设函数f: N®N, f(x)=2x+1,试求其单满双射性质?

只需证明自然数集N的幂集P(N)与(0,1)基数相等.
若两个集合分别有到对方的单射, 则二者基数相等.

不难验证f, g都是单射, 故P(N)与(0,1)的基数相等, 进而与R的基数相等.

基数是计算发展速度、增长速度时用的基期水平。
康托尔在1874年~1884年引入最原始的集合论(现称朴素集合论)时, 首次引入基数概念。 他最先考虑的是集合 {1,2,3} 和 {2,3,4},它们并非相同,但有相同的基数。骤眼看来,这是显而易见,但究竟可谓两个集合有相同数目的元素?

康托尔的答案,是所谓一一对应,即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到,两个集合的基数自然相同。这答案,容易理解但却是革命性的,因为用相同的方法即可比较任意集合,包括无穷集合的大小!

最先被考虑的无穷集合是自然数集 N = {1, 2, 3, ...} 及其无限子集。他把所有与 N 能一一对应的集为可数集。大出康托尔意外,原来 N 的所有无限子集都能与 N一一对应!他把的基数称为,是最少的超穷基数(transfinite cardinal numbers)。

康托尔发现,原来有理数集合与代数数集合也是可数的!于是乎在1874年初,他尝试证明是否所有无限集合均是可数,稍后他得出著名的对角论证法,实数集是不可数的!实数集的基数,记作c,代表连续统。

接着康托尔构作一个比一个大的集合,得出一个比一个大的基数,而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论,需要一个新的语言描述,这就是康托尔发明集合论的主因。

康托尔随后提出连续统假设: c 就是第二个超穷数 , 即継 之后最小的基数。多年后,数学家发现这假设是不能证明的,即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。

在非形式使用中,基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于 0 的自然数(就是 0, 1, 2, ...)。计数严格的是可形式定义为有限基数的东西。无限基数只出现在高级数学和逻辑中。

更加形式的说,非零数可以用于两个目的: 描述一个集合的大小,或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列,可以轻易的看出着两个概念是相符的,因为对于所有描述在序列中的一个位置的数,我们可以构造一个有精确的正好大小的集合,比如 3 描述 'c' 在序列 <'a','b','c','d',...> 中的位置,并且我们可以构造有三个元素的集合 {a,b,c}。但是在处理无限集合的时候,在这两个概念之间的区别是本质的 — 这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置示象(aspect)导致序数,而大小示象被这里描述的基数所普遍化。

在基数形式定义背后的直觉是构造一个集合的相对大小的概念而不提及它有那些成员。对于有限集合这是容易的;你可以简单的计数一个集合的成员的数目。为了比较更大集合的大小,必须借助更加微妙的概念。

一个集合 Y 是至少等大小于或大于等于一个集合 X,如果有从 X 的元素到 Y 的元素的一个单射(一一映射)。一一映射对集合 X 的每个元素确定了一个唯一的集合 Y 的元素。这通过例子是最容易理解的;假设我们有集合 X = {1,2,3} 和 Y = {a,b,c,d},则使用这个大小概念我们可以观察到有一个映射:

这是一对一的,因此结论出 Y 有大于等于 X 的势。注意元素 d 没有元素映射到它,但这是允许的,因为我们只要求一一映射,而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。

我们可以扩展这个概念到一个等式风格的关系。两个集合 X 和 Y 被称为有相同的势,如果存在 X 和 Y 之间的双射。通过 Schroeder-Bernstein定理,这等价于有从 X 到 Y 和从 Y 到 X 的两个一一映射。我们接着写为 | X | = | Y |。X 的基数自身经常被定义为有着 | a | = | X | 的最小序数 a。这叫做冯·诺伊曼基数指派;为使这个定义有意义,必须证明所有集合都有同某个序数一样的势;这个陈述就是良序原理。然而有可能讨论集合的相对的势而不用明确的指派名字给对象。

在无限旅馆悖论也叫做希尔伯特大旅馆悖论中使用的经典例子。假设你是有无限个房间的旅馆的主人。旅馆客满,而又来了一个新客人。有可能通过让在房间 1 的客人转移到房间 2,房间 2 的客人转移到房间 3 以此类推,腾空房间 1 的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段:

在这种方式下我们可以看出集合 {1,2,3,...} 和集合 {2,3,4,...} 有相同的势,因为已经展示了这两个集合之间的双射。这激发了定义无限集合是有着相同的势的真子集的任何集合;在这个情况下 {2,3,4,...} 是 {1,2,3,...} 的真子集。

当我们考虑这些大对象的时候,我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。碰巧不符合;通过考虑上面的例子,我们可以看到“比无限大一”某个对象存在,它必须有同我们起初的无限集合有一样的势。有可能使用基于计数并依次考虑每个数的想法的叫做序数的不同的数的形式概念,而我们发现势和序(ordinality)的概念对于无限数是有分歧的。

可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。这可以使用对角论证法来可视化;势的经典问题(比如连续统假设)关心发现在某一对无限基数之间是否有某个基数。最近数学家已经描述了更大更大基数的性质。

首先,给出集合 X 和 Y,我们称 X 的势比 Y 小,记作 | X | ≤ | Y |, 当且仅当存在由 X 到 Y 的单射。我们称 X 的势与 Y 相等,记作 | X | = | Y |, 当且仅当存在由 X 到 Y 的双射(即一一对应)。

假设选择公理,所有集合都可良序,且对于所有集合 X 与 Y, 有 | X | ≤ | Y | 或 | Y | ≤ | X |。因此,我们可以定义序数,而 集合 X 的基数则是与 X 等势的最小序数 α。

(若不接受选择公理,我们也可对非良序集 X 定义基数,就是所有与 X 等势的集的阶中最小者。)

以下是有限集的三个等价定义:它与某自然数等势;它只有一个等势的序数,就是它的基数;它没有等势的真子集。

最小的无限集合是自然数集。{1,2,3,4,…,n,…}与{2,4,6,8,…,2n,…}基数相同,因为可以让前一集合的 n 与后一集合的 2n 一一对应。从这个例子可以看出,对于一个无穷集合来说,它可以和它的一个真子集有相同的基数。

以下是无限集的四个等价定义:它不与任何自然数等势;它有超过一个等势的序数;它有至少一个真子集和它等势;存在由自然数集到它的单射。

我们可在基数上定义若干算术运算,这是对自然数运算的推广。

在有限集时,这些运算与自然数无异。一般地,它们亦有普通算术运算的等质:

还有些关于指数的有趣性质:

对每一个基数,存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是 ,康托尔称下一个是 ,相类似的,还定义了如下一个序列:,,…。

注意 。连续统假设猜想,就是 。

连续统假设是与一般集论公理(即Zermelo-Fraenkel 公理系统加上选择公理)是独立的。

更一般的假设,即 。广义连续统假设,就是对所有无穷基数 X,都不存在界乎 X 与 2X之间的基数。

作为一种信仰,康托尔相信存在一种绝对无限,比任何一个无限集的基数都要大。


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给定一个数集A,假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。

函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。

随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。

在y是x的函数中,x确定一个值,y就随之确定一个值,当x取a时,y就随之确定为b,b就叫做a的函数值。

函数与不等式和方程存在联系(初等函数)。令函数值等于零,从几何角度看,对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。

从代数角度看,对应的自变量是方程的解。另外,把函数的表达式(无表达式的函数除外)中的“=”换成“<”或“>”,再把“Y”换成其它代数式,函数就变成了不等式,可以求自变量的范围。


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给定一个数集A,假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。

函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。

设函数f(x)在区间X上有定义,如果存在M>0,对于一切属于区间X上的x,恒有|f(x)|≤M,则称f(x)在区间X上有界,否则称f(x)在区间上无界。

设函数f(x)的定义域为D,区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调递增的;

如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数  。

设  为一个实变量实值函数,若有f(-x)= - f(x),则f(x)为奇函数。

几何上,一个奇函数关于原点对称,亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。

奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。

设f(x)为一实变量实值函数,若有  ,则f(x)为偶函数。

几何上,一个偶函数关于y轴对称,亦即其图在对y轴映射后不会改变。

偶函数的例子有|x|、x2、cos(x)和cosh(x)。

偶函数不可能是个双射映射 。

设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T,使得对于任一  有  ,且f(x+T)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,T称为f(x)的周期,通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。

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在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的.。


术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思。


简而言之,函数是将唯一的输出值赋予每一输入的“法则”.这一“法则”可以用函数表达式、数学关系,或者一个将输入值与输出值对应列出的简单表格来表示.函数最重要的性质是其决定性,即同一输入总是对应同一输出(注意,反之未必成立).从这种视角,可以将函数看作“机器”或者“黑盒”,它将有效的输入值变换为唯一的输出值.通常将输入值称作函数的参数,将输出值称作函数的值.。

在1859年,我国清代著名数学家李善兰在翻译《代数学》一书时,把“function”翻译成中文的“函数”。

李善兰认为中国古代“函”字与“含”字通用,都有着“包含”的意思,因此“函数”是指公式里含有变量的意思,具体来说就是:凡是公式中含有变量x,则该式子叫做x的函数。

函数的发展简史就是数学发展历史的一个缩影,每一个在我们今天看来非常简单的数学名词,背后不知道有多少数学家、数学工作者耗费一生投入其中,才有今天的数学成就。


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函数的定义:给定一个数集A,假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。我们把这个关系式就叫函数关系式,简称函数。函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。

首先要理解,函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后,要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。最后,要重点理解函数的三要素。

函数的对应法则通常用解析式表示,但大量的函数关系是无法用解析式表示的,可以用图像、表格及其他形式表示  。

在一个变化过程中,发生变化的量叫变量(数学中,常常为x,而y则随x值的变化而变化),有些数值是不随变量而改变的,我们称它们为常量。

自变量(函数):一个与它量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量(函数):随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。

函数值:在y是x的函数中,x确定一个值,y就随之确定一个值,当x取a时,y就随之确定为b,b就叫做a的函数值   。

设A和B是两个非空集合,如果按照某种对应关系  ,对于集合A中的任何一个元素a,在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应,那么,这样的对应(包括集合A,B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射(Mapping),记作  。其中,b称为a在映射f下的象,记作:  ; a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。

则有:定义在非空数集之间的映射称为函数。(函数的自变量是一种特殊的原象,因变量是特殊的象) 

函数与不等式和方程存在联系(初等函数)。令函数值等于零,从几何角度看,对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标;从代数角度看,对应的自变量是方程的解。另外,把函数的表达式(无表达式的函数除外)中的“=”换成“<”或“>”,再把“Y”换成其它代数式,函数就变成了不等式,可以求自变量的范围 。

如果X到Y的二元关系  ,对于每个  ,都有唯一的  ,使得  ,则称f为X到Y的函数,记做:

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