角动量平方算符的本征值和本证函数是什么?
1：一个算符如果非厄密,那它的本征值就可能是复数,可观测量只能是实数.而且,大多数可观测量都存在一个物理的本征态（至少是理想上物理的）,比如p,H,很多计算时也用x本征态（比如QCD核子问题）,非厄密算符的本征态很...
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2011年量子力学期末考试题库
导读：⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件，⒎普朗克量子假说：，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν，⒑爱因斯坦光量子假说：，这种粒子叫做光量子，⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象，⒈量子力学中，⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变，⒑本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，22．量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？，答:量子力学的波函数是一种概
⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。
⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说：
表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点：
①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说：
光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程
⒒光电效应机理：
当光射到金属表面上时，能量为 E= hν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：
①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0 ≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。
②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。
⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：
①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' &λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。
⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象
⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。
??E?h? ??????h??P?n??k????h?2????,
⒚光谱线：光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下若干条线，每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。
⒛线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。
21.标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光谱。
22.戴维逊-革末实验证明了什么？
⒈量子力学中，原子的轨道半径的含义。
⒉波函数的物理意义：某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波。
⒊波函数的特性：波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状态。
⒋波函数的归一化条件
??(x,y,z,t)d??1
⒌态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1，Ψ2，…Ψn，则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说，当体系处于态Ψ时，体系部分地处于态Ψ1，Ψ2，…Ψn中。
⒍波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。
⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。。
⒐定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。
⒑本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，则称此方程为该算符的本征方程。常数fn为该算符的第n个本征值。
波函数ψn为fn相应的本征波函数。
⒒束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。
⒓宇称：在一维问题中，凡波函数ψ(x)为x的偶函数的态称为偶(正)宇称态；凡波函数ψ(x)为x的奇函数的态称为奇(负)宇称态。
⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μω2x2)/2， ω是常数，这种粒子构成的体系称为线性谐振子。
n?0,1,2,3,??? 线性谐振子的能级为：En???(n?⒕透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。
⒖隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
⒗求证：在薛定谔方程中
?2?i?(r,t)????2?V(r)? ?(r,t)
只有当势能V(r)为实函数时，连续性方程? w(r,t)???J?0才能成立。 ⒘设一个质量为μ的粒子束缚在势场中作一维运动，其能量本征值和本征波函数分别为En,ψn，n=1，2，3，4、…。求证：
??m(x) ?n(x)dx?0，
⒙对一维运动的粒子，设Ψ1(x)和Ψ2(x)均为定态薛定谔方程的具有相同能量E的解，求证：
?1(x) ?2?1?(x)??2(x) ?(x)?常数
⒚一粒子在一维势场
?U(x)??0，
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
???? ⒛体系处于ψ(x,t)态，几率密度ρ(x,t)=？几率流密度j(x,t)=？ 21．设粒子波函数为ψ(r,t),写出粒子几率守恒的微分表达式。
22．量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？
答: 量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。
23．什么是量子力学中的定态？它有什么特征？
24．设C(p,t)为归一化的动量表象下的波函数，写出 C(p,t) dp的物理意义。
25．设质量为μ粒子处于如下势垒中
U(x)????U0
若U0&0，E&0，求在x=x0处的反射系数和透射系数。
26．设质量为μ粒子沿x轴正方向射向如下势垒
U(x)???? V0
若V0&0，E&0，求在x=x0处的反射系数和透射系数。
27．一个粒子的波函数为
??(b?x) ?(x)??A,
A , a ,b都是常数 。?
求：①归一化常数A；②画出?(x)与x关系图，并求粒子出现最大几率的点。③在0?x?a区间找到粒子的几率。在b?a和b?2a时的几率。④x的平均值。
?2?28．A?I，I为单位矩阵，则算符A的本征值为__________。
29．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
30．力学量算符应满足的两个性质是。厄密算符的本征函数具有。
⒈算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
?为厄密算符。式?满足下列等式??F???? dx
，则称F⒉厄密算符的定义：如果算符F??? dx???F?
中ψ和φ为任意波函数，x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。
推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。
⒊厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
⒋简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。
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本征值是实数的算符未必是厄密算符，对吗？收藏
周世勋《量子力学教程》中说“我们知道，所有力学量的数值都是实数。既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，他的本征值必须是实数。下面要介绍的厄密算符就具有这个性质，因而量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符” 我觉得这个因而不合理，厄密算符的本征值是实数，本征值是实数的算符未必是厄密算符啊？是吗？
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检查是不是厄米不是看共轭是否相等么？
你用矩阵么？我把矩阵忘光了！现在只想到薛定谔那一套！
一定要用矩阵么？&A|H|B& = &B|H|A&*，这么定义行不行？
可以啊！不过没有回答我的问题啊！
我觉得是啊。。可是怎么了。。
&A|H|B& = &B|H|A&*，这么定义不是说明H等于其共轭，那不能说H本征值是个实数么？
讲错了。。。。说明H等于其共轭，只要实数，都符合这个定义啊
“因而量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符”改为“因而量子力学中表示力学量的算符都可以用厄密算符表示”就更严格了 。。。。。。。。。。
对，你能说明H的本征值一定是实数！但是，本征值是实数就一定是H么？就是说，&A|H|B& = &B|H|A&*，则本征值一定是实数！但是本征值是实数的算符F，一定有，&A|F|B& = &B|F|A&*么？
只是说要求所有可观测量的算符都是厄米算符,但是不一定所有有厄米性的算符都能在量子力学里代表一个可观测量。
我的意思说，我们可以证明厄密算符的本征值一定是实数。但是，也没有人证明过，不是厄密算符，本征值就不能使实数吧也就是，万一我在厄密算符之外，找到一个算符，他的本征值也是实数，那说不定这个算符也可以是量子力学中的力学量啊！因为它完全符合力学量算符的本征值是实数的要求啊！
本征值是实数，就是说可以对角化成对角元全是实数的矩阵。这个显然是厄米矩阵。在其他任何一组完备基下，都只是经过了一个变换，比如U。因为U不能改变态正交归一的性质，如果&f|f&=1,那么&f|U+U|f&=1，也就是说U是幺正的。那么在任何一个幺正变换下，厄米矩阵依然还是会变成厄米矩阵。所以这句话是没有问题的。
你的意思说，f是厄密算符，则f的本征值是实数！这个命题的逆命题也成立？
我记得厄密算符的本征值为实数是一个充分必要条件，如果我说错的话，就无视我吧。。。。。。。。。
其实我觉得厄米算符就是根据实数来定义的吧
所谓的本征值是实数，是指所有本征值都是实数，那么此时就如同我楼上所言，必然就一定是厄米算符。而如果只是一部分本征值是实数，当然就不会有这个性质，实际上也不可能是厄米算符。
我就是想知道这个，之前大家讲了一对好高深的东西！我就是想确认，这个否是充要条件！
改成本征值都是实数，那么是没有问题的。
我记得书上说的是5楼的那个定义！
多谢，我就是想知道这个！
其实我觉得厄米算符符合其定义，就是因为本征值是实数吧？
这个我明白，但是书上并没有反过来证明，我自己也不会证，所以就怀疑！但是“都是”这一层意思，我是明白的！
符合什么定义？就是5楼的定义？这个我不知道！
我不太明白你的逻辑是什么……本征值是实数和厄米是充要条件，所以没有什么因果关系。
这句话让我想起了封闭性，啊啊，我还是接着上幼儿园吧 。。。。。。。。
还有anti-hermitian是神马情况呢？我水平渣，打打酱油。。而已
我以为符合因果律必然逻辑上自洽
嗯。知道你的意思了。格里菲斯书上对厄米算符的定义就是4l的,所以所有本征值是实数的算符都是厄米算符,因为就是这么定义的。谢谢你啊,让我概念更清楚了。
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关于厄米算符本征值是实数证明的一个注记厄米算符,反厄米算符,本征值,厄米多项式,本征值问题,矩阵本征值,厄米特矩阵,厄米矩阵,厄米共轭
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