6.5 矩阵的运算及其运算规则
6.5 矩阵的运算及其运算规则
一、矩阵的加法与减法
　　1、运算规则
　　设矩阵，，
　　　　　
　　简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！
　　注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
（假设运算都是可行的）
　　满足交换律和结合律
　　交换律　
　　结合律　
二、矩阵与数的乘法
　　数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．
　　特别地，称称为的负矩阵．
　　满足结合律和分配律
　　结合律：
(λμ)A=λ(μA)
(λ+μ)A =λA+μA．
　　分配律：
(A+B)=λA+λB．
　　典型例题
　　例6.5.1　已知两个矩阵
　　满足矩阵方程，求未知矩阵．
　　解　由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
　　设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．
　　(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
　　典型例题
　　例6.5.2　设矩阵
　　解　是的矩阵．设它为
　　想一想：设列矩阵，行矩阵，和的行数和列数分别是多少呢
　　是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有一个元素．
　　课堂练习
　　1、设，，求．
　　2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．
　　3、设列矩阵，行矩阵，求和，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？
　　4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．
　　求是有意义的，而是无意义的．
　　结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．
　　是矩阵，是的矩阵．
结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．
　　计算得：．
　　结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．
　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．
　　典型例题
　　例6.5.3　设，试计算和．
　　　　　　
　　　　　　．
　　　　　　
　　　　　　
结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．
　　例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组
　　可以写成矩阵的形式
　　若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为
　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：．
运算性质（假设运算都是可行的）
　　(1)　结合律　．
　　(2)　分配律　（左分配律）；
　　　　　　　　　（右分配律）．
　　(3)　．
　　定义：设A是方阵，是一个正整数，规定
显然，记号表示个A的连乘积．
四、矩阵的转置
　　定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．
　　例如，矩阵的转置矩阵为．
　　2、运算性质（假设运算都是可行的）
　　(4)　，是常数．
　　典型例题
　　例6.5.5
　　验证运算性质：
　　定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．
　　对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．
五、方阵的行列式
　　1、定义
　　定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．
、运算性质
（行列式的性质）
　　(2) ，特别地：
　　(3) （是常数，A的阶数为n）
　　思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？
　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．
　　例如，则．
　　于是，而
　　思考：设，有几种方法可以求？
方法一：先求矩阵乘法，得到一个二阶方阵，再求其行列式．
　　　　方法二：先分别求行列式，再取它们的乘积． 上传我的文档
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行列式的计算方法(精辟）
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行列式的计算方法(精辟）
官方公共微信二阶行列式_百度百科
二阶行列式
行列式的概念起源于解，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．
二阶行列式定义
设有二元线性方程组
(1)a11·X1+a12·X2=b1
a21·X1+a22·X2=b2
用容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 – a12a21≠0 时，有
(2)X1=(b1·a22-a12·b2)/（a11·a22-a12·a21)
X2=（a11·b2-b1·a21)/(a11·a22-a12·a21)
这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．
定义1我们称4个数组成的符号为二阶行列式．
是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到。
历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的用行列式解的，首先将行列式的理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对行列式作出连贯的逻辑阐述.
法国数学家柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。
二阶行列式概念
主对角线：左上方与右下方组成的对角线。
次对角线：另一条对角线。
二阶行列式计算
二阶行列式的值就是主对角线相乘减去次对角线相乘得到的数值。
二阶行列式满足行列式的运算法则，详见
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计算方法参考 :&如图 :&&对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。2阶矩阵的行列式3阶矩阵的行列式在R中使用det可以迅速的得到矩阵的行列式的值. &需要注意矩阵必须是正方矩阵.& x &- matrix(1:12,3,4)& x& & &[,1] [,2] [,3] [,4][1,] & &1 & &4 & &7 & 10[2,] & &2 & &5 & &8 & 11[3,] & &3 & &6 & &9 & 12& det(x)Error in determinant.matrix(x, logarithm = TRUE, ...) :&& 'x' must be a square matrix& x &- matrix(1:16,4,4)& det(x)[1] 0& x& & &[,1] [,2] [,3] [,4][1,] & &1 & &5 & &9 & 13[2,] & &2 & &6 & 10 & 14[3,] & &3 & &7 & 11 & 15[4,] & &4 & &8 & 12 & 16& det(t(x))[1] 4.& t(x)& & &[,1] [,2] [,3] [,4][1,] & &1 & &2 & &3 & &4[2,] & &5 & &6 & &7 & &8[3,] & &9 & 10 & 11 & 12[4,] & 13 & 14 & 15 & 16[参考]1.&2. & help(det)det & & & & & & & & & &package:base & & & & & & & & & &R DocumentationCalculate the Determinant of a MatrixDescription:& & &‘det’ calculates the determinant of a matrix. &‘determinant’ is a& & &generic function that returns separately the modulus of the& & &determinant, optionally on the logarithm scale, and the sign of& & &the determinant.Usage:& & &det(x, ...)& & &determinant(x, logarithm = TRUE, ...)& & &Arguments:& & & &x: numeric matrix: logical matrices are coerced to numeric.logarithm: if ‘TRUE’ (default) return the logarithm of the& & & & & modulus of the determinant.& & &...: Optional arguments. &At present none are used. &Previous& & & & & versions of ‘det’ allowed an optional ‘method’ argument.& & & & & This argument will be ignored but will not produce an error.Details:& & &The ‘determinant’ function uses an LU decomposition and the ‘det’& & &function is simply a wrapper around a call to ‘determinant’.& & &Often, computing the determinant is _not_ what you should be doing& & &to solve a given problem.Value:& & &For ‘det’, the determinant of ‘x’. &For ‘determinant’, a list with& & &components&modulus: a numeric value. &The modulus (absolute value) of the& & & & & determinant if ‘logarithm’ is ‘FALSE’; otherwise the& & & & & logarithm of the modulus.& & sign: either +1 or -1 according to whether the determinant& & & & & is positive or negative.Examples:& & &(x &- matrix(1:4, ncol = 2))& & &unlist(determinant(x))& & &det(x)& & && & &det(print(cbind(1, 1:3, c(2,0,1))))
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