_____[-3,3]_____.
3：(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件?x?y?3,若z＝2x
?y?a?x?3?.?
＋y的最小值为1，则a＝( B )．
解析：由题意作出?所表示的区域如图
?x?y?3阴影部分所示，
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a?
11，所以a?. 22
4： (2014课标全国1，理9)不等式组?的解集记为D.有下面四个命题：
x?2y?4?（ B）
p1：?(x,y)?D,x?2y??2，
p2：?(x,y)?D,x?2y?2, P3：?(x,y)?D,x?2y?3，
p4：?(x,y)?D,x?2y??1.
其中真命题是
5 .(2014课标全国Ⅱ，理9)设x,y满足约束条件?x?3y?1≤0，则z?2x?y的最
?3x?y?5≥0?
大值为（ B
考点十：排列组合，概率统计
1．(2012课标全国Ⅰ，理11)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互
不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）
D．36种 【命题意图】本试题考查了排列组合的用用。
【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有3?2?2?12
2、 (2012课标全国Ⅱ，理2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(A)
3、 (2012课标全国Ⅱ，理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（），且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
_________________.
4． (2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( C )．
A．简单随机抽样
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．系统抽样 答案：C
5．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为
，则n＝____8______. 14
解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有C2两数之和为5的有(1,4)，n种取法，(2,3)2种，所以
?，即，解得n＝8. ??
n?n?1?C214n?n?1?14n
6 .(2014课标全国Ⅰ，理5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率(D)
7.(2014课标全国Ⅰ，理14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为
8. (2014课标全国Ⅱ，理5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（
考点十一：圆锥曲线
1：(2012课标全国Ⅰ，理3)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x??4，则该椭圆的方程为（C）
x2y2x2y2x2y2x2y2
??1??1??1??1
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数a,b,c，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为2c?4?c?2，由一条准线方程为x??4可得该椭圆的焦点在x轴
?4?a2?4c?8222
b?a?c?8?4?4。故选答案C c上，所以
22F,FC:x?y?2的左右焦点，点P在122．(2012课标全国Ⅰ，理8)已知为双曲线
C上，|PF1|?2|PF2|，则cos?F1PF2?（
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知，a??b,?c?2，设|PF1|?2x,|PF2|?
|PF1|?|PF2|?x?2a?
|PF1|?PF2|?F1F2?4，利用余弦定理
PF12?PF22?F1F222223
cos?F1PF2???
2PF1?PF24。 可得
3、(2012课标全国Ⅱ，理4)设F1，F2是椭圆E:2+2=1 (a＞b＞0)的左、右
焦点 ，P为直线x?离心率为(C)
上的一点，△F2PF是底角为30°的等腰三角形，则E的13
（D） 2345
4、(2012课标全国Ⅱ，理8)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A，B两点，AB?4，则C的实轴长为( C )
x2y25．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C2?2=1(a＞0，b＞0)
ab则C的渐近线方程为(
c2a2?b25c2
∵e??，∴e?2?
∴a2＝4b2，=?.
∴渐近线方程为y??
6．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E2?2=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，
过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( D )．
x2y2x2y2x2y2x2y2
?=1?=1?=1?=2718A．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，
?x12y12??1,①??a2b2
?x2?y2?1,②??a2b2
①－②，得
?x1?x2??x1?x2??y1?y2??y1?y2?
?y?y??y?y?b2
即2=?1212， a?x1?x2??x1?x2?
∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，
0???1?1b21y1?y2
=2=. 而＝kAB＝
3?12a2x1?x2
又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为?=1.故选D.
7．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( C )．
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x 解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5－
＝5，则x02
又点F的坐标为?,0?，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)?x??＋(y－
将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
由y02＝2px0，得16?2p?5??，解之得p＝2，或p＝8.
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.
8： (2014课标全国Ⅰ，理4)已知F是双曲线C：x2?my2?3m(m?0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(A)
D.3m 9：(2014课标全国Ⅰ，理10)已知抛物线C：y2?8x的焦点为F，准线为l，P是
l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP?4FQ，则|QF|=
10. (2014课标全国Ⅱ，理10)设F为抛物线C:y2?3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ D ）
11.(2014课标全国Ⅱ，理16)设点M（x0,1），若在圆O:x2?y2?1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0
考点十二：导数
y?x?3x?c的图像与x轴恰有两个公共点，1．(2012课标全国Ⅰ，理10)已知函数
则c?（ A ）
D．?3或1 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与x轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。
【解析】因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得
?f(x)?3x?3?3(x?)(x?1)，当x??1极大值或者极小值为零即可满足要求。而
时取得极值
由f(1)?0或f(?1)?0可得c?2?0或c?2?0，即c??2。
(2012课标全国Ⅱ，理12)设点P在曲线y?则|PQ|的最小值为( B)
（A）1?ln2
（B）2(1?ln2)
（C）1?ln2
（D）2(1?ln2)
3．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f?x??1?x2x2?ax?b的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为
答案：解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称， ∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，
e上，点Q在曲线y?ln(2x)上，2
?b??15?16?4a?b?,即? ?0??8?9?3a?b?,?a?8,解得?
∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15. 由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0， 得x1＝－2
x2＝－2，x3＝－2
易知，f(x)在(－∞，－2
上为增函数，在(－2
－2)上为减函数，在(－
上为增函数，在(－2
∞)上为减函数． ∴f(－2
＝[1－(－2
＋15] ＝(－8
－＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.
＝[1－(－2
＋15] ＝(－8
＋＝80－64＝16. 故f(x)的最大值为16.
4．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(
A．?x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 10． 答案：C
解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．
5. (2014课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)=ax3?3x2?1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为（C）
A.（2，+∞）
B.（-∞，-2）
C.（1，+∞）
D.（-∞，-1） 6 (2014课标全国Ⅱ，理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，
考点十三：比较大小
1．.(2012课标全国Ⅰ，理9)已知x?ln?,y?log52,z?e，则
D．y?z?x 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。
log52?log5
1【解析】，
1z?e?2???1?
2，2，故选答案D。
2．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．a＞c＞b
D．a＞b＞c 答案：D
解析：根据公式变形，a?
lg6lg2lg10lg2lg14lg2
?1??1??1?，b?，c?，lg3lg3lg5lg5lg7lg7lg2lg2lg2
??，即c＜b＜a.故选D. lg7lg5lg3
因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以
考点十四：函数性质，函数图象
1、(2012课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)?致为（ B ）
，则y?f(x)的图像大
??x2?2x，x?0，
2．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a的
?ln(x?1)，x?0.取值范围是( D )．
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[－2,1]
D．[－2,0] 解析：由y＝|f(x)|的图象知：
①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C. ②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x. 故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax. 当x＝0时，不等式为0≥0成立． 当x＜0时，不等式等价于x－2≤a. ∵x－2＜－2，∴a≥－2.
3．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( B )．
??1?1??11?1?1?,????,????23?22?3????2? A．(0,1)
4.(2014课标全国Ⅰ，理3)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，
g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(C)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
5.(2014课标全国Ⅰ，理6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离
x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,?]上的图像大致为(
6 .(2014课标全国Ⅱ，理12)设函数f?
x??.若存在f?x?的极值点x0满足
x02???f?x0????m，则m的取值范围是（ C ）
A. ???,?6???6,??
B. ???,?4???4,??
C. ???,?2???2,??
D.???,?1???4,??
7. (2014课标全国Ⅱ，理15)已知偶函数f?x?在?0,???单调递减，f?2??0.若
f?x?1??0，则x的取值范围是__
考点十五：立体几何
1．(2012课标全国Ⅰ，理4)已知正四棱柱ABCD?
A1B1C1D1中，AB?2,CC1?E为CC1的中点，则直线AC1 与平面BED的距离为（ D ） A．2
【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。
【解析】因为底面的边长为2
，高为AC,BD，得到交点为O，连接
EO，EO//AC1，则点C1到平面BDE的距离等于C到平面BDE的距离，过点C
作CH?OE，则CH即为所求，在三角形OCE中，利用等面积法，可得CH?1，故选答案D。
2． (2012课标全国Ⅰ，理12)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在
7，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的
边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ B ）
D．10 3．(2012课标全国Ⅰ，理16)三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，
?BAA1??CAA1?60?，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。用空间向量进行求解即可。
【解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有AB1?AB?AA1,BC1?AC?AA1?AB，则
|AB1|2?(AB?AA1)2?AB?2AB?AA1?AA1?2?2cos60??3
|BC1|?(AC?AA1?AB)?AC?AA1?AB?2AC?AA1?2AC?AB?2AA1?AB?2
1)?(AC?AA1?AB) 而AB1?BC1?(AB?AA
?AB?AC?AB?AA1?AB?AB?AA1?AC?AA1?AA1?AA1?AB?
|AB1||BC1|
?cos?AB1,BC1??
课标全国Ⅱ，理11)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为(
5．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正
方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(
500π866π
B．3cm3 π
解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R， 由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，
π(cm3)，故选A. 所以球的体积为π53?
6．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l 答案：D
解析：因为m⊥α，l⊥m，l
α，所以l∥α.同理可得l∥β.
又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.
7.(2014课标全国Ⅱ，理11)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ C
D. 解答题考点分析
考点一：三角函数
1． (2012课标全国Ⅰ，理17)（本小题满分10分）
C的对边分别为a、b、?ABC的内角A、B、c，已知cos(A?C)?cosB?1,a?2c，
【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好。 【解析】由A?B?C???B???(A?C)， 由正弦定理及a?2c可得sinA?2sinC
所以cos(A?C)?cosB?cos(A?C)?cos(??(A?C))?cos(A?C)?cos(A?C)
?cosAcosC?sinAsinC?cosAcosC?sinAsinC?2sinAsinC
故由cos(A?C)?cosB?1与sinA?2sinC可得2sinAsinC?1?4sinC?1
而C为三角形的内角且a?2c?c，故
2、(2012课标全国Ⅱ，理17)（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，acosC?（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a?2，△ABC的面积为，求b，c。
、（1）由正弦定理得：
3asinC?b?c?0。
acosCsinC?b?c?0?sinAcosCAsinC?sinB?sinC
?sinAcoCs?
3sAinC?sincoA?s?1
sA?in(??0)
?A?30?3?0?A?
）S?bcsinA?bc?4
2bccosA?b?c?
a2?b2?c2? 4
3．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB
BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
，求PA； 2
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
117在△PBA中，由余弦定理得PA2
＝3??2cos 30??.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α. 在△PBA
中，由正弦定理得α＝4sin α. 所以tan α
4．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
sin150?sin(30???)
又A＝π－(B＋C)，故
sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B， 又B∈(0，π)，所以B?(2)△ABC
1acsin B?ac. 2π
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos又a2＋c2≥2ac
，当且仅当a＝c时，等号成立． 因此△ABC
考点二：数列
1. (2014课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，
a1=1，an?0，anan?1??Sn?1，其中?为常数.
（I）证明：an?2?an??；
（Ⅱ）是否存在?，使得{an}为等差数列？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ)由题设anan?1??Sn?1，an?1an?2??Sn?1?1，两式相减
an?1?an?2?an???an?1，由于an?0，所以an?2?an??
…………6分 （Ⅱ）由题设a1=1，a1a2??S1?1，可得a2??1?1，由(Ⅰ)知a3???1 假设{an}为等差数列，则a1,a2,a3成等差数列，∴a1?a3?2a2，解得??4； 证明??4时，{an}为等差数列：由an?2?an?4知
数列奇数项构成的数列?a2m?1?是首项为1，公差为4的等差数列a2m?1?4m?3 令n?2m?1,则m?
，∴an?2n?1(n?2m?1) 2
数列偶数项构成的数列?a2m?是首项为3，公差为4的等差数列a2m?4m?1 令n?2m,则m?
，∴an?2n?1(n?2m) 2
∴an?2n?1（n?N*），an?1?an?2
因此，存在存在??4，使得{an}为等差数列.
………12分
2. (2014课标全国Ⅱ，理17)（本小题满分12分） 已知数列?an?满足a1=1，an?1?3an?1.
（Ⅰ）证明an?是等比数列，并求?an?的通项公式；
（Ⅱ）证明：??…+?.
a1a2an2（17）解：
?3(am?). 221313
又a1??，所以，{am? } 是首项为，公比为3的等比数列。
（1）由am?1?3am?1得am?1?
am?=，因此{an}的通项公式为am=
（2）由（1）知
因为当n?1时，3m?1?2?3m?1,所以，于是，
11??a1a211??a1a2
3?12?3313=(1?m)? 232
?1??am313? am2
考点三：立体几何
1．(2012课标全国Ⅰ，理18)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
PA?如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，
AC?PA?2,E是PC上的一点，PE?2EC（1）证明：PC?平面BED；
（2）设二面角A?PB?C为90?，求PD与平面PBC大小。
【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。
从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。 解：设AC
BD?O,以O为原点，OC为x轴，
OD为y轴建立空间直角坐标系，
则A(CP(2),设B(0,?a,0),D(0,a,0),E(x,y,z)。
3，3， 所以PC
（Ⅰ）证明：由PE?2
2a,0)，所以
BE??2)?PC?BD??2)?(0,2a,0)?0。所以PC?BE,PC?BD，所以PC?平面
（Ⅱ） 设平面PAB的法向量为n?(x,y,z)
，又AP?(0,0,2),AB??a,0)，由
n?AP?0,n?AB?0得
n?，设平面PBC的法向量为m?(x,y,z
BC?a,0),CP?(?2)，由m?BC
由于二面角A?PB?C为
90，所以m?n?0，解得
所以PD??2)
，平面PBC的法向量为m?(1,?，所以PD与平面
PBC所成角的正弦值为|PD|?|m|2，所以PD与平面PBC所成角为6.
2、(2014课标全国Ⅱ，理19)（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?
AA1，D是棱AA1的中点，2C1
（1） 证明：DC1?BC；
（2） 求二面角1A1?BD?C的大小。
（1）在Rt?DAC中，AD?AC
得：?ADC?45?
同理：?A1DC1?45???CDC1?90?
得：DC1?DC,DC1?BD?DC1?面BCD?DC1?BC
（2）DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1?BC?AC
取A1B1的中点O，过点O作OH?BD于点H，连接C1O,C1H
A1C1?B1C1?C1O?
OH?BD?1CH?
，面A1BD?C1O?面A1BD 1B1C1?面A1BA
得：点BDH与点D重合
且?C1DO是二面角A1?
BD?C1的平面角
，C1D?2C1O??C1DO?30? 2
既二面角A1?BD?C1的大小为30?
3． (2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB. 又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，
故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0
，B(－1,0,0)．
则BC＝(1,0
，BB1＝AA1＝(－1
0)，A1C＝(0
． 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
??n?BC?0,??x??0,则?即?可取n＝
1，－1)． ??n
?BB1?0,???x??0.
故cos〈n，A1C〉＝
＝. 所以A1C与平面BB1C1C
4． (2013课标全国Ⅱ，理18)
本小题满分
12分)如图，直三棱柱
ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB
＝(1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD，BC
1所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC＝CB
AB得，AC⊥BC. AB. 2
平面A1CD，
以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，
??n?CD?0,?x1?y1?0,则?即? ??n?CA1?0,?2x1?2z1?0.
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m是平面A1CE的法向量，
??m?CE?0,则?可取m＝(2,1，－2)． ??m?CA1?0,
从而cos〈n，m
|n||m|故sin〈n，m
即二面角D－A1C－E
4. (2014课标全国Ⅰ，理19) (本小题满分12分)如图三棱锥ABC?A1B1C1中， 侧面BB1C1C为菱形，AB?B1C. （I）证明：AC?AB1；
o（Ⅱ）若AC?AB1，?CBB1?60，AB=Bc，
求二面角A?A1B1?C1的余弦值.
．【解析】：(Ⅰ)连结BC1，交B1C于O，连结AO．因为侧面BB1C1C为菱形，所以
B1C?BC1，且O为B1C与BC1的中点．又AB?B1C，所以B1C?平面ABO，故B1C?AO又 B1O?CO，故AC?AB1
（Ⅱ）因为AC?AB1且O为B1C的中点，所以以?BOA??BOC 故OA⊥
，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz． 因为所以?CBB1为等边三角形．又AB=B?CBB1?600，则
1,0,0，，，A?BC0,????1??????? ???
，AB1???A1B1?AB???1,0,,B1C1?BC????1,??
设n??x,y,z?是平面的法向量，则
y?z?0AB1?0，即
所以可取n?
A1B1?0?xz?0
???mA1B1?0
设m是平面的法向量，则?，同理可取m?1,
?则cosn,m?
11，所以二面角A?A1B1?C1的余弦值为.
(2014课标全国Ⅱ，理18)（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB
∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，E-ACD的体积.
（1）连结BD交AC于点O,连结EO 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点 又E为的PD的中点，所以EOPB
EO?平面AEC,PB?平面AEC，所以PB平面AEC
（2）因为PA?平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直 如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间
直角坐标系，则A—xyz,则
E(0, 设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m,
=(0, ,) 2222
设n(x,y,z)为平面ACE的法向量， 则{
n1?AC?0n1?AE?0
又n1=（1,0,0）为平面DAE的法向量，
由题设cos(n1,n2)=，即
213，解得m= 22因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为V=
1131????32
，三棱锥E-ACD的体积为 2
考点四 概率，分布列
1．(2012课标全国Ⅰ，理19)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立，。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （2）?表示开始第4次发球时乙的得分，求?的期望。
【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值
的问题。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。
解：记Ai为事件“第i次发球，甲胜”，i=1,2,3，则P(A1)?0.6,P(A2)?0.6,P(A3)?0.4。 （Ⅰ）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得
P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?0.6?0.4?0.6?0.4?0.6?0.6?0.4?0.4?0.4?0.352。
即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352 （Ⅱ）由题意??0,1,2,3。
P(??0)?P(A1A2A3)?0.6?0.6?0.4?0.144；
P(??1)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)
?0.4?0.6?0.4?0.6?0.4?0.4?0.6?0.6?0.6=0.408；
P(??2)?0.352；
P(??3)?P(A1A2A3)?0.4?0.4?0.6?0.096
所以E??0.408?2?0.352?3?0.096?1.4
2、 (2012课标全国Ⅱ，理18)（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n?N）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
解、（1）当n?16时，y?16?(10?5)?80
当n?15时，y?5n?5(16?n)?10n?80
?10n?80(n?15)
得：y??(n?N)
（2）（i）X可取60，70，80
7?0)P0.X2?,(? 8
X的分布列为
70?0.2?80?0 .7
EX?60?0.?1?
?0.2?4?0. 7
（ii）购进17枝时，当天的利润为
y?(14?5?3?5)?0.1?(15?5?2?5)?0.2?(16?5?1?5)?0.16?17?5?0.54?76.4 4
76 得：应购进17枝
3．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为各件产品是否为优质品相互独立． (1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以 P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2) ＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) ＝
(2)X可能的取值为400,500,800，并且 P(X＝400)＝1?
??，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.
所以X的分布列为
4．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
111+500?+800?＝506.25. 16164
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．
解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000， 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
?800X??X?130,所以T??
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为
5 ．(2014课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （I）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值
Z服从正态分布
N(?,?2)，其中?近似为样本平均数x，?2近似为样本方差s2. （i）利用该正态分布，求P(187.8?Z?212.2)；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX. 若Z～N(?,?2)，则P(????Z????)=0.6826，
P(??2??Z???2?)=0.9544.
．【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
?170?0.02?180?0.09?190?0.22?200?0.33
?210?0.24?220?0.08?230?0.02 ?200
s2???30??0.02???20??0.09???10??0.22?0?0.33
??10??0.24??20??0.08??30??0.02
…………6分
（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～N(200,150)，从而
P(187.8?Z?212.2)?P(200?12.2?Z?200?12.2)?0.6826
………………9
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826 依题意知X
6 (2014课标全国Ⅱ，理19)(（本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
B(100,0.6826)，所以EX?100?0.
………12分
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
（1） 由所得数据计算得
t=（1+2+3+4+5+6+7）=4， 71
y=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3 7
?t)2=9+4+1+0+1+4+9=28
=(-3) ?（-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+0?0.1+1?0.5+2?0.9+3?1.6=14， ??
a=y-bt=4.3-0.5?4=2.3
所求回归方程为y=0.5t+2.3
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得
y=0.5×9+2.3=6.8
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元
考点五 圆锥曲线
1．(2012课标全国Ⅰ，理21)（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）
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