高等数学，一阶线性微分方程特解形式解，这两步看不懂

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-10-31 10:52 标签： 微分方程特解形式

一、《高等数学》一阶微分方程特解形式分类：

第一类：可分离变量的微分方程特解形式

及其分离变量的求解方法包括

齐次微分方程特解形式（换元法）

第二类：一阶線性微分方程特解形式

，其中齐次线性微分方程特解形式的求解归结为可分离变量的微分方程特解形式；而非齐次线性微分方程特解形式基于

直接得到非齐次线性微分方程特解形式的通解或者基于线性微分方程特解形式解的结构求得其一个特解来求通解：

非齐次线性微分方程特解形式的特解

=对应齐次线性微分方程特解形式的通解+非齐次的一个特解

其中伯努利方程（换元法）归结为一阶线性微分方程特解形式。

及基于曲线积分与路径无关的积分法或者基于全微分运算法则与微分的形式不变性的方法（这部分内容在曲线积分有关积分与路径無关的内容中讨论）。

二、求解一阶微分方程特解形式的基本思路

．改写结构对比标准可求解类型

适当变换微分方程特解形式描述形式，比对标准类型方程结构常用的一阶微分方程特解形式的标准类型有：

具有这种结构的方程可以使用分离变量法求解，

齐次方程(所谓齐佽各项次数相同)

将原方程转换为可分离变量的微分方程特解形式求解。

当Q(x)恒等于0时为

，使用可分离变量法求解；

当Q(x)不恒等于0时为

，基于对应的齐次线性方程的通解使用

求解；也可以直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式

直接得到通解，其中的不定积分都不带任意常数.

将方程转换为一阶线性微分方程特解形式求解

：它的判定和求解方法，使用

相关的理论与方法求解

满足以上条件的微分方程特解形式为全微分方程特解形式，可以通过曲线积分与路径无关求积分得到通解或者基于全微分的形式不变性与全微分公式得到通解，即

．换元转换构建标准类型

对于不符合标准类型的方程，考虑对微分方程特解形式进行适当变换后使用换元法将一阶微分方程特解形式

f(x,y)的部分表达式用新的变量表示，或者其中的变量用新的变量表达式替换将方程转换为一阶微分方程特解形式标准类型来求解。

换元表達式的选取一般不具有普适性的技巧就是通过不断改写微分方程特解形式表达式，不断尝试选取不同表达式换元直到将微分方程特解形式换元后转换为已知类型结构为止！其中齐次方程转换为可分离变量的方程求解，伯努利方程转换为线性微分方程特解形式求解就是典型的换元求解思路

．变更因变量与自变量地位

y函数转换为求x函数：

然后再对比标准类型；如果符合，则使用相应的思路求解；否则在此思路上，再考虑第二种思路通过变量替换转换为标准类型求解。

建议利用该题体验求解一阶微分方程特解形式的基本思路

）；内容小結与练习中的

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