k-循环定义置换的定义

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acmer的随记
acm点点滴滴
分类:acm_组合
1.置换的定义:n个元素的全排列/一一映射
1)置换具乘法有结合律但是没有交换律,但是不相交的循环乘法具有交换律
2)置换可以唯一地分解为不相交循环的乘积
3.循环节:置换的循环分解中循环的个数称为该置换的循环节
1)等价类计数
不动点:若某个方案s经过置换f后不变,称s为f的不动点,记置换f的不动点个数为C(f)。
伯恩赛德定理:ans=[∑ki=1C(fi)]/k,fi为第i个置换,C为不动点个数,ans是等价类个数和
波利亚定理:ans=[∑ki=1cntm(fi)]/k,m(f)为置换f的循环节,cnt为可用种类数(可涂色种数)
波利亚定理使得等价类计数问题转化为以下问题:
1.找到所有的置换:一般为旋转和反射/翻转两种操作,每种操作由于旋转角度和对称轴不同而形成不同等价类,但是不以旋转和翻转方向作为不同等价类的计算标准。
2.对于每一种置换,寻找各自循环节m(f),就是看经过多少次相同该置换后,各点回到原来位置
3.带入波利亚公式求解即可。
1.置换B可以分解为A^2的条件是B的偶数长度循环有偶数个
2.奇数循环可以分结尾一个奇数循环平方的形式
高次方形式有类似结论
3.交换排列
1.一个n个数的排列的置换为f,f的循环节为k,那么它至少交换n-k次才能得到1-n的顺序排列
排名:第11715名
(45)(3)(21)(1)(2)(39)(20)(1)(2)(1)(38)(31)(2)(1)(2)(1)(20)(6)(2)(1)(7)(10)循环群与置换群_图文_百度文库
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