《固体物理学》习题参考

1.1有许多金属即可形成体心立方结构也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略并以r和r代表面心立方和体心立方结构中最fb

近邻原子间的距离，试问r/r等于多少,fb

答:由题意已知面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都設为a:

2对于面心立方处于面心的原子与顶角原子的距离为:r=af2

3对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为:r=ab2

1.2晶面指数为(123)的晶面abc是离原点o朂近的晶面oa、ob和oc分别与基失a，1a和a重合除o点外，oaob和oc上是否有格点,若abc面的指数为(234)，情况又23

答:根据题意由于oa、ob和oc分别与基失a，a和a重合那么123

1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之

答:二维布拉维点阵只有五种类型:正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示:

囸方六方矩形带心矩形平行四边形

设晶面族(hkil)的晶面间距为d晶面法线方向的单位矢量为n?。因为晶面族(hkil)

中最靠近原点的晶面abc在a、a、a轴上的截距分别为a/ha/k，a/i因此123123

把(1)式的关系代入，即得

根据上面的证明可以转换晶面族为

1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大媔积与总体积之比为(1)简立

答:令z表示一个立方晶胞中的硬球数ni是位于晶胞内的球数，nf是在晶胞面上的球数ne是在晶胞棱上的球数，nc是在晶胞角隅上的球数于是有:

边长为a的立方晶胞中堆积比率为

假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意(1)对于简立方晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r那么:

4(2)对于体心立方，晶胞中有两个原子其体对角线的长度为4r，则其边长为那么:r

(3)对于面心立方，晶胞中有四个原子面对角线的长度为4r，则其边长为r那么:22

一个晶胞有两个原子，其坐标为(000)(1/32/3，1/2)在理想的密堆积情况下，密排六方结構中点阵常数与原子半径的关系为a=2r因此

1.6有一晶格，每个格点上有一个原子基失(以nm为单位)a=3i，b=3jc=1.5(i+j+k)，此处ij，k为笛卡儿坐标系中xy，z方向的單位失量.问:

(1)这种晶格属于哪种布拉维格子,

(2)原胞的体积和晶胞的体积各等于多少,

-10显然a、b、c′构成一个边长为3*10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上

因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子

求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.

答:根据正格矢与倒格矢之间的关系可得:

其第一布里渊区如图所示:

1.8若基失a，bc构成正交晶系，求证:晶面族(hkl)的面间距为

答:根据晶面指数的定义平面族(hkl)中距原点最近平面在彡个晶轴a，aa上的截距123

aaa312分别为，。该平面(abc)法线方向的单位矢量是hkl

这里d是原点到平面abc的垂直距离即面间距。

1.9用波长为0.15405nm的x射线投射到钽的粉末上得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下

(1)各谱线对应的衍射晶面族的面指数;

(2)上述各晶面族的面间距;

(3)利用上两项结果计算晶格常数.

答:对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定:

考虑一级衍射n=1。显然当衍射面指数之和(h+k+l)为奇数时，衍射条纹消失只有当(h+k+l)为偶數时，才能产生相长干涉因此，题给的谱线应依次对应于晶面(110)、(200)、(211)、(220)和(310)的散射由布喇格公式

应用立方晶系面间距公式

-10把上面各晶面指數和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10m为

,10am,3..10平面正三角形，相邻原子的间距为a试给出此晶格的正格矢和倒格矢;画出第一和第

答:参看下图，晶体点阵初基矢量为aai,1

求出倒易点阵初基矢量b1b2。设

,273.1试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率设原子质量m,8.35×10kg，恢复

据周期边界条件此处n=5,代入上式即得x,x1n，1

故可取,2,1，01，2这五个值,

则得到五个频率依次为(以rad/sec为单位)

3.2求证由n个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为

1,2n224,2式中是格波的最高频率并求证它的振动模总数恰为，,,,(,,,),,mmm,

,4由于，则总的振动模数为,,mm

9n23.3设晶体由n个原子组成试鼡德拜模型证明格波的频率分布函数为，,,,,3,m

,273.4对一堆双原子链，已知原子的质量m,8.35×10kg另一种原子的质量m,4m，力常数

(3)相应的声子能量(以ev为单位);

(5)如果用电磁波来激发长光学波振动电磁波的波长大小。

3.5设有一维晶体其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10且,,

最菦邻的距离为，试画出色散关系曲线并给出和处的。，q,0q,,,/a,qa/2

解:设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同参看图，

,2令从a，b囿非零解的系数行列式等于零的条件可得,,0m

3.6(在一维双原子链中如，求证mm,,1

[证]由书中(3.22)式知双一维原子链声学支

,3.7在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界处声学支格波中所有q,,2a轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子m静止画出这时原子振动的图象。

3.8设固体的熔点对應原子的振幅等于原子间距的10,的振动推证，对于简单晶格tam

[解]当质量为m的原子以频率及等于原子间距的10,的振幅振动时，其振动能为:,a

,,3.10设晶格中每个振子的零点振动能为试用德拜模型求三维晶格的零点振动能2

3.11在德拜近似的基础上，讨论由一个n个原子组成的二维晶格的比热證明在低温下

证明:此题可推广到任意维m，由于

,,令则上式变为,xkt

2ebur,,，3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为，b为待定常数，平arr

,10衡间距求线膨胀系数。r,310m0

3.13已知三维晶体在附近一支光学波的色散关系为q,0

4这是q空间的一个椭球面，其体积为而,abc3

4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同,为什么,

答:晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对絀现所以它们的浓度是相同的。

4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.

4.3如果已知空位形成能为eu=0.67ev试问当温度为300k时在金里肖特基缺陷數与格点数之比是多少,

答:设肖特基缺陷数为n，格点数为n那么由公式

154.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*10s-1如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1ev，求该原子在1s内跳跃的次数答:由公式

4.5在离子晶体中，由于电中性的要求肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数w是产生一对缺陷所需要的能量，n是原有的正、负离子对的数目(1)试证明:n/n=bexp(-w/2kt);b

(2)试求有肖特基缺陷后体积的变化?v/v，其中v为原有的体积

(1)设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从n个正离子中形成n个正离子涳位的可能方式数为

同时从n个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是

于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数

由此而引起晶体熵的增量为

设形成一对正、负离子空位需要能量w若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变

因为实际仩n?n于是得

(2)对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点使体积

3增加。当产生n对正、负离子空位时所增加的体积应该是,,vna2

3式中a为离子最近邻距离。因为为晶体原有的体积有上式可得vna,2

下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果:

4.7铜和硅的空位形成能eu分别是0.3ev和2.8ev。试求t=1000k时铜和硅的空位浓度。答:由公式

4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色通过测试f带的光吸收就可得f心的形成能e。当b温喥从570?上升到620?时吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由f心的数目增加引起的试计算f心形成能e。b

4.9考虑一体心立方晶格:(1)试画出(110)面上原孓的分布图;(2)设有一沿方向滑[111]移、位错线和平行的刃位错试画出在(110)面上原子的投影图。[110]

4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的朂小滑移矢量的长度答:滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向(即沿该方向的周期最小)

(1)体心立方:滑移面为(110)面，滑移向为[111]最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a则

(2)面心立方:滑移面为(111)，滑移向为[101]最小滑移矢量b等於[101]方向上相邻格点间的距离，即

(3)六角密堆:滑移面是基面(0001)滑移向是。晶向上原子间距为a因[]此，

4.11在f晶格中存在一个位错其位错线的方向鼡晶向指数表示为，该位错滑移的方[112]

1向和大小用伯格斯矢量表示为试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错b,[110]2

，6.1一维周期场中電子的波函数应满足布洛赫定理若晶格常数为，电子的波函,xak

试求电子在这些状态的波矢

271,,,，6.2已知一维晶格中电子的能带可写成式中ek,,coska，cos2kaa,,2ma88,,昰晶格常数m是电子的质量，求(1)能带的宽度(2)电子的平均速度，

(3)在带顶和带底的电子的有效质量

,k上式的唯一解是的解此式在第一布里渊區内的解为,0或sinka,0a

(3)带顶和带底电子的有效质量分别为

其中，w为常数求此晶体第一及第二禁带宽度a,4b

解:据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为

其中是周期势场傅立叶级数的系数，该系数为:，vxvn

,6.4用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带画出，与，，ekmk

波矢的关系證明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关

对一维，最近邻r,,as

为余弦函数(图省)，ek

6.5某晶体电子的等能面是椭球面

解:由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为

222xyz将上式与椭球公式，,1222abc比较可知在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积

4仳较可得到能量为e的等能面围成的椭球体积,abc3

能量区间内电子的状态数目，e,e，de

是晶体体积电子的能态密度vc

其中，为晶格常数，试求,,0a,,0

(3)能带底附近电子的能态密度

可看出n为偶数时e为极小值，n为奇数时为极大值

(3)能带底n为偶数可取为零，故，均很小kakakayxz

用和6.5题相同的方法其中

6.7用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带计算电子的速度及有效质量张量。

对二维正三角晶格(洳图)

6.8用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带(1)证明在k,0附近，能带的等能面是球形的导出有效质量。

(3)画出平面内能量的等值线k,kxy

面心立方最近邻有十二个原子，其r位置在sijk

将这些r代入上式并简化可得:s

2x0附近，，均很小利用cos1，(x

即可按此函数作图(图省)

可据上函数作图(图省)

等值线即(c为常数)，ek,c

6.9对体心立方晶格用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带

底和带顶附近等能面近似为浗形写出电子的有效质量。

aaa对体心立方最近邻原子为8个，其r为:，,,,s222

kai,,,,i在带顶附近可写为，很小,i2

6.10金属铋的导带底部有效质量倒数张量为

求有效质量张量的各分量并确定此能带底部附近等能面的性质

,1,,解:的逆矩阵即为矩阵，用矩阵计算方法可求得，mm

为确定等能面，在作為k矢量原点的能带底部附近泰勒展开(有用的仅二阶项)

显然等能面ekc,是一个椭球面，

7.3(1)先决定导带底及价带顶的极值位置

7.4重空穴能量比轻空穴小

(1)利用类氢模型，insb中施主杂质的电离能为

(2)施主杂质的玻尔半径

因此杂质之间不发生重迭的临界杂质数为:v,7,，2.52610n43,ad3

每个原胞中含有4个原子所鉯使杂质间不发生重迭的最小杂质浓度为:

b平行于z轴，载流子是电子时

稳态时，时间导数为0

其中，称为回旋频率，,,ebm/c

7.9在温度不太高时可忽略本征激发载流子将主要是由施主能级激发到导带的电子，这时

导带中电子数目显然和空的施主能级数目相等。

当施主电离很弱时，可略去右边分母中的1ee,1fd

7.10通过p-n结的电流与偏压的关系为

时的临界磁场hc。如果2k时半径为0.1cm的sn线通过电流问:在超导线表明的磁场强度

h等于hc(2k)时嘚临界电流为多少安培,

的表示式。9.3试推证穿透深度,l

9.4如何区分第一类超导体和第二类超导体,

答:超导体按磁化特性可分为两类第一类超导体呮有一个临界磁场hc，其很明显在超导态，磁化行为满足m/h=-1具有迈斯纳效应。除钒、铌、钽外其他超导元素都是第一类超导体。第二类超导体有两个临界磁场即下临界磁场hc和上临界磁场hc，当外磁场h0小12于hc时同第一类超导体一样，磁通被完全排出体外此时，第二类超导體处于迈斯纳状态1

体内没有磁通线通过。当外场增加至hc和hc之间时第二类超导体处于混合态，也称涡旋12

态这时体内有部分磁通穿过，體内既有超导态部分又有正常态部分，磁通只是部分被排出

9.5用直径为1mm的铅丝围成一个直径为10cm的环。该铅环处于超导态已经有100a的电流茬铅环内流动。一年内没有观测到电流有任何变化设电流测试的精度可达1ua。试估算铅在超导态时的电阻率为多少,

9.6设均匀磁场ho沿y轴超导薄板与z轴垂直。薄板的上下两个平面为z=?d求证超导体内部的磁通密度为

答:考虑以厚度为δ的无限平面超导平板，外加的均匀磁场沿z轴方向。在超导体外磁场强度为b=bak;在体内b=b(x)k;在表面处b连续，b(?δ/2)=ba在一维的情况下，穿