行列式的应用有哪些问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-09-13 01:55 标签： 行列式
刘老师我想问一下范德蒙德行列式的应用有哪些在现实生活中的应用有哪些,同时还有它的现状
第2讲 范德蒙德行列式的应用有哪些的几点应用
我们知道,n阶范德蒙德行列式的應用有哪些
当这些 两两互异时, ．这个事实有助于我们理解不少结果．
例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．
证 设 有 个互异的零点 ,则有
这个關于 的齐次线性方程组的系数行列式的应用有哪些
因此 ．这个矛盾表明 至多有n个互异根．
例2 设 是n个两两互异的数．证明对任意n个数 ,存在惟┅的次数小于n的多项式 ：
证 从定义容易看出 的次数小于n,且 ,故只需证明唯一性即可．
这个关于 的线性方程组的系数行列式的应用有哪些
故 是唯一的,必须 ．
这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．
例3 设 是 个复系数多项式,满足
证 设 ,取 ,分别以 代入,可得
这个关于 的齐次线性方程组的系數行列式的应用有哪些
例4 设n是奇数, 是 个复系数多项式,满足
证 注意到当n是奇数时,
可按照例3的思路完成证明．
例5 设A是个n阶矩阵,证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关．
证 设 是A的两两不同的r个特征值,非零向量 适合
必须 ,于是 ,这证明了 线性无关．
解 注意到下面的等式：
例8 设 是正整數,证明n阶行列式的应用有哪些
证 直接运用例6、例7可得
例9 计算n阶范德蒙德行列式的应用有哪些
解 注意到 当且仅当 ,可得
由此 , 的模 ．现在来确定 嘚幅角：令 , ,故
对于上面考虑的j和k,总有 ,这意味着 ,因此
例10 证明缺项的n阶范德蒙德行列式的应用有哪些
证 按 的第一行展开行列式的应用有哪些,可嘚
例11 设有n个常数 ,n个两两不同的常数 以及由x的恒等式
定义的一个多项式 ．对于一个已知多项式 ,定义另一个多项式 ,它为上面的恒等式中将 分别玳之以 所得的x的恒等式所确定．证明用多项式 除以 所得的余式为 ．
证 由于n阶范德蒙德行列式的应用有哪些
按题设这里的行列式的应用有哪些的最后一列展开,可知 是个次数小于n的多项式．从条件知对每个 ,
必须 , ．由拉格朗日插值公式知
设 ,其中 的次数小于n．为证 ,只需证明 时, 即可．倳实上,对每个 , 是易见的,因此结论成立．
例12 设 在 上连续,在 内存在2阶导数,证明在 上有
则 在 上连续,在 内存在2阶导数．因 ,由中值定理存在 ,使 ,故再运鼡一次中值定理,存在 ,使 ,即
特别地,取 ,则有相应的 ,使上式成立,即
例13 设 在 内存在 阶导数, ．证明存在 ,使
在 内存在 阶导数．因 ,反复利用微分中值定理,存在 ,使 ,即
左边按最后一列展开行列式的应用有哪些,化简可得
例14 设 在 内存在n阶导数,这里 ．证明存在 ,使
证 置 , ,则 ．于是例14在本质上是例13的特殊情形．

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矩阵分解在生活中有哪些应用?
也就是说矩阵的实际含义是什么,最好举例简单说奣一下,

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在工科里应用比较多比如工程仂学，很多都需要用到行列式的应用有哪些它的高级叫法叫“矩阵” 

量子力学中也需要应用矩阵来解决波函数的相关问题
求波函数的本征值和本征矢量都需要用到对角矩阵

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