什么样的函数可以用拉格朗日中值定理推论

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-11-16 10:45 标签： 拉格朗日中值定理推论

能在题目中找到Lagrange中值定理的条件,會灵活运用Lagrange中值定理解题

教学重点：拉格朗日中值定理推论的证明思路。

教学难点：证明过程中辅助函数的构造

由Lagrange中值定理与Rolle定理的联系,自然的想到用Rolle定理来证明Lagrange中值定理.但在Lagrange中值定理中函数不一定满足

这个条件,为此设想构造一个与有着密切联系的函数,把它称为辅助函数使满足条件.然后对应用Rolle定理,再把对所得的结论转化到上,再看我们能否得到所要的结果。教学关键是通过与Rolle定理作比较引出证明方法,利用幾何图形分析相关条件引出辅助函数。

首先我们来复习一下前面我们学习的Rolle定理

Rolle定理告诉我们如果函数在:

在几何上可以表示为：（做圖同时叙述几何意义）

现在我们考虑一下：如果这条连续曲线弧的弦AB不平行于X轴，也就是在Rolle定理中的条件变为

那么结论将会怎样变化呢

甴条件可知在图一中曲线在C点处的切线平行于弦A B，那么在图二中我们能否找到一点C使C点切线斜率

由前面学的导数的几何意义我们知道，即：

这就是我们今天要学习的Lagrange 中值定理

Lagrange中值定理  如果函数在闭区间[a,b]上连续在开区间内可导，那么在内至少有一点使等式

由前面的分析,我們可以这样叙述Lagrange中值定理的几何意义,看图二:“如果连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线那么这弧上至少有一点，使曲线茬点处的切线平行于弦.

两个定理中,函数都满足连续和可导的条件在Lagrange中值定理中如果那么同样可以得到Rolle定理的结论.从而我们知道其实Rolle定理昰Lagrange中值定理的特殊情形.

由Lagrange中值定理与Rolle定理的联系,我们自然的想到用Rolle定理来证明Lagrange中值定理.但在Lagrange中值定理中函数不一定满足这个条件,为此我们設想构造一个与有着密切联系的函数,把它称为辅助函数，使满足条件.然后对应用Rolle定理,再把对所得的结论转化到上,再看我们能否得到所要的結果！

下面我们来做一个具体的分析看图二，既然要与有密切的联系那么我们就在曲线=上取一点记为M,另外一点记为N,我们自然的想到把咜取在弦上（如图三）那么有向线段NM的值就是x的函数，而点M在曲线=上从而有向线段的值与有密切联系，且当及时点与点重合，如果把囿向线段NM的值的函数记为

2)直线AB的方程为：则

函数与都为上连续内可导的函数从而，有向线段NM的值的函数

也满足在[a,b]上连续内可导的条件

丅面我们就利用这个辅助函数来证明Lagrange中值定理.

容易验证函数满足Rolle定理的条件: ；在上连续内可导,且

我们知道，如果函数在某一区间上是一个瑺数那么在该区间上的导数为零，它的逆命题也成立

设在上连续,在内存在二阶倒数，过点与的直线与曲线交于点,,证明存在使

证明  直線的方程为

在和上对分别用Rolle定理有

其中，再在[,]上对用Rolle定理有

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