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小学数学教学中渗透数学思想方法的行动研究
一、问题的提出
㈠课题的理论价值：
1、建构主义学习理论认为，学习不是教师把知识简单地传递给学生、而是学生自己构建知识的过程。在认知心理学里，思想方法属于元认知范畴，它对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性的作用。学习数学的目的“就意味着解题”，解题关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生装分析问题和解决问题能力的重要途径。
2、数学是知识与思想方法的有机结合，没有包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。数学知识本身是非常重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使期终生受益的是数学思想方法。小学数学的根本任务是全面提高学生装素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作一个侍标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构，也必然影响期能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角则进行数学素质教育的突破口。
㈡、课题的实践价值：
1、数学思想方法是数学的隐性知识系统，传统教学淡化或忽视数学思想方法的渗透。小学数学教材是数学教学的显性知识系统，许多重要的法则公式，教材中只能看到最后的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。因此，传统教学更多注重的是知识和技能的训练，往往忽视或淡化数学思想方法的渗透和应用，从而影响学生能力的发展和数学素质的提高。
2、数学思想和方法要自然而然地有效渗透，而不能过分演染数学思想方法的应用。目前，多数教师对数学思想方法的渗透和应用认识明确，但实际操作中却难以得心应手，究其原因就是没有更鑫地关注渗透的有效性。要么过于随意，过分地夸张渲染；要么过拘泥，生搬硬套地应用。这与当前倡导的有效教学背道而驰。因此，本课题立足于对数学思想方法的渗透这一环节的尝试，通过一系列的实践总结出切实可行的有效策略，寓数学思想方法于平时
的教学中，这样，学生所掌握的知识是鲜活的、可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃，从这个意义上讲，本课题的研究具有一定的实践价值。
二、对课题所达目标和主要内容
㈠、所达目标：
1、总结出数学思想方法有效渗透的方法与途径。
2、为构建新型数学课堂教学提供一定的可行的有效策略。
3、改进小学数学课堂教学，激发学生对数学的浓厚兴趣。
㈡、主要内容：
1、渗透数学思想方法的必要性。
2、小学数学基本的数学思想方法。
对应、转化、符号、分类、集合、数形、统计、极限、有序、整体、运动、函数、优化、实验等数学思想方法。
3、渗透数学思想方法的有效策略。
⑴、在钻研教材时挖掘
⑵、在教学目标中体现
⑶、在教学过程上应用
⑷、在反馈练习中提炼
⑸、在解决问题中体验
⑹、在学习反思中领悟
⑺、在归纳总结时提升
三、课题实施步骤设计和保障条件
㈠、课题实施步骤
1、准备阶段（2008、8——2008、10）
⑴学习相关的理论知识。分析该课题国内外研究现状和发展趋势。
⑵进行专题座谈。
⑶进行相关的实践研究活动。
⑷组织对师生的相关因素的问卷调查，全面调查学生数学素养发展水平分析整理。
⑸撰写课题方案。
2、实施阶段（2008、11——2009、10）
⑴分组，确定对照班和实验班。
⑵严格控制实验变量，做好观察记录。
⑶实验数据收集、整理。
⑷分阶段召开课题研讨会，交流阶段性研究成果，对实验操作及时调控。
3、总结阶段（2009、11——2009、12）
⑴归类收集体实验过程中各种资料、统计分析。
⑵进行全面分析，撰写实验研究报告。
⑶整理汇编实验成果。
㈡、课题研究的有利条件
课题负责人是教务处主抓数学教学工作的教务主任，38岁，从事教学工
作十八年。在工作中勇于探索、大胆创新，致力于教育教学研究，积极投身于当前的课程改革，现已是全国科研型优秀教师，吉林省数学学科带头人。多次承担教改课题，承担的“十五“规划课题《小学自主学习的行动研究》已于2005年结题，并获第二届全国优质教育成果二等奖；吉林省教育科学重点课题《信息技术与小学数学教学的整合》规划课题、吉林省教育学院重点课题新课程师资资培训》都已结题。参与课题研究的五位教师，均为小学数学高级教师，其中吉林省骨干教师2人，白城市数学学科带头人1人，大安市数学学科带头人1人。课题组成员的理论修养和文化素养较高，有一定的教学科研能力及教改、教研水平和经验，都参与过教改实验，所撰写的经验论文多次获奖，教学经验丰富。学校设有图书室，各个班级和办公室设有电脑，可以通过图书室和网络查找资料，了解并收集外地相关的教育教学理论、成功的经验，从理论上提高教师们的认识，为本课题的顺利开展做好充分的准备。
学校校长具有先进的教学理念和较强的科研意识，在教育科研方面步于投入，购买课题研究所需要的资料等，能为实验的有序开展及顺利进行提供保障。总之，学校从经费上予以支持，从教学上给予自主，从效果上予以监督，确保研究顺利进行，而且确立了相关责任人。
监督：刘国军（校长）教学：田丽华（教务主任）经费：赵& 宇（财会）
四、课题研究成果：
1、相关论文、优质课例汇编；
2、总结阶段研究成果，力争在市级以上刊物上发表。
3、探索出小学数学渗透数学思想方法的具体途径和方法。
&&& 4、提升教师教育科研水平，提高学生学业成绩。
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数学思想方法在例题讲解中的渗透
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在小学数学问题解决中渗透数学思想方法
　【摘 要】数学问题中蕴含着相当丰富的数学思想，掌握好这些数学思想，对于解决问题、培养能力有非常大的帮助。&
　　【关键词】数学思想 对应 化归 类比 有序&
　　一、数学思想的内涵&
　　《九年制义务教育全日制小学数学课程标准》（实验稿）指出：&学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识和基本的数学方法。&因此，在小学阶段有意识地向学生渗透一定的数学思想，是素质教育的内涵所在，也是提高学生数学能力和数学品质的重要方法。&
　　数学思想，即人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍规律，直接指导着数学的实践活动。数学思想的形成并不是一朝一夕、一蹴而就的，应从小学教学就开始。渗透数学思想对学生以后的发展非常重要，不仅有利于学生数学能力的发展，而且对于以后学生走入社会、独立分析和解决问题大有裨益，其影响是深远的。&
　　在解决数学问题中所体现的数学思想其实是很丰富的，下面简要探讨在小学数学问题解决中渗透数学思想方法，列举几种以做参考。&
　　二、在小学数学问题解决中渗透数学思想的策略&
　　（一）对应思想&
　　对应是人们对两个集合元素之间联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。对应思想是解答一般应用题的常见方法。&
　　如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。再如一年级上册教材中，分别将小兔和小鹿、小猴和小熊、小兔和小鸟一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。&
　　（二）化归思想&
　　化归是一种比较典型的数学思想，是指将有待解决的问题转化归结为已知或已解的比较容易的问题去解决。我们常用的化未知为已知、化难为易、化繁为简等都属于化归思想的范畴。任何数学问题的解决过程，都是一个由未知向已知转化的过程。&
　　如：小学数学&鸡兔同笼&问题，出自约1500多年前《孙子算经》，书中是这样描述的：&今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？&意思就是：在同一个笼子里关有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有几只？&
　　由于原题中数据较大，不利于首次接触该类问题的学生解答，于是运用&化繁为简&的思想，对原题变式为&鸡兔同笼，共有9个头，26条腿，鸡兔各有多少只？&待学生探究出解决此类问题的一般方法后，再换算成原题中的大数据，解决起来就很容易了。这种&化繁为简&思想正是数学能力的表现之一。&
　　再如：小数除法通过&商不变性质&化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法通过&通分&化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过&通分&化归为同分母分数比较大小等都用了&化未知为已知&的思想。在平面图形面积公式的推导过程中，也以现转化思想为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。&
　　（三）类比思想&
　　学习新知，把新问题与旧知进行类比，找到解决问题的方法，这样就实现了知识和方法的迁移。因此，在数学教学过程中要善于利用类比思想，提高解决问题的能力。如：由整数的运算定律类比迁移出小数、分数的运算定律；由分数的基本性质类比迁移出分数、比的基本性质。&
　　再如：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？&
　　1=12；&
　　1+3=4=22；&
　　1+3+5=9=32；&
　　1+3+5+7=42；&
　　1+3+5+7+&+99=？&
　　分析：此题是由从1开始的奇数组成的系列加法算式，每一组算式比前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，1是一个奇数，等于1的平方；（1+3）是前2个奇数相加，等于2的平方；（1+3+5）是前3个奇数相加，等于3的平方。以此类推，那么最后的算式是前50个奇数相加，等于50的平方。因此，可以归纳出一般的规律：前n个奇数相加的和等于n的平方。&
　　应用类比的思想方法，关键在于发现两类事物相似的性质，因此，观察与联想是类比的基础。&
　　（四）有序思想&
　　办任何事情，在操作过程中，先做什么，后做什么，按照一定的顺序、步骤进行，习惯上称&次序&，这种蕴含次序的思维方法就是有序思维方法。如果思维无序，观察或思考时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。&
　　以&搭配中的学问&为例，问题：一份盒饭含一种主食和一种炒菜，今日午餐主食有米饭、馒头两种，炒菜有鸡蛋西红柿、土豆片、青椒炒肉、烧茄子四种，问一共有多少种不同的配餐方法？&
　　在这里，教师可以将问题中的文字语言转换成数字语言和图形语言。如，用&△&表示主食，用&□&表示炒菜，教师在黑板上第一排画上两个&△&分别表示两种主食，第二排画上四个&□&，分别表示四种炒菜。用不同的颜色先给第一个&△&搭配&□&，有四种搭配方法，再给第二个&△&搭配&□&，也有四种方法。那么就可以得出答案：共有4&2=8种不同的配餐方法。&
　　在解决此类问题时，教师要向学生渗透一种有序的思想。小学生思维、习惯正处于养成时期，教师向学生渗透有序思想，不仅可以提升其数学能力，更能够培养其在生活中的有序习惯。&
　　数学思想还有很多种，如数形结合、符号化、分类、集合、统计、方程等等，鉴于篇幅所限，在此不一一赘述。&
　　三、结语&
　　总之，数学问题中的数学思想非常丰富，本文只是选取了几种进行讲述。解决不同的问题需要用不同的数学思想，有时一个问题包含有多种数学思想，具体如何运用，还需要教师根据实际问题和学生情况来针对性地选择，一切以方便学生学习和使用为宜。&
　　【参考文献】&
　　[1]杨阳.探讨在小学数学教学中如何渗透数学思想方法[J].新课程学习（下），2013（10）.
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小学数学数学思想方法成果汇报会之 ——数形结合思想方法的实践渗透研究
数形结合思想在小学数学教学中的渗透
章丘市福泰小学&&&& 颜雪贞
&数形结合&就是把数学问题中的数量关系与空间形式结合起来进行思考，以形助数、以数辅形，让数与形各展其长，优势互补，相辅相成，达到抽象逻辑思维与具体形象思维的完美统一，从而使所要解决的问题化难为易、化繁为简。
通过对小学1-6年级的数学教材进行系统梳理、分类归纳，我们发现数形结合思想在教材中有着广泛的体现，主要表现在：借助形的直观促进学生对有关概念的理解；提供一种思维方法，即借助数形结合，把几何问题代数化，代数问题几何化，为研究问题提供新的思维方式；借助数形结合进行多重表达。如教材中正比例意义内容的编写，就是通过文字描述、列表、图像、关系式等多重表征来帮助学生理解正比例概念的本质。在梳理教材的同时，我们对&数形结合&的意义有了更深入的理解。通过实践研究，初步形成了一些渗透&数形结合&思想的方法和策略。
第一节 数形结合思想的理解
在深入教学现场听评课的过程中，在阅读各类期刊杂志的过程中，经常听到或看到&数形结合&这一词汇，老师们都试图在教学中渗透这一思想。确实，&数形结合&是重要的数学思想，也是解决数学问题的有效方法，但审慎观之，却发现有很多老师对&数形结合&的认识有误区：有的&数形结合&至多只是利用形象的直观模型来理解抽象的数学概念与数学概念之间的关系，有的则根本不是渗透&数形结合&思想。
一、对&数形结合&思想理解与运用的误区
借助&直观模型&理解抽象数学内容是渗透&数形结合&思想吗？
借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系是小学生学习数学的重要方法，但这一方法与数学意义上的&数形结合&方法的内涵不一致，它至多只能是&数形结合&方法的雏形。例如：
（一）利用实物或学具摆一摆、圈一圈渗透的是不是&数形结合&思想？
有很多教师在有余数除法的教学中经常设计这样的教学活动：有13个圆片，每个小朋友分4个，能分给多少个小朋友？先是学生动手操作，分&模拟&圆片来理解算理，然后利用&圈一圈&活动进一步理解算理，借助于&形&来理解抽象的算式中每个数与运算符号的意义，建立&形&与有余数除法算式之间的联系，渗透&数形结合&思想，如下图：
在教学四则运算意义时，教师都会创设与此类似的教学活动，而且在教学目标分析时也明确指出该活动的另一个目的就是渗透&数形结合&思想。可以说，上述教学活动对于学生理解除法，尤其是余数的意义非常重要，动手操作与&圈一圈&是非常有价值的数学活动，但在上述活动中并没有渗透数学意义上的&数形结合&思想。只是借助了具体的实物操作演示了余数在实际操作中产生的过程或意义。
（二）利用&集合图&理解概念之间的关系是渗透&数形结合&的思想方法吗？
数学概念是数学大厦的基石，数学概念之间有着千丝万缕的联系，建构数学概念之间的联系即画&概念图&是学习数学的重要方法。例如，有的老师在整理&因数与倍数&这个单元时，画了如下的&集合图&来帮助区分、理解概念之间的关系，同时设计说明中也强调说这是渗透&数形结合&思想。
&&&&&&&&&&&&&&&
&同样地，这仍不是数学意义上的&数形结合&思想。它只是借助利用集合图帮助学生从直观上理解数、质数、合数之间的从属关系。如果说是在渗透思想方法的话，应是集合思想。
（三）利用了几何图形就是渗透&数形结合&思想吗？
（师出示4个完全一样的等腰直角三角形）
师：如果1个三角形代表3，那么拼成的这个正方形代表几？&&
这一教学活动的目的也不是渗透&数形结合&思想，因为该活动中不关注&图形&的几何特征，这里的&图形&起到的只是&符号&的作用，可以说渗透的是&符号思想&，这里的&图形&是未知量的前身，与数学意义上的&数形结合&思想无关。
与此类似的案例还有很多，既然这些不应该看作数形结合思想，那什么是数形结合思想？
二、数形结合思想的内涵与发展脉络
&数&与 &形&是数学研究的两个基本对象，利用&数形结合&方法能使&数&与&形&统一起来，借助于&形&的直观来理解抽象的&数&、运用&数&与&式&来细致入微地刻画&形&的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。
（一）&数形结合&思想的内涵
&数形结合&一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词&数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！&
&数无形时少直觉，形少数时难入微&形象、生动、深入地指名了&数形结合&思想的价值，也揭示了&数形结合&思想的本质。在这里，&数&主要指数、数量关系式、运算式、函数关系式、方程等，其核心是抽象的代数式、函数解析式、方程；&形&主要指几何图形与直角坐标系下的函数图象。对于几何图形，我们考虑的是几何图形的形状与大小，例如有几条边、几个角、各边之间的位置关系、边的长度与所围成的图形的面积等度量特征。对于函数图象，我们考虑的是图象的发展趋势、增长（下跌）的快慢、弯曲程度等。
理解抽象的数、数量关系与函数关系式不能脱离直观的图形与图象，同时对几何图形的认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状。通过&数&与&形&的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。
&数形结合&的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形或图像结合起来进行思考，从而使&数&与&形&各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。
（二）&数形结合&思想的历史
数的产生源于计数，是对具体物体个数的计数，从而产生数的概念。产生数的概念后，在古代各种各样的计数法中，都是以具体的&图形&来表示抽象的&数&，直到出现表示&数&的各种符号，&数&才脱去了&形&的束缚，使得数的表示更便捷、简约，从而极大地拓展了人们对数的认识和应用。中国的算筹（相当于我们现在的小棒）和算盘可算是历史最长的计数工具，可以看做是&数形结合&的雏形。
真正将&数&与&形&结合起来的当属古希腊的毕达哥拉斯学派。他们将&数&与平面上&点&联系起来，这是早期的&数&与&形&相结合的体现。
数轴的建立使人类对&形&与&&数&的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算（特别是有理数的运算）也可以几何化。
解析几何的出现实现了&数&与&形&的完美结合。
第二节数形结合思想在教材中的渗透
一、数形结合思想在小学教材中的渗透点整理：
借助三种主要的数学模型，谈谈如何渗透数形结合思想？
二、数形结合思想的渗透方法
虽然在小学阶段不讲数轴、不讲直角坐标系、不讲函数图形等，但小学阶段是&数形结合&思想意识培养的重要时期。&数形结合&思想方法的渗透从小学一年级就开始了，教学中很多地方要借助数形结合的方法来完成知识的生成、理解和知识网络的构建过程。如果我们能够把这些渗透点挖掘整理出来，分阶段、有层次的通过教师以&润物细无声&的方法对学生进行&数形结合&思想方法的渗透。从方法经验的积累&&方法意识的建立&&方法的自主利用。利用小学六年的时间，分这三个阶段达成掌握基本的数学思想方法课程目标，会为学生的终身发展打下坚实的基础。
（一）用好&数尺&&数射线&或&数轴&，&数与形&相结合，帮助学生建立完整数的体系。
虽然一年级学生对抽象的点、线还没有认识，也没有一一对应的意识，但他们已经具有一定的生活经验。例如：每个同学都有自己的座位，这其中既有&一一对应&，也有点的概念。再如，让他们去数物体的个数，他们虽然很有可能数错，也不知道&一一对应&思想，但他们会努力一个对一个的数准确。再有孩子们对直尺非常熟悉，因此，我们可以将直尺抽象为&数尺&，将抽象的&数&有规律、有方向地借助看的见的&数尺&形象直观地表示出来。将数与&位置&（还没有点的概念）建立一一对应的关系，既有助于理解数的顺序、大小，又有助于理解数列的规律。
&数射线&与&数轴&的运用不但能够帮助学生建立形象直观的数的大小比较的概念，而且将&数&与直线上的&点&建立了一一对应关系。任何两个点之间都存在无数个点，即任意两个数之间都存在无数个数。如此，随着学生对数的认识的扩展，从正整数、0、分数、小数、负数，我们也不断扩充对数射线的认识（从最初的正整数的标注，&0&表示起点的标注，到小数、分数的标注。随着学生对数射线认识的深入，他们对数系的认识也趋于完善。）直到学生到六年级认识了负数，我们就完成了由&数射线&到&数轴&的初步转化，学生也建立起了较为完善的在实数范围内的数的体系概念。
&数射线&和&数轴&的引入与应用，不但将抽象的&数&直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化。
（1）&加法&就是在数轴上继续向右&数&，或者看做是向右平移若干个单位
&&&&&&&&&&&&&&&&& 1+2=3
(2)&减法&就是在数轴上先找到&被减数&，然后再向左&数&，或者看作是向左平移若干个单位。
（3）&乘法&就是在数轴上几个几个地向右&数&，或者把一&线段&拉长几倍。利用此模型，对于理解乘法中倍的意义也有一定的帮助。
&&&&&&&&&&&&&&& 2&3=6
（4）&除法&就是在数轴上先找到&被除数&，然后向左几个几个地&数&，如果恰好数到&0&，则就是&除尽&，数了几次，商就是几。当不能正好数到&0&，就产生了&余数&。数轴是理解&有余数除法&的形象化载体。
数尺、数射线（或数轴）在教材中各知识点应用：
在小学虽然没有必要完整揭示数轴的概念，但是应在小学数学教学中有意识地渗透。从认识10以内数到认识百以内、万以内的数，再到认识亿以内的数：从认识一位小数到认识两位小数、三位小数：从认识1/2到认识带分数：从认识正整数到认识负数等等，教材中大量使用了数轴。学生生活中熟悉的直尺、温度计等可以看做数轴的生活原型，从原型到模型是一个数学化的抽象过程，也是学生认识上的一次飞跃。
（二）借助&图形模型&理解数的意义及运算算理，&数&与&形&再次结合。
前面我们谈到了利用小棒或学具等实物进行教学，这至多算是&数形结合&的雏形。而&图形&的引入，帮助我们将抽象的数学概念、运算、规律等知识还原分解，实现文本和图形的有效结合。教学中充分利用好点子图、线段图（一维空间图形），长方形、正方形、圆形等（二维空间图形），长方体、正方体等（三维空间图形）可以帮助学生更好地理解数学知识，使小学数学学习过程直抵数学本质。
而在我们小学阶段经常利用&面积模型&帮助我们理解数学概念，算理及算式的意义。
&面积模型&在教材中各知识点的应用：
典型案例：
1.《小数的意义》
小数的意义是比较抽象的数学概念，小数的性质也是抽象的数学规律，小学生掌握这些知识是有一定困难的。如果把抽象的数学知识与具体的图形联系起来，挖掘和利用概念的直观成分，能有效地降低教学的难度。在这节课里利用&面积模型&即大正方形表示整数&1&，它的十分之一、百分之一、千分之一分别表示成一位小数、二位小数、三位小数等&&这种模型形象直观，便于学生操作和理解。
&&&&&& 0.1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 0.01
2.《小数除法》
在教学小数除法时，计算4.2&3时，如果老师一味的讲解怎样列竖式，不深入挖掘其中蕴含的数学方法，学生只是机械的记忆，对为什么这样列竖式没有透彻的理解，到头来只能是比着葫芦画瓢，照本宣科，自己一遇到稍微有点难度的计算时就容易出错。其实在计算4.2&3时，它隐含着重要数学思想方法&&数形结合，我们执教者不妨这样设计教案：&一张正方形纸表示&1&，你能用这样正方形纸表示出&4.2&吗?&,学生就会用4张同样大小的正方形纸表示&4&，再用一张正方形纸平均分成10份，取其中的2份表示&0.2&，（这样4.2就用图示表示出来了,如下图）接着让学生把&4.2&平均分成3份，每份是多少？。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
学生在思考中体会：把4张正方形纸拿出1张，平均分成10份，剩下的3张正方形纸，平均分成三份，一份是1张，另外还有10份（10个0.1）+2份（2个0.1）=12份（12个0.1），再平均分成三份，每份是4份（4个0.1）。这一操作过程正好蕴涵了计算4.2&3的算理。这样运用数形结合的教学手段可有效地帮助学生（特别是学困生）理解算理，竖式的学习则是水到渠成。利用数形结合的方法，学生表象清晰，记忆深刻，对算理的理解透彻，知其然又知其所以然。
&&& 3.《连除应用题》
大部分解决问题的教学都是利用线段图帮助学生理解，而有的并不太适合借助线段图，我们也可以利用&面积模型&更加直观清晰地理解数量间的关系。
例如：有30个桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了几个？
利用面积模型理解：
（1）30&2&3
先平均分成2份，再将其中1份平均分成3小份。
（2）30&3&2
先平均分成3份，再将其中1份平均分成2小份。
（3）30&(3&2)&&
先平均分成6份，再表示出其中的1份。
在这种类型的解决问题中，让学生借助长方形理解数量关系，是一种在画线段图的基础上的演变和创造。因为长方形是二维的，通过在二维图中的表达，让学生很容易表达出小猴的只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。通过数形结合，让抽象的数量关系，思考路径形象地外显了，非常直观，易于学生理解。
（三）借助线段图，直观形象地理解抽象的数量关系。
线段图是基于数形结合的数学思想，将自然语言转译为图形语言的小学阶段最常用的形式之一，能为数学思维活动提供直观模型，变抽象为具体，以达到化难为易，化繁为简的目的。它是数学问题解决中常用的一种思考策略，它能将题中蕴含的抽象的数量关系以形象、直观的方式表达出来，更清楚地反映出数量关系、结构特征，帮助学生自己分析应用题中的数量关系，培养学生的逻辑思维能力。我们好多老师认为画线段图解决问题是高年级的事情，是解比较难的题目才使用的方法，低年级那么简单的题目何必浪费时间，小题大做呢？而当你教到高年级时，才真正认识到这种想法是不对的。因为如果从小基础打不牢固，到高年级遇到比较难的应用题，需要画线段图辅助解题的时候，就会画不出来或画不正确，解题的能力就会大大降低，同时会影响思维的发展。那么如何对学生进行有关线段图的教学呢？我觉得需要做好两点：其一需要安排有效的、较为独立的、系统的线段图学习板块，即能形成&线段图&教学体系；其二是从一年级开始，老师就应该充分重视和利用数形结合的相关教材内容形式，进行意识渗透与价值引领。
&&&& 线段图在教材中各知识点的应用：
在这册教材中，除了平时利用图示，即&更直观的线段图&让学生感受之外，还可以在教材P72页，教学&一个数比另一个数多（少）几&即求相差数，在这节课中可适当渗透两个量的&直观复线并列图&，帮助学生理解，求相差数为什么用减法计算！如：
小雪得7朵花，小磊得了10朵花，小磊比小雪多得几朵花？
求小磊比小雪多几朵花，得让小磊减去和两个人相等的部分。这样很直观，学生也容易理解，同时为后续学习复线并列图做好了铺垫。
1、教学中继续利用数形结合的相关教材内容形式，作业练习中也能让学生直观感知线段图。
2、教材P76解决问题：倍的初步认识，以及P77例题4解决问题，（人教版教材中首次出现线段图），这几节课可以充分利用好线段图。帮助学生理清&倍数关系&，可以先利用具体的事物摆一摆、画一画，然后逐渐符号化，这个阶段可以教师先示范画，学生仿画。
在这册教材中，P54解决问题例题2：求一个数是另一个数的几倍。增加线段图教学完全可以帮助学生更好地理解倍数关系。（两个量之间的关系）如：
第一行摆：▲▲▲& ▲▲▲& ▲▲▲& ▲▲▲
第二行摆：●●●&&&&&&&&&&&&
▲是●的（& ）倍？
（从具体的图形过渡到用线段表示）
黄花的朵数是红花的几倍？
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1、该教材第二单元：万以内的加减法，P15-P33。在这个单元中，教师应充分利用线段图直观、简洁和有效概括的特点，体现线段图可以表示较大数量的功能，同时能在老师的指导下初步感知用线段图理数量关系。
2、教材第七单元：分数的初步认识，P91-P103。这个单元加入线段图的教学可以说是学生学习分数百分数应用题的基础，教材中也出现相关练习，教师应好好利用这一资源。如：
这册教材教学时需要增加一节课：关于&线段图的认识&。目的是让学生在原有的基础上进一步认识线段图，学会用线段图帮助思考问题。可以通过四个活动让学生感受线段图的价值：
活动一：自然语言：苹果比桔子少3个。这句话用什么图形或符号表示比较方便？让学生画一画，体会线段图比较简洁的特点。
活动二：用线段图表示下列语言：
（1）30只鸡和25只鸭。
（2）苹果300筐，梨比苹果多100筐。
对较大的数量的处理，让学生进一步感受线段图的优越性。
活动三：白猫有30只，是黑猫的3倍。学生画一画。线段图表示出变化着的数量关系，更直观，帮助学生理清数量关系。
活动四：用语言描述下列线段图所表示的意义。（略）这里出示的线段图有&单线分段图&和&复线并列图& 进一步理清部总关系、相并关系，让学生从不同样式的线段图中，初步梳理线段图的本质属性。
纵观小学数学教材，线段图的画法归纳起来一般有两种形式：如果题中的几个量是整体和部分关系时，要画单线分段图；如果几个量是并列关系时，要画复线并列图。
这册教材第三单元&行程问题&，教师应充分发挥线段图的功能，让学生自己尝试根据题意画出线段图，分析数量关系。
四下教材第一单元&归一问题&和第八单元的&植树问题&均可渗透线段图教学，由于有了中低段关于线段图的学习的基础，在四年级应逐渐放手让学生学会使用这一工具帮助自己解决问题。
五上&双归一问题&、五下&分数的意义和性质&，特别是六年级上册教材&分数、百分数应用题&，更需要线段图来帮助学生解决问题了，这时候学生会真正感受到&线段图&这一解题工具的重要性。
由此可见，线段图的教学并不是一蹴而就的，它需要贯穿于整个小学数学教学之中，在一、二、三年级，由于学生的思维处于形象思维发展的初始阶段，教师应当是线段图教学构造的先行者、示范者、指导者，帮助学生获得画线段图的基本方法和技能，引导学生利用线段图的形象性理解抽象的数量关系；而到了四、五、六年级，学生的思维处于具体形象思维主导期，教师可以放手让学生从自己的知识经验出发自主构造线段图，增强学生运用线段图的自觉性，特别是到了六年级，有些时候解决问题，学生就可以灵活运用线段图或者画简单线段图快速解决问题了。我觉得画线段图不是最后的目的，它只是解决问题的辅助工具，要让学生&我画因我需&。当他们解决问题身陷困境时，能很自然地想到利用画线段图帮助解题。而这个工具的获得，就需要我们老师从一年级开始就重视学生画线段图的能力，教给学生这种简洁有效的学习方法，让&线段图&在小学数学教学中发挥奇妙的作用，绽放特有的光彩！
（四）渗透&直角坐标系&思想，初步感知函数关系与图像的结合。
学习用&数对&表示&位置&时，将&座位&平面图抽象为比较形象的&直角坐标系&，建立&数对&与平面上&点&之间的一一对应关系，是学生进一步理解&数形结合&思想的又一载体。在此过程中，学生初步体验到有了坐标系后，整个平面就&结构化&了，可以用一对有顺序的&数&来唯一地确定平面上的一个点，数与形再一次结合。
有了对直角坐标系的初步认识，学生在学习&正反比例关系&时，就可以把具有这种关系的两个量在&直角坐标系&中表示出来，实际上就是正比例函数、反比例函数的图像，借助于形象的图像，来深入理解抽象的函数关系。例如，直观感知两个量的依存关系，当成正比例关系时，一个量增加另一个量也随着增加。当成反比例关系时，一个量增加，另一个量反而减少，根据图像可以直观地看出两个量变化的极限状态。
知识点的应用：
（1）小明一共录入了（&&&&& ）个字。
（2）小明在录入稿件的过程中休息了（&&& ）分钟。
（3）不算休息时间，小明平均每分钟录入多少个字？
（4）小明在哪段时间内录入速度最快？这说明什么？
B．10&15分
C．20&25分
D．30&35分
该图就是录入字数随时间的变化而变化的函数图象，该问题也渗透了数形结合的思想。
《数对确定位置》
《反比例函数图象》
总之，数形结合是数学问题解决的重要方法，也是一种重要的数学思想，在小学数学教学中应有意识地渗透。
第三节&& 数形结合形成的三个阶段
数学思想解决生活中的数学问题。
一、低段教学中，数形结合思想的感悟体验
&& 低年级学生的思维处在具体形象思维为主，逻辑思维开始萌芽的阶段，数学学习中更多的是借助图形语言来理解数量关系，掌握概念、理解算理。
案例：《乘加（减）混合运算》
第一环节：借助数形结合思想，初步感知运算意义。
（1）提问：你知道一共有几个方块？能用算式表示吗？
（2） 学生汇报出现以下算法：2&6＋5=17，6+6＋5=17，3&5＋2=17
（3）结合图形说说每道算式先算什么再算什么？表示什么意思？
第二环节：渗透数形结合思想，建立数学模型。
（1）当学生出现3&6-1=17这种方法时教师立即用课件显示：
（2）结合图形，说说3&6表示什么意思？（表示每排有6个，3排就有18个）
（3）为什么要再减去1呢？（因为添上一块才变成3排，要把添上的1减去就剩下17）
第三环节：整理算式，总结运算顺序。
书本上是以小熊买4个面包和一瓶饮料应付多少钱引出乘加问题的，但4个面包没有具体的实物支撑，学生理解起来比较困难。考虑到学生这一阶段形象思维的特点，教师将主题图改为了&立体图形&，借助数形结合理解了先乘除后加减这一运算顺序的合理性，总结运算顺序也变成了水到渠成。因此，我认为在低段数的运算教学中通过训练操作能力、观察能力、联想能力丰富对形的认识很重要：
1.观察中感悟数与形的结合。
观察是学生操作、比较、联想、类比、推理等高级思维活动的基础，是学生获取知识的开始。为了给中高年级数形结合思想的运用奠定良好的基础，教师在低年级就应该有意识地让学生观察数与形之间的联系。如：如在教学100以内进位加法时，教师通过课件演示28根小棒加72根小棒两次满十进一的过程使学生理解相同数位对齐、满十进一的道理。通过多媒体教学，既充分展现数与形之间的内在关系，又激发了学生的好奇心和求知欲，为培养学生数形结合的兴趣提供了可靠的保证。
2.操作中体悟数形结合的策略。
心理学家皮亚杰说：&儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。&可见学生的动手操作，也能丰富对形的感悟。因此，教师在低年级教学时就应该注重观察能力的培养，使学生能够根据不同的问题采用不同的方法进行解决。
比如：一年级下册第55页练习五第2题：
小熊：我从家出发，已经走了35米，这时看到路标上写着离学校55米，问：小熊家离学校有多少米？
当时第一个班的学生基本会列35+55=90（米），但是他们不能清晰地解释为什么要两个数相加。于是在另一个班级进行教学时，先让学生在桌子上用笔表示小熊，按照小熊的路线走一走，走到路标处，就告诉同桌：我已经走了35米，离学校还有55米。接着让学生想象整条路线，你能将它画出来吗？根据学生的提示教师在黑板上画出简单的路线图，为什么55+35=90（米）的问题就迎刃而解了，重要的是学生在观察、操作中体验领悟到了数形结合的策略。
3．联想中领悟数形结合的方法。
联想是问题转化的桥梁，是一种自觉的和有目的的想象，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活动。培养学生联想能力，对提高学生数形结合能力，有较大的作用。比如：一年级下册第32页的第三题可以稍加修改：小明家、学校、少年宫同在一条笔直的路旁，小明家到学校42米，学校到少年宫35米，小明家到少年宫一共多少米？教师在黑板上画出公路，学生想象3个地点可以怎样安排？你觉得路线图是怎样的？通过联想、操作，感受数与形的密切联系，领悟数形结合的方法。
二、中段教学中，数形结合思想的提炼升华
三四年级的学生已经具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主。教师能够挖掘、创造条件地渗透数形结合思想，那么将更符合儿童的思维发展规律。
案例：三年级下册《连除》
第一环节：创设情境，初步感知运算意义。
（1）出示主题图：
&提问：书店进来了400本新书，现在要将这些书平均放在两个书架上，平均每格放多少本呢？
（2）谁来说说从图中看到了什么？能解决吗？
（3）学生独立列式计算。
（4）汇报结果：400&2&4=50(本)，400&4&2=50(本)，400&（2&4）=50(本)
第二环节：渗透数形结合思想，建立数学模型。
（1）如图，400&2=200，表示每个书架放200本书，200&4=50
（2） 其他两种方法也用同样的数形结合的方法进行解决。
第三环节：运用数形结合思想，形成解决策略。
（1）出示问题：3只松鼠两天要吃24个松果，平均每只松鼠每天吃几个松果？
（2）学生独立解决问题，鼓励学生说一说画一画或其他方式解决实际问题.
（3）有了前面的铺垫，在教师的引导下部分学生能够借助结合模型来理解这类问题的本质特点了。
（4） 根据学生的方法，配合课件解决问题，24&3&2=4（个），先算24&3=8（个），表示每只松鼠吃8个松果，再算8&2=4（个），表示每只松鼠每天吃4个.
这则案例中，因为&买新书&这个模型与连除问题的数学模型有着十分相似之处，因此教师将书中的主题图变成了两个书架，并提出连除问题：400本新书买来平均放在两个书架上，平均每格放几本？根据学生的回答，得到三种解决问题的策略400&2&4=50（本），400&4&2=50（本），400&（2&4）=50（本），试图在这一环节借助书架模型让学生隐约感觉到这类问题的本质。到了练习的时候又借助数形结合思想，顺理成章地使学生借助数形结合思想理解连除问题的数学模型。像这样充分挖掘教材中的数学思想方法，将数形结合思想巧妙地渗透在了连除问题的教学，无形中展现了数学学习的价值，其高屋建瓴的教学指向是普通教学方法无法比拟的。因此，我认为中段教学中的数形结合教学可以这样开展：
1.提炼思想，挖掘教材。
小学数学教材体系包括两条主线，其一是数学知识，这是写在教材上的明线；其二是数学思想方法。数学思想方法往往是隐含在数学知识当中，限于篇幅，小学教材的文字说明很有限，有些东西，虽不言明，但要求教师领悟。所以教师必须深入钻研教材，对各部分教材的编排意图和知识结构，对知识的展示方式，其中蕴含了哪些方法和规律，体现了哪种数学思想，都要仔细推敲，认真揣摩。如：二年级上册《乘法》这一单元的编排，第一课时：《乘法的初步认识》中的课后第三题是：数一数，有几个方格？第三课时：《有几块积木》中情境导入是这样的：出示一幅5排，每排7个积木的几何图形，问：一共有几块积木？还有第四课时：《动物聚会》中的&说一说&环节出现了方格图，问：结合这个图，说说2&3表示什么意思？这些例子无不说明了数形结合思想在教材编排中的重要地位。教师要善于挖掘教材的编排意图，渗透数形结合思想，真正让学生在小学中段就能运用数形结合的思想。
2．运用思想，解决问题。
在理解数量关系时，我们应充分挖掘由数量关系所反映出来的数形结合思想，放手让学生动手操作、猜想、画图，自觉地运用数形结合思想解决实际问题。刚开始学生不一定喜欢用这样的方法来思考问题，因为那样比较麻烦，怎样让学生学会用数形结合的思想解决问题还靠教师在日常教学中分步骤分阶段地落实。
3.升华思想，培养素养。
教材在五、六年级的解决问题教学中经常运用线段图来帮助学生理解和分析数量关系，但在实际操作中却发现高年级学生运用数形结合思想解决问题的意识和能力不强。在解决:东山乡今年苹果大丰收，产量达到3.6万吨，比去年增产了两成，东山乡去年苹果的产量是多少吨？这样的问题时，难以理解其中的数量关系，当建议他们用图画出题目意思时，显得比较困难，存在画图画不到点子上的问题，可见中段教学中教师就应该抓住契机引导孩子使用数形结合的方法来解决问题，反复强化、及时总结，用数形结合思想武装学生，不断升华数形结合思想，使学生真正成为数学的主人，从而培养学生的素养，为高段的学习打下基础。
&&&& 三、高段教学中，数形结合思想的灵活运用
中高年级学生逻辑思维能力已有一定程度的发展，但是整个小学阶段学生的思维总是更多的带有形象思维的成分，为了使学生更直观地理解知识，同时又满足学生逻辑思维能力的发展，我认为数形结合思想的渗透应逐步过渡到先&数&后&形&，把形象真正放在&支撑&地位，从而为培养学生的逻辑思维能力而服务。
案例：《分数解决问题》
（1）出示：合唱队有男生20人，是女生人数的2／5，女生有几人？
（2）独立解答，小组汇报，全班交流：
生1：我们组认为应该是20&2／5＝8人
生2：我们觉得如果用乘法的话变成女生人数少了，而题目的意思是男生占了全部女生的2／5，所以我们用除法，20&2／5＝50人。
生3：是的，我们组也是这样列的，我们还验证了50&2／5＝20人，也就是女生的2／5就是男生的20人。
生4：我用的是画图的方法。&&
男生20人，20除以2等于10，女生的1份是10，5份就是50。
师：那你们所刚才的8人与50人同意哪个？为什么这里不用乘法做了呢？
生：老师，通过线段图就知道除法是对的。
如果一开始就让学生画图，我想学生肯定不会走歪路，直接就能列出20&2&5＝50（人）这样的算式。但这样一来，学生解决问题的思路就被限制了，发散思维能力就得不到发展了。教师这样让学生的思维先发散再集中，并用画线段图的方法来验证计算方法的过程能够较好地培养学生的思维的灵活性，同时感受到了数形结合思想带来的益处。五六年级突出了借助数形结合思想来解决实际问题，更注重一种方法和策略的形成，但是教师除了解读教材的这方面意图外，还应尊重学生的学习实际和思维发展的规律，不能唯教材是从，因此，高段数形结合思想的渗透可以这样进行：
1．运用数形结合思想，帮助理解数量关系。
数学思想方法的渗透的最终目标是指导学生能利用该思想解决一系列的数学问题甚至其他问题。教材也十分注重培养学生的这种能力，教材在五年级上册《相遇》一课中首次出现了线段图，接着在五年级下册的《分数混合运算》（稍复杂的分数应用题）、六年级上册《百分数的应用》中都借助线段图来分析数量关系。像这样的例子很多：下面的分数应用题中：小刚家今年9月份用水12吨，比八月份节约了1/7，八月份用水多少吨？我是这样做的：告诉学生第一步找单位&1&,第二步在单位1的量下面标数量或者X，三通过画线段图建立数量关系，四列式计算。如果单位1是具体的数量列的是算式，如果单位1是未知的则列方程。这样利用数形结合的方法便于学生理解数量关系。
2．运用数形结合思想，帮助建立数学模型。
教学中既要照顾到形象思维发展较好或较强的学生；也要照顾到逻辑思维发展较快或较优的学生；同时也不要忘记这两种思维能力的发展都较差的学生。解决问题时能直接列算式的同学直接列（小部分同学），其他同学可以选择自己擅长的方法，基础较弱的学生可以先画线段图，再抽象出一般的数量关系，建立起相应的数学模型。基础教好的学生可以先列算式再用线段图进行验证。总之。避免老是停留在作图分析上影响后继学习及逻辑思维的发展。
3．感知函数思想，帮助中小数学衔接。
教材从低年级数射线的引入到高年级学习《负数》时正式出现了数轴，再到《数对确定位置》首次出现了直角坐标系，之后在《正、反比例》的教学中又较为系统地接触了直角坐标系。教材这样编排，不仅为了学生理解知识本身的意义，更重要的是从始至终都在渗透数形结合的思想，为今后学习函数打下基础。因此教师在教学中要特别注重这一知识块的教学。
总之，数学是研究数量关系、空间形式及其关系的学科，通过数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形的性质的问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程具体化。
第四节&& 数形结合思想的渗透策略
一、以形助数，把握概念本质。
在教学&千以内数的认识&时，我们将教材中的内容由静态变为动态，利用几何形体直观地将计数单位及计数单位及相互见&十进制关系&依次呈现。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
一&&&&&&&&& 10个一是十&&&&&&&&&&&& 10个十是一百
&&&& 10个一百是一千
学生结合立方体数量的变化，直观地认识计数单位&一&&十&&百&&千&，理解它们之间的十进关系。计数单位以这种形式在学生脑海中建立了表象，为后面学习数的大小比较，数的计算打下了良好的基础。
在教学《倒数的认识》时，新课后，为了进一步理解倒数概念的内涵，我们在练习中安排了快速求倒数环节，并利用线段图突出一个数与它的倒数的相互依存关系及真分数、假分数的倒数和单位&1&的关系，是学生体会到单位&1&的重要地位。之后，又通过让学生把刚才的一组组倒数作为长方形的长与宽想象长方形的环节，再次借助几何直观，在线段（一维）直观的基础上，进入面积（二维）直观，将&图&与&数&联系，直观与思辨并重，使学生获得了比较深刻的情感体验和学习经验。
二、以形助数，化解学习难点。
对于教学中学生难以理解掌握的内容或容易引起混淆、产生错误的内容，也可以充分利用&形&，把抽象的概念、复杂的运算变得形象、直观，化解学习难点。
在教学&异分母分数加减法&时，我们利用数形结合引导学生体会只有平均分得的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能相加、减的道理，直观地理解&通分&的必要性及异分母分数加减法的算理，化解了学习难点。
三、以形助数，理解数量关系。
如在教学分数解决问题时：猴子吃桃子，第一天吃了，第二天吃了余下的，第三天吃了余下的，第四天吃了余下的，第五天吃了余下的，第六天吃了余下的，这时还剩下12个，问猴子第一、二天一共吃了多少桃子？有的学生列方程，有的学生逆推列算式，这样都不容易理解题的意思。而有的学生是画线段图理解的：
通过线段图很清楚地看出把全部的桃子看做&1&，把&1&平均分为7份，每一天吃的是其中的一份，所以第一、二天吃了2份，一份是12个，所以第一二天吃了24个。这一教学片断突显了线段图的功用，借助线段图将抽象的数量关系直观化，变&看不见&为&看得见&。使学生切实感受到画图直观的重要性。
四、以形助数，探索数学规律。
1&&&&&&&& 1+2= 3&&&&&& 1+2+3=6&&&&&&&& 1+2+3+4=10&
在教学找规律时，以往在探索这一问题时，我们往往是从计算的角度去揭示其中的道理，但是这种方法比较抽象，学生不容易理解和把握。我们可以采用数与形结合的策略进行探究，解释规律，从简单的算式入手，利用小正方形的直观，帮助学生发现规律。
第五节& 数形结合思想的典型课例
《用数对确定位置》教学设计
设计理念：
关于&位置&的学习，学生已有的知识是一年级学习的根据行、列确定物体的位置；三、四年级学习的&位置与方向&。而学生在生活中，最熟悉的莫过于教室中的座位，而且以&行&与&列&为单位的活动经验也很丰富。因此，本课教学从&行&和&列&抽象为用&数对&表示物体的位置，水到渠成。学生的学习联系实际生活情境，逐步提升已有的知识经验，进一步培养空间观念。
教学内容：
《义务教育课程标准实验教科书& 数学》（人教版）六年级上册第2页例1，第3页例2。
学情与教材分析：
学生在一年级下册已经学习过用&第几组第几个&的方法来描述实际情境中物体的位置，并且也有许多生活经验。教材在编写上充分利用、及时提升学生已有的知识和经验。通过呈现教室中学生的座位这一情境，引出本单元内容的学习，并借助学生座次表，将实际的具体情境数学化，抽象成在平面图上确定位置，这样很好地帮助学生理解如何用&数对&确定位置的方法。并能利用学生已有的用&数对&确定位置的经验，抽象到用&数对&表示平面上点的位置。学生采取自主探索、合作交流的学习方式，并在大量的实践操作中体会数形结合的数学思想方法。
教学目标：
1.能用&数对&表示具体情境中物体的位置，能在方格纸上用数对确定物体的位置。
2. 让学生经历&用数对确定位置的&的过程，感受其必要性和合理性。
3. 培养学生的空间观念以及合作交流的能力。渗透数形结合的数学思想方法。
教学重点：
能在方格纸上用数对确定物体的位置。
教学过程：
一、创设情境
今天颜老师很高兴和咱们五（1）班的同学们一起来研究数学，好想一个一个地认识大家呀！那就先认识一下咱们的一班之长吧。唉，提个小小的要求，咱不让他自己介绍，请同学们来介绍咱们的班长在教室的什么位置，让我来认识他。
（设计找班长的游戏，使学生一方面回顾了已有的方位知识，另一方面激发了他们学习新知识的兴趣）
二、设置疑问，引出&行&和&列&
生有的是从左往右介绍的，有的是从右往左介绍的。（大家介绍的方向或顺序不一样）
师：大家介绍的不一样，到现在我也没认识哪个是班长呀？这是怎么回事呀？
生：因为有的同学是从左往右说的，有的是从右往左说的。有的是先说前后看的，再说左右看的，有的正好相反。
师：那可怎么办呀？你们有好办法吗？
生：规定好从哪到哪数。
师：也就是说要万无一失地说清楚一个位置一定要规定好数的顺序和数的方向。
那你们所说的&排&和&个&是怎么看的呢？
生：竖着的是&排&，横着的是&个&。
师：通过大家的讨论，我们知道：竖着的&排&，可以说成是&列&。横着的&排&叫做&行&。确定第几列，一般从左往右数。确定第几行，一般是从前往后数。有这么一个约定，按统一的规则说话，在介绍位置时，认识就一致了。
板书：左 &&&&&& 右&&&&&&&& 前&&&&&&& 后
&&&& 第-------列&&&&&&&&&&&& 第-------行
师：现在，谁能用统一的规则，说一说班长的位置。（师握手，终于认识你了，很高兴！）
（引发问题冲突，进而产生统一说法的需要，为&列&&行&的学习做了孕伏。通过引导学生感受&列&、&行&的说法，并借助他们熟悉的教室座位情况，知道什么叫&列&，什么叫&行&，以及确定第几列第几行的一般规则。）
三、尝试探索用&数对&表示位置
师：现在请你们用&列&和&行&说一说自己在教室的位置。说给你的同桌听一听。
师：（课件出示空白座次表）看来，我们每个同学都能在教室里找到自己的位置。那现在请大家看着这个座次表，我说第几列第几行的同学起立，是谁谁就马上站起来好吗？
师：第4列，第5行。第3列，第4行。（课件）
师：可是，如果把全班同学在教室里的位置都记下来，都写上某某同学在第几列第几行，你们感觉怎样？
生：太麻烦了。
师：是呀，那是不是有比像&第3列，第2行&更简洁的方法，也可以用来确定位置呢?下面的时间，我把这一任务留给四人小组，看看能不能集中大家的智慧，创造出一种更简洁，同时也很准确的方法，请大家把研究出方法，记录在自己的作业本上，如能找到不同的方法，请都记录下来。（生研究，师巡视指导，让生记录典型方法）
四、交流建构
1、辨析讨论
师：这些方法似乎都挺简洁的，到底该选哪一种方法呢？还是请大家来做评判吧！
（生一一评判）
师：虽然这些方法我们感觉到或多或少的都存在一些问题，难道刚才被批评的方法一点值得肯定的地方都没有吗？好歹也简洁一些了。
师：想知道数学家们和谁的想法一样吗？（4,3）。第一个数字表示的是列，第二个数字表示的是行。先写列，再写行，中间加上逗号。在书写时，用小括号把两个数字括起来。这就是数学中确定位置的方法，叫做&数对&。（板书：数对）今天，我们就一起来学习用数对确定位置。
（通过让学生尝试探索用数对表示位置的过程，感受到其合理性和必要性）
五、巩固用&数对&表示位置：
1．现在请同学们用数对表示出这几个同学的位置。（请同学板书）
2．你能用数对表示自己的位置吗？写在练习本上。
3．其实，为了便于观察和思考，我们可以把这里的每个人看作一个小圆圈。（课件出示两个点的位置）
师：谁能用数对表示这两个同学的位置？
生： （4,6） （3,2）
师：那这两个同学是谁呢？让我来认识一下。认识你很高兴！（握手）
（由现实生活情境上升到平面情境图，在平面情境图中用数对确定位置，再由平面情境图抽象出方格图，并能够在方格图中用数对确定位置，这种由具体到抽象、由特殊到一般的过程，遵循了学生认知规律，是学生认知中一个&质&的升华。同时，在这个变化过程中，学生们也体会到用数对确定位置的优越性。感受到数形结合的方法在解决问题过程中简洁性和直观性）
4．介绍好朋友的数对，行列的顺序问题。
师：看来，自我介绍并不难，能用这样的方式介绍一下你最好的朋友吗？
生：我的好朋友的数对是（4,6）
师：让我也来认识一下你的朋友第6列，第4行。
生：不对，弄错了。我说的是（4,6）不是（6,4）。
师：（4,6）（6,4）不都是这两个数吗？怎么就不对了呢？
生：前面的表示列数，后面的表示行数，所以谁在前面谁在后很重要。交换位置后，相应的点就不同了。
师：看来，以后用数对确定位置时，这一点一定要弄清楚.（师重新找到（4,6）），真正的朋友原来是你啊！
（结合班级实际，设计了让学生写数对、认数对，找朋友等游戏形式来理解、应用数对的知识，在实践活动中帮助学生积累经验，理解领会数对的含义，真正把知识落到实处.）
5.认识一列或一行数对的规律。
师：下面，我想再提高要求，我直接报数对。请符合要求的同学迅速起立，看谁的反应快。（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）&&
（相应的同学起立）
师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一对？
生：因为你报的数对有规律。
师：是吗，说来听听。
生：都在第4列，所以就都站起来了。
师：说起来挺容易的，如果也让你来出几个数对，你有本事也让一对同学站起来吗？
生：（5,1）（5,2）&&
师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑，有没有谁能说出点不一样的？
生：（1,3）（2,3）（3,3）（4,3）&&
师：发现了什么？
生：这次站起来的一行。
师：有变化了，能说说为什么吗？
生：虽然列数变了，但行数没变，所以站起来一行。
师：真不错！不过，老师觉得这个不算什么。说8个数对，站起来一排。要是我说，我只给一个数对，就可以请一队同学站起来，你们信吗？
口说无凭，要不试试？（5，x）。符合要求的同学清站起来。
师：奇怪，我上面写（5,1）了没。
生：没有。
师：那你站起来干吗？还不坐下去。
生：不对，（5，x）中的x是一个未知数，既可以表示1，也可以表示2、3、4等，所以我们都站起来了。
师：瞧老师厉害吧，一个数对就让一排同学站起来。
生：不厉害，我也会。
师:谁来试一试？
生：（x,4）&&
师：我们能不能让全班同学都站起来？
生：（x,x）
师：来，符合要求的请起立（全班同学站了起来）。嗯，让我来看看，当x等于1时，该谁站起来呢？（1,1）& 。x=2时，（2,2）。我采访一下这位同学，你的数对是多少？（3,5）。哎，那x是等于3呢，还是等于5呢？（这时候陆续有同学坐下了）
师：那到底哪些同学应该站起来呢？
生：x表示一样的数。
师：那应该怎样表示合适呢？
生：（x,y）
师：这次符合要求的请起立。（全班起立）
（通过&起立&这个活动，引导学生观察同一列、同一行的数对的特点，使学生初步感受到数对的一些规律。并感受到由于字母表示的数对不确定，这样的&数对&不能确定具体的位置，必须有两个数字才能确定位置。）
六、拓展延伸：
1、动物园平面图。
师：其实，除了像教室里同学们的座位可以用数对来表示，平面图上的点有时也可以用数对来表示。（课件：动物园平面图）
师：瞧，把动物园的各个景点画在方格图上，也可以用数对表示它们的位置了。想不想试一试（写在练习本上）
师：看来，用数对确定位置时，哪个数在前，哪个数在后还真的很重要。这儿还有飞禽馆，它用数对表示是（4,4）.你能在平面图上找到它的位置吗？
师： 真好！不过下面的问题恐怕就不容易解决了。（课件）观察一下平面图，怎么啦？
生：都出格了。
师：说得好！已经出格了，还能用数对表示它们的位置吗？
生：我觉得它们的数对是（7,4 ），（8,1）。
师：有没有办法能确认一下这两个数对呢？
生：很简单，只要把格子再往外画一下就可以了。（课件演示）
（在注重巩固基础知识的同时，进一步拓展数对知识，让学生找出不完整平面图中确定数对的关键所在，感受到数形结合的重要性）
2、确定方格图上三角形的顶点的数对。
师：现在看来，只要确定了方格图，平面上的任何一个点，咱都可以用数对来确定它的位置。不过，这些都不算什么，想不想挑战更难的？瞧，这儿有一个三角形ABC(出示课件)你能用数对表示出三个顶点的位置吗？
师：为什么？
生：因为没有方格图。
师：如果给了你方格图呢？
生：那就能用数对来表示了。
师：确定？生：确定！
师：那行，谁试试？
生：啊？不对，还是不能确定。
师：奇怪，不是说给了方格图，就可以确定三个顶点的位置了吗？
生：可是，你还没有标上行数和列数啊！没有行数和列数，怎么确定位置呀！
师:看来,光有方格图还不行。重要的是，我们还要确定行数和列数。现在，能用数对表示三个顶点的位置吗？
生：A（2,2）&&& B( 5,2)&&& C(4,4)
师：看来呀，什么东西一定不能缺？
生：行数和列数。
师：真的就不能少吗？
生：真的！
师:下面，我就不给你行数和列数。但我相信，只要善于思考，你也一定能根据前面的规则找出相应的数对。（课件）
生:B点是（ 5,3 ）
师:奇怪，不是没行数和列数了吗？你又是怎么判断的？
师：真了不起，借助点与点之间的位置关系，再根据数对进行推理，同样可以找到B点的数对。用类似的方法，你能找到C点的数对吗？
师:现在看来，没有行数和列数，我们能找出相应的数对吗？
生：能。其实，这道题中的行数和列数还是告诉了我们。只不过没有直接告诉我们而已。因为根据A点的数对，我们便可以判断行数和列数了。所以我觉得，要找到相应的数对，还是需要行数和列数的。
师：果然厉害！一下子就发现了问题的关键。
（这是一个体现数形结合的综合性练习题，既让学生感受到&形&的重要性，又让学生感受到&数&的缺一不可。）
六、小结提升
今天这节课，我们一起研究了用数对确定位置。通过今天的学习，你有什么收获？
&分数、百分数解决问题&复习课
教学设想：
&分数乘除法及百分数解决问题&是人教版义务教育课程标准实验教科书六年级上册（第二、三、五单元）的重点和难点，也是整个小学阶段数学教学的主要内容之一。它们既是整数、小数解决问题的扩展，又是研究数量之间关系的典型问题；这些内容之间存在着必然的纵横联系，涉及面广，变化形式多，解题的思路宽广、方法灵活，既有独特的思维模式，又有基本的解题思路。
进行&分数（百分数）解决问题&复习教学，不是对旧知的简单再现，而是对已学知识进行整理与创新的过程，从某种意义上来说是一种较高层次的学习过程。因此，在引导复习时，把精心预设与动态生成结合起来，整理重&联&，练习重&变&。整理时，让学生自主构建、经历知识的整理过程，弄清知识本身的逻辑顺序及内在联系与区别，进一步完善认知结构和知识网络。练习时，让学生在变化多端的练习中，运用对应、转化、数形结合等数学思想与方法，理清用分数（百分数）解决问题的结构特征、数量关系及解题规律，系统地掌握一些基本的解题思路和方法，体验和领悟数学知识的连贯性和思维方法的一致性，发展分析、推理、比较、判断和交流等能力。最终使学生在&联&与&变&的过程中，学会从数学的角度提出问题、综合解决问题，养成独立思考和善于质疑的习惯，形成严谨的治学态度，培养勇于实践与创新的精神和能力。
教学目标：
1、通过对一些有联系的分数乘、除法，百分数应用题的对比复习，分析分数、比、百分数在解题思路上的一致性，加强知识间的联系，提高解决问题的能力。
2、梳理已学知识，形成一定的知识网络和数学技能。
3、进一步培养比较、分析和推理能力。
教学重难点：
分析数量关系，构建结构模型，找准知识间的联系，形成知识网络。
教学过程：
课前谈话：
同学们，今天咱们是第一次见面，老师很高兴认识你们。谁先来自我介绍一下。从大家的介绍中我知道咱们同学们年龄大约在11、12岁，想知道老师今年多大吗？（老师比学生大22岁）从这句话中，你能知道哪些数学信息？（单位1，数量关系&&& 师板书）是呀，短短的一句话中蕴含着丰富的数学信息。我们不仅看到了两个量进行比较，找到了比较的标准单位&1&，还发现了两个量之间的关系。今天这节课就让我们继续学习用数学解决生活中问题。（板书：解决问题复习课）
（通过课前谈话交流，既融洽了与师生之间的关系，又引出两个量之间的比较，谁是标准，谁就是单位1，从而理解两个量之间存在着关系。谈话自然、顺畅，不着痕迹地引入课堂教学。）
一、比较辨析，融会贯通
1.直观入手，化零为整
师出示一条线段图，这条线段表示什么？（一堆沙子，一个苹果，50个人，单位&1&）师：不管它代表什么，我们都可以把它看做单位&1&。今天就让它代表男生的人数，补充线段图。接着画女生人数是男生的4/5.
师：现在谁能用一句话表示该班男女生人数之间的关系（有选择的屏幕出示）：
⑴女生人数是男生的4/5 (80﹪)；
⑵男生人数是女生的 5/4(125%)；&&&&&&&
⑶男生人数比女生多1/4(25﹪)；
⑷女生人数比男生少1/5 (20﹪)；&&&&&&
⑸女生人数是全班人数的 4/9；
⑹男生人数是全班人数的 5/9；
⑺男生与女生人数的比是5︰4；
⑻女生与男生人数的比是4︰5
（9）男生与全班人数的比是5︰9
（10）女生与全班人数的比是4:9&&
师：从这两条小小的线段中，我们能发现这么多的数量关系。其实线段图能帮助我们很清晰地找到数量间的关系。（板书：线段图）
师：请同学们仔细观察我们找到的这些数量关系，如果让你分分类的话，你感觉应该怎样分呢？
生讨论分类。
汇报分类情况：按男生人数、女生人数、全班人数分别作单位&1&分成三类。（课件整理分类结果）
看分类结果，哪些数量关系的意思其实是一样的？（生再次分类整理）
（通过两次分类整理既让学生深刻感受到单位&1&的确定在解决问题中重要性，又让学生再次整理看到的数量关系，从而感受得到分数、百分数、比之间的联系，可以互相转化。在整理复习时把精心预设和动态生成结合起来，让学生自主构建、经历知识的整理过程，弄清知识本身的逻辑顺序及内在联系与区别，进一步完善认知结构和知识网络。）
师：如果分别加上男生25人或女生20人这两个数据，能形成哪些数学问题呢？
&&& 学生口答（教师有重点的屏幕显示）：
①女生有20人，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 男生有多少人？
&&&&&&&&&&&&&&&& 女生人数是男生的4/5，
&& 男生有25人，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 女生有多少人？
②女生有20人，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 男生有多少人？
&&&&&&&&&&&&&&&& 男生人数是女生的 5/4
男生有25人，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 女生有多少人？
③女生有20人，& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&男生有多少人？
&男生人数比女生多25%&&&&
男生有25人，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 女生有多少人
④& 女生有20人，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 男生有多少人？
女生人数比男生少20%
男生有25人，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 女生有多少人？
⑤女生有20人， 女生人数与全班人数的比是4:9，全班有多少人？
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
男生有25人，女生人数与全班人数的 比4:9，全班有多少人？
这句话还可以怎样理解？（女生占全班人数的4/9，比和分数可以互相转化，从分数和比两个角度解决问题）
（设计意图：让学生从直观线段图入手，数形结合感知形成情境问题，把分散的各种类型的分数、百分数应用问题系统梳理分析构建成一个有机的整体，建立一个相对完整的知识结构，理解把握它们之间内在的联系与区别。通过题组对比，结合线段图让学生找单位1，分析数量关系并写出数量关系式，感受到关键句在分析问题中起到了桥梁的作用。并同时让学生领会到数量关系相同，单位1已知用乘法，未知用除法。）
2.系统分类，解决问题
（1）独立列式计算，同位交流解题思路和方法。
(2)自主评价，针对错题，先让错者自己说说是怎样想的？其他同学帮助分析寻找错误的原因，并说出自己的观点。
(3)集体总结：回顾刚才用分数、百分数、比解决问题的过程，我们一般分几步进行思考？关键是什么？
（设计意图：对易混淆的知识通过辨析比较，进一步帮助学生理清知识间的联系与区别，弄清了具体数量与&对应分率&的关系，灵活选择解答方法，这样学生在同中见异，异中见同，提高了辨析比较能力，并对知识融会贯通。将复习的重点放在分析数量关系上，剖析思维过程，根据反馈信息，发现缺漏，组织学生纠偏，及时了解学生解答过程中存在的问题，有针对性地选择不同方案进行纠正，对典型错例，集体&会诊&，从多角度多层次的思考中完善思维过程，拓宽解题思路和方法，提高解决问题的能力。）
&&& 二、拓展应用，提高能力
&&& 对比性训练
& ⑴某粮店运来400袋大米，上午卖出总数的1/4，下午卖出总数的 1/5，&
①一共卖出多少袋？
②上午比下午多卖出多少袋？
③还剩多少袋？
⑵ 某粮店运来一批大米，第一天卖出总数的 1/4，第二天卖出总数的1/5 ，&&&&&
①还剩下220袋，这批大米共有多少袋？
②第一天比第二天多卖出20袋，这批大米共有多少袋？
& ③两天共卖出180袋，这批大米共有多少袋？
学生独立完成后，借助线段图讨论各类型的异同点，订正时提问：第1题中的三道小问题不同，结果各异，为什么都用&400乘几分之几&呢？第2题中的三个小问题又有什么异同点？
（通过两组对比练习题，使学生进一步巩固分析问题、解决问题的思路及方法，在对比中不断深化、提高。）
三、回顾总结
&& 回顾解决问题的思路及关键，以及注意的问题。
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