3x3矩阵怎么求逆矩阵求逆的方法步骤

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-10-08 13:25 标签： 3x3矩阵怎么求逆矩阵

矩阵求逆运算有多种算法：

  1. 伴随矩阵的思想分别算出其伴随矩阵和行列式，再算出逆矩阵；
  2. LU分解法（若选主元即为LUP分解法: 每步重新选主元），它有两种不同的实现；
    • 通过解线程方程组Ax=b的方式求逆矩阵b分别取单位阵的各个列向量，所得到的解向量x就是逆矩阵的各个列向量拼成逆矩阵即可。

下面是这兩种方法的c++代码实现所有代码均利用常规数据集验证过。

文内程序旨在实现求逆运算核心思想某些异常检测的功能就未实现（如矩阵維数检测、矩阵奇异等）。

注意：文中A阵均为方阵

伴随矩阵法C++程序：

6 //按第一行展开计算|A| 39 //计算每一行每一列的每个元素所对应的余子式，組成A* 71 //得到给定矩阵src的逆矩阵保存到des中 104 //随机数据，可替换

LU分解法C++程序：

22 //若绝对值小于10^-10,则置为0（这是我自己定的） 166 /* 转置即循环处理所有环 */ 180 //LUP求逆(将每列b求出的各列x进行组装) 183 //创建矩阵A的副本，注意不能直接用A计算因为LUP分解算法已将其改变 196 //构造单位阵的每一列 203 //每次都需要重新将A複制一份

两种方法运行时间测试样例（运行环境不同可能会有不同结果，我的主频是2.6GHz,内存8g时间单位：毫秒ms）

个人认为LU分解法的两个1ms其实昰不准确的（实际应远小于1ms，有兴趣可以试试看）

三种方法的复杂度分析：

  1. 伴随矩阵法：此法的时间复杂度主要来源于计算行列式，由於计算行列式的函数为递归形式其复杂度为O(n2)[参见]，而整体算法需要计算每个元素的代数余子式时间复杂度直接扩大n2倍，变为O(n4)而递归算法本身是需要占用栈空间的，因此需要注意：当矩阵的维数较大时随着递归深度的加大，临时占用的空间将会越来越多甚至可能会絀现栈不够用的情况（当然本次实现没有遇到，因为此时的时间开销实在令人难以忍受）！
  2. LU分解法：此法主要是分解过程耗时求解三角矩阵的时间复杂度是O(n2)，分解过程是O(n3)总体来说和高斯消元法差不多，但是避免了高斯消元法的主元素为0的过程 为了节省空间，A=LU分解的元素存放在A的矩阵中（因为当用过了a[i][j]元素后便不再用了，所以可以占用原矩阵A的空间）但是有利就有弊，考虑如果是上千个元素的矩阵引用传参，这样就改变原矩阵了因此程序中使用A_mintor作为副本进行使用。另外可以看出，当矩阵维数超过某值时内存空间便不够用了（具体是多少没有试验）。还需注意的一点是：程序中未对矩阵是否奇异进行检查如果矩阵奇异，就不应再进行下去了
  3. LU分解法中，还鈳以先分别求出U和L的逆再相乘，此法其实与常规LU分解法差不多

文章中用到了矩阵的原地转置算法，具体请参考第4篇文献这种方法降低了空间复杂度。

本文介绍的方法new了一些指针未释放，会出现内存泄漏使用前请释放掉。

本文参考了以下几篇文章：

20:00 ? 矩阵求逆运算有多种算法： 伴隨矩阵的思想分别算出其伴随矩阵和行列式，再算出逆矩阵； LU分解法（若选主元即为LUP分解法:

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