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第二章　线性方程组 线性方程组的一般形式为 本章讨论 解的存在性 2) 解的求法 3) 解的个数 4) 解的结构 何时无解？) ( 怎样求解？) ( 解与解之间的关系 ) ( 有多少个解？) ( 何时有解？ 方程组的求解问题: 如果存在 个数 当 方程组的 个等式 则称 为该方程组的一个解． 方程组的全体解构成的集合， 称为方程组的解集. 都成立, 对于方程组 基本概念： 使得 时， 设有两个 (Ⅰ) 的每个解 如果方程组(Ⅰ) 都是方程组(Ⅱ)的解; 同时 都是方程组(Ⅰ)的解, 则称这两个方程组 的每个解, 同解. 方程组(Ⅱ) 元线性方程组 (Ⅱ) 与 §２.１线性方程组 首先讨论： 未知量的个数 方程的个数 的方程组. 方程组有唯一解： 当 即当 ≠0 时 时， 一、克莱姆(Cramer)法则 二元线性方程组 当 ≠0 时, 方程组有唯一解： 这一结果可以推广到一般的 含有n个未知量 n个方程的线性方程组. 三元线性方程组 当 时, 方程组有唯一解： 四元线性方程组 当 时, 方程组有唯一解： 其中 定理2.1(克莱姆法则) 当其系数行列式 对应 后得到的行列式. 有且仅有唯一解 是将系数行列式detA 线性方程组 ≠0时, 地换为 方程组的常数项 中第 1 列元素 有且仅有唯一解： 当　　　 时, 两个条件: 三个结论: 证 将方程组 表为矩阵形式 即 A是n阶方阵. 由于 故Ａ可逆， 得 由 因此, 且解必为 从而 解存在唯一. 存在 有解, 方程组(2.1) 是方程组( 2.1 )的唯一解. 当　　　 时, 方程组(2.1)有唯一解 即 证毕 即 例 方程组有唯一解. 方程组的唯一解为： 解 常数项均为零的 方程(２.１)所对应的 当然是方程(２.４)的解 称为齐次线性方程组(２.４)的 齐次线性方程组除零解外, 齐次线性方程组. 是否还有其它解? 的齐次线性

线性代数是教资科目三的一块，相对较独立，这里简单的讲一下，主要争对教师资格证的考试。下面的一些说法可能不是很恰当为了方便记忆。

行阶梯矩阵和行最简形矩阵

非齐次线性方程组的解法

行列式，要记住它表示的一个数。常用字母D表示。

由n行和n列的数组成的，然后外面是两个竖线，像绝对值一样，你可以看作是一种运算，运算的结果是一个数。记住怎么运算：按行或按列展开，每一项和它的代数余子式乘积的和。

M12就是除去第一行和第二列的剩下的数组成的行列式。

这是一个逐步降阶求解的过程。比如从5阶行列式变成四阶行列式再变三阶。。。上面是用数学归纳法来定义的，没有用到逆序数等知识，教资考试这样理解就差不多了。

所以从运算法则看，二阶行列式为什么是对角线法则，主对角线相乘减去副对角线相乘。三阶行列式也一样，主对角线相乘的和减去副对角线相乘的和。都是上面定义的一个简单证明就可以得到。

某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号外面。

知道行列式的结果是一个数，常用字母D表示

运算规则是按行（列）展开，一行中每一项和它的代数余子式乘积的和

掌握二阶和三阶行列式的运算，主对角线和减去副对角线和

掌握行列式的性质，记住交换两行变号，（这里和后面矩阵初等变换易搞混）

注意，某行的所有元素公因子可以提到行列式外面，而不是把公因子直接约去，这里很容易和后面的矩阵变换搞混。

注意，某行的元素乘以同一个数加到另一行，行列式的数值不变。

这里注意，哪行是变动的，哪行是不变的，不能搞错了。

上面的性质是为了简化行列式求值用，也就是行列式的初等变换

请证明：某行元素与另一行的代数余子式乘积之和为0。 （下面伴随矩阵和逆矩阵的性质有用到这个结论。）

其实行列式的几何意义，二维空间里是两个向量围成的面积，三维是体积，有正负。

再用几何意义来理解行列式的几条性质：

三维空间里，行列式的几何意义是体积，我们这里来试着理解为什么向量的叉乘可以用行列式来计算。

结果为主对角线的元素乘积，即a11a22。。。ann

行列式化简的过程，就是尽量往对角行列式靠拢

现在考试都会考四阶的行列式。

2020年下半年真题：

上面一个四阶行列式，上面的解法是把2，3，4列加到第一列都变成16。其实也可以按常规做法来，r2-r1*3，r3-r1*5，r4-r1*7，再一步步做

上面的这道题目，看着像范德蒙德行列式，但是最后一个数字多了1。需要拆成2个行列式来做，一个是范德蒙德行列式，一个是普通行列式。

还有一个克莱姆法则的知识点等下面再讲。

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

矩阵其实是一个数表，它表示一堆数，常用字母A表示。实际书写着我们用大括号把这些数括起来。

同型矩阵，如果这两个或者两个以上的矩阵的行数和列数都相同，A=[aij]mxn,B=[bij]mxn

相等矩阵，行数与列数都相等，对应位置的元素相等

对角阵（方阵），只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵。

单位矩阵E（方阵），主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵，通常用I或E来表示。

在矩阵的乘法中，单位矩阵E着特殊的作用，如同数的乘法中的1。任何矩阵与单位矩阵相乘（可以相乘的前提下）都等于本身，而且单位矩阵因此独特性在高等数学中也有广泛应用。

加法，针对同型矩阵，A+B=[aij+bij]mxn，其（i,j）位的元素为A与B的（i,j）位元素之和

数乘，与每个元素相乘。这里注意和行列式的区别。

矩阵与矩阵相乘，（m*s，s*n---m*n)，得到的还是一个矩阵。

矩阵表示一堆数，常用字母A表示，由m行n列组成的数表。

矩阵根据行和列的数量关系，有方阵，行矩阵，列矩阵。可以相加的是同型矩阵，即行数和列数都相同。方阵里，又有两个特殊的矩阵，对角阵和单位矩阵。

矩阵的运算，加法（同型矩阵），数乘和乘法。乘法不满足交换律，两个矩阵位置不能随意交换。单位矩阵E满足交换律。

主要是选择题考察，第4个性质可以用下标行和列来看

矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)

第二条性质，我们知道矩阵A的数乘是将λ乘进每个元素里，那么求这个矩阵的行列式的时候，想要将λ提到外面，每一行提取一个λ，一共提取n个λ，所以是λ的n次方。

第三条性质，由拉普拉斯定理行列式的乘法规则来证明，不用管怎么来的，记住。

n阶方阵，AT=A，即矩阵的转置等于该矩阵，则称A为对称矩阵。主对角线为对称轴。

AT=-A，则称A为反对称矩阵

伴随矩阵：用A*表示 n阶方阵A 为接下来的逆矩阵做铺垫

注意，将某元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵，再进行转置。

或者将矩阵先转置，再将各元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵。

二阶方阵的伴随矩阵：用定义法

n阶方阵，设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。记作：用右上标-1来记作某矩阵的逆矩阵

转置矩阵，重要的一条性质，记住（AB）T=BT AT

方阵的行列式，重要的一条性质，记住|AB|=|A| |B|

对称矩阵，以对角线为对称轴，两边的元素关于对角线对称。矩阵的转置等于原矩阵。

反对称矩阵，以对角线为对称轴，两边的元素关于对角线互为相反数。矩阵的转置等于原矩阵乘以-1

伴随矩阵，将某元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵，再进行转置。伴随矩阵的重要性质

逆矩阵，一个矩阵A和另一个矩阵B相乘等于E，B叫A的逆矩阵，记作A-1。存在可逆的条件是|A|不等于0。

如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B称为等价。在初等变换的过程中A与B的秩相等。

矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。考试时只用按行变换做。因为后面的有些运算只能进行行变换。

在矩阵A中有一个不等于0的 r 阶子式D，且所有（r+1）阶子式全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R（A）=r。

矩阵的子式是在矩阵中选k行选k列后,交叉点上的元素保持相对位置不变构成的一个行列式。

这是一个3*4的矩阵，先看它最高阶的子式（也就是最高阶行列式），是3阶行列式（行列式是n行n列的）。那么3*4的矩阵有几个3阶行列式呢，由排列组合得到C（3，3）*C (4，3）=1*4=4 （前面一个数字是下标，后面一个数字是上标）。看了下这四个子式结果均为0（因为有两行对应成比例）。再看2阶子式，只有存在（exit)一个不为0就可以了。选取一个发现不等于0，所以根据定义得出该矩阵的秩为2。

这是根据定义法求矩阵的秩，一般用到这个方法比较少。我们一般通过矩阵的初等变换来求。

再回到上面的矩阵初等变换。初等变换的过程中，矩阵的秩是不变的，得到的矩阵是等价的。

这里有两个概念很容易混淆。一个是系数矩阵的秩R（A），是系数组成的向量组的极大线性无关向量的个数。而方程的基础解系的个数是 未知数的个数-R（A），而不是系数矩阵的秩R（A）。但是基础解析的个数可以理解为解向量组的秩，极大线性无关解向量的个数。

简单的方法就是，你不用记这么多，你只要把系数矩阵化简到行最简阶梯矩阵，把未知数x1，x2。。。代入整理，你就可以把这个方程解出来了。下面看一个例题：

非齐次线性方程组的解法

和齐次线性方程组的解法类似

AX=b，η0为该方程的一个特解，ξ为AX=0的通解，那么AX=b的通解为η0+ξ

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩不等时，无解

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩是相等且等于未知数的个数时，有唯一解

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩相等且小于未知数的个数时，有无穷多解，要求通解

2020年下半年教资初中数学真题：

2021年上半年真题：有3道线性代数的题目，而且都和线性方程组有关。

克莱姆法则针对n*n阶的方程组。 一般解方程组都是用化简到行最简形矩阵来求解，比较少用到克莱姆法则。克莱姆法则适用一些特殊的方程。

这题如果用矩阵变换或者用初中的知识来做，更简单

化简后，可以看出x1，x2.。。x（n-1）均为0，xn等于2。

有没有一个向量，它是比较特殊的。当我们对它进行初等变换后（也就是左乘某个矩阵），它的方向没有改变只是长度变了，换句话说就是和原来的向量共线。用式子表示即Mα=λα。 M为方阵

我们称这样的向量α为矩阵M的特征向量，λ为矩阵M的特征值。

一个方阵是几阶，就有几个特征值。

若有可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B。P被称为把A变成B的相似变换矩阵。

相似矩阵有相同的行列式和秩。

二维向量的长度，即向量的模，|a|=√a1^2+a2^2

在平面里，我们知道只需要2个不共线（线性无关）的向量就可以表示所有向量。在立体空间里，只需要3个不共线的向量就可以表示所有向量。

两两线性无关的向量中，有一种是特殊的，那就是正交即垂直。我们把这种基叫做正交基。在正交基的基础上进行单位化，得到标准正交基。这个过程叫做施密特正交化。

正定二次型，负定二次型

f=xTAx大于0是正定二次型，大于等于0是半正定二次型，小于0是负定二次型

判断正定二次型：A的各阶主子式的行列式都为正

判断负定二次型：A的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正

线性变换是一种怎么样的变换呢？线性变换后仍满足加法运算和数乘运算。这里的线性你可以理解为满足加法运算和数乘运算。

设V与U是二个线性空间，T是从V到U的一个映射，若这个映射保持线性运算规则不变：即 T(α+β)=T(α)+T(β)、T(λα)=λT(α)，那么就称T是从V到U的线性变换。

教资的题目，一般是一个二维向量，在一个线性变换下（左乘一个矩阵）变成另一个向量。原来向量里的元素满足一个方程关系，求变换后的元素满足什么方程关系。看下面这道真题：

结合看过的多个版本高中数学教材或者课程大纲，排一个高中数学内容。先说编排这些内容的几个特点：

第一，内容和顺序主要参考新课程大纲试验版，集合与简易逻辑打头，接下来是函数，三角函数，平面向量，平面解析几何，立体几何，微积分这些内容。个人感觉这个顺序是比较理想的。但是，不等式，数列，排列组合，概率统计，复数这些内容，做了重排。

第二，恢复传统高中数学主干内容中，自从新课程教材开始就弱化或者删去的内容。比如，三角函数的积化和差与和差化积以小节形式呈现，讲反三角函数，坐标平移与旋转，二次方程的化简，恢复圆锥曲线的第二定义等。

第三，补充应付高考压轴题需要的知识。比如，全面讲解直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的切线，全面讲解导数的应用，包括利用导数研究三次函数的图像和性质，用导数证明不等式等。

第四，全面介绍微积分部分的内容。包括极限，导数与微分，积分。其中，导数是重点，积分主要介绍基本思想和原理，不讲复杂的积分换元法。而且，先讲微积分，再讲随机变量，这样，对于连续型随机变量的正态分布的理解，就可以结合积分进行了，理论性和逻辑性更强。

第四，强化线性代数的内容。对于绝大部分大学一年级的学生来说，线性代数应该是最抽象最难懂的一门数学课，国内的绝大多数线性代数教材，没有利用二维空间和三维空间帮助理解线性代数中的概念。高中阶段，结合直线，平面等几何要素，讲解行列式，矩阵，线性方程组的求解，线性变换，比较直观易懂，有利于给大学打好基础。另外，台湾地区高中数学课程纲要中，也有大量线性代数相关内容。

接下来，讲讲我理想中数学教材的编排需要具备的特点

第一，在版式设计方面，参考新课程版教材，有留白的边栏，页面尽量简洁，做到内容完整，便于自学，哪怕需要出现思考与讨论，也不要用醒目的标题和底色加以强调，可以参考苏教版或者北师大版，对这些内容低调处理。

第二，参考人教版甲种本至新课程版教材进行行文，尽量少用思考与讨论。思考讨论提出后，课本正文要给出详细的分析和解答，不能只设问不解答，不能让课本内容残缺不全。对正文内容的进一步分析，可以放在边栏，参考新课标湘教版教材的处理方法。

第三，探索对知识内容的难度进行区分的方式。以前绝大部分教材，只对内容做区分，比如打星号的是选学内容，不在考试范围内。或者像八十年代甲种本乙种本，两版教材内容有不同。新课程新课标，用不同的选修系列区分学习内容。极少教材在正文中区分一个知识点的理解层次。我想，是不是可以通过小标题的形式，或者小字号的形式，区分出有难度的提高层次的内容。北师大版教材有用小字号编排选学内容。

第四，课本中的例题和练习，需要拉开层次，从简单题到难题，都要有。练习可以分成 A B C 三档。对于较难的例题，要先给出思路分析，再给出解答过程。要选择一些有多种解法的问题，给出多种解答方法。

第一，目前高中阶段学习的数学知识太少了，甚至删去了一些理解大学数学的预备知识，造成脱节，目前市面上已经出现不少高中大学数学衔接读本。与其花钱买这些书，不如做好高中教材建设，使得教材成为可以长期保存的工具书，参考书。

第二，高中阶段多学习一些大学数学的初步知识，不仅有利于做好针对大学的衔接，也利于开拓视野，培养良好的数学思维。与其花大量时间做人工痕迹十足的难题，训练解题技巧，不如把时间花在学习新的知识上。

第三，高中数学知识内容大量增加后，对高考命题者也是一种解放，毕竟有更多内容可以用来出题了。最近十年，新课标教材的数学高考，解答题已经很僵化了，远不如二十年前灵活多样。可以考虑增加题目量，比如增加到选择题20题，3分一题，填空题10题，3分一题，解答题6题，10分一题，一共36题，同时把难度降下来。

第四，我对高中数学内容的设想，基本上是按照高标准高要求进行的，不指望学校能教完，学生能学完，可能只有重点中学的部分学生能够全部学完。这种教材处理方法，在大学阶段是很常见的。印象中，自大学一年级开始，几乎没有哪门专业基础课和专业课，老师能把课本讲完，也没有哪门课的考试，会考完整本书的内容。

再提一下视频计划，后面做一系列针对课标的视频，先讲，2003新课标，新课标的反思（批斗），再讲2017课标，再讲台湾地区课程纲要，最后讲我设想中的高中数学内容。台湾地区课程纲要，之前剪过两个半小时的视频，由于敏感信息太多，不考虑上传了，后面重新录制会不再提及这些敏感内容，并做到精简。

最后，给出高中数学内容设想的初稿：

第一章、集合与常用逻辑用语 

交集，并集，补集，全集

1.3 存在量词与全称量词

原命题，逆命题，否命题，逆否命题

存在量词与全称量词命题的否定

1.5 充分条件与必要条件

一、函数的概念 

极大值，极小值，最大值，最小值

二、幂函数与多项式函数

一次函数，二次函数，三次函数，四次函数

多项式方程根与系数的关系

三、指数函数与对数函数

2.12 指数方程与对数方程

2.13 二分法求函数零点

2.14 不同函数增长率的比较

3.2 含绝对值的不等式

综合法，分析法，反证法

算术平均数，几何平均数，调和平均数，平方平均数

平均数之间的大小关系和取得等号的条件

3.6 一元二次不等式

3.7 高次不等式与分式不等式

3.9 指数不等式和对数不等式

4.1 任意角与弧度制

4.3 同角三角函数的关系

平方关系，商数关系，倒数关系

二、三角函数的图像和性质

4.5 正弦函数图像和性质

4.6 余弦函数图像和性质

4.7 正切函数图像和性质

4.8 正弦型函数的图像和性质

先相位变换，再周期变换，最后振幅变换

先周期变换，再相位变换，最后振幅变换

4.10 已知三角函数值求角

4.12 和角公式与差角公式

4.13 倍角与半角公式

4.14 积化和差与和差化积

4.15 正弦定理与余弦定理

第五章、平面向量、代数与几何

5.2 向量的线性运算

5.4 平面向量基本定理

5.5 平面直角坐标系

5.6 向量及其运算的坐标表示

5.7 平面向量的应用

向量法解决平面几何问题

向量法证明和差角的余弦公式

向量法证明正弦定理和余弦定理

5.11 二阶行列式的应用

三角形和平行四边形的面积

5.14 坐标变换的矩阵表示

6.4 复数的三角形式

6.5 复数的指数形式

6.6 多项式函数的零点

第七章、直线与方程 

倾斜角，斜率，方向向量，法向量

点斜式，点法式，斜截式，两点式，一般式

7.2 直线与直线的位置关系

直线与直线平行，直线与直线相交，直线与直线垂直，直线与直线的夹角

7.3 点到直线的距离

7.4 二元一次方程组的解

直线的一般式讨论二元一次方程组的解

行列式表示二元一次方程组的解

矩阵表示二元一次方程组和它的解

7.5 二元一次不等式及其表示的区域

7.7 直线的参数方程

7.9 直线的极坐标方程

第八章、二次曲线与方程

8.3 圆的参数方程和极坐标方程

8.4 直线与圆的位置关系

8.5 圆与圆的位置关系

8.7 椭圆的简单几何性质

8.9 双曲线的简单几何性质

8.10 抛物线的方程

8.11 抛物线的简单几何性质

8.12 圆锥曲线的统一定义

8.13 直线与圆锥曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系

直线与抛物线的位置关系

8.14 圆锥曲线的光学性质

8.15 圆锥曲线的参数方程

8.16 圆锥曲线的极坐标方程

8.18 利用坐标平移与旋转化简二次方程

8.19 一般二次方程的讨论

第九章、排列、组合与概率

9.5 随机事件与概率

9.6 古典概型与几何概型

第十章、空间直线、平面与几何体

一、直线、平面及其位置关系

10.1 点、直线与平面

10.2 直线与直线的位置关系

直线的平行，直线的垂直

10.3 直线与平面的位置关系

直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面垂直，直线与平面平行

直线与平面平行的判定和性质

直线与平面垂直的判定和性质

与平面平行的直线与平面的距离

10.4 平面与平面的位置关系

平面与平面平行，平面与平面相交

平面与平面平行的判定和性质

平面与平面垂直的判定和性质

二、简单几何体 

10.5 多面体与旋转体

棱柱的定义与性质，含直棱柱，斜棱柱，平行六面体，长方体，正方体

第十一章、空间向量、代数与几何

11.2 空间向量的线性运算

11.3 向量的内积和外积

11.4 空间向量基本定理

11.5 空间直角坐标系

11.5 向量线性运算的坐标表示

11.6 向量内积和外积的坐标表示

11.8 三阶行列式与外积

11.9 三阶行列式与体积

11.10 空间直线的方程

11.11 空间平面的方程

11.12 用向量表示直线和平面的位置关系

两直线的夹角，直线与平面的夹角，平面与平面的夹角

点到直线的距离，点到平面的距离，与平面平行的直线到平面的距离，平行平面的距离，异面直线的距离

11.15 椭球，双曲面与抛物面的方程

11.16 圆柱面和圆锥面的方程

11.17 柱坐标系与球坐标系

第十二章、线性变换与线性方程组

平移，旋转，仿射，投影

12.3 矩阵及其运算

12.4 线性方程组的解

三元一次方程组的解，三元一次方程组的解的几何意义

克莱姆法则，初等变换法解线性方程组

13.4 一般数列通项与前n项和的求解

等差数列与等比数列的应用

分期付款问题，等额本金与等额本息

14.2 数列极限的运算法则

14.3 函数极限的运算法则

14.4 函数的连续性

14.5 两个重要的极限

第十五章、导数、微分与积分

15.1 函数的变化率

15.3 导数的几何意义，切线和法线

15.4 反函数的导数

15.5 基本初等函数的导数

15.6 函数四则运算的导数

15.7 复合函数的导数

罗尔定理，拉格朗日中值定理

15.11 函数的单调性，凹凸性，极值和最值

15.13 函数图像的绘制

15.16 牛顿法求函数零点

15.18 梯度下降法求函数最值

求旋转体的侧面积与体积

16.2 用样本估计总体

16.4 线性回归与线性相关

16.7 离散型随机变量及其概率分布

16.8 连续型随机变量及其概率分布

16.9 随机变量的均值与方差