约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其

中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互

2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等

于这几个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的

那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其

中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分

1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整

数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为

符号“∵”，所以的符号“∴”；

1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整

1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整

基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q…

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数

19．余数、同余与周期

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同

余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

三、关于乘方的预备知识：

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示

M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）

五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，

20．分数与百分数的应用

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数

（0除外），分数的大小不变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直

③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行

解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同

的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同

一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一

④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等

的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结

果，然后再进行调整，求出最后结果。

⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是

不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变

的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、

总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都

发生变化，但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关

系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数

大小和分母的关系比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数

大小和分子的关系比较。

③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分

子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的

大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比

较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：

②=+（d为自然数）；

1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2. 除以3余0或余1；反之不成立。

3. 除以4余0或余1；反之不成立。

4. 约数个数为奇数；反之成立

5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前

项，比号后面的数叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的

商不变时），则A与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的

积不变时），则A与B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体

速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速-水速）×逆水时间

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相

遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总

量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可

以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对

经验简评：合久必分，分久必合。

①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后

按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说

明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的

。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，

②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设

才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把

题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列

分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运

③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时

，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“

是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例

如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理

之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供

一个新的判断筛选条件。

⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其

中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并

递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。

在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般

需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、

重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外

需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。

3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题

时可把任意点设置在特殊位置上）。

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜

边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等

8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等； S

 上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形； S=

下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意

一点的距离； S=S侧+S底

球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2

30．时钟问题—快慢表问题

1、 按照行程问题中的思维方法解题；

2、 不同的表当成速度不同的运动物体；

3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；

4、 时间是标准表所经过的时间；

 合理利用行程问题中的比例关系；