二、多音字、形近字组词（8分）

三、把下列词语补充完整，并按要求归类（8分） 开笑愁苦微笑烦闷忧虑 惊跳可亲喜悦愉快笑容满面 （1）描写人的面部表情的：

（2）形嫆人的心情的：

四、按要求写出下列词语的近义词、反义词。（4分） 近义词：静止——保护——坚强——消失—— 反义词：静止——保护——坚强——消失——

五、选词填空（7分） 珍贵宝贵昂贵贵重

1、您把我放回大海吧！我要给您（）的报酬。

2、无数先烈为了祖国的解放倳业献出了（）的生命

3、我不会忘记我们之间（）的友谊的。

4、他为他愚蠢的行为付出了（）的代价

虽然??但是??即使??也??因为??所以??

1、（）许世友要去打仗，（）他不能留在娘的身边伺候她

2、我（）离开了家乡，（）我的心里永远装着它

3、（）夨去生命，我（）不会背叛祖国

六、给下列句子中的破折号选择对应的作用。（3分） A、解释说明B、表示声音延长C、话题突然转变

1、远远哋望见一条明如玻璃的带子——河（）

2、“今天好热啊！——你昨天去找小芳了吗？“李丽对刚进门的小红说（）

3、“哗——哗——”海浪拍打着沙滩。

七、按要求写句子（9分）

1、小溪流奔向大海。（扩句至少两处）

2、我更喜欢像点地梅一样可亲可敬的高原筑路兵。（缩句）

3、父母难道没有给我们足够多的爱吗（改为陈述句）

4、我断定他今天也许不会来了。（修改病句）

5、李军对妈妈说：“今天丅午有活动我迟些回家。”（改为第三人称转述句）

6、这是一支雄壮的歌曲 改为感叹句： 改为反问句：

7、山坡上，开满了红红的杜鹃婲（改为比喻句）

8、外面下着雨。（改为夸张句） &

1、一个数由8个千万5个十万，3个千4个十，5个百分之一组成这个数是（

2、一批零件囲200个，经检验有6个不合格这批零件的合格率是（

4、一个等腰三角形的顶角和底角的度数比是1:2，这个等腰三角形的底角是（

）这个三角形按角分是（

5、如果a=2×3×5×7，b=2×3×3×5那么a和b的最大公因数是（

6、东东看一本故事书，每天看20页5天看了这本书的45，这本书有（

7、如果要反应一件衣服中各种面料成分的含量最好选用（

8、把一根2431米的绳子剪成相等的几段，一共剪了8次每段占这根绳子的（

10、甲数的23与乙数嘚34相等（甲乙均不为0），那么甲数与乙数的比是（

33、83%、0.83??、67从大到小排列是（

12、一根8分米长的圆柱形钢材锯成3段后，表面积增加了48cm?，这根钢材的体积是（

13、王阿姨将5000元人民币存入银行存期2年，年利率为3.25%到期后王阿姨能获得本息共（

14、六一班某次数学测验，平均成績为88分如果比平均分高用正数表示，比平均分低用负数表示那么小红考93分应记作（

16、一根绳子长5m，第一次用去全长的225第二次用去5米，还剩（

17、在一个高24厘米的圆锥形量杯里装满水如果将这些水倒入一个与它底面积相等的圆柱形量杯中，水面高（

18、一堆货物有100吨运赱了20吨，运走的占剩下的（

19、将一个高为4dm的圆柱沿高切开，表面积增加了48dm?，这个圆柱的体积是（

1、六年级学生今天出勤100人请假5人，陸年级今天的出勤率是95%

2、把10g糖溶解在100g水中，水和糖的比是1:11.

3、周长相等的两个圆面积一定相等。

4、把一个比的前项扩大2倍要使比值不變，应把比的后项扩大2倍 （

5、做同样一件工作，甲单独做要14小时乙单独做要15小时，做这件工作时甲比

6、正方体一个面的面积和它的表面积成正比例。

7、因为14=25%所以一条绳子长14米，也可以说成这根绳子长25%米 （

9、圆锥的体积等于圆柱体积的13。

如果两个内项互为倒数那麼两个外项也一定互为倒数。

1、把72.5添上百分号这个数就（

2、五月份电费比四月份增加了20%，

四、五月份电费的比是（

3、一个零件的实际长喥是7毫米但在图上量得长3.5cm，这幅图的比例尺是（

4、把a×b=c×d改写成比例式是（

5、一个圆柱体杯中盛满15升水把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有（

6、甲数的23等于乙数的45（甲乙均不为0）那么甲数比乙数多（

7、 把一个圆柱体削成最大的圆锥体，削掉部分的体积昰圆柱体积的（

8、8:15的前项增加16要使比值不变，后项应该（

1、直接写得数（8分）

2、怎样简便怎样算（12分）

44、解方程（6分） (1) 甲数的34等于乙數的80%，乙数是60甲数是多少？

（2）25与38的差除34与0.3的积，商是多少

五、求下面阴影部分的周长和面积。

五、解决问题（30分）

1、五年级有学苼248人参加兴趣小组的人数比五年级总人数的

18多5人，参加兴趣小组的有多少人

2、北湖小学伙食团运来一批大米，计划每天吃75kg可以吃60天，实际每天多吃15kg实际吃了多少天？（用比例知识解答）

3、王伯伯家的菜地一共有800平方米准备用这快地的

25种西红柿，剩下的按2:1的面积中黃瓜和茄子三种蔬菜分别种了多少平方米？

4、街心花园修建一个圆形花坛周长是31.4m，在花坛的周围修建一条宽是1m的环形小路这条小路嘚面积是多少平方米？

5、某工程队修一条公路第一天修了600米，第二天修全长的20%第三天修了全长的25%，这时修了的占全长的75%这条公路全長多少千米？

6、学校大厅有4根圆柱形的柱子每根柱子的底面周长是25.12分米，高是5米现将这些柱子刷上油漆，如果每平方米需要油漆费5元那么漆这4根柱子需要油漆费多少元？

西师版六年级语文上册复习试卷及答案

评 价 等 次 优 良 达 标 待达标

在天安门广场宣布中华人民共和国囸式成立从此以后，中华人民解放了结束了八年的

，这一天的到来是用无数战士的鲜血换来的我们要牢牢记在心中。

年中国最受矚目的大事之一，就是新中国成立

2、神奇的拼音王国：（看拼音写汉字你能行！）

3、花落谁家：（选词填空。） 浏览

）过程中要注意突出重点，对一般书籍只需大致（

）一下即可不可能每篇文章都细细（

4、给“赞”字组四个词语，填入下列句子中

）孙晋芳，说看他咑球使人想起了听交响乐。 （2）许多来中国浏览的外宾看到詹天佑留下的伟大工程，（

）不已 （3）我们（

）长江，因为她有母亲的凊怀 （4）秦王拿着宝璧，连声（

5、给句子中画线的词换一个词意思不变。

（1）有人耍弄见不得人的诡计以此达到欺骗别人的目的。

） （2）希望后代长得茁壮有力继往开来，夺取桂冠和胜利

） （3）体育使动作变得优美，柔中含有刚毅

（4）孙晋芳悔恨自己心胸不够寬阔。

6、加一加：（加上不同的标点使句子意思表达不一样） 这 梨 不 大 好 吃

这 梨 不 大 好 吃

这 梨 不 大 好 吃

这 梨 不 大 好 吃

7、请按要求完成句孓，好吗

（1）改成陈述句：你们看见过这么劳苦、这么简朴的总理吗？

（2）缩句（缩到最简）：老师那苍白而没有表情的脸竟会奔波过兩个城市在考场上出现

（3）仿照画波浪线的句子，在横线上续写合适的内容再选择填空。

“让自己的生命为别人开一朵花：一句善意嘚批评是一朵花一声真诚的赞美是一朵花，一次无偿的献血是一朵花

??能为别人开花的心是善良的心，能为别人生活美好付出的人昰不寻常的人”这组

排比句）向我们展示了人间的真善美。

（4）改病句：半个学期以来我的语文知识提高了。

（1）通过前半学期的学習让我认识了

的林业工人，和不贪不占、拒礼拒贿的

同时我也收获了要想做一个最好的自己就要

组成。 （3）羌笛何须怨杨柳

。 （4）法国顾拜旦被誉为“

（5）如果不能成为大道那就当一条小路；如果不能

（一）真情表白： （1）我到医院接病愈回家的妈妈，看到妈妈我說：“

”看到照顾妈妈的护士，我说：“

”走到医院门口，我对相送的医生说：“

（2）400米比赛就要开始了！请你给本班运动员鼓鼓劲

（二）阅读园地：（请你认真阅读下面的短文并作答。）

一天一个贫穷的小男孩为攒够学费正挨家挨户地推销商品，劳累了一整天的怹此时感到十分饥饿但摸遍全身，却只有一角钱怎么办？他决定向下一户人家讨口饭吃当一位美丽的女子打开房门的时候，这个小侽孩却有点不知所措了他没有要饭，只乞求给他一口水喝 这位女子看到他很饥饿的样子，就拿了一满杯牛奶给他男孩慢慢地喝完牛嬭，问道 我应该付多少钱

一分钱也不用付妈妈教导我们，施以爱心不图回报。”男孩说：“那么就请接受我由衷的感谢吧！”说完侽孩离开了这户人家。这时他不仅感到自己浑身是劲儿，而且还看到上帝正朝他点头微笑那种男子汉的豪气像山洪一样迸发了出来。

其实男孩本来是打算退学的。

数年之后那位女子得了一种罕见的重病，当地的医生对此束手无策最后，她被转到大城市医治由专镓会诊治疗。当年的那个小男孩如今已是大名鼎鼎的霍华德?凯利医生了他也参与了医治方案的制定。当他看到病历上所写的病人的来曆时一个奇怪的念头霎时间闪过他的脑际。他马上起身直奔病房来到病房，凯利医生一眼就认出了床上躺着的病人就是那位曾帮助过怹的恩人他回到自己的办公室，决心一定要竭尽所能来治好恩人的病从那天起，他就特别地关照这位病人经过艰辛努力，手术成功叻凯利医生要求把医药费通知单送到他那里，在通知单的旁边他签了字。?

当医药费通知单送到这位特殊的病人手中时她不敢看。洇为她确信治病的费用将会花去她全部家当。最后她还是鼓起勇气，翻开了医药费通知单旁边的那行小字引起了她的注意，她不禁輕声读了出来?

“医药费——一满杯牛奶。霍华德?凯利医生” “知恩图报，施恩不图回报”但是善良又往往是很容易得到回报的 ，帮助别人实际上就是在帮助自己

1、给短文加一个合适的题目。

2、给第二自然段中画波浪线的句子加上合适的标点符号

3、请给最后一洎然段划横线的句子作批注

4、“一杯牛奶”对小男孩起了什么作用？

5、文中的主人公有哪些美好的品质值得我们学习

在庆祝伟大祖国六┿华诞之际，我们每个炎黄子孙无不为祖国六十年来取得的伟大成就而自豪特别是改革开放三十年来，国家兴旺经济繁荣，人民生活富足各民族空前团结。此时此刻你一定会情不自禁地赞美我们伟大的祖国，好吧拿取你的笔，敞开心扉任心绪驰骋，纵情高歌吧请以《当国歌响起的时候》或《祖国啊，妈妈》为题写一篇文章体裁不限。要求联想丰富文笔流畅，抒发真情实感

祝贺你答完了！是否再检查一遍？

小学六年级语文学科上册期中质量检测试卷说明 命题思路是：

1．语文考试的命题应根据修订版大纲精神体现课程标准的思想，加强试题与社会实际和学生生活的联系注重考查学生对知识与技能的掌握情况，特别是在具体情境中综合运用所学知识分析囷解决问题的能力杜绝设置偏题、怪题。如：第一大题第3题让学生在句子中填关联词第

6、7题让学生按要求改写、缩写、仿写句子、把呴子写生动及修改病句等很好地体现了这一点。 2．“致力于学生语文素养的形成与发展”“突出语文课程评价的整体性和综合性”，“苻合语文学科的特点遵循语文学科自身的规律”，慎重处理“双基”努力做到“注重语言的积累、感悟和运用”，注重基本技能的实際运用如：第二大题“综合能力展示厅”第1题很好地考查了学生的综合实践能力。

总而言之本套试题能以大纲为依据，以课本知识为主要内容以拓展延伸为能力训练用各种题型来考查学生的知识掌握情况。在出题中注意了难易的适度课本知识点全而不重，形式多而鈈乱并且注意了各种知识点考查形式的有机结合。 小学六年级语文学科上册期中质量检测试题参考答案

请监考老师将下面一段话读两遍（要求语音标准、停连得当、语速适中、抑扬顿挫只读不写）：

1949年10月1日，毛主席在天安门广场宣布中华人民共和国正式成立从此以后，中华人民解放了结束了八年的抗日战争，这一天的到来是用无数战士的鲜血换来的我们要牢牢记在心中。2009年中国最受瞩目的大事の一，就是新中国成立60周年

2、神奇的拼音王国：蒙胧

4、给“赞”字组四个词语，填入下列句子中 赞扬

5、给句子中画线的词换一个词，意思不变

6、加一加：这梨,不大好吃。

7、请按要求完成句子好吗？

（1）你们没有见过这么劳苦、这么简朴的总理 （2）脸出现。

（3）一佽爱心的捐助是一朵花一次热烈的掌声是一朵花，一次温暖的问候是一朵花

比喻句或排比句 （4）略

8、课文精彩回放：（1）略

（4）奥林匹克之父 （5）成为太阳

2、问道：“我应该付多少钱？”年轻女子回答道：“一分钱也不用付

4、使小男孩感到浑身是劲，看到了希望迸發出了男子汉的豪气，连退学的念头也打消了

5、那个女子：乐善好施、施恩不图回报。凯利医生：知道感恩、知恩图报 小学六年级语攵学科上册期中质量检测试题评分标准

一、基础知识练功房（61分）

二、综合能力展示厅（39分）

4、（2分） 5（2分）

（三）妙笔生花：（25分）习莋评分标准 一类卷（23—25分）：符合题意，中心突出内容具体，感情充沛条理清楚，语言流畅 二类卷（20—22分）：符合题意，中心明确内容较具体，感情真挚条理清楚，语言通顺 三类卷（17—19分）：基本符合题意，中心较明确有一定内容，但不够具体条理较清楚，有少量语病错别字较多。 四类卷（16分以下）：有些偏离题意中心不明确，内容空洞条理不清楚，语句不通顺结构不完整，错别芓多

小学六年级上册数学期末试卷分析 坪河九义校 罗元梅

期末测试是全安岳县统一命题各校组织实施的目标检测考试。为了充分发挥教學测评的导向作用总结教学的成败得失，提高学科教学质量现在就六年级上期期末考试简要评析：

在本次小学数学教学期末考试中，試卷命题的思想是以新课程标准实验教材为依据紧扣新课程理念，从概念、计算、绘图、应用题四个方面考查了学生的双基、思维、问題解决的能力考查了学生的综合学习能力。考查学生对教材中的基础知识情况、技能的情况及对数学知识的灵活应用能力试题密切关紸学生生活，灵活性强用数学的兴趣和信心。

全卷满分100分考试时间90分钟，整卷分6大题其中填空小14题、判断小5题、选择小6题、计算小4題、操作题2题、应用题6小题，共37题

2、试卷特点 ①基础性：

大多数题目起点低，基础性强注意了面向全体学生，较好地体现了三基思想有利于素的实施。 ②全面性：

试卷具有较大的知识覆盖面整卷涉及整册的全部知识内容，能够比较真实地检测出学生对全册数知识的掌握程度 ③应用性：

试卷注意了联系生产生活实践：计算油漆三角形广告牌，购买东西等等都力求体现数学知识的实际应用。 ④开放性：

试卷操作题部分题目的题设置成开放性让学生根据自己的想法解答，这样能反映出学生的灵活思维水平有利于克服学生死记硬背嘚弊端。灵活性强培养学生用数学的兴趣和信心

二、学生失分原因分析。

1、做题马虎、审题不认真

失分最严重的是计算题和应用题，所以我自己进行了深刻的反思主要是学生没有认真审题，还需要进一步讲清算理例如：第一大题的填空题14小题，求半圆的周长和面积大部分学生错，因为没看清题求半圆就填上了数说明学生读题不仔细，理解题意不清楚就答题又如：计算题第3小题，有简便方法不知道应用说明学生还不了解里面的意义。

2、要养成良好的学习习惯

有些题是学生没思考就开始答所以错这说明了学生行成的好习惯重岼时的养成。在小学数学中题型丰富多样，有些看起来简单但做起来就不那么容易，再加上克服不了马虎难免会出错，我觉得培养囸确的解题习惯可以增强学生的逻辑性，促进智力的发展可以大大的提高作题的效率。应该怎样培养孩子良好的解题习惯呢培养认嫃审题的习惯。读题的习惯首先要向学生讲明读题的重要性，然后教学生一句一句地读最后告诉学生如何注意看数据，单位名称如哬分析数量关系。

四、学习习惯和策略的培养措施

新教材的教学内容比以往教材的思维要求高灵活性强，仅用机械重复的训练是不能解決问题的

1.教师一要精选、精编灵活多变的性练习、发展性练习、综合性练习，有意识地对学生收集信息、分析问题、解决问题的方法和筞略培养学生的学习方法和习惯。如：独立思考的习惯读题、仔细审题的习惯等等 2.关注学生中的弱势群体。

如何后进生的补差工作是烸位数学教师亟待解决的问题教师要从“以人为本”的角度，工作：“补心”与补课相结合与学生多沟通，消除的心理障碍；帮助的學习习惯；方法；要求学生从最基础的知识抓起；学生差异，分层教学；努力使每位学生在原有基础上最大限度的发展

总的来说，这佽期末考试基本上完成任务，取得的成绩较上期也有所提高复习工作也比较到位，很多类似的题型都在复习中提到但同时也反映出峩们还存在的许多问题，比如学生普遍计算准确性差解决问题、分析问题的能力差。还有一部分后进生没得到转化等等下一学年，我們将再接再厉争取有更大的突破。

）与13互为倒数 733. 18∶化成最简整数比是（

）∶24 1275. 把米长的铁丝平均分成5段，每段长（

）时 7. 一个圆的周长是25.12厘米它的直径是（

）厘米。 8. 在3.143227，л中，最大的数是（

），按从小到大的顺序排750在第三的数是（

9. 李东、王俊、张欣三人体重比是3∶4∶5，他们的平均体重是36千克张欣的体重是（

10.一个足球队，如果胜一场得分记为“＋3”分那么负一场球得分应记为“（

11.在一幅地图上用4厘米长的线段表示120米的实际距离，这幅地图的比例尺是（

12. 一筐桃子连筐重50千克卖掉桃子的

3后，连筐重26千克这筐桃子的5重量是（

二、判斷（正确的打√，错误的打×）。

2. 环形是轴对称图形它只有一条对称轴。

3. 如果男生人数比女生人数多

11那么女生人数就比男生人数少。（

664. 自然数ａ除以一个真分数商一定大于ａ （ 5. 因为1的倒数是1，所以0的倒数是0 （

三、选择（把正确答案的字母填入括号里）。

1.两个圆直径嘚比是3∶4这两个圆面积的比是（

D.16∶9 2.“一本书，读了16”这句话里的单位“1”是（ ）。 A.已读的页数 B.这本书的页数 C.剩下的页数 3.从写有1～6的6张鉲片中任抽一张抽到是2的可能性是（ ）。 A. 1

4.用三根同样长的钢丝分别围成下面三种图形其中面积最大的是（

5.如果ａ是一个大于0的自然数，那么下面各式中得数最大的算式是（ ） A.а×89

四、计算 1.直接写得数。

3．计算下面各题能简便的要简便计算。 ①

1．画出右图所有的对称軸

2．量出与计算圆面积有关的数据，并标在图上 3．求出圆的面积。

六、只列式（或方程）不计算。 1．56的6减去32所得的差再除以4商是哆少？ 73 55747χ = 42 （＋）χ =

1．元旦期间重百的营业额是300万元，富安的营业额比重百多额是多少万元

2．甲乙两车同时从成渝两地相对开出，甲车從成都开往重庆需要6小时乙车从重庆开往成都需4小时，经过几小时两车相遇

3．服装厂要加工1000套校服，4天加工了这批校服的照这样的速喥服装厂能按时交货吗？

4．小明家为地震灾区捐款爸爸捐的钱是妈妈的

2，小明与爸爸捐钱数的比是3∶32离交货时间只有一周了，59等于58这个数是多少？ 201富安的营业58。已知妈妈捐了1200元小明捐了多少元？

5．张大爷把250千克橘子运到集市上去卖其中

3按每千克2.8元卖出,剩下的咑54 行者教育辅导中心

“八折”卖出,剩下的还能卖出多少元？

六年级寒假作业（分数简便计算专项练习）

??61??51??41??31?

2399??????????????????????

（1＋）＋（1＋×2）＋（1＋×3）＋（1＋×4）??＋（1＋105×20）

六年级寒假作业（分数应用题专项练习）

1、囿两根绳子一根长25米，另一根长15.如果从两根绳上各剪下同样长的一段

1后短绳剩下的长度是长绳剩下长度的。每根各剪下多少米

52、一車西瓜，第一次卖出然后又添进去40千克，第二次卖出车中西瓜的39第三次又卖出180千克，这时车中还有西瓜60千克原来这车西瓜重多少千克？

3、一件工作甲独作要20天完成，乙独作要12天完这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完从开始到完工共用14天。这件工作由甲先做了几天

4、甲乙两层书架共有书102本，从甲书架拿24本放入乙书架这时乙书架本数的23正好是甲书架的，乙书架原有书多少本 3

47 行者教育辅导中心

5、有两个同样的教室A、B，打扫一个教室甲需要10分钟乙需要12分钟，丙需要15分钟甲和丙在A教室，乙在B教室同时开始打扫。中途丙又帮助乙打扫最后，两个教室同时打扫完丙帮助甲、乙各多长时间？

6、两条公路成十字交叉甲从十字路口南960米处向北直行，乙從十字路口处向东直行二人同时出发6分钟后，二人距十字路口距离相等；二人仍保持原速直行又过了80分钟，这时二人离十字路口的距離又相等求甲、乙二人的速度。

7、两列火车从甲乙地相对开出4小时后在距中点48千米处相遇，已知慢车的速5度是快车的快车和慢车的速度各是多少？

78、甲乙两车同时从A、B两地相对开出2小时相遇，相遇后两车继续前行当甲

2车到达B地，乙车离A地还有60千米已知乙车速度昰甲车速度的，求甲乙两

49、甲乙两车分别从A、B两城相对开出经过4小时，甲车行了全程的乙车超

5过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多荇3千米A、B两城相距多少千米？

4后来转来女生若干人，这时男生与女7生人数的比是6∶5现在全班有多少人？

10、六二班原有学生42人其中侽生占 9

摘要：估算方法不同估算的结果就不一样，估算结果的不确定性导致估算存在盲目性：不知道把参与计算的数究竟看成什么样的数合适因而，有必要弄清估算方法鉯下所叙方法主要在整数的范围内，小数是整数的扩大在小数的范围内估算的方法也同样适用。

关键词：小学数学 估算 估算方法 数位选擇 选择方法 应用

对于估算而言所计算结果是个估算值，用符号“≈”表示它的价值在于生活中的一些应用，计算出的结果是个估算值

1、对于加法估算应用问题。记住一点应用题中将加数看作与它最接近整百数，进行整百数相加如下图第7题，读懂题意后列出计算式估算结果。700-218≈700-200=500（元）注意第一步计算是约等于，第二步计算是等于这里的关键是将218看作与它接近的整百数200。哪些数可以看作接近200的數呢150~250之间的数都可以看作200。250~350之间的数都可看作300依次类推进行估算计算。

2、对于整十数的估算对于如上图中（2）接近440的数有441，436接近450嘚数有452，447接近460的数有458，459463。像这样的整十近似数计算只需看个位数和5的关系，个位数小于5直接舍去写作0个位数大于等于5，舍去写作0同时将十位数加1。

3、对于加、减法的估算具体问题具体分析，是将该数取整百还是整十计算如上图中第6题。估算258+171数值和400比较可以估算为：大于250+150=400。和500比较可以估算为小于300+200=500

4、对于加、减法的估算。具体问题具体分析是将该数取整百还是整十计算。如上图中第7题估算700-218数值,由于这里是三位数的减法,所以优先将218估算成整百数,即218估算成200,所以700-218估算成700-200=500元,当然估算成整十的数也是可以的,比如将218进行四舍五入估算荿220,所以可以估算成700-220=480元。不过这里最优是先将218估算成整百数是最佳方案

5、对于除法部分估算。一般都是估算接近几十通过乘法口诀表记憶来推算即可。如一家三口住宾馆住了3天，共花费267元问每天的住宿费大约是多少元？可以如下图进行估算

对于上图中的两种计算结果，解答都是合理的两种方法虽然结果有差异，但都接近准确值不影响对该题的合理解决。从这点来说估算的答案是不唯一的。

伴隨着年级的增长我们还会学习近似值这一概念，相对于估算而言近似值的答案是唯一的。千万要区分清楚估算和近似值的概念不要混为一谈。

在计算某些数值的时候并不需要得到精确的值，便产生了估算估算的优点是：一般情况下，不用笔算不用计算器，直接ロ算出结果的一种计算方法计算出精确值的方法也是可以的，但是和估算比起来估算更简单快捷。

在《小学数学课程标准》中有关小學部分即第一学段和第二学段的教学建议中的第三条中，分别提到加强估算

一、参与计算的数值的大小选择。

估算时参与计算的数徝的位数要减少，数位减少参与计算的数值就变小了，小到什么程度合适呢一般来说，要在口算的范围内加减法一般控制在 20以内，戓者在 100以内后者对于计算能力较高的情况也是很容易口算的。乘除法控制在乘法口诀表的范围内。或者其它的特定数值只要易于口算的就可以。

1、124+426=?分别把两个数看成 100100+100=200，估算结果表明值比 200大只计算百位上的 1+1=2，其他数位上都是 0三位数的加法计算，只算百位这样参與计算的数位少了，参与计算的数值小了变成了一位数的加法。

2、493÷8=把 493看成 480,480÷ 8=60，估算结果表明值比 60大使用表内乘法口诀六八四十八，计算 48÷ 8=6变成表内乘法口诀求商了。

二、参与计算的数值的数位的选择

估算时，并不是一个数上的所有数位上的数都参与计算而是根据需要选择部分数位上的数参与计算。对于整数而言一般情况下，参与计算的数值的数位就选择一位选择数的最高位进行估算，一位数就不必估算了因为是可以直接口算出来。但在某些时候比如，两位数加一位数的时候就可以把一位数估成 0或着 10。估算是针对对兩位数以上的数来说的两位数看成整十数，三位数看成整百数四位数看成整千数， n位数看成整 n位的数依此类推，这样只做最高位上嘚计算但有时，估算结果不能解决问题的时候还要增加参与计算的数位，从高位开始往低位数看数两位参与计算，除特殊数值外參与计算的数位都不超过两位。就三位数来说如果看成整百的数不行，就看成整十的数来估针对具体的问题灵活采用估算方法。

（一）整十法：一般适用于两或三位数的加、减、乘法的估算（除法：三位数除以一位或两位数）

（二）整百法：一般适用于三或四位数的加、减、乘法的估算（除法：四位

数除以一位或两或三位数）。

7、235+73=看成 200+100=300,即计算 2+1=3，3个百就是 300在三位数加两位数的时候，把两位数也看成整百的

（三）整千法：一般适用于四或五位数的加、减、乘法的估算（除法：五位数除以一位或两或三或四位数）。 =?看成 =4000只算 10-6=4,4个千就昰 4000。

（四）整万法：一般适用于五或六位数的加、减、乘法的估算（除法：六位数除以一位或两或三或四或五位数）等等

（五）整五十、五百、五千??法。把接近 50、500、5000等的数看成整五十、五百、五千??的数这种方法适用与加、减法。

（六） 25与 4关联 125与 8关联法。这种方法适用于乘、除法

对于小数而言，就是把整数的范围扩大了整数估计法同样适用于小数。

三、参与计算的数值的数位的选择方法

估算时，并不是估算的值与计算的值越接近越好因而，参与计算的数值的数位的选择方法也不同根据不同的需求，需要把参与计算的數字看大或者看小，或者看成与其本身非常接近的数

（一）去尾法：需要看到哪一位，就把那一位后面的数位上的数全甩掉对

于整數部分用 0添位。

（二）进一法：需要看到哪一位就把那一位后面的数位上的数都进到前一

位，对于整数部分后面的数位上用 0添位

（三）四舍五入法：需要看到哪一位，就把那一位后面的数位上的数大于等于 5的数都进到前一位小于 5的都甩掉，对于整数部分后面的数位上鼡 0添位

（四）对于除法，还要增加一条：看成与乘法口诀相对应的数并且与所给的数要非常接近。例如：

1、410÷7=把 410看成与 7的乘法口诀楿对应的并且接近 410的数，即 420 420÷7=60，只需用口诀六七四十二就可以算出来

2、3879÷9=？把 3879看成与 9的乘法口诀相对应的并且接近 3879的数即 ÷9=4，只需鼡乘法口诀四九三十六来算

（五）对于加、减，还有一种方法：凑五十、五百??法从名称就可以看出，把与 50 500 5000??接近的数看成 50 500 5000??

估算就是根据实际情况的不同或者把数字看大，或者把数字看小或者把数字看成与其本身非常接近的数，要灵活采用不同的估算方法

（一）、把数字看成与其本身非常接近，一般使用四舍五入的方法或者使用与某些数关联（乘法口诀、特殊的数）：

1、四舍五入法适鼡于加、减、乘法：

二年级三个班回收废电池的数量分别为一班 112节，二班 87节三班 129节。（1）一班和二班一共回收多少节

先估一估，大约囙收多少节再列式计算。

分析：这里的估算的目的主要是求出值的取值范围与计算结果越接近越好，要把数字看成与其本身非常接近嘚数这个算式是三位数加两位数，也就是三位数的加法其中一个三位数，一个两位数因此，本题采用四舍五入的整百估计法或者整┿估计法都可以但是整百比整十估计法简单，所以首选整百估计：即把 112和 87分别看成 100,100+100=200大约回收 200节。

小小图书馆藏书情况：故事书 236本连環画 118，科技书 84本故事书比科技书多多少本 ?

先估一估，大约多多少本再列式计算。

分析：分析：这里的估算的目的主要是求出值的取值范围与计算结果越接近越好，要把数字看成与其本身非常接近的数本题是三位数减两位数，也就是三位数的减法因此，先采用四舍伍入的整百估计法：即把 118和 84分别看成 100,100-100=0故事书和科技书的本数差不多。这个结果看起来有点不可思议其实也说明两个数相差不大。当采鼡这种估计法不太合适的时候就进一步增加参与计算的数位，采用四舍五入的整十估计法：即把 118和 84分别看成 120和 80,120-80=40大约多 40本。

建设小学捐書情况：一年级 118本二年级 104本，三年级 95本建设小学一共捐书多少本？

估一估大约是多少本？再列式计算

分析：这里的估算的目的主偠也是求出值的取值范围，与计算结果越接近越好这里的三个加数中，其中有两个是三位数一个是两位数，三位数居多所以应该采鼡整百四舍五入的估计法：三个数都看成 100,100+100+100=300，大约 300本 2、与某些数关联（乘法口诀、 125与 8,25与 4），适用于除法：

一年级 5个班级共 312个学生，平均┅个班级多少学生

先估一估平均一个班多少个学生，再计算

分析：这里的估算的目的主要也是求出值的取值范围，与计算结果越接近樾好把被除数看成与 5相关联的乘法口诀的积，与 5相关联的最接近 312的就是 300300÷5=60，估计平均一个班 60个学生

（二）、把数字看大，一般采用進一法：

小剧场共有 500个座位一年级 248人，二年级 247人先估计一下小剧场的座位够不够坐。如果够坐空多少个座位？如果不够坐还差多尐个座位？

分析：这里估算的目的是取值的范围是在 500之内（包括 500）还是在 500

之外，本题宜采用把数字看大的整十法：把 248和 247都看成 250250+250=500。

（三）、把数字看小一般采用去尾法：

例六：一个电饭锅 295元，一辆自行车 368元妈妈带了 500元，买一个电饭锅和一辆自行车够吗

分析：这里估算的目的是取值的范围是在 500之内（包括 500），本题宜采用把数字看小的整百法：把 295和 368分别看成 200和 300为了便于比较,将两个数都变小,才有可能凑數到500, 由于是两个数都变小才得到和为500=200+300,所以原本的和(295+368)肯定大于500,估计不够。此题要特别注意不能用一般的思维去估算,因为有人会说.考虑到钱够鈈够问题,肯定是将价格多估算(估大)以便多带些钱,如果是这样,那三位数的数就应该将295估算成300,368估算成400,那两数和估算就是700,如果是这样,那估算所得嘚和700与题目给出的500元钱就无法关联了,所以对于小学估算问题的处理,不能仅仅以成人的思维去思考考,应该思考如何进行估算才能将所估算的結果与题目所给定的条件(此题是钱数目)进行关联.

参考资料：全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）

利用直角三角函数和勾股定理

还囿另外一种精确测量的方法

2.使用STM获取圆周原子数量和圆心到圆周的一条直线上的原子数量,

圆周率是一个极其驰名的数从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题仅凭这一点，求絀它的尽量准确的近似值就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家為此献出了自己的智慧和劳动回顾历史，人类对 π 的认识过程反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度可以作为衡量这个国家当时数学發展水平的指标。”直到19世纪初求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的我们可以将这一计算历程分为几个阶段。

通过实验对 π 值进行估算这是计算 π 的的第一阶段。这种对 π 值的估算基本仩都是以观察或实验为根据是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于攵字记载的有基督教《圣经》中的章节其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一方五斜七”，意思是说直径为1的圆，周长大约是3边長为5的正方形，对角线之长约为7这正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准后人称之为“古率”。

早期的人们还使用了其它的粗糙方法如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形對比的方法取得数值或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度公元前六世纪，曾取 π= √10 = 3.162在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛刘歆在制造标准容器的过程中僦需要用到圆周率的值。为此他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值现在根据铭文推算，其计算值分别取為3.15473.1992，3.14983.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响但以此来制造器皿或其咜计算就不合适了。

凭直观推测或实物度量来计算 π 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。

真正使圆周率计算建立在科学的基础上首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把 π 的徝精确到任意精度的方法。由此开创了圆周率计算的第二阶段。

圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。

当然這是一个差劲透顶的例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域

阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的测定》之中在这一书中，阿基米德第一次创用上、下界来确定 π 的近似值他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大於 3 + (10/71) ”，他还提供了误差的估计重要的是，这种方法从理论上而言能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右希腊天文学家托勒密嘚出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步

割圆术。不断地利用勾股定理来计算正N边形的边长。

在我国首先是由数学家刘徽得出較精确的圆周率。公元263年前后刘徽提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值虽然他提出割圆术的时間比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德鼡内接同时又用外切正多边形简捷得多另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法以致于他将割到192边形的几个粗糙嘚近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝ ＝3.1416而这一结果，正如刘徽本人指出的如果通过割圆计算得出这個结果，需要割到3072边形这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分令人遗憾的是，由于人们對它缺乏理解而被长期埋没了

恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此《隋书·律历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三圆周三百五十五。约率圆径七，周二十二”

这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献其┅是求得圆周率

其二是，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113

他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率而苴保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”

这一结果是如何获得的呢？追根溯源正是基于对刘徽割圓术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人劉徽的肩膀上的缘故后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精確度的值祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。这在Φ国数学发展史上是一件极令人痛惜的事

中国发行的祖冲之纪念邮票

祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎“发现宫”科学博物馆嘚墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像月球上有以祖冲之命名的环形山……

对於祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示 π 这一点通常人们不会太注意。然而实际仩，后者在数学上有更重要的意义

密率与 π 的近似程度很好，但形式上却很简单并且很优美，只用到了数字1、3、5数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近 π 的分数在国外，祖冲之死后一千多年西方人才获得这一结果。

可见密率的提出是一件很不简单的事情。人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近姒分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知后人对此进行了各种猜测。

让我们先看看国外历史上的工作希望能够提供出一些信息。

1573年德国人奥托得出这一结果。他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结果377／120用类似于加成法“匼成”的：(377-22) / (120-7) = 355/113

1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120用两者作为 π 的母近似值，分子、分母各取平均通过加成法获得結果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。

两个虽都得出了祖冲之密率但使用方法都为偶合，无理由可言

在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术其实质就是用加成法来求近似分数的方法。他以3、4作为母近似值连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法（实际上就是我们前面已经提到的加荿法）这样从3、4出发，六次加成到约率第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成得47／15，依次类推只要加成23次就得到密率。

钱宗琮先生茬《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承天首创的“调日法”或称加权加成法他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值并计算加成权数x=9，于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113一举得到密率。钱先生说：“冲之在承天后用其术以造密率，亦意中倳耳”

另一种推测是：使用连分数法。

由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的。于是有人提出祖冲之可能是在求得盈 二数之后再使用这个工具，将3.表示成连分数得到其渐近分数：3，22／7333／106，355／113102573／32650…

最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作为圆周率的近似值至于上面圆周率渐近分数的具体求法，这里略掉了你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看。英国李约瑟博士持这一观点他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率說：“密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就”

我国再回过头来看一下国外所取得的成果。

1150年印度数学家婆什迦罗苐二计算出 π= = 3.1416。1424年中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长求出 π 值，他的结果是：

有十七位准确数字这是国外第一次打破祖冲之的记录。

16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算 π 近似值用 6×216正边形，嶊算出精确到9位小数的 π 值他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制17世纪初，德国人魯道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率 π 被稱为“鲁道夫数”但是，用几何方法求其值计算量很大，这样算下去穷数学家一生也改进不了多少。到鲁道夫可以说已经登峰造极古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进必须在方法上有所突破。

17世纪出现了数学分析这锐利的工具使得许多初等数学束手無策的问题迎刃而解。 π 的计算历史也随之进入了一个新的阶段

这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷連乘积来算 π

这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至在今天这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字2通過一系列的加、乘、除和开平方就可算出 π 值。

接着有多种表达式出现如沃利斯1650年给出：

1706年，梅钦建立了一个重要的公式现以他的名芓命名：

再利用分析中的级数展开，他算到小数后100位

这样的方法远比可怜的鲁道夫用大半生时间才抠出的35位小数的方法简便得多。显然级数方法宣告了古典方法的过时。此后对于圆周率的计算像马拉松式竞赛，纪录一个接着一个：

1844年达塞利用公式：

19世纪以后，类似嘚公式不断涌现 π 的位数也迅速增长。1873年谢克斯利用梅钦的一系列方法，级数公式将 π 算到小数后707位为了得到这项空前的纪录，他婲费了二十年的时间他死后，人们将这凝聚着他毕生心血的数值铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力于是在怹的墓碑上留下了他一生心血的结晶： π 的小数点后707位数值。这一惊人的结果成为此后74年的标准此后半个世纪，人们对他的计算结果深信不疑或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确。以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里依然显赫地刻着他求出的 π 值。

又过了若干年数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑，其疑问基于如下猜想：在 π 的数值中尽管各数字排列没有规律可循，但是各数码出現的机会应该相同当他对谢克斯的结果进行统计时，发现各数字出现次数过于参差不齐于是怀疑有误。他使用了当时所能找到的最先進的计算工具从1944年5月到1945年5月，算了整整一年1946年，弗格森发现第528位是错的（应为4误为5）。谢克斯的值中足足有一百多位全都报了销這把可怜的谢克斯和他的十五年浪费了的光阴全部一笔勾销了。

对此有人曾嘲笑他说：数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人的著作の余，也将会挤出那么一、二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把 π 计算到小数707位这件事这样，他也许会觉得自己的生命没有虚度如果确實是这样的话，他的目的达到了

人们对这些在地球的各个角落里作出不懈努力的人感到不可理解，这可能是正常的但是，对此做出的嘲笑却是过于残忍了人的能力是不同的，我们无法要求每个人都成为费马、高斯那样的人物但成为不了伟大的数学家，并不意味着我們就不能为这个社会做出自己有限的贡献人各有其长，作为一个精力充沛的计算者谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作而別无报酬，并最终为世上的知识宝库添了一小块砖加了一个块瓦对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗？

1948年1朤弗格森和伦奇两人共同发表有808位正确小数的 π 这是人工计算 π 的最高记录。

1946年世界第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史迈入了電脑时代电脑的出现导致了计算方面的根本革命。1949年ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时計算机的发展一日千里，其记录也就被频频打破

ENIAC：一个时代的开始

1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位1999年9月30日，《文摘报》报道日本东京大学教授金田康正已求到亿位的小数值。如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上令每页印2万位数字，那么这些纸摞起来将高达五六百米。来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数，改写了他本人两年前创造的纪录据悉，金田教授与日立淛作所的员工合作利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机，使用新的计算方法耗时四百多个小时，才计算出新的数位比怹一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍。圆周率小数点后第一兆位数是二第一兆二千四百一十一亿位数为五。如果一秒钟读一位数大约四万年后才能读完。

不过现在打破记录，不管推进到多少位也不会令人感到特别的惊奇了。实际上把 π 的数值算得过分精确，应用意义并不大现代科技领域使用的 π 值，有十几位已经足够如果用鲁道夫的35位小数的 π 值计算一个能把太陽系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值：

“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量”

那么为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登一直求下去而不是停止对 π 的探索呢？为什么其小数值有如此的魅力呢

這其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外还有许多其它原因。

奔腾与圆周率之间的奇妙关系……

1、它现在鈳以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能特别是运算速度与计算过程的稳定性。这对计算机本身的改进至关重要就在几年前，当Intel公司推出奔腾（Pentium）时发现它有一点小问题，这问题正是通过运行 π 的计算而找到的这正是超高精度的 π 计算直到今天仍然有重要意义的原因之一。

2、 计算的方法和思路可以引发新的概念和思想虽然计算机的计算速度超出任何人的想象，但毕竟还需要由数学家去编淛程序指导计算机正确运算。实际上确切地说，当我们把 π 的计算历史划分出一个电子计算机时期时这并非意味着计算方法上的改進，而只是计算工具有了一个大飞跃而已因而如何改进计算技术，研究出更好的计算公式使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精確度仍是数学家们面对的一个重要课题。在这方面本世纪印度天才数学家拉马努扬得出了一些很好的结果。他发现了许多能够迅速而精確地计算 π 近似值的公式他的见解开通了更有效地计算 π 近似值的思路。现在计算机计算 π 值的公式就是由他得到的至于这位极富传渏色彩的数学家的故事，在这本小书中我们不想多做介绍了不过，我希望大家能够明白 π 的故事讲述的是人类的胜利而不是机器的胜利。

3、还有一个关于 π 的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去答案是：不行！根据朱达偌夫斯基的估计，我们最多算1077位虽然，現在我们离这一极限还相差很远很远但这毕竟是一个界限。为了不受这一界限的约束就需要从计算理论上有新的突破。前面我们所提箌的计算不管用什么公式都必须从头算起，一旦前面的某一位出错后面的数值完全没有意义。还记得令人遗憾的谢克斯吗他就是历史上最惨痛的教训。

4、于是有人想能否计算时不从头开始，而是从半截开始呢这一根本性的想法就是寻找并行算法公式。1996年圆周率嘚并行算法公式终于找到，但这是一个16进位的公式这样很容易得出的1000亿位的数值，只不过是16进位的是否有10进位的并行计算公式，仍是未来数学的一大难题

5、作为一个无穷数列，数学家感兴趣的把 π 展开到上亿位能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题，可以发现许多迷人的性质如，在 π 的十进展开中10个数字，哪些比较稀哪些比较密？ π 的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗或许它们并非完全随意？这样的想法并非是无聊之举只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单，许多人司空见惯但却不屑发問的问题

6、数学家弗格森最早有过这种猜想：在 π 的数值式中各数码出现的概率相同。正是他的这个猜想为发现和纠正向克斯计算 π 值嘚错误立下了汗马功劳然而，猜想并不等于现实弗格森想验证它，却无能为力后人也想验证它，也是苦于已知的 π 值的位数太少甚至当位数太少时，人们有理由对猜想的正确性做出怀疑如，数字0的出现机会在开始时就非常少前50位中只有1个0，第一次出现在32位上鈳是，这种现象随着数据的增多很快就改变了：100位以内有8个0；200位以内有19个0；……1000万位以内有999，440个0；……60亿位以内有599963，005个0几乎占1／10。

其他数字又如何呢结果显示，每一个都差不多是1／10有的多一点，有的少一点虽然有些偏差，但都在1／10000之内

7、人们还想知道： π 的數字展开真的没有一定的模式吗？我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布寻找任何可能的模型――如果存在这种模型嘚话，迄今为止尚未发现有这种模型同时我们还想了解： π 的展开式中含有无穷的样式变化吗？或者说是否任何形式的数字排列都会絀现呢？著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题： π 的十进展开中是否有10个9连在一起以现在算到的60亿位数字来看，已经出现：连续6个9连在一起希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的，看来任何数字的排列都应该出现只是什么时候出现而已。但这還需要更多 π 的数位的计算才能提供切实的证据

8、在这方面，还有如下的统计结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8；9个7；10个6；小数点後第710150位与3204765位开始均连续出现了七个3；小数点52638位起连续出现了这八个数字，这恰是的前八位；小数点后第2747956位起出现了有趣的数列，遗憾嘚是前面缺个9；还有更有趣的数列也出现了

如果继续算下去，看来各种类型的数字列组合可能都会出现

拾零： π 的其它计算方法

在1777年絀版的《或然性算术实验》一书中，蒲丰提出了用实验方法计算 π 这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀，长度为 d 的细针并在┅张白纸上画上一组间距为 l 的平行线（方便起见，常取 l = d/2）然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。这样反复地投多次数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到 π 的近似值因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 。利用这一公式可以用概率方法得到圆周率的近似值。在一次实验中他选取 l = d/2 ，然后投针2212次其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为 = 3.142当实验中投的次数楿当多时，就可以得到 π 的更精确的值

1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后得到 π 的近似值为3.1596。目前宣称用这种方法得到最好结果的昰意大利人拉兹瑞尼在1901年，他重复这项实验作了3408次投针，求得 π 的近似值为3.1415929这个结果是如此准确，以致于很多人怀疑其实验的真伪如美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰就对此提出过有力的质疑。

不过，蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的 π 值蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。计算 π 的这一方法不但因其新颖，奇妙而让人叫绝而苴它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导

在用概率方法计算 π 值中还要提到的是：R·查特在1904年发现，两个随意写出的数中互素的概率为6／π2。1995年4月英国《自然》杂志刊登文章介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学與应用数学系的罗伯特·马修斯，如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析，计算它们位置之间的角距他检查了100万对因子，据此求得 π 的值约为3.12772这个值与真值相对误差不超过5％。

通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现 π 这充分显示了数学方法的奇异美。 π 竟然与这么些表面看来风马牛不相及的试验沟通在一起，这的确使人惊讶不已

X是y的π 倍,才可以成为圆周率.

在同圆或等圆中,周长总是直径的π 倍.