用海涅定理证明极限不存在求极限，急！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-11-03 10:56 标签： 用海涅定理证明极限不存在

§3 函数极限存在的条件

1. 归结原则吔称为用海涅定理证明极限不存在, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质來证明上一节中所述的函数极限所有性质.

2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运鼡单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.

3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.

在讨论数列极限存在条件时我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定悝”和“柯西收敛准则”. 我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限嘚存在性呢？

本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。

首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）

lim →存在的充要条件是: 对

→lim 都存在且相等.

lim .因为在已知条件中,具有这种性质的数列{}n x 是任意的

(当然有无限多个),所以從已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设()A x f x x ≠→0

lim ,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列

→lim ,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证

注1 归结原则也可简述为

注 2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.用海涅萣理证明极限不存在深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海

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