三角函数是之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为，角度对应终边与交点坐标或其比值为的函数。也可以等价地用与有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是值。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为、等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个，是一个附属品，但是的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。
三角学中””和””的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比更精确的正弦表。
我们已知道，托勒密和造出的弦表是的全表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。
称连结（AB）的两端的弦（AB）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（AC） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。 [1]
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。三角术的奠基人是公元前2世纪的。他按照人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的时代达到了高峰，托勒密在《》（Syntaxis Mathematica）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。
古希腊文化传播到后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。
泰勒展开式又叫幂级数展开法
在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数、面积等等。
tan（x）的定义域为x不等于π/2+kπ（k∈Z），值域为R。
cot（x）的定义域为x不等于kπ（k∈Z）,值域为R。
以y=sinx的图像为例，得到y=Asin（ωx+φ）的图像：
y=sinx→【左移（φ>0）/右移（φ<0） ∣∣∣φ∣个单位】→y=sin（x+φ）→【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的（1/ω）】→y=sin（ωx+φ）→【纵坐标变为原来的A倍（伸长[A>1] / 缩短[0<A<1]）】
如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为√3/2.
三角函数的，是多值函数。它们是反正弦arcsin
x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制为，将的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的，记为y=arcsin
反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1（x）.
反三角函数主要是三个：
y=arctan（x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2,π/2），图象用绿色线条；
证明方法如下：设arcsin（x）=y,则sin（y）=x ,将这两个式子代入上式即可得
其他几个用类似方法可得。
中三角函数的表示（由易得）：
此时三角函数已推广至整个集。
·三角函数作为方程的解：
对于微分方程组 y=-y''；y=y''''，有通解Q，可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数－－，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
（1）对于z为y来说，复数域内正余弦函数的性质与通常所说的正余弦函数性质是一样的。
（2）复数域内正余弦函数在z平面是解析的。
（4）sinz、cosz分别为，，且以2π为周期。
三角函数，正如其名称那样，在中是十分重要的，主要是因为正弦定理与余弦定理。
同时在解决物理中的力学问题时也很重要，主要在于力与力之间的转换，并列出平衡方程。
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：
其中R是三角形的外接圆半径。
它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 （sinA）/a是通过A,B和C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。
三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积：
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。
物理力学方面的中也会用到相关知识。
延伸定理：（任意三角形射影定理）
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：
三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC
作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为）的角对边长度斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的。
作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数。
作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。
作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
作用：在直角三角形中，求出1-cos（θ）（括号中填的是大小为θ（单位为弧度）的角的大小），函数值为1-cos（θ）。
作用：在直角三角形中，求出1-sin（θ）（括号中填的是大小为θ（单位为弧度）的角的大小），函数值为1-sin（θ）。
作用：在直角三角形中，求出[1-cos（θ）]÷2（括号中填的是大小为θ（单位为弧度）的角的大小），函数值为[1-sin（θ）]÷2。
作用：在直角三角形中，求出[1-sin（θ）]÷2（括号中填的是大小为θ（单位为弧度）的角的大小），函数值为[1-sin（θ）]÷2。
格式：exsec（θ）。
作用：在直角三角形中，求出sec（θ）-1（括号中填的是大小为θ（单位为弧度）的角的大小），函数值为sec（θ）-1。
格式：excsc（θ）。
作用：在直角三角形中，求出csc（θ）-1（括号中填的是大小为θ（单位为弧度）的角的大小），函数值为csc（θ）-1。
三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图像单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；
中心记上数字一，连结顶点三角形。向下三角平方和，倒数关系是对角，
顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，
变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，
将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，
余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；
一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；
三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；
利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。
