椭圆交椭圆顶点三角形面积公式中⊙角余弦CoS⊙≥1－2e＾2？怎样推出来的？（e为离心率）

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2023版《5年高考3年模拟》A版
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9.2　椭圆及其性质
一、选择题
1.(2022届武汉二中月考,5)已知椭圆x2a+y2=1(a>1)和双曲线x2m-y2=1(m>0)
A.a=m+2　　　　B.m=a+2
C.a2=m2+2　　　　D.m2=a2+2
答案　A　椭圆x2a+y2=1(a>1)的半焦距为a-1,双曲线x2m-y2=1(m>0)的半焦距为m+1,则有a-
2.(2022届广东深圳中学月考,6)已知直线l:y=x+1与曲线C:x2+y22=1相交于A,B两点,F(0,-1),则△ABF
A.2　　B.22　　C.4　　D.42
答案　D　在椭圆x2+y22=1中,a=2,b=1,则c=1,椭圆的焦点为(0,1),(0,-1),所以F是椭圆的一个焦点,易知直线l过椭圆的另一个焦点(0,1),所以△ABF的周长为4a=42.故选
3.(2022届湖南郴州一中月考,7)已知点P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,点F1、F2是椭圆C的左、右焦点,若△PF1F2
A.23　　B.22　　C.3
答案　B　由题意可得|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
设△PF1F2的内切圆半径为r,所以S△PF1F2=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=12(2c+2a)r=(c+a)r,又△PF1F2的内切圆半径的最大值为a-c,所以S△PF1F2=(c+a)r≤(c+a)(a-c)=a2-c2=b2,又S△PF1F2=12|F1F2|·|yP|≤12·2c·
4.(2022届山西运城调研,6)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为35
A.x25+y24=1　　　　B.
C.x216+y29=1　　　　D.
答案　D　直线2x+y+10=0与x轴的交点坐标为(-5,0).由直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点,可知椭圆的左顶点坐标为(-5,0),即a=5,由椭圆的离心率为35,可知ca=35,所以c=3,所以b=a2-c2=4,所以椭圆的方程为
5.(2022届合肥8月联考,7)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆上的两点P,Q关于原点对称,若|PF|+|QF|=6,且椭圆C的离心率为
A.x29+y28=1　　　　B.
C.x26+y24=1　　　　D.
答案　A　由椭圆的定义及椭圆的对称性可得|PF|+|QF|=2a=6,即a=3,则由椭圆C的离心率为13得a2-b2a=13,
6.(2021辽宁丹东一模,7)已知斜率为2的直线l不经过坐标原点O,l与椭圆x2+y22=1相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则直线OM
A.-14　　　　B.-1
答案　C　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),
∵M是线段AB的中点,∴x1+x2=2x,y1+y2=2y,
把A(x1,y1),B(x2,y2)代入x2+y2
得2
两式相减,得2(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴2x(x1-x2)+y(y1-y2)=0,
∴kAB=y1-y2x
∴直线OM的斜率kOM=yx=-1.故选C
7.(2022届江西名校联盟10联考,6)已知x2m2+y2m+2=1表示焦点在x
A.(-2,-1)∪(2,+∞)
B.(-2,+∞)
C.(-1,2)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
答案　A　由椭圆的焦点在x轴上,可得m2>m+2,即m2-m-2>0,解得m>2或m<-1,又m+2>0,所以m>-2,于是m的取值范围为(-2,-1)∪(2,+∞),故选A.
8.(2022届福州格致中学月考,6)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,直线ax-by=0与圆M:x2+y2-mx+1
A.±1　　B.±2　　C.±4　　D.±8
答案　B　由题意知c=63a,则a=3b,∴直线ax-by=0即y=3x,代入x2+y2-mx+14=0,得4x2-mx+14=0,由Δ=m2-4=0,解得m=±2.
9.(2022届安徽安庆10月月考,10)如图,F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆C上的点,Q是线段PF1上靠近F1的三等分点,△PQF2
A.22　　　　B.34　　　　C.2
答案　D　由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a,由题意得32|PQ|+|PF2|=2a,又△PQF2为正三角形,所以|PQ|=|PF2|,所以|PF2|=45a,|PF1|=65a.在△PF1F2中,由余弦定理得

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