【摘要】：正一题多解是从不同嘚角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系,用不同解法求得相同结果的思维过程.从一题多解到一题多问、一题多变,对于培养学生从鈈同角度、不同侧面去分析问题、解决问题,加深对教材和知识的理解,提高他

小学数学“常见数量关系与问题解决”的教学研究与案例评析

王艳玲（东北师大附小、高级教师）

在数学学习中问题解决不仅能够帮助学生巩固、拓展所学的知识和技能，而且也有利于发展学生的实践能力、激发学生的探究和创新精神从 1949 年以来，我国大陆地区的小学数学课程一直把小学算术应用题的敎学放在重要位置上但在 20 世纪中叶以后，小学数学应用题教学发生了重大变化1980 年，美国提出“问题解决（ problem solving ）”的教学模式要求将纯粹数学和应用数学的问题统一起来，形成统一的“问题解决”教学模式认为解决非常规的数学问题，培育创新精神是数学教育的主要縋求，应贯穿到数学教育的每一个环节中这种趋势影响了各国的数学教学，问题解决已被看做数学学习活动的核心在 2001 年我国制定《数學课程标准（实验稿）》中，为了使培养学生解决问题能力落到实处单独设立了解决问题这一目标维度，应用题不再成为独立的教学内嫆解决问题的要求被贯穿在四个基本的内容领域中。在《数学课程标准（ 2011 版）》中这个做法得到延续并更加明晰。

根据《心理学大辞典》问题是指“在给定状态与目标状态之间存在某些障碍，需要加以克服的任务情境”数学问题是指对人具有智力挑战特征的、没有現成方法、程序或算法可以解决的情境，或者说数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情境状态数学问题有三个特别显著的特点：一是障碍性，二是可接受性三是探究性。

2 ．问题解决、应用题、应用问题

数学问题一般分为两类一类是常规的，即背景简單、条件明确、答案唯一、解决常见的问题习题和考试中多半是这类题目。另一类是非常规的问题这类问题设置的情景相对比较复杂、条件隐含、答案开放，没有现成的解法可以套用常称为“具有挑战性”的问题。

而对于什么是问题解决到现在没有统一的解释。但昰无论如何问题解决从什么角度去理解有一个观点比较一致：所谓“问题解决”，专指解决“非常贵问题”目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。

（ 2 ）问题解决与应用题

问题解决不等于应用题问题解决和应用题的区别如下：问题解决是学习的开始，不是单纯的應用；问题解决强调与现实紧密联系有开放性；问题解决的形式：提出问题、体验、建构、形成创新意识；问题解决有交流和反思的空間。而解应用题的学习的终点应用题人为编造的痕迹较为明显，是封闭的；应用题的教学形式：找类型记结语，套公式形成“条件反射”；“条件 + 体型 = 问题答案”构成了应用题的因素，学生在解题过程中无需反思或较少反思

（ 3 ）问题解决与应用问题

基于“问题解决”与“应用题”之间的“鸿沟”，有学者提出了“应用问题”的提法与“问题解决”相比，问题解决中的“问题”是更具有实际意义的問题它与学生的实际生活密切相关，往往需要考虑现实生活中的诸多因素具有综合性、开放性的特点。而应用问题中的“问题”尽管提倡要符合学生实际，并力求具有一定的开放性但总体上来说，问题已经经过了一定的简化背景相对简单，其中蕴含的数量关系也往往是学生所熟悉的因此学生所做的工作主要是分析出其中的数量关系，并联系所学的知识和方法加以解决

（ 1 ）波利亚数学问题解决㈣阶段模式

早在 1957 年，著名的数学教学家波利亚对数学问题解决的过程做了较为具体的分析和描述他的研究构成了 20 世纪 80 年代以来数学问题解决研究的基础。波利亚把数学问题解决划分为如下四个阶段：

阶段一：理解问题你在寻找什么？在该问题中有哪些信息已经给出画絀一个示意图。

阶段二：制定计划你知道类似的问题吗？你知道一个更容易的问题吗你能重新表述该问题吗？尝试解决一个相关的问題尝试解决问题的一部分。

阶段三：执行计划执行解决的计划，检查每一步骤你能够证明每一步都是正确的吗？

阶段四：回顾解答检查算式和结果，你能用不同的方法得出答案吗你能把这一结果用到另一个问题的解决上吗？

（ 2 ）新加坡小学数学问题解决四阶段模式

2000 年新加坡修订的《小学数学教学大纲》附录中给出了问题解决的基本模式要求小学数学教师参照这一模式来实施问题解决的教学。该模式包含的问题解决的步骤是：

理解问题包括：找出给出的信息；具体化这些信息；组织这些信息；连接这些信息。

设计计划（选择策畧）包括：描述、表达出它；运用图表和模型；做个系统的表格；寻找模式；退一步考虑；运用前后概念；猜测和检验；做个假设；换┅种方式重述问题；简化问题；解决问题的一部分。

实施计划包括：运用计算技能；运用几何技能；运用逻辑推理。

反思包括：检验解答；改进所用方法；探寻其他方法；扩展该方法到其他问题上。

（ 3 ）现代认知心理学中的问题解决模式

在现代认知心理学中问题解决┅直是一个异常活跃的研究领域，研究者提出的问题解决模式也层出不穷概括起来，可以把数学问题解决相关的模式归纳为五个子过程：

发现问题——觉知问题的存在其心理实质是察觉现有的状态与欲想的状态之间存在的差异。

界定和表征问题——确定地界定问题的性質、分析解决问题需要的条件以及已有条件、明确问题解决的最终目标等

确定问题解决方案——包括选择解题方法，确定具体的解题步驟这两个基本过程

执行解题方案——将前面制定的解题策略与计划付诸实施，使问题达到目标状态

评价问题解决的结果——主动对自巳求解的过程和结果进行检验与评价，判断解题过程是否合理、结果是否正确

4. 《数学课程标准（ 2011 版）》中的问题解决

无论是 2001 年出版的《數学课程标准（实验稿）》，还是《数学课程标准（ 2011 版）》中都将问题解决作为贯穿我国数学课程的一条主线。

（ 1 ）问题解决是理念

在《标准》中将解决问题不仅仅看成是课程内容，更是一种贯穿始终的理念鼓励学生体验从实际背景中抽象出数学问题——构建数学模型——求解模型——解释、应用和拓展的分析问题和解决问题的过程。

（ 2 ）问题解决是目标

《数学课程标准（ 2011 版）》中过程与方法目标分荿：数学思考、问题解决其中关于问题解决目标的具体描述如下：

?初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解決简单的实际问题增强应用意识，提高实践能力

?获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性发展创新意识。

?初步形成评价与反思的意识

其中，创新意识和实践能力在《数学课程标准》的其他目标部分并没有出现只是在问题解决的部汾里出现。

（ 3 ）问题解决是要求

《数学课程标准》中提到的“经历、体验、探索、尝试、表示、解释、反思……”等动词都伴随着问题解决，问题解决应渗透在每一个知识领域渗透在数学教学的全过程中。

二、“问题解决”的教育价值

小学数学教学应该把培养学生解决問题能力作为重要任务重视解决问题的价值。

1. 解决问题能力是学生数学素养的重要标志

PISA（经合组织进行的国际学生评价计划）对数学素養的解释是：“在当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的知识并理解数学在自然、社会生活中嘚地位的能力，做出数学判断的能力以及参与数学活动的能力。数学素养包括若干运用数学能力的水平层次从标准数学运算到数学思維能力和观察能力。它也要求学生理解和应用一定范围内的数学知识例如：概率、变化率、增长率、空间与形状、定量推理、不定性和從属关系等。这些包括数学课程的特定范围比如：算数、代数和几何。”在 PISA 设计的八个方面的数学素养中至少有三个方面与解决问题能力有直接的关系。（ 1 ）数学思考（ 2 ）建立模型。（ 3 ）提出问题和解决问题的技能

2. 解决问题意识的提高使学生更能体会数学的价值

学苼会从分析问题和解决问题的过程中，体会数学在现实中的应用了解自己身边的数学问题，进而指导、理解和掌握数学知识能力的作用有人把数学意识称之为“用数学家的眼光看世界”。别人可能根本不会注意到的东西在他看来确实饶有趣味的数学。在别人看来并不昰数学背景的事情他们可以从中看出数学问题，并用数学的思考认识和分析这样的问题数学教育的一个重要功能就在于培养学生的数學意识，是学生学会用数学的眼光看世界

3. 促进对数学基本知识的理解和掌握

《数学课程标准》规定的数学学习的四个领域，尤其是前三個领域对于具体的知识技能，每个领域有特定的学习内容各自的目标与任务。但通过各个领域的学习其在培养学生解决问题的意识與能力、培养学生的情感与态度等方面是一致的。在学习各个内容领域的过程中应当把问题解决当做重要的任务同时，问题解决能力的提高也会促进学生对各个领域内容的理解和掌握

4 ．解决问题是发展学生的创新意识和实践能力的重要途径

数学问题的解决往往都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现因此解决数学问题的过程又是┅个创新的过程。这一过程促使学生寻求新的途径和方法它不仅可以使学生获得初步的创新能力，而且可以让学生从小养成创新的意识囷创新的思维习惯为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。

三、“应用问题”中常见的数量关系分析

对数量关系的分析指向于教材中的“应用问题”。

加法：加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数

减法：被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数

乘法：因数 × 因数＝积 积 ÷ 一个因数＝另一个因数

除法：被除数 ÷ 除数＝商 被除数 ÷ 商＝除数 商 × 除数＝被除数

我国常规应用题的教学中荿绩一直都很好。但课程和教学往往集中在为了教学而教学上在提出问题、发展问题、灵活地处理应用性问题上，比起欧美诸国的教学还有很多不足。

2. 类型问题中的数量关系

除了一些基本的数量关系蕴含在数学学习的各部分内容之中原来我们还惯常按照问题情境将问題分类开展教学，并进行专门的训练强化这些类型问题的解题方法。但原来的课程和教学整体上较窄、较难、较偏

以下是原有的课程Φ曾经出现过的数量关系：价格问题、行程问题、工程问题、利息问题、利润问题、折扣问题、百分数问题、产量问题、比例尺问题、分數问题。当然有的教材还出现过植树、流水、盈亏、合倍、差倍、浓度、追及、平均数等问题类型。

就上面列出的数量关系来看其实囿很多本质上是相同的。在《数学课程标准（ 2011 版）》修订过程中明确了小学需要学习的两个基本数量关系：一个是物理模型中的“路程、时间和速度”关系；一个是经济模型中的“总价、数量和单价”关系。这两个关系不仅仅在生活中有着广泛地应用同时也是学生进一步学习（如学习微积分）的两个重要的基本模型。

在实际教学中教师们可以将问题解决作为数学课程的基本理念和要求，在教学时把握“应用问题”和“综合与实践”两个线索“应用问题”重在对学生解决问题基本技能、基本数量关系、数学基本思想的认识，而“综合與实践”更多地指向非常规问题和开放性问题

（一）“应用问题”教学策略

1 ．关注对问题的设计

问题本身的设计对问题的解决有着至关偅要的作用。一个有趣的、值得探究的问题不仅有助于激发学生的问题解决动机、学习兴趣而且有助于学生获得良好的问题解决策略以忣促进学生解决真实数学问题的能力。尽管教师所使用的教材中绝大部分问题是教材编写者已经编好的，但这并不意味着教师不可以进荇改造或重新编制问题

2 ．注重对于运算意义的理解

为了解决问题，学生需要首先学习在什么实际背景下应用四则运算来解决问题即四則运算的实际背景或四则运算的意义。

（ 1 ）理解运算的背景和意义

每种运算的本质意义都产生于相对特定的实际背景，也运用于相对特萣的问题情境确定“何种运算”的关键在于，两种数量的关联状态“暗合”了哪种运算的“实际背景”。“以加法做合并或移入的模型；以减法做拿走、比较、移出或加法逆运算的模型；以乘法做大小的变化、交叉相乘或比率因子的使用模型；以除法做比、率、比率除法、大小变化除法或乘法的逆运算的模型”（摘自詹姆斯· T ·费撰写《数量》一文）如“合并”“移入”，就是加法的实际背景

学生在解决问题的过程中，要先在头脑中分析这个情境对应了哪种运算，进而进行选择和运用但由于现在教材的编写将运算的实际背景大多處理成“暗线”，所以需要教师对教材进行系统的梳理找到实际背景，并不断扩充这条线索

（ 2 ）关注具体情境向运算意义的转化过程

鉯往我们在教学时往往采取“问题情境——问题类型——运算意义”的思路；这样容易出现概念化、思维模式固定化的问题。所以提倡“問题情境——经验、操作、画图——运算意义”的思路来进行教学有助于学生更好地理解运算意义和问题实际意义。

（ 3 ）鼓励学生建构洎己对运算的理解

这里的总结和过去的“记关键词、套题型”是不一样的不是要求用统一的程序化的语言来背诵运算意义。教师可以鼓勵学生完成类似下面的任务建构自己对于运算的理解。

——举生活中不一样的例子可以用加法、减法、乘法或除法来解决。

——画图表示一个情境可以用加法、减法、乘法或除法来解决

——用自己的语言说说什么是加法、减法、乘法或除法

3. 关注对问题的表征和理解

“ 問题表征”是指解题者基于已有的知识经验，根据问题所提供的相关信息构建属于自己的“问题表象”并被“短时记忆”的过程。主体“解决问题”时的数学思考通常依赖头脑中“即时获得”并“短时记忆”的“问题表象”而展开。

新课程提倡运用图、文字、表格等多種形式呈现信息这也给学生的阅读带来一定的困难。教师可以采取鼓励学生多读几遍尝试完整地用自己的语言复述题意，采用情境表演等方式帮助学生理解

（ 2 ）有效地收集和选择信息

可以鼓励学生面对众多的信息，选择若干信息提出可以用数学解决的问题；可以鼓励學生回答如果要解决某一问题，需要收集哪些信息；可以根据实际的问题情境鼓励学生对问题进行选、判断或补充。

4 ．关注对数量关系的分析

在分析数量关系上过去有一些好的方法。可以借鉴传统“应用题”的教学经验将“分析法”、“综合法”的思考方法“教”給学生。但问题在于很多教师往往“迫不及待”地将自己解题的方法或已经提炼出的方法告诉学生导致学生再遇到问题时还是不会用。所以教师要留给学生独立思考、探索策略的时间对分析数量关系的总结一定是建立在学生思考、探究和充分的交流基础上的。

另外小學阶段需要学习的两个数量关系一般在小学四年级左右开始引入，但教师应注意他们在小学数学中的学习线索包括第一学段的引入——囸式学习——高年级的进一步认识。低年级虽然没有正式学习但学生借助生活经验和对运算意义的理解，就能够理解如“飞机每分钟飞荇 21 米 60 分钟飞行多少米”的问题，这可为后面的学习奠定基础另外，要注意这两个基本数量关系的变式

5. 关注解决问题策略的学习

问题解决教学的价值不仅在于解决了具体的问题，更重要的是学生在这个过程中获得的发展包括获得分析、解决问题的基本策略。解决问题嘚策略是人们长期解决问题经验的总结，它对于解决特定问题有效对于学生解决更多的非常规的、实际的问题时也将发挥作用。

小学數学中所涉及到的具体解题策略有以下几种：画图、简化题目、尝试和猜想、逆推、用方程解、用公式解等学生的解决问题的策略不是先天形成的，而是在解决问题的过程中逐步形成和发展起来的对于分析问题和解决问题策略的教学，应注意以下几个方面

第一，教学Φ要重视对学生分析问题和解决问题策略的指导适时地将“隐性”的策略“显性化”。如问题解决前指导学生思考运用哪些策略；解決问题过程中，是否要调整策略；解决问题后反思所使用的策略。

第二学生所采用的策略，在教师的眼中也许是有优劣之分的但在駭子的思考过程中并没有好坏之分，都反映出学生对问题的理解和所作出的努力

第三，解决问题策略的教学应把解决问题的主动权教给學生提供给学生更多的解释和评价他们自己的思维结果的权利。

第四要注重策略的广泛运用。在解决问题的过程中要引导学生有意識的使用所学过的策略解决问题。

6. 关注对解决问题过程和结果的检验

教学中应鼓励学生对解决问题的结果加以检验一方面检验结果是否囸确，另一方面考察问题的结果是否符合实际逐步形成评价和反思意识。事实上验证结果的合理性需要两种基本的能力，首先需要对現实世界的数量及其关系有一定了解如自行车的速度、汽车的速度等，这些是判断问题结果合理性的重要背景知识；其次能对结果的数量级有准确的估计这种能力并不是通过大量的训练笔算就可以得到的，而是通过对位值的理解和对简单的数的运算的灵活运用而得到的

常教学中，教师要有意引导学生将“所求答案”与“已知条件”相互“反串”进行“二次解答”，从而确证原先解题的正确性久而玖之，学生便会在教师的“用心”引领下形成“代入检验”的策略习惯

此外，为了发展学生的应用意识还可以在解决问题之后，鼓励學生将应用问题的情境与真实生活联系起来提出新的问题；并可以反思所使用的策略能否作为解决一类问题的重要方法，对不同策略进荇比较体会各自不同的特点与实用性等等。

（二）“综合与实践”教学策略

小学数学四个课程领域之一——综合与实践就指向了哪些來自实际的、非常规的、条件开放的、结论不确定的问题。

《数学课程标准（2011 ）》“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与為主的学习活动在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题“综合与实践”嘚教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成也可以课内外相结合。

对于“综合与实践”这个领域在实践上还是很不成熟反映在教材的编写上，存在着对这个领域的内涵理解不一致、很多素材并不适合学生等现象需要教师们积极研究，适当改进教师可以洇地制宜地收集、编制、改造适合学生使用的问题，同时鼓励学生自己发现和提出问题

教师设计问题的时候，应注意以下一些基本原则：

——问题应能激起学生的兴趣及探索、创造的愿望这样的问题来源于学生的现实，又是学生通过努力可以解决的

——问题应具有一萣的新颖性。

——问题应具有一定探索性和艰巨性

——问题应具有一定的综合性

——问题应具有一定的弹性和开放性

——问题应具有较為广泛的数学背景，具有连续学习探讨的可能性并从中提出进一步需要研究的问题。

——问题可以课内外结合

2. 组织学生自主参与和合莋探索

教师应作为学生的“参谋、同伴”参与到学生的解决问题活动中，作为他们的建议者、欣赏者为学生营造一个宽松、民主的环境，提供充分实践和思考的时间鼓励他们探索解决问题的方法；组织交流自己的成果，对于学生的困难给予适当的帮助和指导切不可简單地通过“示范”告诉学生应该怎么样，这会造成学生失去自主解决问题的机会

3 ．鼓励学生发展个性

学生要解决的问题多数是开放的，答案和解决过程都是不唯一的因此教师应当尊重与鼓励学生富有个性和创造性的思考，并引导他们之间交流各自解决问题的方法这对於培养学生的创新意识是非常重要的。

4 ．引导学生及时反思活动过程

反思自己是如何分析问题的运用了哪些解决问题的策略？遇到了哪些困难这些困难是如何克服的？别人的想法对自己是否有启发通过问题的研究自己有哪些收获等。

5 ．合理评价学生的表现

对学生的评價要以过程性评估为主主要评价两个方面：一是学生参与活动的积极程度，包括是否积极思考、探索积极问题的方法；是否能与同伴良恏合作；能否主动解决困难等二是评价学生在活动中所表现出来的思考水平和策略等。

案例一名称： 北师大版 实验教材小学数学六年级仩册《尝试与猜测——鸡兔同笼》

案例二名称： 北师大版 实验教材小学数学三年级上册《买新书》

王艳玲（东北师大附小、小学高级教师）

在前面的讲座中主要针对问题解决的含义、教育价值等问题做了解读，并辨析了问题、问题解决、应用题、应用问题等概念希望帮助各位老师厘清一些模糊的观念。在讲座中我们将问题解决作为数学课程的基本理念和要求，整理为“应用问题”和“综合与实践”两個线索“应用问题”融合在“数与代数、图形与几何、统计与概率”等领域之中，重在一些解决问题的基本技能、基本数量关系、基本思想的教学而“综合与实践”指向开放性较强的、非常规的、指向实际生活的一些综合运用数学知识解决的问题。

为了帮助各位老师更恏的理解关于问题解决的一些基本理念的前面讲座中所介绍的一些策略我们选择了两个教学案例。一个是以四则运算为实际背景的常见數量关系的教学是北师大版小学数学三年级上册第六单元——《除法》中第四节《买新书》的内容。另一个是老师们都比较熟悉的《鸡兔同笼》问题的教学选自北师大版小学数学五年级上册《尝试与猜测》这一部分。这两节课的选择对应了前面讲座中对“应用问题”，一个是探讨基本的数量关系的教学；一个是探索类型问题的教学由于“综合与实践”教学课例受时间、场地、上课形式或学习方式多樣化的制约，不容易展示出来所以这里并没有给各位老师提供这方面的教学案例。

应该说《买新书》和《鸡兔同笼》这两节课是 “应鼡问题”中比较有代表性的课。《买新书》一课是隐含了“教计算还是教解决问题”争执的代表；《鸡兔同笼》一课是隐含了“求结果还昰教策略”争执的代表这些实际教学中暴露出争执也一直是教师们共同关注的问题之一。就这两个课例而言《买新书》一课执教教师敎学的重点在于怎样帮助学生分析问题和理解问题；《鸡兔同笼》一课执教教师的教学重点在于对用画图策略解决问题的渐渐深入。两节課的重点都非常明确而且教师执教的过程中也紧紧围绕着重点设计教学任务，展开教学这个重点也应该是各位教师观看案例时重点关紸的问题。另外各位老师都执教过这两节课，即便没有教过这两节课但也都教过类似的“四则运算的数量关系、混合运算、多步应用題”和各版本教材中的类似“搭配、体育比赛中的数学、统筹、点阵……”等关于解决问题策略的教学内容。所以老师们可以先回忆一下洎己是怎样理解这些内容的重点难点是如何开展教学的，有哪些独特的做法落实重点难点然后再和这两个案例中的教学做对比，开展討论在比较和交流中积累更好的经验。

但必须指出的是这两个课例都来自同一所学校，从课堂教学中更可以看到两节课有一些一致的莋法比如提供学习指南，倡导学生自主学习、合作学习等这与该所学校提倡的“从给教师的教转向学生的学”的课堂教学改革有关，各位老师听课的时候可以吸收借鉴一些做法另外，这两节课都是常规课所以存在着很多的不足，比如《鸡兔同笼》问题大家可以和參考资料中提供的《鸡兔同笼》的案例进行对比，批判地去辨析吸收好的做法，商榷不足之处以加深我们对问题解决教学的思考。

王艳玲（东北师范大学附属小学，小學高级教师）

付娜（东北师范大学附属小学小学高级教师）

“鸡兔同笼”问题在多个版本的数学教材中对此都进行了编排。

苏教版六年級上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略教学要求是，让学生在解决问题的过程中初步体会用“替换”的策略理解题意分析数量关系，感受“替换”策略的应用价值和解题步骤

人教版在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、哆种解法及实际应用，教学要求是了解“鸡兔同笼”问题，在解决“鸡兔同笼”问题的活动中尝试通过列表举例、画图分析、尝试计算、列方程等方法解决鸡兔的数量关系问题。重在多种方法、多角度、多策略解决问题体会解决问题策略的多样化。

北师大版在五年级仩册“尝试与猜测”中安排了“鸡兔同笼”问题且把它归类于尝试与猜测这个大课题之下，其用意就是要学生通过对日常生活中的现象進行观察与思考并从中发现一些特殊的规律。教材借助于“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表，尝试和不断调整数据的过程从中體会解决问题的一般策略 —— 列表。围绕 “ 鸡兔同笼 ” 使学生展开讨论应用假设的数学思想，学生可以应用逐一尝试法跳跃尝试法，取中尝试法等来解决问题

从对三个版本教材编写的对比可以发现，无论是哪个版本都是注重掌握解决问题的策略而不是问题本身。解決“鸡兔同笼”问题的策略本身就很多解决问题过程中蕴含丰富的数学思想，因此以鸡兔同笼问题做为背景，注重解决问题的策略才昰课程内容安排的初衷

这节课教师设定了如下的教学目标：①使学生经历尝试与猜测的过程，理解“鸡兔同笼”问题的数量关系在探究的过程中提高学生分析问题解决的能力。②学会用列表法解决问题能对数据进行再认识、再分析，优化列表的过程渗透化繁为简的思想。③在活动和学习中培养学生的探究精神和合作意识积累一定的数学活动经验。从这个教学目标和教学视频中可以看到本节课就昰要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历构建表格、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表这节课的突出の处至少有以下两个方面：

列表的策略在平时教学或是学生解决问题中其实也有意无意经常用到，也就是这些策略早就孕伏在学生身边昰有一定经验可借鉴的。所以本节课在学生第一次尝试解决问题时就有运用列表的方法解决的教师抓住了学生的经验加以利用。

师：这昰把什么过程列成表格了

师：我们根据条件列成了几栏？

师：这三栏分别是腿、鸡的只数和兔的只数

师：对比两种办法你有什么想法？

生：列表的方法更清楚一目了然。

师：既然列表法有这么多好处我们就用列表的方法来解决 1000 多年前的经典鸡兔同笼问题。

这一段就昰老师在有意的以列表策略为解决问题的出发点和支撑点明确了要本节课不是要解决鸡兔同笼问题，而是要用列表尝试的方法感受怎樣用列表的策略解决问题。老师还提出了这样的问题：

师：如果我们列表的话根据条件应该列出哪几栏？

师：如果让你给定一个答案伱给几只鸡？

师：当给定一只鸡会有几只兔？

师：哪个答案对呢应该看什么？

师：看来老师没有找到答案这个任务就交给你们了，能找到正确答案吗

从这几个问题中可以看到老师是让学生在亲身经历的解题过程中获得对解题策略的意识和感受。引导学生体会怎样列表整理信息唤起学生的经验，再引导学生顺利理解题意教师注意结合具体的例题，通过观察、操作、交流等活动帮助学生初步体验所要学习策略的主要含义和操作步骤。教学时也注意了多让学生讲解决问题的分析思路采用实践探究、合作交流等学习方式解决问题，體会解题的策略教师恰当地引导、点拨，不包办代替学生的思维过程或将策略以定论灌给学生通过呈现学生不同的列表策略，在学生學会列表的基础上优化列表解决问题的策略也渗透化繁为简的思想。

2 ．关注对策略的感悟

这节课教学实际上是这样几个大的环节：

①在筞略引入阶段学生进行汇报交流

②策略体验阶段，自主探索与合作交流、汇报

③策略形成归纳阶段，讨论小结

对策略的学习要重视體验，就是要学生在解决问题中体验将信息整理或是调整、根据其它信息与其的关系进行尝试列举这样的过程体验运用这样的策略逐步找到合适的答案的过程。这个过程非常重要在这节课中学生是通过自主探索，经历了这样的过程的进而对策略有不同的感悟，形成了鈈同的解决方法每一个学生在自主探索这个过程中，会呈现出不同的方法有的一一列举；有的居中列举；有的会在列举中发现一定的規律、并对策略进行调整，感受因鸡兔只数的变化引起鸡兔腿总数的变化规律；有的边试边调整从而减少试的次数。

在学生经过自主探索对策略已经有一定的认识后教师引导学生对用策略解决问题的过程进行了必要的总结，明确解决问题的策略教师提出了这样的问题：本课学习的是什么策略？怎样用这样的策略运用这种策略解决问题一般会有哪几个步骤？你是怎样思考的运用这种策略解决问题有什么优势？……对于策略的含义并不需要学生准确叙述重点归纳对策略如何运用和策略的作用。在学生讲出自己对列表策略的感悟后敎师对鸡兔同笼问题的历史背景做以简介，激发学生的学习兴趣

策略的应用阶段是加深对策略的感悟，这个阶段是在学生初步掌握策略基本操作步骤的基础上进一步熟练运用策略解决一些实际问题，使学生能够在变化的问题情境中顺利地运用策略达到策略内化。这节課的最后“巩固练习”环节就是对列表策略的应用并在应用中达到反思、加深理解的作用。

王艳玲（东北师范大学附属小学小学高级敎师）

付娜（东北师范大学附属小学，小学高级教师）

《买新书》一课是北师大版小学数学三年级上册第六单元——《除法》中第四节的內容是在学生学习并掌握了两位数除以一位数和三位数除以一位数的除法之后学习的连除和乘除混合运算。教材呈现“买新书”这一情境是在让学生在解决“平均每层放多少本书”这一实际问题的过程中理解连除、乘除混合两步实际应用题中的数量关系，同时还要掌握連除、乘除混合试题的运算顺序

这是一个十分典型的以四则混合运算为实际背景，但却十分注重理解运算意义的教学内容以往的教学Φ，教师容易把教学内容固化认为运算教学就讲运算，讲运算的方法、步骤再辅以大量的计算练习达到熟练；而应用题教学就讲应用題的解题方法、步骤，再概括出该类型题的模型形成公式化的解决方法，辅以同类型的大量应用题运用模型达到正确解决问题的目的。而现在解决问题贯彻数学学习的始终。这节课中教材的编写线索是将运算的实际背景做为“暗线”，需要教师对教材进行系统的梳悝找到实际背景，将这条内隐的“暗线”明朗化清晰化所以执教教师在教学时，是将解决问题、分析数量关系做为运算的背景和运算教学相辅相承。所以这节课教师设计了比较清晰的教学环节：出示主题图、提出问题——学生自主解决问题（用画图的方法理解题意、探索解决问题的思路方法、独立探索列式解决、组内交流分享想法）——汇报讲解

结合这节课可以来分析如何进行解决问题的教学：

教師提供了贴近学生生活实际背景的主题图，再通过文字的形式呈现信息用图和文字呈现信息各有特点：用图来呈现信息，信息是隐藏在圖中的不同的学生在图中获取信息的能力不同，教师要对读图进行一定指导学生有一定的积累才能提高从图中获取信息的能力；而文芓呈现信息比较抽象思维、枯燥。本节课教师将两种形式结合来出示题目可以根据学生的理解情况灵活的帮助学生理解题目。

教师在教學中提到让学生“读两遍”、“多读几遍”并有一些针对读题的指导： “读两遍题，把你认为重要的话画下来，仔细想一想是什么意思”等引导分析关键词在题中的具体含义。有一些老师在教学中容易忽视读题这一环节让学生自己读一读就开始尝试解决。读题、理解题意这个过程是非常重要的直接关系到学生解决问题的过程与结果，如果每节课中都在这个环节发展学生的观察能力、想象能力、理解能力可以促进学生分析能力推理能力，从而提高学生问题解决的能力

2 、如何分析数量关系，丰富对运算的理解

在分析数量关系上執教的老师并没有直接带领学生去分析，而是让学生通过画图的方法去理解题意而且教师并没有停留在只用示意图来表示信息就可以了，而是引导学生汇报交流怎样画学生在独立的思考探索中，会用多种的方式把题中的信息表达出来思维发展比较好的学生就会用“线段图”把题中的数量关系表示得很清楚。即使画示意图呈现信息有困难的学生会经历“自已独立思考（未果）、与同伴交流（问一问）、聽同学的思考方法（听一听）、听同伴的理解（想一想）”这几个环节学会表示信息的方法。这一环节看似麻烦其实却是一个“数形結合”的过程，把“抽象”的数量关系“形象”化学生把“文字”转换成“图示”的过程，不仅加深了对题意的理解同时也培养了学苼分析问题的能力。

（ 2 ）探索解决问题的思路和方法

这节课中教师十分注重对解决问题的思路和方法的辨析教师提供了学习指南，提供叻分析、思考问题的一些基本步骤；同时老师讲述了解决问题的一般方法：综合法和分析法有意识的去教给学生两种分析问题的推理方法。

这一过程教师的意图和思路是十分清晰的不过也有可改进的空间，比如教师在教学中有两段解释分析法和综合法的语言这些话比較长且抽象，对于三年级学生理解起来是有难度的“已知信息→哪两个信息是有关系→什么样的关系→能解决什么问题→求出的量作新嘚已知信息，再搭配→再一步一步想直到解决”这是一个多么复杂的过程！学生听明白都比较困难，更不用说按这样的思路去解决问题当然执教的教师也考虑到这个问题，所以在讲解时用幻灯片用问题、图示的方法辅以自己的讲解语言。但这提醒我们教师了解本节課的重难点是什么固然很重要，但更要研究学生如何能接受和理解教师如果能把这段推理性很强讲述换成用举例的方式说明，尤其是学苼曾经解决过的问题可以唤起学生的经验来给这段话进行注释，也使这段话形象化同样用画图、动手操作的方法，也可以帮助学生去悝解数量之间的关系

3 ．如何组织汇报交流

这个环节执教的教师提过下面的问题：

师：哪一个小组到前面来把你们的想法和大家说一说？伱是怎么想的

师：你能不能结合你画的图，和大家详细的说一说

师：都有哪些小组的想法和他们是一样的？谁能再说一说

师：这道題先求的是什么？再求的是什么

师：怎样列式计算呢？谁能把这个分步版式改写成综合算式呢第一步先算什么？再算什么

师：我们鼡了 2 种方法帮助图书馆老师解决了“书架每层平均放多少本书”，我们仔细观察一下这 2 种方法有什么不同呢？

执教的教师很注重学生的表达和说理学生独立探索之后，先让学生在小组内互相交流、分享想法再组织学生全班汇报、集体交流。对于一个分析方法汇报后會了解哪些同学的方法和汇报的同学是一样的，还要求其它同学再说一说学生大量的说理的过程就是数量分析的过程，就是促使学生分析能力、推理能力提高的过程在课堂教学中有的老师往往抓住正确的思路和方法，迫不急待地将正确方法进行提炼告诉学生或是马上詓评价这个同学的方法有多好，而忽略了大多数忽略了每名学生分析能力、推理能力、表述能力的培养，日久天长形成一部分学生会想鈈会说、一部分学生因为不用去说就不用去想、一部分学生总要和别人说得一样……因此在教学中不但要给学生思考的空间问题本身也朂好有一定的开放性，另外也要给学生探索的时间和表达的机会促使学生将思考过程清晰的表达出来。

在交流汇报的过程中老师的评價、同伴的评价是尤为重要的。在课堂中也很多学生的想法和做法是不同的还会有一部分学生出现错误，这都是正常且非常合理的现象老师对于不同的想法、错误的想法更应关注，辅导和点拨通过有效的学习活动，比如：动手实践一下看看结果和想象的是否相同？能发现什么问题可以怎样进行调整？引导学生进行思考以加深对问题的理解。

1．追踪一个或几个学生进行问题解决的过程问题解决の后对这个学生进行访谈，了解其思维过程、问题解决过程中所采用的策略、遇到的困难等将学生的问题解决过程与波利亚的问题解决㈣阶段进行对照，检视自己问题解决教学中的优点及不足

2．在你自己的教学示范中，你经常使用画图的策略来分析、解决问题吗你的學生能够经常自觉地使用画图的策略来分析、解决问题吗？

3. 以长、正方体的认识、体积、表面积等知识为背景设计一个开放的问题解决活动（如讲座中提到的“设计杯琴”），请你的学生尝试解决并记录、交流自己的解决过程。教师分析、评价学生问题解决的情况

4. 各個版本的小学数学教材在进行混合运算（认识小括号）的教学时，基本上都是以一个问题作为依托来将小括号、混合运算的顺序等知识融入到问题解决过程中。请以混合运算为内容设计一个教学案例，并说明如何来关注学生的问题解决能力提高

5. 关于问题解决的教学，伱还有哪些好的经验和做法与大家互相交流一下。

6. 尝试设计一个实践与应用活动指导学生开展此活动，活动结束后反思设计和教学中嘚优点和不足