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计算方法习题答案
计算方法习题解答1绪 论 P151. 指出下列各数有几位有效数字：x5 = 96 × 105 , 答 ：5, 6, 4, 6, 2, 2.x6 = 0.000962. 将下列各数舍入至5位有效数字： x1 = 3.25894, x2 = 3.25896,kh ww w.εr ≤ 1 × 10?(n?1) , 2a1 εr ≤ 1 × 10?4 ; 16 1 × 10?2 . 8 εr ≤ 1x3 = 4.382000,da w.x4 = 0.. a1 = 0 , ∴ εr = ε ε 1 ≤ = × 10?(n?1) . |x| a1 2a1答 ：3.0, 4.78925. 3. 若近似数x具有n位有效数字，且表示为x1 = 86.734, n = 5, a1 = 8, x2 = 0.0489, n = 3, a1 = 4,4. 求下列各近似数的误差限（其中x1 , x2 , x3 均为第1题所给出的数）：课后并指出近似数x1 = 86.734, x2 = 0.0489的相对误差限分别是多少。 ?(n?1) , 答 ： x有n位有效数字，x = ±a1 .a2 a3 ? ? ? an × 10m , ε ≤ 1 2 × 10答案证明其相对误差限为网x = ±(a1 + a2 × 10?1 + ? ? ? + an × 10?(n?1) ) × 10m ,comx1 = 4.8675,x2 = 4.08675,x3 = 0.08675,x4 = 96.4730,1) x1 + x2 + x3 ; 答 ：1). |e(x1 + x2 + x3 )| ≤1 1 3). |e( x x2 )| ≈ | x2 e(x1 ) ? 1 22) x1 x2 ; × 10?4 +1 23) x1 /x2 . × 10?5 +1 2× 10?5 = 6 × 10?5 .?5 + x 1 × 10?4 = 2.28675 × 10?4 . 2). |e(x1 x2 )| ≈ |x1 e(x2 ) + x2 e(x1 )| ≤ x1 1 22 2 × 10 x1 e(x2 )| x2 2≤1 1 x2 2× 10?4 +x1 1 2 x2 2× 10?5 = 1.3692 × 10?5 .5. 证明 er ? er = 答 ：er =e x? , e er = x ,e2 e2 r r = . 1 + er 1 ? erer ? er = er ?e2 e e 1 r = . = e ? = e ? r r x? e+x 1 + er 1 + e1 r6. 机器数C略。课后答? ?y |=e≤ n = 100时，|yn n? ? y | → ∞, 计算过程不稳定。 注 ：此题中，|yn n8. 序列{yn }满足递推关系 yn = 5yn?1 ? 2, n = 1, 2, ? ? ?案? ?2 ? ?y ∴ yn n = yn?1 ? yn?1 ? 10 e ? ?2 = yn ?2 ? yn?2 ? 2 × 10 e = ??? ? ? y ? n × 10?2 e = y0 ? = 28). = ?10?2 ne, (y0 = y01 2× 10?3 .网?2 ? = y? yn n?1 ? 10 (x + e), yn = yn?1 ? 10?2 x,ww√ 计算到y100 , 若取 783 ≈ 27.982 (5位有效数字)，试问计算到y100 将有多大误差？ √ 答 ：设x? = 783, x = 27.982, x? = x + e.w.2yn = yn?1 ?1 √ 783, 100kh7. 设y0 = 28, 按递推公式da w.n = 1, 2, ? ? ?co?????????m√ 若y0 = 3 ≈ 1.73 (3位有效数字), 计算到y10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ √ ? = ? ? y ≤ 1 × 10?2 , 答 ：设y0 3, y0 = 1.73, e0 = y0 0 2? = 5y ? yn n?1 ? 2, yn = 5yn?1 ? 2, ? ? n ? n yn ? yn = 5(yn ?1 ? yn?1 ) = ? ? ? = 5 (y0 ? y0 ) = 5 e0 → ∞. ? ? y | = 510 e ≤ n = 10时，|yn n 0 1 2× 10?2 × 510 , 该过程不稳定。19. 推导出求积分 In =0xn dx 10 + x2n = 0, 1, 2, ? ? ? , 10课后答案网www.3khda w.10. 设f (x) = 8x5 ? 0.4x4 + 4x3 ? 9x + 1, 用秦九韶法求f (3)。 答 ：1993.6.com的递推公式，并分析这个计算过程是否稳定；若不稳定，试构造一个稳定的递推公式。 1 答 ：与例题类似，In = ?10In?2 + n? 1 ，略。2方程求 根 P47本章重点： 用简单迭代法和牛顿迭代法求给定方程的根，并用有关定理判断所用迭代格式的收敛性。?3 1. 证明方程1 ? x ? sin x = 0在[0, 1]中有且只有一个根。使用二分法求误差不大于 1 2 × 10 的根需要迭代 多少次？（不必求根） 答 ： 设f (x) = 1 ? x ? sin x, f (0) = 1 & 0, f (1) = ? sin 1 & 0, f (x) = ?1 ? cos x & 0, f (x)单调 减，∴ f (x)在[0, 1]有且仅有一根。设二分k 次，取xk ≈ x? , |xk ? x? | = k ≥ 9.965, 所以要二分10次。1 2k+1(1 ? 0) ≤1 × 10?3 , 2设二分k 次，同上题计算，需二分10次。计算机计算略, x? ≈ 0.921。3. 用简单迭代法求下列方程的根，并验证收敛性条件，精确至4位有效数字。 1) x3 ? x ? 1 = 0; 2) ex ? 4x = 0; 答 ：以2)为例. 3) 4 ? x = tan x, x ∈ [3, 4]; 4) ex ? 3x2 = 0.f (0) = 1, f (1) & 0, f (ln 4) = 4 ? 4 ln 4 & 0, f (2) & 0, f (3) & 0, 方程f (x) = 0存在两个根：答案当x & ln 4时，f (x) & 0; 当x & ln 4时，f (x) & 0。将方程f (x) = 0在区间[0, 1]改写成同解方程 1 x = ex , x ∈ [0, 1] 4 1 xk+1 = exk , k = 0, 1, 2, ? ? ? 4 1 ? (x) = ex & 0. 4 4构造迭代格式1 x 记?(x) = 4 e ，则课C 求根x? 1:后网设f (x) = ex ? 4x, 则f (x) = ex ? 4, f (x) = 0的根为ln 4。? x? 1 ∈ [0, 1], x2 ∈ [2, 3].www.khda w.2. 用二分法求方程2e?x ? sin x = 0在区间[0, 1]内的根，精确到3位有效数字。 ?x 答 ：设f (x) = 2e?x ?sin x, f (0) & 0, f (1) = 2 e ?sin 1 & 0, f (x) = ?2e ?cos x & 0, 所以f (x)在[0, 1]内 有且仅有一根。com当x ∈ [0, 1]时，1 1 ?(x) ∈ [?(0), ?(1)] = [ , e] ? [0, 1], 4 4 e |? (x)| ≤ & 1, 4所以此迭代格式对任意的x0 ∈ [0, 1]均收敛。 取x0 = 0.5, 迭代得到k xk 1 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.357418所以x? 1 ≈ 0.3574。 C 求根x? 2: 将方程f (x) = 0在区间[2, 3]改写为同解方程构造迭代格式 xk+1 = ln(4xk ), k = 0, 1, 2, ? ? ? 记? = ln(4x), 则 ? (x) = 当x ∈ [2, 3]时， 1 & 0. x?(x) ∈ [?(2), ?(3)] = [ln 8, ln 12] ? [2, 3],所以此迭代格式对x0 ∈ [2, 3]均收敛。k xk 1 2...18395网取x0 = 2.5, 迭代得到课6. 求方程x3 ? x2 ? 1 = 0在x0 = 1.5附近的根，将其改写为如下4种不同的等价形式，构造相应的迭代格 式，试分析它们的收敛性。选一种收敛速度最快的迭代格式求方程的根，精确至4位有效数字。 1) x = 1 + 2) x = √ 31 ; x2后答所以x? 2 ≈ 2.153。案4 2.16743www.5 2.159841 |? (x)| ≤ , 2kh6 2...15459da w.9 2.15389co10 2.15357mx = ln(4x), x ∈ [2, 3],11 2.15343) x = 4) x =√x3 ? 1;1 + x2 ;√1 . x?1注 ： 如果已知根的一个比较好的近似值x0 , 即已知根x? 在某点x0 附近，则当|? (x0 )| & 1时迭代法局部 收敛，当|? (x0 )| & 1时不收敛。5在收敛的情况下，|? (x0 )|越小收敛越快。分别计算|? (1.5)|, 得到0.8, 2.120, 1.414，前两 种迭代格式收敛，且第二种收敛最快。 答 ：2). 迭代格式xk+1 = √ 记?(x) = 3 1 + x2 , 则31 + x2 k , k = 0, 1, 2 ? ? ? , x0 = 1.5.2 1 ? (x) = (1 + x2 )? 3 ? 2x, 3计算得 |? (1.5)| = 所以迭代格式是局部收敛的。 332 × 1.5 (1 + 1.52 )2= 0.4558,8. 设?(x) = x + c(x2 ? 3)。应如何选取c，才能使迭代格式xk+1 = ?(xk )具有局部收敛性？ 答 ： 如果迭代格式xk+1 = ?(xk ) = xk + c(x2 k ? 3), k = 0, 1, 2, ? ? ? 是局部收敛的，设迭代序列的极限值 ? 为x ，则有 x? = x? + c(x?2 ? 3), √ √ x? = 3或x? = ? 3, ? (x) = 1 + 2cx. √ √ 1 & c & 0时，则迭代格式局部收敛，收敛于 3. 当|? ( 3)| & 1, 即? √ 3 √ √ 1 时，则迭代格式局部收敛，收敛于? 3. 当|? (? 3)| & 1, 即0 & c & √ 3 √ √ 9. 写出用牛顿迭代法求方程xm ? a = 0的根 m a的迭代公式（其中a & 0），并计算 5 235.4（精确至4位 有效数字）。分析在什么范围内取值x0 ，就可保证牛顿法收敛。 √ 答 ：记f (x) = xm ? a, x? = m a. 计算得 f (m) = mxm?1 , f (x) = m(m ? 1)xm?2 , 牛顿迭代公式为令m = 5, a = 235.4, 则牛顿迭代公式为后答xk+1 = xk ?取x0 = 3, 计算得 k xk 1 2...98100课案4 235.4 ?4 xk+1 = xk + xk , k = 0, 1, 2, ? ? ? 5 5网f (xk ) 1 a ?m = (1 ? )xk + x1 , k = 0, 1, 2, ? ? ? f (xk ) m m kwww.6khda w.com√ 因而 5 235.4 ≈ 2.981。 收 敛性分 析: m = 1时，牛顿迭代序列为常序列a，显然收敛。 √ f (ε) m ≥ 2时, 对任意正数ε(0 & ε n a), 令M (ε) = ? f (ε) , 则 M (ε) = (1 ? √ a 1 1 )ε + ε1?m = (ε + ? ? ? + ε + aε1?m ) & m a = x? . m m m考虑区间[ε, M (ε)], 验证牛顿法大范围收敛定理中的4个条件。 (1) . f (ε) = εm ? a & 0, f (M )M m ? a & (x? )m ? a ≥ a ? a = 0, 所以f (ε) ? f (M ) & 0. (2) . 当x ∈ [ε, M ]时，f (x) = mxm?1 & 0. (3) . 当x ∈ [ε, M ]时，f (x) = m(m ? 1)xm?2 & 0. (4) . ε ?f (ε) f (ε)= M, M?由f (x)是严格单调函数，有0 & f (ξ ) & f (M ), 于是 M?由ε的任意性，对任意x0 ∈ (0, +∞)，牛顿法均收敛。答 ：记f (x) = x3 ? 2x ? 5, 则f (x) = (x2 ? 2)x ? 5, 割线法公式为 xk+1 = xk ? f (xk ) (xk ? xk?1 ) = xk ? f (xk ) ? f (xk?1 )案网11. 用割线法求方程x3 ? 2x ? 5 = 0在x0 = 2附近的根，取x0 = 2, x1 = 2.2, 计算到4位有效数字。www.7综上，牛顿法大范围收敛的4个条件均满足，所以对任意x0 ∈ [ε, M (ε)], 牛顿法均收敛。khf (M ) ≥ M ? (M ? x? ) = x? & ε. f (M )da w.f (xk ) f (xk )?f (xk?1 ) xk ?xk?1 , k = 1, 2, ? ? ?课后迭代5次，x? ≈ 2.095。答cof (M ) f (M ) ? f (x? ) f (ξ ) =M? =M? (M ? x? ), ξ ∈ (x? , M ) f (M ) f (M ) f (M )m3线性方 程 组 数 值 解 法 P81本章重点： 用列主元高斯消去法解线性方程组，用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解线性方程组并判断迭代格 式的收敛性。 3. 用高斯消去法解下列线性方程组： 1) ? ? ? 2x1 ? x2 + 3x3 = 1 4x1 + 2x2 + 5x3 = 4 ? ? x1 + 2x2 =7 2) ? ? =3 ? 11x1 ? 3x2 ? 2x3 ?23x1 + 11x2 + x3 = 0 ? ? x1 + 2x2 + 2x3 = ?12). ?课4. 用追赶法求解线性方程组：后答回代得案? ? ?23x1 + 11x2 + x3 = 0 ? ? ? ? ? 57 47 x2 + x3 = ?1 23 23 ? ? ? ? 193 223 ? ? ? x3 = 57 57x3 = ?1.15544, x2 = 0.549222, x1 = 0.212435.网? ? 2M0 + M1 = ?5.5200 ? ? ? ? ? ? 5 9 ? ? M0 + 2M1 + M2 = ?4.3144 ? ? ? 14 14 ? ? 3 2 M1 + 2M2 + M3 = ?3.2664 ? 5 5 ? ? ? ? 3 4 ? ? ? M2 + 2M3 + M4 = ?2.4287 ? ? 7 7 ? ? ? ? M + 2M = ?2. 8ww与原方程组同解的三角方程组为w.? ? ? ? ?23 11 ?3 ?2 3 ?23 11 1 0 1 11 ? ? r2 ?r1 ? ? r2 + 23 r1 , r3 + 23 r1 ? ?→ 0 ? ?→ ? 11 ?3 ?2 3 ? ? 0 ? ?23 11 1 0 1 2 2 ?1 1 2 2 ?1 ? ? ? ?23 11 1 0 ?23 11 1 0 52 r3 ?r2 ? ? r3 +(? 57 r2 ) ? 47 47 57 57 ?→ ?→ ? 0 ?1 ? ?1 ? 0 23 23 23 23 52 35 193 0 3 0 0 ? 57 223 23 ? 23 57com1152 23 57 23注：用列主元高斯消去法, 对于n ? 1步消元，每一步消元之前均需选主元素。 答 ： 1). 解为x3 = ?6, x2 = ?1, x1 = 9.da w.1 ? 35 2347 23? 0 ? 3 ? ?1kh? ? ?注：本题是严格对角占优的三对角线性方程组，每步消元只要消一个元素，按顺序高斯消去法即可， 用追赶法求解，运算量小。 答： M4 = ?0.654531, M3 = ?0.806055, M2 = ?1.03314, M1 = ?1.46283, M0 = ?2.02859.8. 用LU紧凑格式分解法解解线性方程组 ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? 5 答 ： 对增广矩阵作三角分解： ? ? ? 5 7 9 10 1 ? ? ? ? 6 8 10 9 1 ? ? ? ? ?→ ? ? 7 10 8 7 1 ? ? ? ? ? 5 7 6 5 1 ? ? ? ?→ ? ? ?? ? ?? 1 x1 7 9 10 ? ? ?? ? ? ? ? 8 10 9 ? ? x2 ? ? 1 ?=? ? 10 8 7 ? ? ? x3 ? ? 1 1 x4 7 6 5? ? ? ? ? ?da w.? ? 5 7 9 10 1 ? ? ? 6/5 8 10 9 1 ? ? ?→ ? ? ? 7/5 10 8 7 1 ? ? 1 7 6 5 1 ?com5 7 9 10 1 6/5 ?2/5 ?4/5 ?3 ?1/5 7/5 ?1/2 8 7 1 1 0 6 5 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?网同解三角方程组为案? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5x1 + 7x2 + 2 ? x2 ? 5ww95 7 9 10 1 6/5 ?2/5 ?4/5 ?3 ?1/5 7/5 ?1/2 ?5 ?17/2 ?1/2 1 0 3/5 5 1? ? ? ? ? ?→ ? ? ? ? ?w.9x3 + 4 x3 ? 5 ?5x3 ?kh?5 7 9 10 1 6/5 ?2/5 ?4/5 ?3 ?1/5 7/5 ?1/2 ?5 ?17/2 ?1/2 1 0 3/5 1/10 3/10 10x4 = 3x4 = 1 ?回代得课后1 5 17 1 x4 = ? 2 2 1 3 x4 = 10 10答x4 = 3, x3 = ?5, x2 = ?12, x1 = 20.9. 用改进平方根法求解线性方程组： ? ? ? 4x1 ? 2x2 ? 4x3 = 10 ?2x1 + 17x2 + 10x3 = 3 ? ? ?4x1 + 10x2 + 9x3 = ?7注：用改进平方根方法解线性方程组，系数矩阵对称，可由U的第k 行元素直接得到L的第k 列元素， 计算量比通常的LU紧凑格式分解约减少一半。 答 ： 由改进平方根法分解 ? ? ? ? 4 ?2 ?4 10 4 ?2 ?4 10 ? ? ? ? ? ?2 17 10 3 ? ?→ ? ?1/2 17 10 3 ? ?4 10 9 ?7 ?1 10 9 ?7 ? ? ? ? 4 ?2 ?4 10 4 ?2 ?4 10 ? ? ? ? ?→ ? ?1/2 16 8 8 ? ?→ ? ?1/2 16 8 8 ? ?1 1/2 9 ?7 ?1 1/2 1 ?1 得同解方程组为 ? ? ? 4x1 ? 2x2 ? 4x3 = 10 16x2 + 8x3 = 8 ? ? x3 = ?1 x3 = ?1, x2 = 1, x1 = 2.回代得后答 ： ||A||∞ = max{1 + 1 + 0, 2 + 2 + 3, 5 + 4 + 1} = 10, ||A||1 = max{1 + 2 + 5, 1 + 2 + 4, 0 + 3 + 1} = 8, ? ?? ? ? ? 1 2 5 1 1 0 30 25 ?1 ? ?? ? ? ? AT A = ? 1 2 4 ? ? 2 2 ?3 ? = ? 25 21 ?2 ? ,答案12. 设x = (1, ?2, 3)T , 计算||x||∞ , ||x||1 , ||x||2 . ? ? 1 ? ? 答 ： x = ? ?2 ?, ||x||∞ = max{|1|, | ? 2|, |3|} = 3, ||x||1 = |1| + | ? 2| + |3| = 6, ||x||2 = 3 √ 2 2 1 + (?2) + 32 = 14. ? ? 1 1 0 ? ? 13. 设A = ? 2 2 ?3 ?, 计算||A||∞ , ||A||1 , ||A||2 . 5 4 10 ?3 1网www.5 4 1 10khda w.?1 ?2由|λE ? AT A| = 0，得λ3 ? 61λ2 + 510λ ? 9 = 0. 记 f (λ) = λ3 ? 61λ2 + 510λ ? 9, 则f (λ) = 3λ2 ? 122λ + 510, f (λ) = 0的根为λ1 = 4.7307, λ2 = 35.936. 当λ ∈ (λ1 , λ2 )时，f 减；否 则，f 。用牛顿迭代公式解方程的最大根，λ3 ≈ 51.0043, √ ||A||2 = 51.0043 = 7.14173.课co10m?? ? ? ? x1 ?12 1 ?2 2 ?? ? ? ? ? 15. 给定线性方程组? ?1 1 ?1 ? ? x2 ? = ? 0 ?. ?2 ?2 1 x3 10 1) 写出雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式； 2) 证明雅可比迭代法收敛而高斯赛德尔迭代法发散； 3) 给x(0) = (0, 0, 0)T , 用迭代法求出该方程组的解，精确到 ||x(k+1) ? x(k) ||∞ ≤ 答 ： 1) 雅可比迭代格式 1 × 10?3 . 2?高斯-赛德尔迭代格式2) 雅可比迭代矩阵的特征方程为展开得到λ3 = 0, 3个根都为零，谱半径为零，因而雅可比迭代格式收敛。网高斯-赛德尔迭代矩阵的特征方程为案wwλ ?2 2 ?1 λ ?1 ?2 ?2 λw.11后√ √ 展开得到λ(λ2 + 4λ ? 4) = 0, 三个根为λ1 = 0, λ2 = ?2 + 2 2, λ3 = ?2 ? 2 2, 所以答λ ?2 2 ?λ λ ?1 ?2λ ?2λ λ因而高斯-赛德尔迭代格式发散。 3) 用雅可比迭代格式，取初值x(0) = (0, 0, 0)T , 求得解为? ? x? 1 = 12, x2 = ?46, x3 = ?58.课√ ρ = 2 + 2 2 & 1,kh= 0, = 0,da w.? (k+1) (k) (k) = ?12 + 2x2 ? 2x3 ? ? x1 (k+1) (k+1) (k) x2 = x1 + x3 ? ? (k+1) (k+1) (k+1) x3 = 10 + 2x1 + 2x2co? (k+1) (k) (k) = ?12 + 2x2 ? 2x3 ? ? x1 (k+1) (k) (k) x2 = x1 + x3 ? ? (k+1) (k) (k) x3 = 10 + 2x1 + 2x2m17. 给定方程组? ? 5x1 ? ? ? ? ?x 1 ? ? x 1 ? ? ? ? ?x 1?x2 +10x2 ?x2 ?x2?x3 ?x3 +5x3 ?x3?x4 ?x4 ?x4 +10x4= ?4 = 12 =8 = 34考查雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式的收敛性。 答 ：系数矩阵为 ? ? ? A=? ? ? ? 5 ?1 ?1 ?1 ? ?1 10 ?1 ?1 ? ?, ?1 ?1 5 ?1 ? ? ?1 ?1 ?1 10A是严格对角占优的，所以两种迭代格式均是收敛的。课后答案网www.12khda w.com4插值法本章重点： 插值多项式的定义，存在唯一性，拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式，多项式插值的余项表示。 √ √ 1. 利用函数y = x在x1 = 100, x2 = 121处的值，计算 115的近似值，并估计误差。 答 ：x1 = 100, x2 = 121, y (x1 ) = 10, y (x2 ) = 11, L1 (x) = y (x1 ) y (115) = 误差分析 √ x ? x2 x ? x1 x ? 121 x ? 100 + y (x2 ) = 10 × + 11 × , x1 ? x2 x2 ? x1 100 ? 121 121 ? 100 115 ? 121 115 ? 100 + 11 × = 10.0 ? 121 121 ? 100115 ≈ L2 (115) = 10 ×|y (115) ? L2 (115)| =1 1 |(115 ? 100)(115 ? 121)| ≤ × 15 × 6 = 0.01125. 3 / 2 8ξ 8 × 1003/23. 对于n次拉格朗日基本插值多项式，证明n证 ： 令f (x) = xk , 作f (x)的n次插值多项式，以x0 , x1 , ? ? ? , xn 为插值节点，则有答案网k xk j lj (x) = x , k = 0, 1, ? ? ? , nj =0ww后Ln (x) =j =0课插值余项为w.n注 : 要会写出两点的线性插值公式及余项表达式。估计误差时，不是去求实际误差y (115) ? L2 (115), 而是应用已知的插值余项表达式去得到估计值。f (x) ? Ln (x) =f (n+1) (ξ ) (n + 1)!n所以 f (x) = Ln (x), 即13khlj (x)xk j,n j =0 j =0k xk j lj (x) = x .da w.(x ? xj ) = 0所以，coy (x) ? L2 (x) =y (ξ ) 1 (x ? x1 )(x ? x2 ) = ? ξ ?3/2 (x ? 100)(x ? 121), ξ ∈ (100, 121). 2! 8m5. 给出函数表 x y 试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式。 注 : 写牛顿插值公式，首先就要计算出差商表，对角线上的数字就是牛顿插值公式的系数。 解 ： 牛顿插值多项式为 N4 (x) = 0 + 16(x ? 0) + 7(x ? 0)(x ? 1) + (? 5 2 )(x ? 0)(x ? 1)(x ? 2) 7 +(? 6 )(x ? 0)(x ? 1)(x ? 2)(x ? 4) 7 = 16x + 7x(x ? 1) ? 5 2 x(x ? 1)(x ? 2) ? 6 x(x ? 1)(x ? 2)(x ? 4). 0 0 1 16 2 46 4 88 5 0解： f (20 ) = f (1) = 8, f [20 , 21 ] =f (2) ? f (1) = 297 ? 8 = 289, 2?1f [20 , 21 , ? ? ? , 27 ] =f [20 , 21 , ? ? ? , 27 , 28 ] =注 : 利用差商和导数的关系ww0 f (8) (η ) = = 0, ξ ∈ (20 , 28 ). 8! 8!w.1 a?x0解后两问比较方便。 8. 设f (x) =解：后1 , x0 , x1 , ? ? ? , xn 互异且不等于a，求f [x0 , x1 , ? ? ? , xk ], (k = 1, 2, ? ? ? , n)，并写出f (x)的n次 a?x 牛顿插值多项式。答案网f [x0 , x1 , ? ? ? , xk ] =课kh?1 a?x12 × 7! f (7) (ξ ) = = 2, ξ ∈ (20 , 27 ), 7! 7!f (k) (ξ ) k!f [x0 , x1 ] =f (x0 ) ? f (x1 ) = x0 ? x1 f [x1 , x2 ] =x0 ? x1同样可以计算得1 , (a ? x1 )(a ? x2 )1 (a?x1 )(a?x2 )所以 f [x0 , x1 , x2 ] = f [x0 , x1 ] ? f [x1 , x2 ] = x0 ? x21 (a?x0 )(a?x1 )?x0 ? x2 14da w.= =f (21 ) = f (2) = 297,1 , (a ? x0 )(a ? x1 )co6. 已知f (x) = 2x7 + 5x3 + 1，求差商f [20 , 21 ]，f [20 , 21 , ? ? ? , 27 ]，f [20 , 21 , ? ? ? , 27 , 28 ]。1 . (a ? x0 )(a ? x1 )(a ? x2 )m猜想 f [x0 , x1 , ? ? ? , xk ] =k i=01 (a ? xi ), k = 1, 2, ? ? ? , n.下面用数学归纳法证明。当k = 1时，结论成立，假设结论对k = l成立，即有 f [x0 , x1 , ? ? ? , xl ] = 1l i=0,f [x1 , x2 , ? ? ? , xl , xl+1 ] =1l+1 i=1,(a ? xi )(a ? xi )则有f [x0 , x1 , ? ? ? , xl , xl+1 ] ==l+1 i=0,即结论对l + 1成立。 f (x)的n次牛顿插值多项式为nkh(x ? xi ) = 0.500 0.70413?3 f0 3! t(t ?5 f0 5! t(tw.k?1 i=0Nn (x) =k=0f [x0 , x1 , ? ? ? , xn ]da w.k?1 n k=0 i=0 k i=0(a ? xi )co(x ? xi ) . (a ? xi ) 0.625 0. 0.60228 ? 1)(t ? 2) ? 1)(t ? 2)(t ? 3)(t ? 4).1i=0i=1x答9. 给定数据表案注 : 解此题的关键是从f [x0 ], f [x0 , x1 ], f [x0 , x1 , x2 ]的表达式猜想出f [x0 , x1 , ? ? ? , xk ]，然后用归纳法进 行严格的证明，有了各阶差商的表达式，很容易写出牛顿插值多项式。0.125网0.250 0.77334解 ： 等距节点x0 = 0.125, h = 0.125, xi = x0 + ih, 0 ≤ i ≤ 5. 计算差分表，令x = x0 + th, 则牛顿 插值多项式为 N0 (x0 + th) = f0 +4课试用三次牛顿差分插值公式计算f (0.1581)及f (0.636)。后f (x)0.79618?f0 1! t++ ?4!f0 t(t ? 1)(t ? 2)(t ? 3) +f (0.1581) ≈ N5 (0.1581) = N5 (0.125 + 0.2648h) = 0., f (0.636) ≈ N5 (0.636) = N5 (0.125 + 4.088h) = 0.. 15ww0.375 0.74371?2 f0 2! t(t? 1) +mf [x0 , x1 , ? ? ? , xl ] ? f [x1 , x2 , ? ? ? , xl , xl+1 ] x0 ? x1 1 1 1 = ×[ l ? l+1 ] x0 ? xl+1 (a ? xi ) (a ? xi )注 : 此题求等距节点的牛顿前插公式，只要正确计算出差分表即可。 11. 设f (x) = 1 定义在区间[?1, 1]上。将[?1, 1]作n等分，按等距节点求分段线性插值函数Ik (x)， 1 + 25x2 并求各相邻节点中点处Ik (x)的值，与f (x)相应的值进行比较，误差为多大？ 1 ? (?1) 2 = , xk = ?1 + kh, 0 ≤ k ≤ n, n n x ? xk+1 x ? xk + f (xk+1 ) = [f (xk )(xk+1 ? x) + f (xk+1 )(x ? xk )]/h, xk ? xk+1 xk+1 ? xk x ∈ [xk , xk+1 ], 0 ≤ k ≤ n ? 1, Ik ( xk + xk+1 h h 1 ) = [f (xk ) ? + f (xk+1 ) ? ]/h = [f (xk ) + f (xk+1 )], 0 ≤ k ≤ n ? 1, 2 2 2 2 xk + xk+1 xk + xk+1 xk + xk+1 1 f( ) ? Ik ( ) = f( ) ? [f (xk ) + f (xk+1 )] 2 2 2 2解 ：记h =Ik (x) = f (xk )=? 对f (x)求导得 f (x) = ? 分析可知h2 f (ξk ), 80≤k≤n?1max |f (课后答案网因而xk + xk+1 25 xk + xk+1 ) ? Ik ( )| ≤ h2 . 2 2 4ww?1≤x≤1max |f (x)| = 50,w.1650x , (1 + 25x2 )2khf (x) =da w.=f (ξk ) xk + xk+1 xk + xk+1 ( ? xk )( ? xk+1 ) 2 2 250(75x2 ? 1) , (1 + 25x2 )3com5曲线拟合本章重点： 最小二乘原理，会求线性拟合函数及超定方程组的最小二乘解，重点是会正确写出正规方程组并求解。 1. 设某实验数据如下： x y 1.36 1.49 1.73 1.81 1.95 2.16 2.28 2.4814.094 15.096 16.844 17.378 18.435 19.949 20.963 22.494试按最小二乘法求一次多项式拟合以上数据。 解 ：n = 8, 设y = a0 + a1 x, 正规方程组为 n xj 代入数据得： 8 15.26 15.26 30. = xj x2 j a0 a1 = yj xj yj 145.253 284.87403解此方程组得a0 = 3.941, a1 = 7.453, 所以一次拟合多项式为φ(x) = 3.941 + 7.453x.2. 给定数据表：y5.3 5.8 6.8 7.3 10.3627求二次最小二乘拟合多项式。解 ：取函数系?0 (x) = 1, ?1 (x) = x, ?2 (x) = x2 . 设φ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 , 正规方程组为代入数据得课后解得a0 = 5.3139, a1 = ?1.8822, a2 = 8.2191, 因此二次拟合多项式为 φ(x) = 5.3139 ? 1.8822x + 8.2191x2 . 17答??? ? ? ? (?0 , ?0 ) (?0 , ?1 ) (?0 , ?2 ) (y, ?0 ) a0 ? ?? ? ? ? ? (?1 , ?0 ) (?1 , ?1 ) (?1 , ?2 ) ? ? a1 ? = ? (y, ?1 ) ? (?2 , ?0 ) (?2 , ?1 ) (?2 , ?2 ) a2 (y, ?2 ) ? ?? ? ? ? 9 4.5 2.85 a0 62.779 ? ?? ? ? ? ? 4.5 2.85 2.025 ? ? a1 ? = ? 35.1916 ? 2.85 2.025 1..935264案网x0.10.20.3ww0.4w.0.5 0.6 0.7 0.8khda w.0.9com或将 将求 拟 合 多 项 式 问 题 看 作 解 矛 盾 方 程 组 . 设φ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ? ? ? + am xm , φ(xi ) = yi , i = 1, 2, ? ? ? , n, 用最小二乘法确定系数a0 , a1 , ? ? ? , am , 矛盾方程组为Aα = b, 其中 ? ? ? ? ? ? a y 0 1 1 x1 ? ? ? xm 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 x2 ? ? ? xm ? ? a1 ? ? y2 ? 2 ? ? ? ? ? ?. A=? ?, α = ? . ?, b = ? . ? . . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . . ? ? ? ? ? ? 1 xn ? ? ? xm am yn n 正规方程组为 AT Aα = AT b. 解此方程组即可。x y 解 ：?0 (x) = 1, ?1 (x) = x2 ,5 519253119.0 32.3 49.0 73.3 97.8kh12 = 5 ,da w.38 445 53. 用最小二乘法求形如y = a + bx2 的经验公式，使它与下列数据拟合：(?0 , ?0 ) =i=1?0 (xi )2 =i=1w.(?1 , ?1 ) =i=1?1 (xi )2 =i=1 5ww5(?0 , ?1 ) = (?1 , ?0 ) =5 5?0 (xi )?1 (xi ) =i=1 51 × x2 i = 5327,5网i=1i=1案(y, ?0 ) =yi ?0 (xi ) =yi × 1 = 271.4,(y, ?1 ) =i=1yi ?1 (xi ) =i=1i=1答将上述数据代入正规方程组得到课后(?0 , ?0 ) (?0 , ?1 ) (?1 , ?0 ) (?1 , ?1 ) 5 77699 a0 = 221.9828, a0 a1a0 a1=(y, ?0 ) (y, ?1 ) 271.4 36932.15=解此方程组得 a1 = ?0.1574083, 所以经验公式为 y = 221.9828 ? 0. .18cox4 i = 7277699, yi × x2 i = 36932.15.m4. 给定数据表： x 2.2 2.7 3.5 4.1 4.8 y 65 60 53 50 46 用最小二乘法求形如y = aebx 的经验公式。 注 ：将一般的拟合问题转化为线性最小二乘问题。 解 ：对y = aebx 两边取对数得 ln y = ln a + bx. 令 Y = ln y, a0 = ln a, a1 = b, Y1 = ln yi , 则 Y = a0 + a1 x. 记?0 (x) = 1, ?1 (x) = x,5 5 5(?0 , ?0 ) =i=1?0 (xi )2 =i=112 = 5 ,5da w.i=1 5 i=1 5 i=1(?1 , ?1 ) =?1 (xi )2 =i=1i=1 5 5w.kh(Y, ?1 ) = a0 a1 = =(?0 , ?1 ) = (?1 , ?0 ) =?0 (xi )?1 (xi ) =1 × xi = 17.3,5(Y, ?0 ) =i=1Yi ?0 (xi ) =i=1Yi ×1 = 19.,Yi ?1 (xi ) =i=1co5将上述数据代入正规方程组答得到案(?0 , ?0 ) (?0 , ?1 ) (?1 , ?0 ) (?1 , ?1 )网ww(Y, ?0 ) (Y, ?1 )课解此方程组得后5 17.3 17.3 64.23 a0 = 4.45380,a0 a119..a1 = ?0.132329, b = a1 ,所以 a = ea0 = 85.9529, 所以经验公式为 y = 85.329x .19mx2 i = 64.23, Yi ×xi = 68..5. 用最小二乘法求线性方程组? ? 2x + 4y = 11 ? ? ? ? 3x ? 5y = 3 ? x + 2y = 6 ? ? ? ? 4x + 2y = 14的近似解。 解： ? ? ? A=? ? ? ? 2 4 ? 3 ?5 ? ?, 1 2 ? ? 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? b=? ? ? 2 4 3 ?5 1 2 4 2 ? 11 ? ? 3 ? ? 6 ? 14 ? 11 3 6 14 ? ? ? ?, ? ?A A=代入得网30 3 3 49 x= 1450 , 487wwAT Ax = AT b, x y 93 69 597 487w.kh= y=A b=T2 3 1 4 4 ?5 2 2解得课后即为原线性方程组的近似解。答案20da w.? ? ? ?= ? ? 93 69 , ,co,T2 3 1 4 4 ?5 2 2? ? ?= ? ?30 3 3 49m6数值积分与数值微分本章重点： 插值型求积公式，梯形公式，辛卜生公式及其截断误差的表达式，代数精度，复化梯形公式，复华辛卜 生公式及其截断误差的表达式以及复化公式的阶。 1. 下列求积公式各有几次代数精度？ 1 1 1 1) f (x)dx ≈ f (? √ ) + f ( √ ) 3 3 ?1 1 1 3 f (x)dx ≈ [5f (? 2) ) + 8f (0) + 5f ( 9 5 ?1 解 ：(1) 1 1 f (x)dx ≈ f (? √ ) + f ( √ ) 3 3 ?113 )] 5?1 1当f (x) = x时，左边= 当f (x) = x2 时，左边= 当f (x) = x3 时，左边= 当f (x) = x4 时，左边=2 2 1 1 x4 dx = , 右边= (? √ )4 + ( √ )4 = , 左边=右边, 5 9 3 3 ?1 因而所给的求积公式的代数精度为3。 1 f (x)dx ≈ [5f (? 9 ?11(2)答当f (x) = 1时，左边=后案3 ) + 8f (0) + 5f ( 51网1 1dx = 2, 右边= (5 × 1 + 8 × 1 + 5 × 1) = 2, 左边=右边; 9 ?1 1 xdx = 0, 右边= [5 × (? 9 ?1 2 1 x2 dx = , 右边= [5 × (? 3 9 ?1 1 x3 dx = 0, 右边= [5 × (? 9 ?1 2 1 x4 dx = , 右边= [5 × (? 5 9 ?1 211 1 1 1ww1w.3 )] 51 1 x3 dx = 0, 右边= (? √ )3 + ( √ )3 = 0, 左边=右边; 3 3 ?11kh2 2 1 1 x2 dx = , 右边= (? √ )2 + ( √ )2 = , 左边=右边; 3 3 3 3 ?11da w.1 1 xdx = 0, 右边= (? √ ) + √ = 0, 左边=右边; 3 3 ?1课当f (x) = x时，左边= 当f (x) = x2 时，左边= 当f (x) = x3 时，左边= 当f (x) = x4 时，左边=3 )+8×0+5× 5 3 2 ) +8 × 02 +5 × ( 5 3 3 ) +8 × 03 +5 × ( 5 3 4 ) +8 × 04 +5 × ( 5co3 ] = 0, 左边=右边; 5 3 2 2 ) ] = , 左边=右边; 5 3 3 3 ) ] = 0, 左边=右边; 5 3 4 2 ) ] = , 左边=右边; 5 5当f (x) = 1时，左边=1dx = 2, 右边= 1 + 1 = 2, 左边=右边;m1当f (x) = x5 时，左边= 当f (x) = x6 时，左边=1 x5 dx = 0, 右边= [5 × (? 9 ?11 ?113 5 ) +8 × 05 +5 × ( 53 5 ) ] = 0, 左边=右边; 5 3 6 6 ) ]= , 左 5 25x6 dx =2 1 , 右边= [5 × (? 7 93 6 ) + 8 × 06 + 5 × ( 5边=右边, 因而所给的求积公式的代数精度为5。注 ：如果一个含有n + 1个求积节点的求积公式b nf (x)dx ≈a k=0Ak f (xk )h0 13)?1f (x)dx ≈ α0 f (?1) + α1 f (0) + α2 f (1)1解 ： (1)答当f (x) = x时，左边=后要使求积公式有2次代数精度，当且仅当 ? 1 ? ? (?1 + 2α + 3β ) = 0 3 ? ? 1 (1 + 2α2 + 3β 2 ) = 2 3 3课当f (x) = x2 时，左边=案当f (x) = 1时，左边=1 1dx = 2, 右边= (1 + 2 × 1 + 3 × 1) = 2, 左边=右边; 3 ?1 1 xdx = 0, 右边= (?1 + 2α + 3β ); 3 ?1 2 1 x2 dx = , 右边= [(?1)2 + 2α2 + 3β 2 ]; 3 3 ?11 11网1 f (x)dx ≈ [f (?1) + 2f (α) + 3f (β )] 3 ?1www.22kh2)f (x)dx ≈h [f (0) + f (h)] + ah2 [f (0) ? f (h)] 2da w.2. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。 1 1 1) f (x)dx ≈ [f (?1) + 2f (α) + 3f (β )] 3 ?1co具有2n + 1次代数精度，则称该求积公式为高斯型求积公式。m解此方程组得：√ ? 1+ 6 ? ? ? α1 = 5 √ ? 3 ? 2 6 ? ? β = 1 15√ ? 1? 6 ? ? ? α2 = 5 √ ? 3 + 2 6 ? ? β = 2 15?将(α1 , β1 )代入原式，得到求积公式 √ √ 1 1+ 6 3?2 6 f (x)dx ≈ [f (?1) + 2f ( ) + 3f ( )] 3 5 15 ?1 √ √ √ 1 1 1+ 6 3 3?2 6 3 4 6 ? 36 3 3 3 当f (x) = x 时，左边= x dx = 0, 右边= × [(?1) +2 × ( ) +3 × ( ) ]= , 3 5 15 225 ?1 左边=右边，所以此求积公式有2次代数精度。1h当f (x) = 1时，左边=0 h1dxh, 右边=答当f (x) = x2 时，左边=课要使求积公式有2次代数精度，当且仅当 1 1 ( ? 2a)h3 = h3 , 2 3 1 。代入原式，得到求积公式 12h解此方程组得：a =后案当f (x) = x时，左边=0h 1 h2 , 左边=右边; xdx = h2 , 右边= (0 + h) + ah2 (1 ? 1) = 2 2 2 1 h 1 x2 dx = h3 , 右边= (02 + h2 ) + ah2 (2 × 0 ? 2h) = ( ? 2a)h3 ; 3 2 2h 0网f (x)dx ≈0ww√ √ 1 1? 6 3+2 6 f (x)dx ≈ [f (?1) + 2f ( ) + 3f ( )] 3 5 15 ?1 √ √ 1 1 1? 6 3 3+2 6 3 3 3 3 当f (x) = x 时 ， 左 边= × [(?1) + 2 × ( ) +3×( ) ] = x dx = 0, 右边= 3 5 15 ?1 √ 4 6 + 36 , 左边=右边，所以此求积公式有2次代数精度。 ? 225 h h (2) f (x)dx ≈ [f (0) + f (h)] + ah2 [f (0) ? f (h)] 2 01h (1 + 1) + ah2 × (0 ? 0) = h, 左边=右边; 2h2 h [f (0) + f (h)] + [f (0) ? f (h)] 2 12w.23khda w.com?将(α2 , β2 )代入原式，得到求积公式当f (x) = x3 时，左边=0h1 h h2 1 x3 dx = h4 , 右边= (03 + h3 ) + (3 × 02 ? 3h2 ) = h4 , 左边=右边 4 2 12 4 x4 dx = h 1 5 h2 1 h , 右边= (04 + h4 ) + (4 × 03 ? 4h3 ) = h5 , 左边=右边， 5 2 12 5当f (x) = x4 时，左边=0h所以此求积公式有3次代数精度。1(3)?1f (x)dx ≈ α0 f (?1) + α1 f (0) + α2 f (1)1当f (x) = 1时，左边=?1 11dx = 2, 右边= α0 + α1 + α2 ; xdx = 0, 右边= ?α0 + α2 ;当f (x) = x时，左边=?1当f (x) = x2 时，左边=解此方程组得：答代入原式，得到求积公式后课案当f (x) = x3 时，左边= 当f (x) = x4 时，左边==1 ?1网1 4 1 f (x)dx ≈ f (?1) + f (0) + f (1). 3 3 3 ?1 x3 dx = 0, 右边=1 ?11x4 dx =2 1 4 1 2 , 右边= × (?1)4 + × 04 + × 14 = , 左边=右边，所以 5 3 3 3 3此求积公式有3次代数精度。ww? 1 ? ? α0 = ? ? 3 ? 4 α1 = ? 3 ? ? ? ? α2 = 1 31 4 1 × (?1)3 + × 03 + × 13 = 0, 左边=右边; 3 3 3w.24要使求积公式有2次代数精度，当且仅当 ? ? α + α1 + α2 = 2 ? ? 0 ?α0 + α2 = 0 ? ? ? α0 + α2 = 2 3khda w.2 x2 dx = , 右边= α0 + α2 , 3 ?11com4. 验证当f (x) = x5 时，柯特斯求积公式： c= b?a [7f (x0 ) + 32f (x1 ) + 12f (x2 ) + 32f (x3 ) + 7f (x4 )] 90 b?a 。 4准确成立，其中xk = a + kh, k = 0, 1, 2, 3, 4; h = 注 ：代值验证即可。5. 设函数f (x)由下表给出：x1.61.82.02.22.42.62.83.03.23.43.63.83.4求1.8f (x)dx。解 ：方法1：应用复化梯形公式 n = 8, h = 0.2, x0 = 1.8, xk = x0 + kh, 0 ≤ k ≤ 8,7课后答S4 (f ) =h h [f (x0 ) + 4f (x1/2 ) + f (x1 )] + [f (x1 ) + 4f (x3/2 ) + f (x2 )] 6 6 h h + [f (x2 ) + 4f (x5/2 ) + f (x3 )] + [f (x3 ) + 4f (x7/2 ) + f (x4 )] 6 6 h = {f (x0 ) + f (x4 ) + 4[f (x1/2 ) + f (x3/2 ) + f (x5/2 ) + f (x7/2 )] + 2[f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 )]} 6 0.4 = × [6.050 + 29.964 + 4 × (7.389 + 11.023 + 16.445 + 20.533) + 2 × (9.025 + 13.464 + 20.086)] 6 = 22.848.案方法2：应用复化辛卜生公式 1 n = 4, h = 0.4, x0 = 1.8, xk = x0 + kh, 0 ≤ k ≤ 4, xk+1/2 = (xk + xk+1 ), 0 ≤ k ≤ 3. 2网wwh f (xk ) + f (x8 )] T8 (f ) = [f (x0 ) + 2 2 k=1 0.2 × [6.050 + 2 × (7.389 + 9.025 + 11.023 + 13.464 + 16.445 + 20.086 + 20.533) + 29.964] = 2 = 23.1944.w.256. 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式按5位小数计算积分 出各有几位有效数字。1khda w.9√xdx，取n = 4，并与精确值比较，指comf (x) 4.953 6.050 7.389 9.025 11.023 13.464 16.445 20.086 20.533 29.964 36.598 44.701解 ：f (x) =√x,9√ xdx 12 3 2 52 × 26 = , = x 2 |9 1= 3 3 3 f (3) = 1.73205, f (4) = 2.00000, f (5) = 2.23607,f (1) = 1.00000,f (2) = 1.41421,f (6) = 2.44949,f (7) = 2.64575,f (8) = 2.82843,f (9) = 3.00000,2 T4 (f ) = [f (1) + 2 × (f (3) + f (5) + f (7) + f (9))] = 17. 2 S4 (f ) = × [f (1) + 4f (2) + f (3)] + × [f (3) + 4f (4) + f (5)] 6 6 2 2 + × [f (5) + 4f (6) + f (7)] + × [f (7) + 4f (8) + f (9)] = 17.39√ 1xdx ? T4 (f ) = xdx ? S4 (f ) =52 ? 17.22774 = 0.10559 ? ? ? 3 52 ? 17.3209 = 0.00124 ? ? ? 3所以T4 (f )有2位有效数字，S4 (f )有4位有效数字。87. 利用积分282w. ww1 , 2x I (f ) =2解：1 1 dx = ln x|8 2 = ln 2, 记 2x 2 f (x) =将区间[2, 8]n等分，记h =案网8?2 ，用复化梯形公式Tn (f )计算I (f )，则有 n I (f ) ? Tn (f ) = ? h2 f (η ), 12 η ∈ (2, 8).后1 因为f (x) = ? x?2 , f (x) = x?3 , 所以 2答当3 1 ≤ × 10?5 时有 2 8n 2 |I (f ) ? Tn (f )| ≤课|I (f ) ? Tn (f )| ≤1 1 6 3 h2 × 3 = × ( )2 = 2 , 12 2 12 × 8 n 8n1 3 ≤ × 10?5 , 2 8n 2解得 n≥ 3 × 105 = 273.861. 41 所以取274个节点可使误差的绝对值不超过 × 10?5 。 2 26kh81 过 × 10?5 。 21 dx计算ln 2时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点才能使其误差绝对值不超 2xda w.f (x)dx.co1m9√88. 用龙贝格方法计算 这2种方法的优缺点。21 1 dx，要求误差不超过 × 10?5 。就本题所取节点个数与上题结果比较，体会 2x 2注 ：通过逐次二分步长的方法求出T1 , T2 , T4 , T8 , T16 ，其他的值均由它们的线性组合得到. T2n 1 = [Tn + h 2n?1f (xi+1/2 )],i=01 I ? T2n ≈ (T2n ? Tn ), 3解 ：记f (x) =6 T1 = [f (2) + f (8)] = 0. T2 = [T1 + 6f (5)] = 0.7 S1 = (4T2 ? T1 ) = 0. T4 = {T2 + 3 × [f (3.5) + f (6.5)]} = 0., 2 1 S2 = (4T4 ? T2 ) = 0., 3 1 C1 = (16S2 ? S1 ) = 0., 15 1 T8 = {T4 + 1.5 × [f (2.75) + f (4.25) + f (5.75) + f (7.25)]} = 0., 2 1 S4 = (4T8 ? T4 ) = 0., 3 1 (S4 ? S2 ) = ?1.608 × 10?4 , ? 15 1 C2 = (16S4 ? S2 ) = 0., 15 1 (C2 ? C1 ) = ?2.311 × 10?5 , ? 63 1 R1 = (64C2 ? C1 ) = 0., 63课后答案网www.27kh1 , 2xda w.xi + xi+1 1 b?a , xi+1/2 = a + (i + )h = , n 2 2 1 1 Sn = (4T2n ? Tn ), I ? S2n ≈ (S2n ? Sn ), 3 15 1 1 Cn = (16S2n ? Sn ), I ? C2n ≈ (C2n ? Cn ), 15 63 1 1 Rn = (64C2n ? Cn ), I ? R2n ≈ (R2n ? Rn ), 63 255 因为外推算法是建立在Tn , Sn , Cn , Rn 均是建立在精确计算的基础上的，因此在计算过程中的每一步要 尽可能保留足够多的有效位数才能获得理想的结果。 其中h =com1 T16 = {T8 + 0.75 × [f (2.375) + f (3.125) + f (3.875) + f (4.625) + f (5.375) + f (6.125) + f (6.875) + 2 f (7.625)]} = 0., 1 S8 = (4T16 ? T8 ) = 0. 1 ? (S8 ? S4 ) = ?1.575 × 10?5 , 15 1 (16S8 ? S4 ) = 0., 15 1 ? (C4 ? C2 ) = ?1.451 × 10?6 , 63 由I ? C4 ≈ 1 (C4 ? C2 )，知 63 |I ? C4 | ≤ 因而C4 为满足精度要求的近似值。1 × 10?5 , 2R2 = 由|I ? R2 | ≈ |1 (64C4 ? C2 ) = 0., 631 (R2 ? R1 ) = ?2.737 × 10?7 , 255课后答案网ww注 ： 用复化梯形公式计算要达到同样精度需要274个节点，计算C4 或R2 仅用到17个节点上的函数值， 计算量大大减少。w.28kh1 1 (R2 ? R1 )| ≤ × 10?6 ，因此R2 为满足精度要求的近似值。结论：ln 2 ≈ 0.69315。 255 2da w.com上机安排共三次上机时间，分别安排在第9，12，14周，即4.14，5.5，5.19，一二节课，尚贤楼419。 1. 分别用二分法、牛顿法、割线法求方程x3 ? x2 ? 1 = 0在1.5附近的根。 2. 分别用列主元消去法，LU分解法，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求以下方程组的解。 ? ? =6 ? 2x1 ?x2 +10x3 ? ? ? 10x ?x +2x3 = ?11 1 2 ? 8x2 ?x3 +3x4 = ?11 ? ? ? ? ?x +3x2 ?x3 +11x4 = 25 1 3. 按下列数据 x y 0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72y3.8 1.50 26.0 33.0课后答案网www.29试用形如y = a0 + a1 x + a2 x2 的抛物线进行最小二乘拟合。 9√ 1 xdx，使其相邻两次计算误差绝对值不超过 × 10?5 。 5. 分别用复化梯形公式按5位小数计算积分 2 1khda w.用拉格朗日插值法和牛顿插值法作5次插值，计算x1 = 0.46, x2 = 0.55, x3 = 0.60时函数的近似值。 4. 已知实验数据如下： x 1.0 2.5 3.5 4.0co1.62 1.03 1.23m
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