483除以64与102除75与24的差,去除2,结果是多少再乘62与16的和?

备注:知乎专栏更新了数理化生四科的基础讲义,更加完善的第二版已经更新,并且附上可以直接下载打印的PDF文档,里面可能还有一些小的笔误,订正后会再更新。数学基础讲义大合集:数学基础讲义完整合集下载(含目录)数学解题思路大合集:数学解题思路完整合集下载(含目录)化学讲义合集:化学基础讲义合集化学解题小合集:化学解题思路合集下载-2020年北京山东江苏浙江全国一二三心得体会小合集:学习心得体会2021合集下载物理和生物若急用可以先看知乎专栏里的,PDF文档待更新完善后再放出下面是正文:三角函数是高中数学的重点和难点三角函数有很多性质和计算,本身会以非常复杂的形式出现,也会与其他类型的基本函数混合出现,在数列中也可能遇到三角函数有关的数列,此外它在圆锥曲线中是非常重要的解题工具。因此,三角函数作为基本函数类型,需要对它的概念、性质有非常深刻的了解,对常用的变换和数值计算也要熟练掌握。弧度过去我们习惯于用角度表示角的大小,事实上更加通用的是弧度。先来看角度是怎么来的:把圆周分为360等分,每一等分叫作1°细细想来,我们的角度和长度是两套体系,没法放在一起计算,比如5+10°就毫无意义现在我们引入新的描述角大小的体系:弧度π同学们对π应该都还算熟悉,π是无理数,π的值约为3.1415926......π的含义为圆的周长与直径的比值我们令某圆的半径为r,那么它的直径d=2r,周长C=πd=2πr对于单位圆,也就是半径为1的圆,它的直径d=2,周长C=2π规定:单位圆每单位长度的弧所对应的角的大小为1弧度,记作1rad弧度的单位:rad弧度的单位rad其实是个并没有单独现实意义的单位,它代表这个大小的角度,在单位圆中对应的弧长比如某个圆的半径为r,对于大小为a rad的角,它对应的弧长为r*a角度与弧度来比较下角度和弧度两套系统
单位
单位值
全圆周大小
一些常用数值角度
°

360
0
30
45
60
90
180弧度
rad
1rad

0
π/6
π/4
π/3
π/2
π根据全圆周大小可以看出:360°等同于2π rad,也就是1°等同于π/180rad,或者1rad等同于180/π °得到换算公式:a rad= [(180/π)*a]°b°=[(π/180)*b]rad例一举个具体例子会更加直观:假设圆A的半径为5厘米,那么弧度为π/6(也就是30°)大小的角,它对应的弧长为:5厘米*(π/6)rad=(5π)/6 厘米比较等式两边的单位,可以看出,这个rad=厘米/厘米,也就是说它没有现实中的物理意义,它就代表着“半径为r厘米的圆上,长度为r厘米的弧对应的角的大小”例二再来看一个很有说服力,也很极端的例子:假设圆B的半径为1米,那么弧度为2π(也就是360°)的角,它对应的弧长是多少?很简单:1米*2π=2π米,也就是我们圆周长这也符合π的定义:圆周长(2π米)与直径(2米)的比值。其他用弧度的最大好处就在于它不像角度那样引入了新的单位,它可以直接和半径进行弧长相运算。弧度的基本概念就介绍到这里,必须要对角度和弧度的互换一定要很熟练,对常用弧度的三角函数也要非常熟悉基本三角函数先来看直角三角形ABC,其中C是直角,∠ACB=π/2根据勾股定理(毕达哥拉斯定理)有: BC^{2}+AC^{2}=AB^{2} 对于∠BAC,假设它的大小为θ,我们规定(1)它的对边BC与斜边AB的比叫作正弦,用函数sin表示,sinθ=BC/AB(2)它的邻边AC与斜边AB的比叫作余弦,用函数cos表示,cosθ=AC/AB(3)它的对边BC与邻边AC的比叫作正切,用函数tan表示,tanθ=BC/AC(4)它的邻边AC与对边BC的比叫作余切,用函数cot表示,cotθ=AC/BC(5)它的斜边AB与邻边AC的比叫作正割,用函数sec表示,secθ=AB/AC(6)它的斜边AB与对边BC的比叫作余割,用函数csc表示,cscθ=AB/BC根据以上定义,很容易得出三角函数间的基本关系:(1)sin^{2}θ+cos^{2}θ=1
证明:sin^{2}θ+cos^{2}θ=(BC/AB)^{2}+(AC/AB)^{2}=[BC^{2}+AC^{2}]/AB^{2}=1(根据勾股定理)(2) tanθ=sinθ/cosθ
证明: sinθ/cosθ=(BC/AB)/(AC/AB)=BC/AC=tanθ (3)cot=cosθ/sinθ
证明与(2)类似(4) cotθ=1/tanθ ,cscθ=1/sinθ, secθ=1/cosθ
根据它们的定义即得证
注意:正割与余弦互为倒数,余割与正弦互为倒数,千万不要弄反!上面的定义和基本关系可以看出:(1)只要知道了正弦sin和余弦cos的值,其他三角函数都可以通过它们相除、取倒数获得。(2)正弦与余弦有平方和为1这个数量关系。以上两点使得正弦和余弦使用的机会比其他的三角函数要多许多,为了计算方便,大多数情况下使用的都是正弦和余弦函数,因此对它两要特别熟悉。此外,正切tan在未来会学的二倍角公式中非常有用。其他的三角函数适当掌握即可。有条件的话熟练掌握其他3种三角函数(余切、正割、余割)在应对少数题目时会较为方便。如果时间精力有限可以跳过。直角坐标系中的角与三角函数来看这个二维坐标系,这个圆的半径为1,圆心O在原点(0,0),我们叫它单位圆取圆上一点A,向x轴引垂线交于B(b,0),向y轴引垂线交于C(0,c),则A坐标(b,c)我们来看∠θ,从直角三角形OAB中可以看出:sinθ=AB/OA=c/1=c,cosθ=OB/OA=b/1=b,tanθ=AB/OB=c/b在这样的单位圆中,我们规定起始位置为x轴正方向,它的角大小为0rad,逆时针方向旋转为正,顺时针方向旋转为负第一次转到y轴正方向刚好经历一个直角,它是π/2第一次转到x轴负方向刚好经历一个平角,它是π第一次转到y轴负方向刚好经历一个平角+一个直角,它是3π/2第一次转回到x轴正方向刚好经历一个圆周,它是2π继续转下去就是2π+θ当顺时针转时:第一次转到y轴负方向刚好经历一个直角,由于方向是负的,它是-π/2第一次转到x轴负方向刚好经历一个平角,由于方向是负的,它是-π第一次转到y轴正方刚好经历一个平角+一个直角,由于方向是负的,它是-3π/2第一次转回到x轴正方向刚好经历一个圆周,由于方向是负的,它是-2π继续转下去就是-2π-θ(θ>0)(0,π/2)在单位圆里,取x轴正方向上的半径为起始,规定它为0rad,让它绕着圆心逆时针旋转(箭头方向)π/2,到达y轴正方向(0,π/2)范围内,半径都落在第一象限内。它在旋转过程中依次经过红色、蓝色、绿色3个位置从这3条半径在圆上的端点分别向x轴、y轴引垂线可以看出,它们的正弦(纵坐标)、余弦值(横坐标)都是正的。此时它们的正切值(正弦值比余弦值)也都是正的。随着角度的增大,正弦值逐渐增大(0→1)余弦值逐渐减小(1→0)正切值逐渐增大(0→无限大)。(π/2,π)继续旋转,从y轴正方向((0,1))继续旋转π/2,到x轴负方向,此时共旋转π rad该半径依次经过粉色、浅蓝、浅绿三个位置。(π/2,π)范围内,半径都落在第二象限内。从这三条线向x轴、y轴分别引垂线可以看到:它们的正弦值(纵坐标)是正的,余弦值(横坐标)是负的。此时它们的正切值(正弦值比余弦值)也是负的。随着角度的增大正弦值逐渐减小(1→0),余弦的绝对值逐渐增大,由于是负的,数值逐渐减小(0→-1),正切的绝对值逐渐减小,由于是负的,数值逐渐增大(负无穷大→0)(π,3π/2)与(3π/2,2π)继续旋转半径(增大角度)直到3/4圆周(y周负方向),在(π,3π/2)范围内,半径都落在第三象限;以及再接着旋转半径到完整圆周(x周正方向),在(3π/2,2π)范围内,半径都落在第四象限。请自行分析以上两种情况下,各三角函数的正负、单调性、取值范围。>2π和<0的角当旋转一周时,半径又回到最初的起点,当继续增加角的大小,比如增加到(2+1/2)π时,它又开始重复最初的循环。因而,任何相差2π的整数倍的角的三角函数是相同的,无论转过多少圈都是如此。当顺时针旋转时,半径先进入第四象限,然后是第二、第三、第一,然后进入下一个循环。可以发现,当x向负方向旋转了θ角时,它与旋转了(2π-θ)角处在相同的位置,它们具有相同的三角函数。综上:sin(x+2nπ)=sinx
sin(2π-x)=-sinx对cos、tan、cot、sec、csc同样适用。互为相反数、和/差分别为π/2、π、2π的角的三角函数关系刚刚,已经讨论了和为2π(x与2π-x)、差为2π(x与2π+x)的角的三角函数,它们是相同的,现在来看其他情况(1)互为相反数从图中很容易看出,θ与-θ的值相同,只是一个顺时针旋转另一个逆时针旋转(或反过来),因此二者是关于x轴对称的,所以它们的横坐标(cos)相等,纵坐标(sin)互为相反数于是有:sin(-θ)=-sinθcos(-θ)=cosθ并可推出:tan(-θ)=-tanθ(2)和为π/2初中数学已经学过,和为π/2的两个角,它们的正弦等于对方的余弦,余弦等于对方的正弦,正切等于对方的余切,余切等于对方的正切。随便画个直角三角形从定义出发就可以得证。(3)差为π/2如上图所示OA旋转π/2后到达OB,方便起见,我们记∠X1OA=θ,则有:∠AOB=π/2,∠X1OB=∠X1OA+π/2=θ+π/2可以看出,∠AOD=π/2-θ因此:∠DOB=θ现在我们把整个图向右旋转π/2,可以看出,B回到了A的位置这很好理解,本来A就是转了+π/2到达B,现在B和坐标轴都转了-π/2,B自然回到A的位置,只不过x轴和y轴的横竖换了过来从上图很容易看出,单纯看绝对值的话:B向y轴(横着的)引垂线,与原来的A向x轴(横着的)引垂线的高度是相同的B向x轴(竖着的)引垂线,与原来的A向y轴(竖着的)引垂线的高度是相同的也就是:|sinX1OB|=|cosX1OA|,|cosX1OB|=|sinX1OA|再回到原来的图,B在第二象限,所以sinX1OB=cosX1OA>0,而cosX1OB=-sinX1OA<0由于θ+π/2相当于逆时针旋转一个直角,因此当A在第二象限时,θ+π/2必然落在第三象限;当A在第三象限时,θ+π/2必然落在第四象限;当A在第四象限时,θ+π/2必然落在第一象限。对于以上三种情况,请自行作图、旋转观察它们的绝对值大小和正负号变化。根据以上四次操作,可以得到:sin(θ+π/2)=cosθcos(θ+π/2)=-sinθ并可推出:tan(θ+π/2)=-cotθ直观理解:为了更加直观形象,可以这样理解记忆。请先自行想象(想象不出就随便画个)直角坐标系和单位圆,并随便画个第一象限角它要是比π/4小就认为它“躺着”,要是比π/4大就叫认为它“站着”增加π/2后,原本“躺在”第一象限的角变成“站在”第二象限的角,原本“站在”第一象限的角变成“躺在”第二象限的角,因而它们的sin和cos的绝对值是互换的。从第一象限进入第二象限,纵坐标(sin)都是正的,因而sin(θ+π/2)也是正的,cos变sin不变号;横坐标(cos)从正的变成了负的,因而cos(θ+π/2)变成负的,sin变cos要变号。只要记住了第一象限角+π/2变成第二象限角,写出公式就可以了,它对所有角都适用。(4)和为π如图,∠X1OA=θ,∠X1OB=π-θ很容易得出:∠X2OB=θ,所以OA和OB是关于y轴镜面对称的因此有:|sin(π-θ)|=|sinθ|,|cos(π-θ)|=|cosθ|再来看符号:在第一和第二象限的纵坐标都是正的;第一象限的横坐标是正的,第二象限的横坐标是负的因此有:sin(π-θ)=sinθ,cos(π-θ)=-cosθ对于A是第二、三、四象限角的情况请自行画图讨论,会发现与第一象限相同,因此对于任意角都有:sin(π-θ)=sinθcos(π-θ)=-cosθ并可得出:tan(π-θ)=-tanθ直观理解:这种情况下的推导过程非常直观,也很容易理解和记忆,θ与π-θ必然是关于y轴对称的,因而它们的纵坐标相等,横坐标互为正负。现在来证明下为什么必然关于y轴对称:若第一象限:0<θ<π/2,则如前所述。若第二象限:π/2<θ<π,则仍如前所述,只不过A和B角色互换。若第三项先:π<θ<π3/2,则-π/2<π-θ<0(顺时针倒着转,第四象限),二者都在x轴下方关于y轴对称若第四象限:π3/2<θ<2π,则-π<π-θ<-π/2(顺时针倒着转,第三象限),二者都在x轴下方关于y轴对称,A和B与上个情况中的角色互换。(5)差为π这个就太直观了可以看出来,当θ变成π+θ后,相当于做了关于原点的中心对称变化,它的横坐标、纵坐标都变为原来的相反数,绝对值不变,符号变。因此:sin(θ+π)=-sinθ
cos(θ+π)=-cosθ并可以推出:tan(θ+π)=tanθ (负负得正)小节对于互为相反数,以及和或差等于π/2、π、2π的角的三角函数之间的关系,必须要非常非常熟练,这是三角函数题目中非常基础的应用。鉴于死记硬背有困难并可能记错,可以借鉴“直观理解”部分提供的方法,简单画个草图,利用草图直接写下相关关系。在画图的过程中为避免看错,随意选取的角尽量远离π/4,适当贴近坐标轴会更直观明白。由于以上公式对任意角都成立,因而画上最熟悉的情形(通常是锐角)进行推断即可。此外,对于所有和或差为nπ/2(n为正数)的角之间的关系,都要认真一步一步转化为以上形式再做判断,尽量不要跳跃。比如:sin(θ+7π/2)
=sin(θ+7π/2-2π)
依据:sin(θ+2nπ)=sinθ
=sin(θ+3π/2)
=-sin(θ+π/2)
依据:sin(θ+π)=-sinθ
=-cosθ
依据:sin(θ+π/2)=cosθ和与差的三角函数关系(1)cos(A-B)我们有从x轴正方向逆时针旋转到OB的角∠X1OB为∠B,从x轴正方向逆时针旋转到OA的角∠X1OA为∠A,则∠BOA=∠A-∠B于是我们有B(cosB,sinB),A(cosA,sinA)于是 AB^{2}=(cosB-cosA)^{2}+(sinB-sinA)^{2} =cos^{2}B-2cosBcosA+cos^{2}A+sin^{2}B-2sinBsinA+sin^{2}A =2-2(cosBcosA+sinBsinA) 现在把∠BOA顺时针旋转∠B,让OB和x轴重合,如下图所示我们得到B(1,0),A(cos(A-B,sin(A-B))于是有: AB^{2}=(cos(A-B)-1)^{2}+(sin(A-B)-0)^{2} =cos^{2}(A-B)-2cos(A-B)+1+sin^{2}(A-B) =2-2cos(A-B) 由于做旋转变换后,AB的长度不变,所以有:2-2(cosBcosA+sinBsinA)=2-2cos(A-B) 于是有:cos(A-B)=cosBcosA+sinBsinA (2)cos(A+B)将上式用-B替换B得到:cos(A+B)=cosBcosA-sinBsinA (3)sin(A+B)利用sinθ=cos(π/2-θ):sin(A+B)=cos[π/2-(A+B)] =cos[(π/2-A)-B] =cos(π/2-A)cosB+sin(π/2-A)sinB =sinAcosB+cosAsinB (4)sin(A-B)将上式用-B替代B得到:sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB(5)tan(A+B)tan(A+B)=sin(A+B)/cos(A+B)
=(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAcosB-sinAsinB) 分号上下同时除以cosAcosB
=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)(6)tan(A-B)将上式用-B替代B得到:tan(A-B))=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)二倍角公式将以上和的公式中的B换为A就得到了二倍角公式:sin(2A)=2sinAcosA cos(2A)=cos^{2}A-sin^{2}Atan(2A)=2tanA/(1-tan^{2}A) 此外,利用 cos^{2}A+sin^{2}A=1 和 cos(2A)=cos^{2}A-sin^{2}A还可以得到: cos(2A)=2cos^{2}A-1 cos(2A)=1-2sin^{2}A 这两个公式的优势在于只有一个未知项cosA或sinA半角公式根据 cos(2A)=2cos^{2}A-1和 cos(2A)=1-2sin^{2}A把2A看作一个角(B),则A是它的一半(B/2),我们可以推出半角公式:sin(B/2)=\pm\sqrt{(1-cosB)/2} cos(B/2)=\pm\sqrt{(1+cosB)/2} 进而推出 tan(B/2)=\pm\sqrt{(1-cosB)/(1+cosB)} 这里的正负号需要根据实际情况确定此外由于 tan(B/2)=sin(B/2)/cos(B/2) =[sin(B/2)*2sin(B/2)]/[cos(B/2)*2sin(B/2)] 上下同时乘以2sin(B/2)=(1-cosB)/sinB 如果上下同时乘以2cos(B/2)就可以得到:tan(B/2)=sinB/(1+cosB) 以上两个公式的优势在于免去了正负号的不确定万能置换公式利用sin和cos的二倍角公式,可以得到:sinA=2sin(A/2)cos(A/2) =2sin(A/2)cos(A/2)/[sin^{2}(A/2)+cos^{2}(A/2)]
利用 sin^{2}(A/2)+cos^{2}(A/2)=1 =2tan(A/2)/[1+tan^{2}(A/2)]
上下同时除以 cos^{2}(A/2) 同样的方法可以得到: cosA=[1-tan^{2}(A/2)]/[1+tan^{2}(A/2)] 二者相除可以得到: tanA=2tan(A/2)/[1-tan^{2}(A/2)] 以上三个公式的优势在于变形后的式子里只有一个未知项tan(A/2)sinA=2tan(A/2)/[1+tan^{2}(A/2)] cosA=[1-tan^{2}(A/2)]/[1+tan^{2}(A/2)]tanA=2tan(A/2)/[1-tan^{2}(A/2)]以上3个也叫作万能置换公式积化和差

和差化积公式把A和B分别用(α+β)/2和(α-β)/2替换,用和角公式和差角公式很容易求出:积化和差公式:sin\alpha*sin\beta=(1/2)[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)] cos\alpha*cos\beta=(1/2)[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)] sin\alpha*cos\beta=(1/2)[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)] 和差化积公式:sin\alpha+sin\beta=2sin[(\alpha+\beta)/2]*cos[(\alpha-\beta)/2] sin\alpha-sin\beta=2cos[(\alpha+\beta)/2]*sin[(\alpha-\beta)/2]cos\alpha+cos\beta=2cos[(\alpha+\beta)/2]*cos[(\alpha-\beta)/2]cos\alpha-cos\beta=-2sin[(\alpha+\beta)/2]*sin[(\alpha-\beta)/2]此外对于形如:asinx+bcosx
的式子,利用两角和的正弦公式可以转化为\sqrt{a^{2}+b^{2}}*sin(x+t) 这里 sint=b/\sqrt{a^{2}+b^{2}} , cost=a/\sqrt{a^{2}+b^{2}} 此处相当于把a和b看作一个直角三角形的两条直角边,因此其斜边为 \sqrt{a^{2}+b^{2}} 其中某个角的sin和cos值就是a或b除以 \sqrt{a^{2}+b^{2}} 利用两角和余弦公式也可以将其转化为:\sqrt{a^{2}+b^{2}}*cos(x-q) 这里sinq 和 cosq 的取值请自行推导正弦定理和余弦定理最后要了解两个定理,这两个定理和三角函数的直接关联并不是很大,但在解三角形、非向量的平面几何中经常用到:正弦定理对于△ABC,设∠A、∠B、∠C对应的边长分别为a、b、c,则有:sinA/a=sinB/b=sinC/c 或者a/sinA=b/sinB=c/sinC这条定理非常容易证明,只要从每个顶点向对边引垂线,然后用面积公式:S△ABC=(a*b*sinC)/2=(b*c*sinA)/2=(a*c*sinB)/2然后等式三部分分别除以a*b*c即可对于锐角三角形,sinx随着x增大而增大,该定理与“大边对大角、小边对小角”也相一致余弦定理在x轴上任意取点B,空间内任取点C,并连接OB、OC,过C做x轴的垂线垂足为A对于△OCB,设∠O、∠B、∠C的对边分别为o、b、c利用勾股定理可得:BC^{2}=AC^{2}+AB^{2} o^{2}=(bcos(π-O)+c)^{2}+(bsin(π-O))^{2} 化简后得: o^{2}=b^{2}-2bc\times cosO+c^{2} 用A替换O、a替换o得到余弦定理:cosA=(b^{2}+c^{2}-a^{2})/(2bc) cosB=(a^{2}+c^{2}-b^{2})/(2ac) cosC=(a^{2}+b^{2}-c^{2})/(2ab) 以上3个式子是对称的,仔细观察它们的对称性对记忆很有帮助解三角形解三角形就是知道三角形的几个元素后求其他的元素,主要利用的就是正弦定理和余弦定理这里先回顾初中学习的全等三角形所谓全等三角形,就是经过旋转、翻转、平移后,两个能完全重合的三角形全等三角形的判别方式有:边边边、边角边、角边角、角角边,斜边直角边可以这么理解:若两个三角形全等,那么他们就是同一个三角形,只不过出现在不同的位置而已因此全等三角形的判定条件,也是确定唯一三角形的条件也就是说只要知道了边边边、边角边、角边角、角角边,斜边直角边中的任一种情形,这个三角形就是唯一确定的!现在来逐个看下:(1)边边边根据余弦定理,知道了3边的长,每个边的对角也都可以计算得出,因而该三角形唯一(2)边角边根据余弦定理,知道了夹角和它的两夹边,那么已知角的对边可以唯一确定,再根据余弦定理可以计算得出其他两个边的对角(3)角边角根据三角形的内角和为π,可以求出夹边的对角,再根据正弦定理,计算出两个已知角的对边(4)角角边根据三角形的内角和为π,可以求出未知的角,再根据正弦定理,计算出其他2个未知的边(5)斜边直角边知道了斜边直角边,根据sin或cos的定义,两个锐角都可以确定,第三条直角边也很容易确定同样是三个条件,为什么角角角、边边角就不能唯一确定三角形呢?(1)角角角我们知道,三个角相等,边长不同的三角形是相似三角形,它们相应的边具有相同的比例关系,可以看做是同一个三角形的三条边等比例放大或缩小,它的三个角大小不变。(2)边边角我们假设已知边a、b,和a的对角A(黑色)那么根据正弦定理我们有a/sinA=b/sinB,可以求出sinB那么问题来了,B究竟是锐角还是钝角呢?因此无法唯一确定三角形如下图,黑的的a、b、A是已知的,红色的c、B、C不是唯一的将已确定边a沿着未确定c向外旋转,延长未确定边c于a的另一边连接即可可以看出,这两个三角形的边a、b和角A是相同的事实上,这两个图形里的∠B互补值得注意的是,在求三角形的未知角时,尽量使用余弦定理而不是正弦定理,因为一个角和它的补角的正弦值相同,有的情况下无法确定它是锐角还是钝角。总结三角函数的基础知识非常的多且繁琐,这章还不是全部。这些基础知识必须非常熟练地掌握,要像加减乘除指数对数的运算法则那么熟练才可以,需要非常大量的基础训练来提高熟练度,增强对各种变换敏感性。要对通过单位圆中半径不断的旋转,造成各三角函数在数值和符号上的变化的过程和结果非常熟悉,这是掌握三角函数的最最基础。要把使用习惯从角度°变为弧度rad,并牢记特定值的三角函数。最后再强调遍,本篇是三角函数基础的基础,需要大量训练,理解、记忆!
目录240道简便计算四年级四年级上册20道简便运算四年级1000道简便计算四下简便计算200道四年级简便方法300道240道简便计算四年级25×42×4 68×125×84×39×25 4×25+16×254×25×16×25 36×99 (25+15) ×4 (25×15)×4 49×49+49×51 49×99+49 (68+32)×5 5×289×2 68+32×5 (125×25)×4(125 + 17)×8 25×64×125 85×82 + 82×15 25×94四年级上册20道简便运算四年级数学计算简便算法大全(一)加括号法1.当一个计算题只有加减运算又没有括号时,我们可以在加号后面直接添括号,括到括号里的运算槐桥原来是加还是加,是减还是减。但是在减号后面添括号时,括到括号里的运算,原来是加,现在就要变为减;原来是减,现在就要变为加。(即在加减运算中添括号时,括号前是加号,括号里不变号,括号前是减号,括号里要变号。) a+b+c=a+(b+c)a+b-c=a +(b-c) a-b+c=a-(b-c)a-b-c= a-( b +c)2.当一个计算题只有乘除运算又没有括号时,我们可以在乘号后面直接添括号,括到括号里的运算,原来是乘还是乘,是除还是除。但是在除号后面添括号时,括到括号里的运算,原来是乘,现在就要变为除;原来是除,现在就要变为乘。(即在乘除运算中添括号时,括号前是乘号,括号里不变号,括号前是除号,括号里要变号。) a×b×c=a×(b×c)a×b÷c=a×(b÷c)a÷b÷c=a÷(b×c)a÷b×c=a÷(b÷c)(二)去括号法1.当一个计算题只有加减运算又有括号时,我们可以将加号后面的括号直接去掉,原来是加现在还是加,是减还是减。但是将减号后面的括号去掉时,原来括号里的加,现拍明高在要变为减;原来是减,现在就要变为加。(现在没有括号了,可以带符号搬家了哈)(注:去掉括号是添加括号的逆运算)a+(b+c)= a+b+ca +(b-c)= a+b-c a- (b-c)= a-b+ca-( b +c)= a-b-c2.当一个计算题只有乘除运算又有括号时,我们可以将乘号后面的括号直接去掉,原来是乘还是乘,是除还是除。但是将除号后面的括号去掉时,原来括号里的乘,现在就要变为除;原来是除袭尺,现在就要变为乘。(现在没有括号了,可以带符号搬家了哈)(注:去掉括号是添加括号的逆运算)a×(b×c) = a×b×ca×(b÷c) = a×b÷ca÷(b×c) = a÷b÷ca÷(b÷c) = a÷b×c乘法分配律法1.分配法括号里是加或减运算,与另一个数相乘,注意分配24×(11/12-3/8-1/6-1/3)2.提取公因式注意相同因数的提取。0.92×1.41+0.92×8.5916/5×7/13-3/5×7/13 3.注意构造,让算式满足乘法分配律的条件。7/25×103-7/25×2-7/252.6×9.9借来还去法看到名字,就知道这个方法的含义。用此方法时,需要注意观察,发现规律。还要注意还哦 ,有借有还,再借不难嘛。 9999+999+99+94821-998 拆分法顾名思义,拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”,如:2和5,4和5,2和2.5,4和2.5,8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。3.2×12.5×25 1.25×883.6×0.25 巧变除为乘也就是说,把除法变成乘法,例如:除以1/4可以变成乘4。7.6÷0.25 3.5÷0.125四年级1000道简便计算1、56+31+24=(56+24)+31=80+31=1112、615+475+握迟125=615+(475+125)=615+600=12153、125×64=125×8×8=1000×8=80004、 89+101+111=101+(89+111)=101+200=3015、24+127+476+573 =(24+476)+(127+573)=500+700=12006、400-273-127=400-(273+127)=400-400=0简介在数的运算中,有加(+)、减(-)、乘(×)、除(÷)四种运算,我们在数学上又为了能更简便计算它们,简称称作简算,简算有以下几孙闭种(公式详见在常用特殊数的乘积、及简算公式):加法:(加法交换律) (加法结合律)(近似数)乘法:(乘法交换律)(则皮裂乘法结合律)(乘法分配律)(乘法分配律变化式(四个))减法:(减法的基本性质)(近似数)除法:(除法的基本性质)(商不变的性质)四下简便计算200道希望能帮到你300÷125÷8=300÷(125×8)=300÷1000=0.3396-96-172-28 =(396-96)-(172+28)= 300-200 = 100 125*24 = 125*8*3 = 1000*3 = 300026*15 = (20+6)*15 = 20*15 + 6*15 = 300+90 =39025*99*4 = 25*4*99 = 100*99 = 9900250*32 = 250*4*8 = 1000*8 = 8000(98+98+98+98)*25 = 4*98*25 = 4*25*98 = 100*98 = 9800472*5*20 = 472*(5*20)= 472*100 = 47200125*(8+800)= 125*8+125*800 = 1000 + 100000 = 101000129*38+38*872-38 = 38*(129+872-1)=38*1000=3800018*8*125*5 = 18*5*(125*8)=90*1000 = 90001384-(450+384) = 1384-384-450 = 1000-450 = 55037*99 = 37*(100-1)= 37*100 - 37 = 3700-37=366382*98 = 82*(100-2)=8200- 164 = 8036202*28 = (200+2)*28 = 200*28+2*28 =5600+56 =565676*105 = 76*100 + 76*5 = 7600+380 = 798082*14+18*14 = 14*(82+18)=14*100=140069*99+69 = 69*(99+1)=69*100 = 690049×102-2×49 125×76×8 8.33-2.43-4.57103×326.7+ 2.63+4.341000÷8÷1255824÷8×(85-78)840÷28+70×1840乘13乘25480除以32120除以5除以438乘201 45乘97-7乘4521乘41减21 35乘22加35乘36+35乘2244乘198 125乘25乘8乘4095乘53加埋老枣5399乘12545乘101减45 138-43-57-381.498+3972.502-3993.63-45-55+1374.125×565.302×99+3026.145×89+145×21 。1、475+254+361 2、615+475+125 3、860-168+1594、465+358-275、647-(85+265) 6、476+(65-含扮29)7、154×8÷168、400÷25×75 9、16×25÷16×2510、552÷69×8 11、600-120÷1012、(600-120)÷1013、(466-25×4)÷614、(43+32)÷(357-352)15、138+(27+48)÷25 16、56×19+25×8二、用简便方法计算。1、368+2649+1351 2、 89+101+1113、24+127+476+573 4、400-273-1275、327+弯拆(96-127) 6、72×987、442-103-142 8、999+99+99、67×5×2 10、25×(78×4)11、72×125 12、9000÷125÷813、400÷25 14、25×3615、103×27 16、76×10217、3600÷25÷4 18、99×3519、(25+12)×420、56×27+27×4421、56×99+5622、125×25×8×423、25×32×125 24、125×64 (1)(78+61)+39 (2)700-82-18(3)348+163+242+410+537(4)125×47-47×25 (5)201×316(6)374-205+226-95(7)3000-999(8)997×7+21(9)87×470+870×53(10)(55+55+55+55×5)×125(11)125×(8+40)×25 (12)99+49×99(13)264×97+4×264(14)454+999×999+545(15)9999×36+6666×3×32(16)124×38+65×124+76×110-76×7(17)62×4+44×5+5×18(18)3400-62×34-38×20-38×14(19)1992×19911991-1991×19901990396-96-172-28 =(396-96)-(172+28)= 300-200 = 100 125*24 = 125*8*3 = 1000*3 = 3000四年级数学9套计算题小学数学四年级计算题过关练习一一、请你口算。0.38+0.6=155-(60-55)=64.2+5.7= 643-27-73=0.97-0.09= 12.8-9.86=17.08-4.58 =9900÷25÷4=3.5+0.6=5-0.15= 4.35+5.35=99×55+55=0.81+0.09= 0÷78= 60-20÷5=47×25×4=0.5+0.5= 0.5-0.5= 0.5×0.5=0.5÷1=二、请用递等式计算 72-9×8÷63600÷(20÷5)(450+27) ÷(21-18)86.7-(14.8-3.3 ) 70-(12.87+0.75)84.6-(26.3-8.3)三、你能想出简便方法来计算下面各题吗?87-3.12-0.886.74+12.62+24.38+3.2688×125 37.65-(7.65+5.4)34×7+65×7+7 38×38+38×62 四.用小数计算。6米45厘米+3米5分米10千克-3千克700克小学数学四年级计算题过关练习二1、口算 1.3-0.8= 630÷90= 6-0.37= 0×100+100=60×0=2.73+0.27=0.75+0.3= 5×9+1=4.3÷1000=0.69+1.1= 300×18= 7+7×9=2、计算下面各题,能简便的要简算。 49×102-2×49 125×78×8 8.33-2.43-4.5799×376.7-2.63+3.3-3.37 41000÷(41×5)3.5×72+6.5×28 5824÷8×(85-78)840÷28+70×18 3、根据要求给下面算式添括号。(1)72+360÷9-5(2)72-4×6÷3①先算减法,再算除法,最后算加①先算减法,再算乘法,最后算除法 ②先算减法和加法,最后再算除法②先算减法和除法,最后算乘法③先算除法,再算减法,最后算加法③先算乘法,再算减法,最后算除法小学数学四年级计算题过关练习三1.口算:2.5×4= 8.4÷4= 3-1.4= 1.3÷100=120×6=85-58= 2.5+0.05=45×20=100×2.8=8×9+8= 7×5÷7×5= 125×7×8=10―(2.3+2.7)= 7×99+7=0.5+1.5=120÷6÷2=4×(36-25)= 0.5+0.5= 0.5-0.5=300-84-16= 2.用竖式计算下面各题并验算。10-3.0611.36+8.543.计算下面各题,能简算的要简算。6.45-0.58-1.423.27+6.4+2.73+4.6 12000÷125×825×44125×32×25 (160+880)×2099×45102×3612×(324-285)÷26小学数学四年级计算题过关练习四1、⑴36加上36除720的商,再减去6,差是多少?⑵36加上720除以3.6的商,再减去6的差,和是多少?⑶36加上720除以3.6的商,再减去6,商是多少?2、⑴72减去4乘6的积,再除以3,差是多少?⑵72减去4的差乘以6,再除以3,商是多少?⑶72减去4的差乘以6与3的商,积是多少?3、⑴558加上230乘以6.2,再除以31的商,和是多少?⑵558与230的和乘以6.2与3.1的商,积是多少?⑶558加上230与6.2的积,再除以3.1,商是多少?4、⑴59加上2.1乘以9.6,再除以8,和是多少?⑵59与21的和乘以8除96的商,积是多少?⑶59与21和乘以96,再除以8,商是多少?小学数学四年级计算题过关练习五1、根据运算顺序添上小括号或中括号:(1) 32×800-400÷25先减再乘最后除(2) 32×800-400÷25先除再减最后乘(3) 32×800-400÷25先减再除最后乘2、递等式计算:2400÷80-14×2 108-(83+360÷60)(420+48)÷(375-345)420÷(205-198)×4460÷(29-18÷3) 1450÷2×(16+9)3、怎样算简便就怎样算: 715+265+335+285125×32×5 46×2017100-137-263+300 75×4×2×5 99×64+643、列式计算:(1)25和40的积是163与87的和的多少倍?(2)一个数的8倍比54多10,这个数是多少?小学数学四年级计算题过关练习六一、直接写得数:400÷50=99÷33= 18×50= 470+70=14×4=750÷50=1400÷70= 6×120=480÷40=620-30=217-65-35= 30-30÷512×6+8=5×4×6=84÷4÷7=36÷9×5=二、竖式计算: 996÷ 83=580 ÷18=4140 ÷40=三、用递等式计算。490÷70×154 774÷(17+26) 47-28+33320-770÷11×3960÷32+15×11 451-(164-88)÷3四、简便计算: 34+3.46+0.66 74+(167+26)37-56+73-442.5×364.5×108 248+3026.7×12×5小学数学四年级计算题过关练习七一、口算:60×9= 50×90=600÷30=20×3.4=4.3×2=1.1×600=1.3×600=7.5-1.8=70-30=8000-3000=120÷3= 3×900=900÷3= 320÷3= 210×4= 25×100=二、用竖式计算:3.8×250=7580÷5.4=140×250=508×1.5=8500÷70=40800÷340=三、简便计算:5.5×22+78× 5.5 203×4.6 203×46-3×4699×7849×99+99 98×101 98×101-98 49×99+4945+45×26+45×73 38×36-36×81.25×32×2.543+57-43+57 24×5-24×524×5÷24×5576-203289+104小学数学四年级计算题过关练习八1、直接写得数。6.2×3=0×65+5=7.7×20= 6+1.8+84=9.8+1.2= 42×1×5=1.2×25= 9×5÷5×9=460+280=810÷27=540÷270=240×30=2、计算下面各题。(能简算的要简算)874÷(24×23-506)25×5÷(155-30) 25×9925×16 48×(39-594÷33) (40+4)×2.596×101-96486-(186+59)-41863-2973、列综合算式计算。(1) 4.5乘4.5减去2.7的差,积是多少?(2)5.6加上4.8乘3的积,和是多少?(3)28.8除以1.8乘4的积,商是多少?小学数学四年级计算题过关练习九一、用竖式计算21.5÷2.4=900÷2.4= 5.6×0.35=二、脱式计算。175-75÷25 68+35×137.25-(1.25+2.37)(11.4+16.6)÷35 43.2÷(9×8)189-60+40三、简便计算。52+9.9 2.5×32 47+23.6+6.46×(15×9)402+359 4.3+7.8+12.2+25.72.5×(26×4) 25×44 3.54+(229+0.46)25×14×4=25×4×14=100×14=1400.125×19×8=125×8×19=1000×19=19000.20×8×5=20×5×8=100×8=8006×26+4×26=(6+4)×26=10×26=260加法运算定律的简便运算题(一)1) 500+(407+0)=2) 386+382+114=3) 42+(91+158+109)= 4) (87+103+113)+97=5) (246+387+154)+13=6) 49+(71+151+129)=7) 255+(79+45)= 8) (169+39+131)+261=9) 219+175+181+225=10) 14+498+486=11) (404+195+96)+305=12) 793+393=13) (106+45+94)+155= 14) 433+(477+67)+23=15) 25+(251+275+49)= 16) 51+(5+49)=17) (83+33+17)+67= 18) 196+97=19) 41+(33+59)=20) 290+171+210+329=21) 1000+499=22) 226+(166+74)=23) 63+(82+137)+118= 24) 354+479+146= 25) 76+(44+124)+156=26) 270+(96+230+404)=27) 108+215+292+185= 28) (89+89)+(11+11)=29) 108+(221+192+79)=30) 257+60+143+340=31) 56+(143+144)=32) (259+349+141)+51=33) (198+252+102)+48=34) 80+(43+20+57)=35) 434+238+66=36) 92+(34+108)+166=37) 82+(78+218+222)= 38) (54+150)+(146+50)=39) 254+(144+246+356)= 40) 176+(236+124)+64=41) 62+219+238+81= 42) (6+66+94)+34=43) (140+125+160)+175= 44) 13+(287+387)=45) 200+95=46) 1002+495=47) 370+430+130= 48) 159+140+41+60=49) 195+(141+205+259)= 50) 31+(62+69)= 加减法的简便运算题(一)1) 713-(387+313)=2) 866-370-130=3) 399-195= 4) 400-199=5) 807-401= 6) 397-196=7) 369-(246+69)=8) 594-300=9) 480-78-116-206= 10) 982+(30-482)=11) 656-(300-144)= 12) 514+(434-14)=13) 756-272-(51+77)= 14) 594+(193-94)=15) 146-(56-54)= 16) 597-196-104=17) 760-(2+79)-319=18) 200-93=19) 227-(170+27)=20) 282-9-(1+190)=21) 152-31-(12+57)=22) 365-(55+89)-56=23) 206-106= 24) 392-(109+54)-37=25) 344-143-95-62= 26) 556-98-(170+32)=27) 266-(158+66)=28) 377-(131-23)=29) 349-(24+51)-125= 30) 529-(388-271)=31) 606-303= 32) 234-(181-166)=33) 753-449-51=34) 399-30-(123+147)=35) 561-(171+114)-115= 36) 333-(191-67)=37) 405-(46+41)-213= 38) 617-60-(201+239)=39) 842-12-135-353=40) 599-300=41) 699-(25+299)=42) 122+(55-22)=43) 820-93-407=44) 630-103-12-385=45) 254-(186-146)= 46) 761-(191+261)=47) 709-(102+39)-259=48) 207-96=49) 666-338-62=50) 120-(91-80)= 乘法运算定律的简便运算题(一)1) 402×389=2) 72×25=3) 55×28×25= 4) 163×56×125=5) 294×353+147×294=6) 107×56×125=7) 25×160×125= 8) 127×16×25=9) 25×224×125=10) 25×64×125=11) 4×482+4+17×4= 12) 246×146+254×246=13) 44×16+44+483×44=14) 402×79=15) 78×186+14×78= 16) 21×55+45×21=17) 201×8-8-8×100=18) 362×5+195×362=19) 52×25= 20) 197×171=21) 25×288×125= 22) 25×32×125=23) 40×157+143×40=24) 166×16×25=25) 194×10-10-10×93=26) 134×16×125=27) 498×83=28) 45×20×25=29) 231×173+27×231= 30) 155×62+138×155=31) 40×125=32) 113×28×25=33) 739×7-7-7×338=34) 726×11-11-11×325=35) 207×159+241×207=36) 72×45+55×72=37) 32×125=38) 217×12×25=39) 56×28×25= 40) 25×96×125=41) 228×24×25=42) 24×125=43) 64×125=44) 44×25=45) 188×24×125= 46) 191×1-1-1×90=47) 25×160×125= 48) 56×125=49) 72×25= 50) 153×16×125=除法运算定律的简便运算题(一)1) 112000÷5600= 2) 7875÷25=3) 200÷25= 4) 5400÷150÷4=5) 7475÷25= 6) 4755÷15=7) 3600÷100÷4= 8) 2400÷100÷4=9) 12600÷600= 10) 2225÷25=11) 6408÷24= 12) 2450÷25=13) 2928÷24= 14) 11200÷175÷4=15) 1356÷12= 16) 5450÷25=17) 81000÷4500= 18) 25900÷175÷4=19) 5000÷125÷4= 20) 6000÷100÷4=21) 10400÷100÷4= 22) 36000÷3600=23) 1400÷50÷4= 24) 4250÷25=25) 840÷24= 26) 10800÷150÷4=27) 1500÷25÷4= 28) 900÷300=29) 25200÷2800= 30) 50÷25=31) 1000÷50÷4= 32) 48000÷3000=33) 20000÷2500= 34) 1675÷25=35) 5940÷27= 36) 900÷900=37) 700÷25= 38) 1200÷75÷4=39) 912÷24= 40) 20000÷1000=41) 1200÷25÷4= 42) 11475÷25=43) 25200÷1800= 44) 129600÷5400=45) 8000÷100÷4= 46) 3000÷125÷4=47) 9075÷25= 48) 7200÷150÷4=49) 2650÷25= 50) 630÷18= 四则混合运算的简便运算题(一)1) 444-(387-356)= 2) 5502÷21=3) 25×32×125= 4) 797+401=5) 25×192×125= 6) 330×119+381×330=7) (79+92+121)+108= 8) (37+56+63)+44=9) 144-2-30-68= 10) 103×91=11) 25×192×125= 12) 304+(166-104)=13) 282×135+365×282= 14) 183×3-3-3×82=15) (155+356)+(345+144)= 16) 799-407=17) 88×125= 18) 289+(376+111+24)=19) (56+98)+(44+2)= 20) 89+(155+111+45)=21) 124+(261+176+39)= 22) 297-0-(0+200)=23) 67+71+233+229= 24) 376×1-1-1×175=25) 214×71+429×214= 26) 9100÷175÷4=27) 108+(16-8)= 28) 58+156+142=29) 396-203= 30) 25×32×125=31) 200+95= 32) 645-200-200=33) 149+(208+251)+192= 34) (34+261+366)+139=35) 407-205= 36) 250-57-143=37) (33+65+67)+35= 38) 197-96=39) (315+299+85)+101= 40) 40×125=41) 25×128×125= 42) 62+(79+38)+21=43) 4075÷25= 44) 40×125=45) 48×25= 46) 342×372+28×342=47) 2×258+2+41×2= 48) 101×1=49) 168-8-92= 50) 64×125=四年级简便方法300道16×77+16×23=16×(77+23)=16×100=160028×30+30×22=30×(28+22)=30×50=150032×27+18×27=27×(32+18)=27×50=1350125×64=125×8×8=1000×8=800076×101=76×(100+1)=76×100+76×1=7600+76=7676695-134+105-166=枝旁(695+105)-(134+166)=800-300=500第一和第二题数字不乎丛模糊看不清岁搭樱楚,请追问,一定解答。

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