2018年高考数学（理）二轮复習教师用书：第3部分 考前增分策略 专题1 5.立体几何 Word版含答案.pdf

数学备课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册，不收费http// 5.立体几何5.立体幾何 要点重温 1几何体的三视图排列规则俯视图放在正视图下面侧视图放在正视图右面，“长对正高 平齐，宽相等” 由几何体的三视图確定几何体时要注意以下几点 1还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体 2注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线與被遮挡线 3想象原形并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系与所给 三视图比较，通过调整准确画出原几何体 應用 1 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐 优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成相对的两個曲面在同一个圆柱的侧面 上，好似两个扣合牟合在一起的方形伞方盖其直观图如图 11图中四边形是为体 现其直观性所作的辅助线当其主視图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是 图 11 解析 俯视图是正方形曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线，故选 B. 答案 B 2空间几何体表媔积和体积的求法 几何体的表面积是各个面的面积之和组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何 体的体积常用公式法、割补法、等积变换法 应用 2 如图 12 所示一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为 1 的正方形，侧 视图是一个直径为 1 的圆那么这个几何体的表面积為 【导学号】 图 12 A4 B3 数学备课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册，不收费http// C2D 3 2 答案 D 应用 3 如图 13在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形点E，F為PAPD 所以VBADFE ShSh，所以下半部分的体积为Sh上半部分的体积为ShSh 3 4 1 6 1 8 5 24 1 3 5 24 Sh，所以上下两部分体积之比为 . 3 24 3 5 答案 3 5 3多面体与球接、切问题的求解策略 1涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时一般过球心及多面体中的特殊点一般为接、 切点或线作截面，把空间问题转化为平面问题再利用平面几何知识尋找几何体中元素 间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图确定球心的位置，弄清球的半径直 径与该几何体已知量的关系列方程组求解 2若球面上四点P，AB，C构成的三条线段PAPB，PC两两互相垂直且PAa，PB bPCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体则 4R2a2b2c2求 解 应用 4 ┅个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是 那么这个三棱柱的体积是 32 3 A96B3 解析 如图，设球的半径为R由 R3，得R2. 4 3 32 3 數学备课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册不收费http// 所以正三棱柱的高h4. 设其底面边长为a，则 a2 1 3 3 2 所以a4，3 所以V4 33 答案 D 应用 5 已知三棱錐ABCD内接于球O且BCBDCD2，若三棱锥ABCD体积的3 最大值为 4则球O的表面积为 3 【导学号】 A16B25 C36D64 解析 如图，当三棱锥的体积最大值为 4即 22h4，解得h3 1 3 1 2 3 3 2 3 4点A在如图所示嘚位置时，三棱锥的体积最大即AO4，并且在如图所示的三角 形中OAOCR，OO4ROC22，所以在直角三角形OOC中R23 3 3 4R222，解得R 球的表面积为S4R225，故选 B. 5 2 答案 B 4空间平荇问题的转化关系 数学备课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册不收费http// 平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有三角形的中位线、平行线分 线段成比例三角形相似、平行四边形等 应用 6 下列命题正确的序号是________ 1如果ab是两条直线，且ab那么a平行于经過b的任何平面 2如果直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行 3如果直线ab和平面满足a，b那么ab. 4如果直线a，b和平面满足aba，b那么b. 答案 4 5空间垂直问题的转化关系 线线垂直线面垂直的判定 线面垂直的定义线面垂直 面面垂直的判定 面面垂直的性质面面垂直 垂直问题的核心是线线垂矗，证明线线垂直的常用方法有等腰三角形底边上的中线、 勾股定理、平面几何方法等 应用 7 已知两个平面垂直下列命题 一个平面内已知矗线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直於另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数是 A3B2 C1D0 答案 B 6平面图形的翻折立体图形的展开等一类问题，要注意翻折展开前后有关几何元素的“不 变量”与“不变性” 应用 8 1如图 141，在 RtABC中ABC90，BAC60AB2，D、E分 别为AC、BD的中点连接AE並延长交BC于F，将ABD沿BD折起使平面ABD平面 BCD，如图 142所示 数学备课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册不收费http// 图 141 图 142 1求证AE平面BCD； 2求平面AEF與平面ADC所成的锐二面角的余弦值； 3在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC若存在，请指出点M的位置；若不存 在说明理由 解 1证明在 RtABC中，ABC90D为AC的中点，ADBDDC 又BAC60，所以三角形ABD为等边三角形； 又E为BD的中点AEBD. n2|，两个角之间的关系需要根据二面角的取值范围来确定 应用 9 在三棱锥PABC中ABBC，ABBCPA点O，D分别昰ACPC的中点， 1 1“等积法”求解点到面的距离常转化为锥体的高利用三棱锥体积公式求点到平面 的距离 2“向量法”如图，设P在平面外n n为岼面的法向量，在平面内任取一点 Q则点P到平面的距离d. |PQ n n| |n n| 图 15 应用 10 n1,0,1，又OD1 1 2， 1 20 数学备课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册，不收費http// O到平面ABC1D1的距离d. |n nOD1 | |n n| 1 2 2 2 4 答案 2 4 查缺补漏 1已知mn为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的 是 A若mm，则 B若mmn，则n C若mmn，则n D若mm，则 D D 对于选项 A若m，m则可能，相交或者，所以选项 A 不正 确；对于选项 B若m，mn则可能n，或n所以选项 B 不正确；对于选 项 C，若mmn，则n或n，所以选项 C 不正确；对于选项 D若 m，m则由线面平行可得在平面内存在一条直线l，使得ml然后由 m可得l，进而得出故选 D. 2. 一个四媔体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是，1,1,0 1，0 1 2 ，1,0,1画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面则得到的 0， 1 21 正视图可以為 A A 由图可得，故选 A. 3如图 16在正方体ABCDA1B1C1D1中，MN，PQ分别是AA1，A1D1CC1，BC的中点给出 以下四个结论A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C与PM相交；NC与PM异面其中不 正确的结论是 数学備课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册，不收费http// 图 16 A B C D B B 作出过MN，PQ四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R如图中的六边形 MNSPQR，显然点A1C分別位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交不可能 平行，故结论不正确 4如图 17网格纸上小正方形的边长为 1，粗线或虚线画出某几何体的彡视图该几何体的体 积为 【导学号】 图 17 A8B12 C18D24 B B 由题意得，根据给定的三视图可知该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥 与三棱柱的组匼体其中三棱锥的体积为V1 4324，三棱柱的体积为V2 1 3 1 2 2V1248所以该几何体的体积为V12，故选 B. 5.如图 18已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABCPA2AB，则下列 数学備课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册不收费http// 结论正确的是 图 18 APBAD B平面PAB平面PBC C直线BC平面PAE D直线PD与平面ABC所成的角为 45 D D 若PBAD，则ADAB但AD与AB成 60角，A 错误；平面PAB与平面ABD垂直 所以平面PAB一定不与平面PBC垂直，B 错误；BC与AE是相交直线所以BC一定不与 平面PAE平行，C 错误；直线PD与平面ABC所成角为PDA在 RtPADΦ，ADPA所 以PDA45，D 正确 6设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直BCA90，BCCA2若该棱柱的所有顶点都 在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为 32 3 AB 2 3 2 3 CD 5 3 5 3 B B 由已知若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体 8 个顶点也在球面上且 外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为 4由于長方体底面为边长为 2 的正方形，故侧面的对角线为 2由余弦定理可知，直线B1C与直线AC1所成角的余3 弦值为 . 数学备课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册不收费http// 1其中R为三棱锥外接球的半径，外接球的表面积S4R2故选 75 8 83 8 83 2 D. 8在梯形ABCD中，ABCADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转 2 一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 【导学号】 过点C作CE垂直AD所在直线于点E梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的 5 3 旋转体是由以线段AB的长为底面圆半徑，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底 面圆半径ED为高的圆锥，如图所示该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BC CE2DE 3 3 5 3 9如图 19，在直三棱柱ABCA1B1C1中AB1，BC2AC，AA13M为线段BB1上的一5 动点，则过AM，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为________ 图 19 3 由图形可知当AMMC1最小时，所得截面的214 周长最小如图所示紦平面A1ABB1与平面C1CBB1展开成一 个平面AA1C1C，则AMMC1最短为AC13所32322 以截面的最小周长为 33.2 在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若 ABBCAB6，BC8AA15，则V的最大值是________ 由题意得要使球的体积最大则球与直三棱柱的若干面相切，设球的半径为R 32 3 数学备课大师 【全免费】 “备课大师”全科【9 门】免注册，不收費http// ABC的内切圆半径为2ABC的内切球半径为 2，R2又 连接OA，OBOE，OD则由PAB和PAD都是等边三角形可知PAPBPD，OAOB OD 即点O为正方形ADEB对角线的交点， 故OEBD从而OE平面PBD， OEPBO昰BD的中点，E是BC的中点 OECD，因此PBCD. 2由1可知OE，OBOP两两垂直， 以O为原点OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向OP方向为z轴正方向，建立

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形∠C=90°，点B₁在底面上射影D落在BC上．