高中数学排列组合视频与组合应用题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-09-03 04:26 标签： 高中数学排列组合课件
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高中数学第十章 教学视频 排列组合问题的几种基本方法
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排列组合应用题的典型解法
上传: 许月荣 &&&&更新时间： 16:59:02
排列组合问题是高考的热点，同时也是下一步学好概率的基础，下面介绍一下排列组合应用题的典型解法，希望对你的学习能有所帮助。 解排列、组合混合应用题一般是&先组后排&或&充分利用元素的性质进行分类、分步&，再利用两个计数原理作最后处理。 在近几年的高考试题中，经常出现用排列、组合定义列举求解的应用题，这是一种&返璞归真&的解法。在涉及数目不是很大的排列、组合问题中，列举是一种不可忽视的有效解法，列举一定要按照一定的原则，遵循一定的规律，不重复、不遗漏的进行。在复习中，要掌握树图、框图及坐标图象法等常用的方法。另外还有如下几种常用的方法： （1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算。 ①以元素为主考虑问题，先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素。 ②以位置为主考虑问题，先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置。 （2）排除法: 先求出不考虑限制条件的排列、组合数，再由限制条件算出不符合条件的排列或组合数，然后两数相减即可。 （3）捆绑法：在待定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们&内部&的排列，它主要用于解决相邻或不相邻的问题。一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m&n)个元素两两相邻的排列有 个。 （4）插空法：先把一般的、不受限制的元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用。 （5）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置首先考虑排列，然后再排列其它一般元素或位置。 （6）分类法：将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数。 （7）集合法：将排列作为集合的元素，那么排列数就是集合的基数。 （8）调序法（某些元素次序一定的一种排列题型）：先将n个元素进行全排列有 种，m(m&n)个元素的全排列有 种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有 种排列方法。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&(9)分组分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因排列顺序不同，仍然是可区分的。对于这类问题必须遵循先分组后排列，若平均分m组，则分法= . 8、解排列、组合问题的思路与途径 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题。解排列组合的综合应用题，可从以下几个方面探寻解题途径： （1）要弄清问题中&事件&的含义； （2）所给的元素是不是各不相同？所选的元素是否&无重复&？ （3）题中有什么&条件&相当于&顺序&要求？对选出的元素要不要按先后顺序排列？也即元素是&有序&还是&无序&，以确定是排列问题还是组合问题，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题。 （4）有什么附加条件促使我们把问题分几个步骤来考虑？是分类解决还是分步解决？以确定是应用加法原理还是应用乘法原理； （5）如何建立分类标准。对既要分类又要分步的问题，建立分类标准的关键在于每一类分步解决的问题中，每两步之间必须是独立的，即后一步的方法数不受前一步的影响。反之，若某类分步计算过程中后一步的方法数由于前一步解决方式不同而不同，则此分类标准应当拆细或以其它形式重新分类； （6）各个步骤所得到的排列数、组合数之间是按&加法原理&，还是按&乘法原理&再进行计算？ （7）对有多个约束条件的问题，可以通过分析每个约束条件，然后再综合考虑是分类还是分步，或交替使用两个原理，也可以先不考虑约束条件，最后扣除不符合条件的情况获得结果。 （8）要正确理解&有且仅有&、&至多&、&至少&、&全是&、&都不是&、&不都是&等词语的确切含义。 （9）对于有附加条件的排列、组合问题，往往是对某一个元素的位置加以限定，被限定的元素为特殊元素，被限定的位置为特殊位置，因此，我们可以从限定元素或限定位置出发考虑问题，先选出元素或位置，然后再进行排列。 综上所述，我们可把排列组合应用题的解题思路简单概括为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘；特殊优先，先选（组）后排。 &&& 例题分析 && （1）合理分类& 准确分步 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏）。也就是要确定一个合理的分类标准，应按事件发生的连贯过程进行分步，分步时必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性。 [例1]& 某国际旅行社为准备2002年韩日世界杯足球赛，招聘了10名翻译人员，其中4人会说朝鲜语，2人既会说朝鲜语又会说日语，现打算从10人中选4人作朝鲜语翻译，4人作日语翻译，分别带领球迷团赴韩日观看足球赛，则不同的选派翻译的方法有&&& 种（用数字作答）。 [解析]以派2名既会说朝鲜语又会说日语的人去翻译朝鲜语的人数作为分类的标准，进行分类讨论，即（1）派2人，则有 种选派方法；（2）派1人，则有 种选派方法；（3）不派，则有 种选派方法。 故共有 种选派方法。 （2）特殊优先& 一般在后 解含有特殊元素、特殊位置的排列组合问题，一般应优先安排特殊元素、优先确定特殊位置的元素，再考虑其他元素与其他位置，也就是在解题过程中的一种主次思想。 [例2]& 由0，1，2，3，4，5，六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数？ [解析]& 由题意可知，首位、末位是两个特殊位置，&0&是特殊元素，首位可取元素的集合 ，末位可取元素的集合 。 末位上取5，有 种不同取法，首位上虽然有五个元素可取，但元素5已经排在末位了，故只有 种不同取法，其余四个位置上有 种不同排法，末位上取0，有 种取法，所以组成的符合题意的六位数有 （个）。 （3）直接排除& 灵活选择 解决较复杂的排列组合问题的基本方法有两种，即直接法和排除法，直接法就是对问题进行分类求解，而排除法则先不管其中某些限制条件，求出其种数，再剔除不合题意部分即可，选择哪种方法的依据是&正难则反&。 [例3]& 50件产品有3件是次品，从中任意取4件。 （1）至少有一件次品的抽法有多少种？ （2）至多有两件次品的抽法有多少种？ [解析]& （1）解法一（直接法）：抽取的4件产品至少有一件次品分为有1件次品、2件次品、3件次品3种情况：有1件次品的抽法有 种；有2件次品抽法有 种；有3件次品的抽法有 种。根据加法原理，至少有一件次品的抽法共有 种。 解法二（间接法）：从50件产品中任意抽取4件，有 种抽法，其中没有次品的抽法有 种，因此至少有1件次品的抽法共有 种。 （2）解法一（直接法）：抽取的4件产品中至多有2件次品的抽法分没有次品、有1件次品、有2件次品3种情况，根据加法原理，共有 种抽法。 解法二（间接法）至多有2件次品，即抽出的4件产品中没有3件次品全部抽出的情况，所以共有 种抽法。 （4）集团捆绑& 间隔插空 ①元素连排& 捆绑为一 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作1个&元素&再与其他元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。 [例4]& 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ [解析]& 第1步，先将3个女生看作一个整体和5个男生进行排列；第2步，还需考虑3个女生之间的排列顺序。 先把3个女生捆绑为1个人，与其他5个男生全排有 ，同时，3个女生自身全排有 ，由分步乘法计数原理得共有 种。 ②元素间隔& 分位插入 对于某些元素需要间隔的排列问题，可用&插空法&求解，求解时注意以下几点：a.插入时必须分清&谁插谁&，即先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；b.数清可插的位置的个数；c.插入时是以组合形式还是以排列形式插要把握准确。 [例5]5个男生4个女生排在一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ [解析]& 元素（女生）间隔，先排（男生）后插（女生插在男生的间隙中）。 先排无限条件的6个男生有 种，由于女生不相邻且不可排两头，故4个女生只能分别插在6个男生的5个间隙中，有 种（若允许女生排两头，则有 种插法），由分步乘法计数原理得共有 种。 &
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