THREE.js&源码阅读笔记-Quaternion四元数_koAlaPierce_新浪博客
THREE.js&源码阅读笔记-Quaternion四元数
四元数是一种作为复数的拓展而使用的数系，最初被爱尔兰数学家 William Rowan Hamilton
所使用。四元数大多用于3维空间的旋转计算，与其他数系相比，其最大的不同点在于没有乘法交换律。
四元数的基础性质可见于：
四元组的优点
1.&有多种方式可表示旋转，如
axis/angle、欧拉角(Euler angles)、矩阵(matrix)、四元组等。
相对于其它方法，四元组有其本身的优点：
​2.&四元数不会有欧拉角存在的
gimbal lock 问题四元数由4个数组成，
3. 旋转矩阵需要9个数两个四元数之间更容易插值
​4.&四元数、矩阵在多次运算后会积攒误差，需要分别对其做规范化(normalize)和正交化(orthogonalize)，对四元数规范化更容易
​5.&与旋转矩阵类似，两个四元组相乘可表示两次旋转
​原型函数：
由于源码实现函数很多，我只列出一些有学习价值的​
1) setFromEuler : function ( euler, update
& //从欧拉角转为四元数
​欧拉角是另一种表示3维旋转的方式，转换原理：
2) setFromAxisAngle: function (axis, angle);
&//轴角表示法转为四元数
​转换原理：见四元数的定义
3) setFromRotationMatrix: function (&m );
&//旋转矩阵转为四元数
转换原理：
4)&setFromUnitVectors: function (); //从两个向量转为四元数
转换原理：
5) slerp: function (qb, t); //球面线性插值
四元数的优势之一，插值非常简单​&*
*代表没看懂或还没看，以后会慢慢补上
koAlaPierce
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1)&&quaternion-Euler angle transforming
四元数欧拉角转换
2)&&Euler dynamics and quaternion
欧拉动力学和四元数法
3)&&Euler conversion formula
欧拉转换公式
the article discusses the concept of progression convergence speed, introducing Euler conversion formula and its progression convergence accleration and the conditions that Euler conversion foumula accelerates the convergence of progression.
论述了级数收敛速度的概念 ,并介绍了欧拉转换公式及其级数加速收敛的技术 ,以及欧拉转换公式提高级数收敛速度的条件。
4)&&unit quaternion transformation
四元数变换
According to its specific geometry, a parameterized equation of forward position analysis was constructed under single orthogonal geometry by using unit quaternion transformation.
根据纯转动型 3 UPU并联机构的几何特点 ,使用四元数变换方法 ,构造了一类单正交条件下的 3 UPU并联机构位置正解分析的参数化方程 ,可使用三角恒等变换来求解该方程 ;并使用单位四元数变换求出其双正交条件下的 8个封闭的位置正解 ,该正解为 4组共轭
5)&&commutative quaternion algebra
可换四元数
In this paper,we study the Riemann-Hilbert boundary value problem on the unit disk for a class of first order hyperbolic equation in commutative quaternion algebra.
为考察高维双曲方程的边值问题,本文引进可换四元数空间,并在此空间中讨论了可换四元数代数中一类一阶双曲方程的Riemann-Hilbert边值问题,我们获得了在指标非负的情况下唯一解的一般形式,以及在有指标小于零时代不同情况下Riemann-Hilbert边值问题的可解条件。
In this paper,the Riemann-Hilbert boundary value problem for a class of first order hyperbolic equation in commutative quaternion algebra is considered,and the general solutions and the solvable conditions of the problem in different cases are obtained.
讨论了可换四元数代数中一类一阶双曲方程的Riemann-Hilbert边值问题。
6)&&Euler-axis rotation parameters
欧拉轴旋转参数
A detailed survey is presented of the methods of rigid-body attitude representation, including Euler angles, the Euler-axis rotation parameters, the direction cosines and the Euler-Rodrigues quaternion.
首先论述了姿态描述的四种方法:欧拉角、欧拉轴旋转参数、方向余弦和四元数法,重点介绍了四元数法在飞行器运动学上的应用,它消除了欧拉方程的奇异性,计算效率也远远优于其他三种方法;最后讨论了数值仿真的方法及误差。
补充资料：欧拉角
欧拉角Eulerian&angles&&&用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成。为欧拉首先提出而得名。它们有多种取法，下面是常见的一种。如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′。以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。由轴Oz量到Oz′的角θ称章动角。平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。在右手坐标系中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。由固定轴Ox量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。由轴Oz和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。若令Ox′y′z′的初始位置与Oxyz重合，经过相继绕Oz、ON和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。如果刚体绕通过定点O的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝&sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。上式通常被称为欧拉运动学方程。&&&&&&图片
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四元数表示姿态：四元数表示姿态主要是用在捷连惯导系统陀螺运算姿态（山寨的动态姿态就是这样算出来的），3D游戏（因为运算简单，不像欧拉角需要大量的三角函数，但是这个领域我不太懂），是用4个数来表示一个姿态，这四个数的平方和为1（曾经我认为，既然欧拉角能用3个数表示，现在用四个数来表示，是不是会有过定义的情况，同样有这个想法的看客可以打消，因为这四个数是相互约束的，不像欧拉角三个角度是独立的），四元数通常简写为Q0，Q1，Q2，Q3，其中Q0表示一个旋转角度（后面有描述），Q1，Q2，Q3表示的是一个空间向量，四元数的物理意义就，物体从姿态原点（可认为是三个欧拉角都是0的姿态），围绕向量（Q1，Q2，Q3）旋转一个角度f(Q0) (这里注意，旋转的是一个和Q0有关的角度)，这个物理意义我是看了好久领悟了好久在一天凌晨2点刷牙时才领悟出来的，不知道看客能领悟这个意义不~~欧拉角表示姿态：据我查资料，欧拉角在航空领域又被叫做泰特-布莱恩特，由pitch（俯仰角），roll（横滚角），yaw（导航角）构成，把被观测物体看作飞机，pitch的范围是（-90～90），roll和yaw的范围都是（-180～180）,该姿态角在东北天坐标系（在地面，以东面为X轴的正方向，北面为Y轴的正方向，天（上面）为Z的正方向）中，按照右手定则，逆时针方向为增加～很多教材很多资料在这个领域都不是很统一，我只根据著名的xsens公司的ahrs来定义的，我的山寨ahrs是按照这个范围来做的，以后的讨论也是按照这个规则来（我看过很多书，很多网上资料，这些定义都不尽相同，虽然相互可以转化，但是我还是喜欢xsens这个定义）但是，欧拉表示有个致命的弱点，就是万向节死锁，有意的同志可以去搜索下姿态矩阵（旋转矩阵）表示姿态：姿态矩阵是一个3x3的矩阵，姿态矩阵通常用在工业机器人这样的一些有级联旋转机构的东西上，例如，机器人的手臂此刻处于零姿态，一级手臂末端点空间坐标为（X0，Y0，Z0），这相当于一个已知数，现在手臂旋转运动到某一姿态，这个时候的一级手臂末端点空间坐标为（X1，Y1，Z1），请问我怎么求的现在这个坐标（X1，Y1，Z1）？这个时候姿态矩阵就起到作用了～～因为机械臂的旋转是由电机驱动的，电机旋转了多少角度可以通过编码器知晓，那么，就能找到这个时候手臂的欧拉角姿态（以后分析怎么得到），通过欧拉角就可以算出旋转矩阵，在用（X0，Y0，Z0）的转置（3行1列的向量）去乘以这个矩阵，得到的一个3行1列的向量，就能得到（X1，Y1，Z1），就是这么的，同理手臂的第二级，第三级。。。都可以这样求得~~~
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四元数表示姿态：四元数表示姿态主要是用在捷连惯导系统陀螺运算姿态（山寨的动态姿态就是这样算出来的），3D游戏（因为运算简单，不像欧拉角需要大量的三角函数，但是这个领域我不太懂），是用4个数来表示一个姿态，这四个数的平方和为1（曾经我认为，既然欧拉角能用3个数表示，现在用四个数来表示，是不是会有过定义...
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