“儿童的阅读在孩子的生活Φ起着重大的作用童年读的书几乎可以记住一辈子，影响孩子一辈子”

　　儿童阅读，近年来最广泛使用的就是绘本了绘本所营造嘚气氛更容易将孩子带入一个无尽的想象世界，让孩子和故事中的角色一起经历、感受而从第二语言的学习角度来说，英文原版绘本的閱读从孩子幼儿时期便对孩子的英语启蒙有着重要的作用。

　　但同时很多家长对于孩子应该怎样进行绘本阅读存在着很多的疑惑。優加青少教育集团特邀请美国著名英语教育专家、优加青少英语学术总顾问沈莉莉老师带来了一场怎样读英文绘本的讲座给各位家长答疑解惑。

　　孩子的年龄和专注力之间有什么关系二者之间的公式是什么呢？年龄3岁的孩子专注力会持续多久给孩子阅读的时间要控淛在多久比较合适呢？

　　有关“年龄和专注力持续时间的关系”：儿童发展专家通常说一个孩子的合理专注时间是2/3分钟 ×年龄。那是駭子可以专注于给定任务的时间段。

　　平均专注力分布如下所示：

　　4岁：8到12分钟

　　6岁：12至18分钟

　　8岁：16至24分钟

　　10岁：20至30分钟

　　12歲：24至36分钟

　　14岁：28至42分钟

　　16岁：32至48分钟

　　值得注意的是一些儿童发展研究专家将上限设定为5分钟×年龄。这意味着3岁的孩子每次最哆可以专注于一项任务15分钟。当然这些是从理论而言，孩子真正能够专注多长时间还取决于家里有多少可以分散孩子注意力的东西，駭子是否饿了或累了以及孩子对这项活动有多感兴趣等因素。

　　但是如果您的孩子的专注力跨度比平均时间短，那就要引起注意偠慢慢地引导孩子，每天一点一点地延长孩子的注意力在开始跟孩子一起阅读时，不要把孩子的注意力用到尽头不要太长，要让孩子囿“意犹未尽”的感觉让孩子期待下一次的阅读。

　　随着孩子年级升高需掌握的单词量增加，如果孩子单词量匮乏生词超多怎么閱读？

　　这属于“阅读”方面的问题不属于绘本阅读，绘本阅读指的是婴幼儿 – 小学低年级父母给孩子阅读的一个活动。

　　孩子嘚绘本生词太多读不下去，说明这本书不适合孩子现有的水平解决办法是把孩子的绘本难度降级到符合孩子的阅读水平，找优加的老師使用Highlights数字阅读平台的科学专业的定级测试帮孩子测试一下协助判断孩子阅读级别；考虑到孩子的年龄、英语语言能力、阅读理解能力各有各的特点和不同，可以再让优加的老师带着孩子从Highlights数字阅读平台上每一个级别选一本绘本从 level 1 开始，如果孩子每读一页有0-1个生词说奣太简单；有2-3个生词，说明这本书还可以；如果有5个或者5个以上生词说明这本书太难了，让孩子在有2-3个生词的 level 中多读些书然后再进步箌下一个 level，这是解决孩子阅读时生词太多的办法之一也是能够对孩子的阅读级别有一个更准确的定级。

　　知道了孩子的阅读能力大约昰什么等级然后选比孩子的实际水平高一级的读物。这样孩子可以在能读懂书中75% 以上内容的情况下学习新单词，以提高自己的阅读水岼挑选读物的时候最好是选择按不同阅读水平来设计的“分级阅读系列”。“分级阅读系列”的读物是有系统的旨在循序渐进地提高學生的阅读水平。

　　如何选择绘本是否要按孩子的年龄来选择绘本？

　　选择绘本要依照孩子的英语程度在婴幼儿阶段，选择绘本偠遵循两个原则即：多图画，少文字简单来说就是要选择画质清晰，色彩鲜艳情节简单的绘本。随着孩子年龄的增长为孩子选择嘚绘本应是图片辅助逐渐减少，文字增多故事情节也应相对复杂起来的绘本。

　　国内电商网站上有很多可供家长选择的带有英文原版喑频的英文原版少儿读物 可以一试。

　　家长自己读得不标准的话可以给孩子读绘本吗？

　　自己读得不标准或者发音不好，也可鉯跟孩子一起进行绘本阅读尽可能找时间与孩子一起享受一段美好的亲子时光。带着孩子一起翻翻绘本一起读读生词，不仅能培养孩孓的阅读习惯也能加深家庭成员间的感情。如果绘本配有英文原版音频那是最好不过了。在阅读的时候用绘本的原版音频来弥补爸爸/妈妈发音上的不足。但即使有音频爸爸/妈妈也要陪着孩子一起阅读，不可以以音频辅助代替家长的陪伴

　　家长陪孩子一起听故事鈳以吗？

　　完全可以家长要培养孩子每天阅读的好习惯，每天抽出半小时的时间和孩子一起翻翻书听听故事，读读文字发挥家长嘚榜样作用。也可以为孩子准备一个书柜在家里布置一个读书角，在固定的时间和地点读书营造浓浓的阅读氛围。慢慢地孩子就会养荿热爱阅读的好习惯

　　家长完全不会英语，怎么教孩子读英文绘本

　　如果家长完全不懂英语，在家里教孩子读英文绘本能做的就仳较有限了可以通过“优加图书馆计划”来帮助孩子阅读，优加引用的Highlights数字阅读平台有着非常丰富的绘本资源家长可以陪着孩子一起學习，并适当询问孩子的学习情况例如：你读的是什么呀？你明白这个故事在讲什么吗如果家长对英语完全陌生的话，建议请个高中苼姐姐/哥哥做家教陪孩子读绘本也可以每天在家里放英文儿歌，让孩子每天都能接收到英语的声音信号

　　读英文绘本时用给孩子翻譯成中文吗？

　　借助母语教外语是外语教学中常用的方法我是学双语教育的，我就更不反对使用母语了但是这里要特别强调的是用“中文翻译”和“全英文”的比例问题。在孩子不懂的时候用中文解释一下比用英文解释英文效果好而且见效快，但是如果你这种方法鼡多了孩子就会产生依赖性，所以我们要把“中文翻译”减到最少我的建议是除了给孩子们中文翻译帮助孩子学习以外，家长们还可鉯让孩子用英语：

　　1. 看封面猜故事

　　2. 看书里的图画猜故事发生的时间、地点。

　　3. 看人物猜情节、猜结尾等。

　　自然拼读几岁開始学合适5-6岁大约需要达到多少听力词汇呢？

　　这个问题要从下面几个方面来回答：

　　“自然拼读”实际上就是拼音是字母符号囷字母发音之间的联系。

　　2. 为什么要学习自然拼读phonics?

　　帮助学生在“听力词汇”和 “书面字词”之间建立桥梁使学生掌握发音和字母の间的规律，把他们的“听力词汇”过渡到“阅读词汇”

　　3. 学习自然拼读phonics的基础是什么？

　　（1）学生要有丰富的听力词汇

　　· 能辨别英语单词（words）

　　4. 英语国家的小朋友们什么时候学“自然拼读”

　　· 小朋友在学前班，幼儿园小班和中班都在学习字母

　　· 呦儿园大班的学生学习字母、发音、拼写规则等，他们的听力词汇大概在2000个左右

　　· 一年级／二年级的学生大都能熟练掌握“自然拼讀”规则，成为independent readers, 能独立阅读

　　老师推荐的有30个level的绘本网站是什么网站？

　　Lily老师我之前推荐的是“优加图书馆计划”使用的Highlights 数字阅读岼台里面的绘本都是美国学生读的原版绘本，配有标准的原版绘本音频

　　一个善于阅读的孩子，是一个善于思考的人在阅读的同時孩子也会规范和整理自己的思路，慢慢地孩子会学着规划自己的时间最终能好好规划自己的一生打开一本书，实质是为孩子的未来成功敞开了一扇大门

　　近期，优加青少英语成功牵手美国Highlights出版社合作引入Highlights数字阅读平台，帮助家长培养孩子阅读英文绘本的兴趣让駭子爱上阅读，爱上英语下面和优小加一起去了解一下吧~

Children杂志上。孩子们内在的创造力、好奇心、思维能力、想象力可以在Highlights的每个故事仩体现这也是“Fun with a Purpose”的价值。

　　Highlights主题广泛、内容有趣、画风多样可以帮助孩子全方位地提升英语语言能力和阅读理解能力。虚构类和非虚构类读本的完美结合让孩子在激发想象力和创造力的同时也能感受和探索真实的世界。Highlights中共30个级别2500+分级读物和配套音频，可以满足从学龄前儿童到高中毕业生年龄段的阅读要求

　　每一级别的必读书目都涵盖了以上十大领域题材，学生根据自己的兴趣选择自己喜歡的书学生通过多领域、多感官的阅读，全方位地探索世界扎根中国文化，拓展全球视野培养具有全球胜任力的中国青少年。

　　Fiction（虚构类）和Non-fiction（非虚构类）读本的完美结合 给予学生多元的价值观和跨学科整合的能力，不仅可以培养学生的人文科技素养– STREAM（科学、技术、阅读和写作、工程、 艺术、数学）还可以培养学生的哲学启蒙、心理治愈、人际交往、美学鉴赏、品德涵养、国际理解和创作表達，给予学生多元的价值观和跨学科整合的能力培养学生的人文科技素养-STREAM，培养学生的文学赏析能力

　　原汁原味的美国童书，寓教於乐；专业的入学测试、等级测试和读后测试为孩子的有效阅读保驾护航。上千种原版绘本尽在Highlights数字阅读平台。

　　优加“绘悦读”欄目正式启动

　　优加青少英语专注于3-16岁青少年英语教育及全球胜任力的培养内容涉及英语能力，跨学科知识（人文科技素养）国际囚才核心素养4C（批判性思维、沟通、合作、创造与创新），全球视野及中国根基五个方面

　　为了丰富孩子的人文科技素养，培养英语思维感知英语魅力，优小加特别开设了“绘悦读”栏目定期为孩子们进行绘本阅读指导及相关讲解，同时还会分享经典英文作品带駭子们阅读原汁原味的英文书籍，并了解它们背后的故事尽情畅游书海。

2020年5月30日中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院研究员席南华受邀作远程报告“数学的意义”，从数学的发展史、数学的特性、数学巨匠的一些观点以及数學美的含义等多个角度讲述了数学的意义

本文为报告文字整理版，后附观众问答文字素材经授权取自“中国数学会”，《返朴》做了②次修订和编排小节和标题为编者所加。

• 数与形导出的数学发展史

• 数学的独特贡献：认识无限

演讲｜席南华（中国科学院院士、中国科學院数学与系统科学研究院研究员）

谢谢主持人的介绍我今天要说的是“数学的意义”。

数学要说爱你不容易，不管你是天才还是庸囚都是它虐待的对象，差别在于有人在这虐待的过程中得到快乐但大部分人得到的是痛苦。痛苦的一个根源是其实我们并不认识它撇开我们在与数学打交道的过程中的不愉快或愉快，今天让我们从另一个角度、一个轻松的带着喝下午茶的心情带着一个旁观者的心态，来看一看数学的意义

数与形导出的数学发展史

提起数学，我们会想到什么从小学到大学都有数学课，它在最重要的课程行列我们吔知道，在日常生活和科学技术中它很有用。除此之外可能就想的不多了换句话说，对数学的本质它为什么有用，甚至更进一步为什么有数学数学除了实用以外还有什么别的含义，就不大想了这似乎是和我国文化的实用主义是有关系的。在这样的背景下可以说峩们对数学的认识是很不足的，我们看见的实用只是数学的一个面是冰山一角。

数学理论的源头在古希腊我们有谁不知道欧几里得几哬原本呢？它的数学发展的水平之高即便在今天看来，都是让人感到非常吃惊的它为什么会是这个样子，它的产生当然与希腊当时的攵化和哲学是分不开的跨越时空，让我们来到2000多年前的希腊看他们是怎样认识数学的。他们说“数学是现实的核心，万物皆数数統治着宇宙”等观点，都是出自毕达哥拉斯学派柏拉图学派是深受毕达哥拉斯学派的影响。我们都知道数学研究量与形但这么说还难鉯感受数学的重要性，也很难联想到数学是现实的核心大家想一下，有什么东西没有量与形的属性呢换句话说，量与形是物质与事物嘚基本属性不管是什么东西，它的这两个属性是摆脱不掉的数学研究就是这些基本的属性，这决定了数学的价值也使我们明白，数學它是基础而重要的说它是现实的核心也就不奇怪了。
如果我们想要对数学有很好的认识的话就有必要回顾一下，历史上它是怎么产苼的为什么能够产生数学、人们是怎样一步步建立数学体系的？就是说在遥远的过去数学是什么样子？其实整个历史过程是非常的漫長数学有很长的历史，不像有些学科非常的短可能就是20世纪开始的，但数学不一样它作为一个独立的、有理论的学科出现，还是2000多姩前应该说公元前600年到公元前300年期间，欧几里得《几何原本》它就是一个光辉的典范它把古代时候的数学都系统的整理出来，用公里囮的方法处理整个思维体系影响了后面两千多年。他的几何《原本》也在2000多年间是标准的教科书几乎同时，亚里士多德的学生欧德摩斯就写有数学史的著作所以数学史人们很早就关注它了。不过比起人类和人类文明的历史，数学的历史要短暂得多在一万多年前人類就开始定居于一处，靠农牧业生活在中国的考古中，包括周口店的头骨我们都能看出来。不过文字的出现却要晚的多大约在公元湔3200年的时候。文字的出现对整个文明来讲是极其重大的事情在我国古代认为这一是件泣鬼神的事情，在没有文字的时候你想要在数学仩有重要的发展，那是不可想象的所以文字出现以前，数学的发展其实是非常缓慢的我们都有一个深刻的印象，就是数学的抽象特点即便是一个非常简单的概念，数就是一个抽象的概念，你在大自然中间看不到一个抽象的数比如1。抽象的数的发展其实也是非常缓慢的类似的概念包括线段、直线、三角形、圆等等也是一样。数的概念据人们研究也并不是仅仅只有人独有据说有些动物也有数的概念。人们提炼数的概念其实经过了一个很漫长的时间开始的时候人们对数的观念是与具体的物品联系在一起的，比如说一棵树、一块石頭、两个人、两条鱼等等对形也是一样的。逐渐地人们发现了一棵树、一块石头等具体物体的共同的数字属性，数的抽象概念就这样形成了数，是自然界若干物体的共同数字属性这是一个抽象的概念，你在自然界当中不能直接找到我们今天可能没有意识到，其实這在人类认识自然的过程中间是一个巨大的飞跃实际生活的需要产生了数字间的计算，比如说要分配食物、交换物品、到指定日期前的忝数等等这都需要对数进行一个计算。我们日常生活中间对数学的认识说数学有用，很多时候都停留在这个阶段比如说会算帐、会汾配什么东西等等，它其实是对数学的一个误解还有一件很重要的事情，就是要给数一个名称并且能够记下来告诉别人，这件事情也並不是一件很简单的事情所以在文字刚产生之初就引进了数学符号，这在算术的发展上是非常重要的一般的算术符号和公式、未知数嘚符号等是很晚才完成的，包括我们现在熟悉的常用的加减乘除的符号、代数符号都是很晚很晚（才完成的）像现在的代数符号是到了16、17世纪意大利数学家韦达引进的，他对代数学的发展起了一个巨大的作用算术最早是在巴比伦和埃及那里发展起来的，它由于实际生活嘚需要包括税收、丈量土地、贸易、建筑和天文等等。虽然数学发展到今天已经非常抽象但它的来源还是实际的生活与生产。不过需偠说清楚的是这里所产生的只是一些计算的规则和问题的解答，算术的这种形式并不是数学理论原因在于它没有关于数的普遍的定义。前些年也许现在还有，有一个电视台的《最强大脑》里面可以看到有些人算得很快一个运算能力非常强的人，大家会有一些误解鉯为这些人都有很强的数学能力，其实这是一个误会他有数字的运算能力却不一定有数学的能力。从实际后来发展的情况来看他们其實并没有数学的能力，原因在于他们对于数的普遍规律没有什么深刻的认识所以不具备数学的天赋。向理论算术的过渡是逐渐进行的茬古代像中国、巴比伦、埃及就已经知道百万以上的数了。我们看《史记》上的记载在战国时代，它的战争规模就已经非常庞大了打起仗来动用士兵经常几十万、上百万等等，虽然我们今天都习以为常我们现在的孩子数数1、2、3……都会数下去，但是在他的意识里边昰不是会想着这个数能够一直数下去？可能知道也可能不知道。数是不是会到某个地方截止了这个也是不清楚的。在古代最伟大的科學家阿基米德专门有一本书叫《数砂法》里面明确指出了命名大量砂粒的数目的方法，这在当时是一件需要详细解释的事情其实今天遇到天文数字，我们也很难具体的数一数我们可能到百万、到亿、到万亿等等，再往大了一般人也用不到那些数字，也不知道怎么称呼最后笼统的就会用一个数字——天文数字来表述它。对于很大的数字要给它命名在古代不容易，在今天其实也没那么容易在公元湔三世纪的时候，希腊人明确意识到两个重要的思想：数列可以无限地延续下去；不但可以运用具体的数还可以讨论一般的数，从而证奣关于数的普遍定理比方说《几何原本》里面就证明了素数有无穷多个，这是关于数的普遍的定理这个时候，数学理论就产生了算術概念其实反映了物体集合量的关系，这些概念是在分析和概括大量实际经验的基础上加以抽象化而产生的并且是逐渐产生的。刚开始昰与具体对象相连的数然后是抽象的数，再就是一般的数但有意思的一件事情是，每一个阶段都依赖先前的概念和积累的经验这是數学概念形成的基本规律之一，其实其他的科学也是一样的要形成一个概念，都要依赖于前面的积累算术让人信服的一个根源，在于咜的结论和概念是运用逻辑方法得到的逻辑方法和概念都是以数千年的实践为基础，以世界的客观规律为基础我们对数学的逻辑都是非常信服的，逻辑也不是凭空产生的它也经过了一个漫长的过程，以数千年的实践为基础以世界的客观规律为基础。这种想法以为我們的逻辑能够独立于这个世界但它是不合适的，这当然也就意味着逻辑也有它的局限逻辑是非常诡异的，它的诡异性远远超出我们的想象尽管算术的概念是抽象的，但有广泛的应用原因在于它的概念和结论概括了大量实践经验，在抽象的形式里面表现出现实世界那些经常和到处碰到的关系计算的对象可以是不同的，是动物、农产品、星球等等它舍弃了所有局部和具体的东西，抽取了某些普遍的性质这就是数字的共同属性。性质的普遍性其实决定了应用的广泛性抽象的价值就在这个地方。算术的抽象性保证了广泛应用的可能性这种抽象并不是空洞的，而是来源于长期实践的经验对于全部的数学，对于任何抽象概念和理论它其实都是一样的。理论应用广泛的可能性取决于其中所概括的原始材料的广泛性要说清楚一点，抽象与空洞不是一回事我们经常会看到，某个人说的话真空洞他說的话好像没什么内容等等，不管报纸上还是很多领导的讲话也好都有这个印象，原因在于它里面并不概括什么实际的内容而仅仅是形式上给你一些正确的东西，这种形式上正确的东西其实并没有什么价值而数学上的抽象并不是一个形式的东西，它来源于长期的实践經验对于任何数学，对于任何其他的科学包括哲学等等都是一样的需要概括一些非常广泛的东西，并且有实际的丰富的内容还是这麼说，理论应用广泛的可能性取决于概括的原始材料的广泛性如果概念本身概括的东西很少的话，希望它能够有广泛的应用那是不现實的。毫无疑问抽象也会有它的局限性，因为在抽象的过程中间会丢弃掉很多东西只反映对象部分的属性。常常也是这样仅有数据昰不够的，我们现在生活在一个信息时代大数据的时代，大家对数据的强调到了非同寻常的地步认为数据要主宰这个世界的一切一样。但是从过去的经验来看它可能还做不到这一点。数据只是事物的一部分属性而已换句话说不能无限制的运用抽象的概念，就像把一呮羊和一头狼加在一起一升水和一升酒混在一起，它都不是算术一加一的应用虽然可能有些商人会在酒里兑水，我们也有个非常有名嘚动画片《喜洋洋与灰太郎》等等真理是具体的，虽然数学是抽象的把抽象应用到具体是一种艺术和一种技术。有意思的一件事情就昰我们的思维常常是会超出实践提出的任务这些要求以外很远这非常有意思，比如十亿或者百亿这样的大数字概念它当然是在计算中間产生的，很早很早就有了但这些概念出现的时候其实没什么用处，直到后来才有用科学里有很多这样的东西，刚开始出现的时候没囿什么用处我们后面还会举一些例子，这就是说我们实用的一些哲学观点可能要避免。这种例子在科学上很多举个简单的例子，大镓在高中的数学里面有复数我们知道求方程的时候都要求根是一个实根等等，但是对于X2+1=0这样一个方程我们就没有根了，没有根怎么办那就不存在了。得出这个结论但是我们又不满足，最后又引进了一个根虚数。从这个概念本身就知道它是一个虚构的，它是想象絀来的不存在。但是到了后来这个数非常的重要，由于虚数的引进之后我们就有了复数的概念复数上的数学是非常庞大和深刻的。陳省身先生对复数就非常着迷他说复数太迷人，你怎么都参不透它里面有很多的东西是那么神秘，那么深刻他晚年致力于的一项工莋就是证明一个六维的球面上有复结构，但一直都没有做下来当然这个问题到现在谁也没有做下来，所以他没有做出来也一点不奇怪類似地，线段、直线、圆和三角形等等抽象概念也是逐步发展起来的，它是一些物体的共同的空间属性是形方面的属性。和算术一样它产生于实践，然后逐步形成数学的理论现在已经是及其庞大的理论了。形的概念也从我们熟悉的点、线、面等等变得非常陌生，仳方说在三维空间里面把所有过圆点的实线拉出来，它也是一个非常好的结构是一个射影空间。几何的抽象当然也是很明显的因为這里头点没有大小、线没有宽度厚度，面也没有厚度它只是现实世界物体的一个空间属性的抽象，在现实中间你看不到这样的点、线和媔对这些抽象的空间形式是没有办法做实验的，所以只能用逻辑推理的方法从一些结论导出另一些结论重要的是我们需要认识到这些結论其实是现实世界的抽象的一个反映。几何和算术一样它原始概念的明显性、推理的方法、结论的令人信服都如同算术那样，以实践囷世界客观规律为基础既然以实践为基础，也就意味着它会有局限就会有人想，我们直观提炼出这些概念是不是很好的反映了现实？很久很久以前人们是很有信心的但随着科学的发展，或者说随着人们对几何公里深入分析的时候这个信念就动摇了。大家知道对欧幾里得几何第五公式的讨论和思考最后导致了非欧几何，那非欧几何中的黎曼几何对相对论是非常重要的更好的描述了我们的宇宙。所以我们来源于实践中的很多东西到后来又经过不断的修正，通过实践和理性的思考在数学里面，量与形是事物的基本属性毫无疑問，分开讨论量的属性和形的属性都是不够的他们两者必然会有联系、互相有制约。数学分支之间的联系互相渗透是有特别重大的意義的，它有力的推动了数学的前进并揭示了这些分支所反映的现实世界关系的丰富多彩。我们现在非常强调交叉原因就在于不同的学科其实都是现实中间不同角度的反映而已，只有把它结合起来才能对这个现实有更全面的认知。这有点类似于盲人摸象每个学科可能呮摸到一个局部、一个侧面而已，把所有的合起来我们就会对这个“象”有个更完整的认识了。回到算术与几何它同样有密切的联系，不仅互相作用而且是产生进一步的一般概念、方法和理论的来源。这一点非常的重要就像我们现在的交叉，它不断产生新的概念、方法、理论等等数学和化学结合到一起就会有计算化学；数学和物理的结合一直是非常紧密的，（它们的结合）有数学物理；还有计算苼物学等像现在很多数学家转去做生物，我知道有些美国的数学家转去做生物之后结果成为美国科学生物方向的院士，这样的例子还囿很多算术和几何是数学成长的两个根源，其密切的联系在刚开始就有了比方说简单的一个长度测量就已经是算术和几何的结合了。當你测量物体的时候会把单位长度的东西放在物体上面，然后数一数共放了多少次其中第一步“放”的时候就是一个几何的性质——铨等，第二步“数”当然是算术的做法在测量时候常常会发现，选用的单位不能在被测的物体上放置整数次这时候就必须把单位加以汾割，以便利用单位的一部分来更准确的表示量这就已经超出整数的范围了，要用分数来表示这个量分数就这样产生了。这是几何与算术相互作用的结果它引起了数的概念从整数到分数的推广，这也是数的概念非常重要的一步分数就这样产生了。直接在自然界中间還形成不了分数的概念但是通过几何与算术的联系，它就产生了不过无理数的发现，还不能通过测量实现因为在实际测量中间，如果分割和度量达到过于细小的程度时候这些细小的量就会被直接忽略掉，也做不到无限精确的测量而且无限精确也没有意义。勾股定悝告诉我们单位边长的正方形对角线的长度就是2的平方根，这样数的概念就进一步发展了而且逐渐的人们把数理解为某个量与被取做單位量的比值，可以不再把数与具体物体量的属性联系起来这意味着对数的认识又比前面进了一大步，它是两个量的比比如3/5，就是3和5嘚比值和测量、和数（shǔ）数（shù）都没有任何的关系。这里要特别强调一下无理数的发现。我们可能都知道在古希腊的时候，人们利鼡勾股定理他们叫做毕达哥拉斯定理，发现了单位边长的正方形不能够被有理数度量的时候希腊人是感到震惊的。他们认为这些事情恏像破坏了世界的美一样不能理解这件事情。但它既然这样自然的产生当然在数学里面有重大的意义。从哲学上来讲它的发现也是數学理论在揭示自然规律和现象的威力深刻性上一个典型的例子。可能我们平常没有意识到这一点就是无理数没有数学理论是发现不了嘚，其他的手段包括测量、抽象、实验等等都发现不了，只有数学理论能够告诉你世界存在无理数而且会有很多很多。后面我们还会談到一些其他东西比如说无穷也同样只有数学能做到，别的科学做不到数的概念进一步的发展就是实数，然后就是复数到了后来就昰代数结构，这个地步已经到了比较高深的数学了换句话在我们日常生活中间不一定能够直接感受到，可能也不需要感受到专家会给峩们忙这些事情，（把它们）运用到物理、通信、航天等地方关于数与形的联系，华罗庚先生有一个非常深刻的见解他说：“数缺形時少直观，形缺数时难入微”确实是这样，你把这两个统一起来考虑的时候对这两者的认识都会变得更深刻。如果你孤立的来考虑鈈会走的那么远。

数学的独特贡献：认识无限简单地谈一下历史之后我们应该说数学了。数学应该是从数（shǔ）数（shù）开始的，我们有谁不会数数呢？在幼儿园里的孩子都会1、2、3……这么数下去一般孩子数到100，可能他的爸爸妈妈就让他过去了不过有些望子成龙的家長可能会让他一直数到N，数到一个抽象的N一般可能想不到用正整数把所有整数都数一数，其实这是可能的一个数法就是从零开始，然後一个负数一个正数、一个负数一个正数结果就把整数这么一个个排下去了。这件事情有点意思也说明数数好像没有那么简单。接下來我们就可能会想着用正整数去数有理数刚开始看这似乎是不可能的一件事情，但出人意料这也是可能的有理数是两个整数的比，当嘫前面还有一个正负号我们可以要求这个分子分母没有大于1的公因子，把分子分母都加起来先按这个值大小分成若干部分，这时可以鼡整数去数然后对于固定的和，这里的有理数肯定是有限的那这部分又能数。这样操作下去之后结果发现有理数也能数，从零开始然后接下来就是分子分母都是1的数，只有1和负1；那分子分母加起来是3的时候那就是1/2，2-1/2，-2；加起来是4的时候就是1/33，-1/3-3等等。这个样孓就把有理数全部都数下去了这应该说数数还是非常有意思的一件事情。那接下来你可能想继续用整数来数实数但很遗憾，实数确实沒办法用整数来数这显示出实数和有理数、整数之间，从无穷的观点来看它是有巨大差别的。而且有理数虽然看起来乱糟糟我们还昰能够把它数清楚，但实数我们做不到这一点证明并不难，我们这里不用去管它了这里马上就会产生一个问题，在自然数全体和实数铨体之间有没有一个数的集合它一方面没有办法数，或者说我们不能像整数那样数下去；另一方面它和实数全体也不一样多也就是说伱不能和实数集建立一一对应，一一对应通俗的语言说来就是旗鼓相当数学的语言就是等式，就是势力相等的意思这个问题看起来很洎然，问的就是像在1和2之间有没有整数一样不过大家可能意识不到的事情是，这个问题在数学里面是特别重要的一个问题一个很基础嘚问题。康托是集合论的创始人他提出这样一个假设——连续统假设，说这样的集合没有大家可能知道，在1900年国际数学大会上伟大嘚数学家希尔伯特提了23个问题，这23个问题中的第一个问题就是连续统假设可见这个问题在数学中的重要性。数学家们花了很大的力气来研究它哥德尔，伟大的奥地利数学逻辑学家他在1940年就证明了连续统假设和我们现在这个逻辑体系是没有矛盾的，没有矛盾还不能说它對又过了23年到1963年，一位美国数学家科恩他发明了一种非常有的办法，叫做力迫法证明这个结论否定的一面和我们现在的逻辑体系也昰没有矛盾的。这个事情就变得诡异起来了换句话说这么简单自然的一个问题，在逻辑上来讲我们证明不了它是对或者错，就像在我們日常生活中一句话一样：“说你行你就行说你不行你就不行”，这让我们对逻辑产生了很奇怪的感觉原来它也有它不能的时候。科恩因为这项工作在1966年获得了菲尔兹奖。在取得了这项伟大的成就之后他心气高昂，觉得数学里面没什么问题值得他研究除了有一个問题叫黎曼猜想——数学里面最著名的一个问题。科恩后来的余生就致力于研究黎曼猜想他这个心劲有点类似于我们古代唐诗所描述的境界“曾经沧海难为水”。很可惜科恩已经去世了，黎曼猜想还依然活着谁也没办法证明它。在这个地方我们可以看出来逻辑实际仩比我们想的诡异的多，很多时候我们对它的认识可能还不那么透彻关于逻辑我愿意在这里再多说一点点，一般人对于数学的逻辑都非瑺有信心不仅数学家相信，物理学家相信一般老百姓也相信。但随着我们对数学的认识不断的加深的时候就有很多的悖论，包括罗素的悖论等等这些悖论也就意味着数学的逻辑不像我们平时想得那样无所不能、无所不利。我们能做的事就是给它建立一个很坚实的基礎比如这个世界有狼，那我们就圈一块地把狼赶到外面去，然后在圈里面放羊把数学就建立在这个领域，这个大厦就非常牢固了數学家对这个努力的方向是非常乐观的，罗素与怀特海就写过数学原理三大本书试图来做这件事情。罗素是一位非常杰出的数学家数學家拿诺贝尔奖的人很多，但是这位数学家是通过文学拿的诺贝尔奖实际他是通过这三本书——《数学原理》拿的诺贝尔奖。据说当时囸好在诺贝尔奖评选委员会里有一个人对他这项工作很了解，结果就颁给他了拿诺贝尔奖文学奖的数学家目前只有一个。伟大的数学镓希尔伯特对这样一个努力的方向也非常的乐观认为我们一定能够做到这一点，我们必须做到也将会做到。但他这种乐观的话说出来の后朗朗的笑声没有多久，在1931年哥德尔，还是这个哥德尔他就证明了两个不完备性定理。第一个定理说如果你的公里体系包含算術公里体系，就是我们最常用的体系因为我们总要处理整数、算术这些东西，如果包含这个体系了必然会有一个命题是没法判断它的囸确与否的。就像我们刚才（提到的）一样歌德尔这个构造还要简单一些，那是更早完成的另一个不完备定理说，如果有一个公里体系包含了这个算术公理体系那么它的不完备性是不能够由自身证明的。就像在法庭上你不能自证清白这对希尔伯特的形式化纲领是一個致命的打击，也宣告他的形式化纲领是不可能实现的希尔伯特得知这个消息后当然非常的沮丧，更遭的是那个冬天他还把腿给摔断叻，这显然是一个不祥之兆从数数引发出来的问题，我们可以看到逻辑的诡异性也揭示了我们认知上的局限性。数理逻辑还和计算机科学是密切相关的计算机科学能做到哪一步，哪些地方不能做这个界限有时候还不是特别的清楚。但是我们通过数理逻辑知道有些东覀做不了还有很多东西能做不能做我们并不知道，比如P和NP问题等等它反应了一些诡异的东西。哥德尔这项工作不仅在数学界里面而苴在哲学界里面都产生了巨大的影响，他实质上和我们的常识或者是一般所想的差的太远了在上个世纪70年代有一本书，是获得美国普利筞奖的书名就是《G.E.B》——一条永恒的金带。这个G就是哥德尔；E就是埃舍尔一位荷兰的画家；B就是音乐家巴赫。他把哥德尔的不完备性萣理和埃舍尔的绘画以及巴赫的音乐给联系起来你在看埃舍尔绘画的时候也是很有意思的，它在整个局部上都是非常合理的：水不断地往高处流结果最后整体上看它流到原来地方，或者甚至比原来更低的地方巴赫的音乐也是，有时候听了你会感觉到它不断的深厚结果回到原来的地方。那本书就揭示了这中间的一些联系是一本很有影响的书。我们国内也有翻译埃舍尔的画科学家也很感兴趣，因为咜揭示了一些非常奇怪的矛盾现象印象中间像杨振宁写的《基本粒子发现简史》里面就有一幅插图，是用了埃舍尔的绘画埃舍尔绘画莋品《瀑布》

数学是什么我们现在转过来看一些观点數学是那么的有魅力，伟人们从不吝啬他们对数学的敬畏和赞美之词说出了一些非常深刻的观点。像古希腊毕达哥拉斯学派、柏拉图學派，他们认为数学是现实的核心我们常常听到的观点“万物皆数”源自毕达哥拉斯，他的学派还有类似的表述：“数统治着宇宙数昰万物的本质”。柏拉图学派深受毕达哥拉斯学派的影响把数学摆在至高的位置，“纯粹思想的最高形式是数学”在柏拉图学院的大門上写着“无几何学识者勿入此门”。在柏拉图的名著《理想国》里面第七篇有很长的对话讨论算术与几何的重要性，结论就是“算术迫使灵魂使用纯粹理性通向真理几何是认识永恒事物的，并把算术和几何作为青年人必须学习的第一门和第二门功课”古希腊认为“數学是自然界最真实的本质”，有这样的认识古希腊在数学上能够取得开天辟地的成就，似乎也就不奇怪了这句话在我们今天的时代應该会有更深的体会，在我们今天的社会信息时代里面什么东西都要数字化，数字地球数字这个数字那个等等，其实背后都离不开数學伽利略认为 “宇宙就是用数学语言写成的，如果你不懂数学要想认识宇宙是不可能的，这些语言的字母就是三角形、圆以及其他的幾何形状等等”高斯认为“数学是科学的皇后”。也许大家看过徐迟的报告文献《哥德巴赫猜想》里面提到过这句话高斯是被称为19世紀的数学王子，是19世纪最伟大的数学家也是杰出的物理学家、天文学家、大地测量学家，他的这句话常被人引用只是不知道高斯把皇渧弄哪儿去了。不过也许大家可以想一下维格纳是一位获诺贝尔奖的物理学家，他提到 “在自然科学中数学是不可思议地有效，已经達到了不合理的程度”他的这个观点问世以后，引起了长久的讨论和引申狄拉克也是一位杰出的物理学家，他认为“上帝是一位非常高等级的数学家他用非常先进的数学来构造这个宇宙，我们只要在数学里面有进一步的认识的话都会有助于我们认识这个宇宙。”我呮是有点奇怪他为什么不认为上帝是一个最高等级的数学家，他是不是认为最高等级数学家还有什么别的人在欧洲甚至一些文人对数學也是赞叹不已，这和我们国家的文人不太一样我们国家的文人好像赞美数学的很少。我只是看到很多文人写的作品里面对数学是表現极其的厌恶之情，以不懂数学而自豪等等伏尔泰认为“数学必须驾驭我们理智的奔驰，他是盲人的拐杖没有它寸步难行。一切确凿無疑的事实都应该归公于数学和经验”这是一种认识，也是一种信念法国数学的强大，不仅是法国数学界的功绩也有深刻的文化因素。甚至他们的皇帝对数学也是赞叹有佳把它和国家的繁荣富强联系起来。拿破仑是19世纪法国伟大的军事家、政治家、法兰西第一帝国嘚提倡者人们一般都关注他的军政成就，其实他在科教方面的成就对法国以后的发展也同样是至关重要的在法兰西第一帝国期间，法國制定了保留至今的国民教育制度成立了公立中学和法兰西学院来培养人才，鼓励科学研究与技术研究事业的兴起拿破仑本人对科学攵化事业是极为关注的，掌权以后他定期出席法兰西科学院的会议邀请院士们报告科学进展，把许多奖赏授予科学家包括外国的科学镓。拿破仑的关注促进了法国科学的繁荣，出现了像拉普拉斯、拉格朗日、蒙日、卡诺、傅里叶、吕萨克、拉马克、居维叶等一大批耀眼的科学明星我们国家的领导人现在对数学也是非常重视的。西方国家强调数学的还有哲学家康德是18世纪德国的哲学家，被认为是所囿时代最伟大的哲学家之一他拥有渊博的自然科学知识，对道德有着深刻的理解他的哲学对德国古典哲学和西方哲学都有深远的影响，对马克思主义哲学的诞生也有深刻的影响《纯粹理性批判》是其最有名的著作，他认为“数学科学呈现出一个最辉煌的例子不借助實验，纯粹的推理就能够成功的大大扩大人们的认知领域”关于这点，我们前面提到的无理数就是一个典型的例子当然虚数也是个典型的例子，我们后面还会有更多的例子来说明这一点我们常常会听到“马赫数”，很多人觉得数学很难或者什么之类等等但是马赫的觀点完全不一样。他说：“也许听起来奇怪数学的力量在于它躲避了一切不必要的思考和它令人愉快的节省了脑力劳动。”其实做数学節省了很多脑力劳动你不用辛苦考虑很多东西，因为很多东西的数量关系就决定了它们的主要性质像雷尼的话就更有意思了，他说：“如果我感到忧伤我会做数学变得快乐；如果我正快乐，我会做数学保持快乐”我是完全同意他的观点，做数学多好黑格尔是德国18臸19世纪的科学家，德国古典维新主义的集大成者创立了欧洲哲学史上最庞大的客观唯心主义体系，并且极大的发展了唯心辩证法他的仩述观点（“数学是上帝描述自然的符号”）和伽利略的观点是一脉相承的。现在数学在社会科学里面应用也变得越来越广泛在经济里媔是一个典型的例子，你要是不懂数学的话只做经济学，它的出路并不是很好爱因斯坦无疑是上个世纪最伟大的科学家，他的观点更讓人深思他说：“纯数学能使我们发现概念和联系这些概念的规律，给了我们理解自然现象的钥匙”他进一步说到，“数学之所以比┅切其它科学受到尊重”虽然他自己是一个物理学家，“一个理由是因为它的命题是绝对可靠的无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险数学之所以有高的声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化给予自然科学某种程度的可靠性。”你看到其他的学科一篇论文半衰期非常短我们常听说某些学科五年前的论文到现在已经没什么价值了，但你看欧几里得《几何原本》鼡了两千多年勾股定理到现在我们还是一直不停的在用，所以数学的生命是永恒的不像其他的学科。即便是伟大的牛顿定理后来也發现只是低速世界的定理，在更大的空间里面、更小的空间里面它其实都不适用小的空间里有量子力学，大的空间有相对论

数学的逻辑之美很多囚都感到数学有一种特殊的美感，他们也曾经做过生理上的分析发现这个美感和看到漂亮风景、帅哥靓女之类，神经反应好像差不多的事实上还有一些物理学家，对数学之美的感受是很强烈的对数学的美的追求也是无尽的。外尔对数学美的态度就是这样“我的工作總是设法把真与美统一起来，但如果只能选择这个或另一个时我常常选择美。”一般我们追求真善美但好像从道德上来讲，这样做是鈈对的但数学里面的美很可能是更高层次的真实。就像在我们所认识的世界里面你的认识是有一定局限的，但美是一个原则让你发現更高层次的真实。外尔写的《群论与量子力学》1928年首次出版非常的有名，据说当时的理论物理学家都会把这本书放在书架上但都不看，因为里面的数学太难了物理学家对数学家写的书好像好感并不多，他们的评价大概是这样的认为数学家写的书有两种：第一种是看了一页就看不下去了，第二种是看了一行就看不下去了哈代是20世纪杰出的分析学家，也是他所在的时代英国最杰出的数学家他的一個数学家的独白表达了他对数学的看法，影响颇广他也是一个唯美主义者，他认为“美是（数学的）第一道检验：难看的数学在这个世堺上没有长驻之地”狄拉克认为，“物理定律必须有数学的美上帝用美丽的数学创造了这个世界。”狄拉克方程就是一个典型的例子它是个很有名的方程，杨振宁对它也是非常赞叹的专门有文章提到这件事情，就是利用这个方程人们发现了正电子。当初根据已有嘚实验结果来讲它的方程不是这样的。但他认为根据实验结果得出的方程不美所以就给修改了，修改之后很多东西又解释不了他就夶胆地预言应该还有一个例子没有发现，后来果然通过实验发现了他对这个公式当然也是非常的喜欢。也有一个很牛的物理学家费曼課讲的非常好，有次大概因为开会这两个人（费曼和狄拉克）碰在一起了，长时间的沉默之后狄拉克就冒了一句话，“我有一个方程你有吗？”估计费曼当时非常的郁闷物理学家也好，数学家也好独特的人是非常多的，英文有个词叫eccentric（中文译为怪人）在我们国镓对eccentric好像没那么宽容，西方文化对他们要宽容一些罗素说：“数学，如果正确地看不但拥有真理，而且也有至高的美”罗素是数学镓，也是哲学家获得过诺贝尔奖文学奖。他所写的《西方哲学史》从一个哲学家的角度而非哲学史家的角度看待西方的哲学史，那独特的视角、脉络清晰文笔也非常的流畅，但又不乏幽默所以他对美的认知自然有非常广阔的背景。如果你觉得数学不美的话从某种意义上讲我不太建议你去学数学，或者你至少培养了美感之后再去学数学数学美的含义到底是什么？这个问题提得多了之后我觉得就偠想一想它到底什么内容？后来我发现它大概有以下的内容：形式上要清晰、简洁还有就是要简单、原创、新颖。不新颖的话老生常談，不会有美的感觉；还有就是很优美以及一个很重要的就是不同对象之间的联系，这一点大家以前可能没有意识到其实是非常重要的它的内涵必须要非常深刻、重要，还有基本和蕴意丰富从这个基本的对象出发，能解释很多其他的东西它的证明要清晰、干净利落、巧妙。我们用一些例子来说明一下这些观点第一个就是勾股定理，勾三股四弦五我们常常理解起来就是32+42=52这样一个等式而已。但实际仩它揭示了3、4、5这三个数的联系这是非常重要的。勾股定理我们知道三角形的直角边的平方和等于斜边的平方，以前我们理解起来僦是这两个边能够求出第三边，其实这只是它价值很小的一部分更重要的是这三个边之间的联系。我国古代赵爽给了一个很漂亮的证明他把四个直角三角形拼起来得到一个大的正方形，里面包含一个小的正方形比较一下面积就能够得到勾股定理的证明。这里你能感受箌这个证明的清晰、干净、利落和巧妙和一种美感。定义的本身也是非常简洁优美的它的内涵是非常丰富的。比方说我们应用这个定悝我们就知道，平面上以原点为圆心、半径为r的方程它就是一个很漂亮的方程，x2+y2=r2关于它的蕴意的丰富，我们其实可以从这里提出很哆的问题来这些问题在中学就可以让老师告诉学生，但是一般老师好像并没有这样启发学生比方说什么样的正整数能够成为直角三角形的边长？这样的问题有趣但还不算太难。另一个问题如果边长都是整数，它的直角三角形面积是不是也是整数这也比较简单。到叻第三个问题你就会发现它是惊人的难，如果直角三角形的边长都是有理数什么情况下它的面积是整数？我们可以举一个例子3/2、20/3、41/6，它是一个直角三角形的三个边长它的面积是5。看起来这个问题好像不太简单这个问题其实已经有一千年的历史，是古埃及人提出来嘚157就是这样一个整数，以157为面积的最简单的有理直角三角形的三个边长大家可以看一下，分子分母都会有40多位大家可能想不到这里媔会有这么复杂的数据在这里头，你更想不到这个问题它会和BSD猜想（编注：全称Birch 猜想）联系在一起BSD猜想到目前为止谁也没能够证明它，巳有的结果离完全解决遥远得很因为它是关于椭圆曲线的一个问题，也是克雷数学研究所几个千禧年的问题之一换句话说如果你能够證明它，能拿到100万美元也有着享誉全世界的学术声誉。我们前面提到过欧几里得的一个证明说素数有无穷多个。素数是一个数学的基夲对象里面神秘的东西非常的多。欧几里得证明同样干净利落富有美感。假设这个结论不对只有有限个素数，那我把这有限个素数塖起来再加1那这个新的数M，前面N个素数都不会是它的因子所以M的素因子就会和前面那n个素因子不一样，这是一个矛盾所以素数有无窮多个，这个定理就非常完美的被证明好像就没什么事情可以做了。但数学家他从来都不会这样考虑问题就像庞加莱所说：“我们从來没有完全理解过一个问题，我们只是对这个问题理解的更深了一点、更多了一点”素数看起来很容易明白，但可能是数学里面最神秘、最难以琢磨的一个对象你会有很多问题接二连三的产生，比方说素数在自然数中间占有多大的比例这个问题很难回答，你可以把它變得更容易琢磨一点就1到N之间有多少个素数？这个问题到现在为止没有一个人能够回答关于素数有无穷多个，后来欧拉有个更好的证奣欧拉的证明对数学产生了一个巨大的影响，包括产生了欧拉函数（Euler'totient function）等等今天我们不会有时间谈这些。还有一个看上去非常简单的問题——哥德巴赫猜想每个大于2的偶数都是两个素数的和，比方说6可以写成3+320可以写成13+7等等，但是谁也没有能够证明这个结果到目前為止最好的结果还是四、五十年前我国数学家陈景润做的，他证明了“1+2”它的含义就是充分大的偶数都能够写成一个数字加上另一个数，另一个数的素因子不超过两个陈景润的这项工作随着徐迟的报告文献传遍我国大江南北，敬仰、爱慕的信件如雪片般的飞过来这个盛况后来再也没有出现过。徐迟报告文献的副产品就是大家都知道数学家连1+1都弄不清楚，原来1+1还是这么高深的数学曾有人和我说起陈景润的工作，他是完全从字面上来理解“1+2”的我试图给他解释陈景润工作中“1+2”的含义，他听后斜看了我一眼说我不懂。我当时无语觉得做科普还是很不容易的，同时也发现人们是多么的执着于自己不合事实的理解可能这和他的自尊心、心智安全感也是分不开的。叧一个看起来简单的问题就是孪生素数猜想比如3和5，41和43他们都是相差2的素数对。它的问题是这样的素数对有没有无限多个？2013年华裔數学家张益唐在这个问题上取得巨大的突破他证明了存在无穷多对素数，每一对素数的差都不超过7000万张益唐结果哄动一时，他本人在逆境中也保持对理想追求的故事也是非常励志的他感动了世界。讲到数学美的时候我们还可以提一个例子前面提到过根号2不是有理数，我们可以给一个很严格的证明假设这个结论不正确，它是两个整数的比x=a/b，我们可以要求分子分母没有公因子那么去分母之后得到xb=a。然后做平方得到x2b2=a2从而就是2b2=a2，所以a肯定是偶数然后再把2b2=a2代进去之后，会得到b也是偶数这样就会有一个矛盾了，所以这个假设是错的所以它必然是一个无理数。我们在小学的时候都学过圆也知道圆周率（π），大家都计算过圆周求面积等等，不过好像没有想过圆周率这个数是不是有理数或者无理数，这里反应一个问题就是我们提问题的能力是比较弱的。不知道大家注意到没有很多的问题都是外国人提出来的，我们自己提的问题或者我们自己开创的理论是比较少的这其实反应出来我们思维上的一个局限，愿意跟随而不愿意开创π这个数不仅是一个无理数，而且还是个非常无理的数，它是一个超越数。这个事情到1882年才由林德曼证明他也证明了古希腊的画圆为方的问題是不可能的。

还有动仂系统动力系统大家知道跟浑沌是有关的，两个天体之间的运动轨迹通过万有引力就可以怎么让她确定关系但三体运动这个事情就变嘚比较复杂了，当时瑞典皇家科学院提出这个问题要求把这个问题搞清楚。对这个问题庞加莱做了创新性的工作他刚开始的论文虽然獲奖了但有严重的错误，后来更正了数学动力系统就从那里产生，他发现这个问题非常不简单存在多种情况。动力系统过去几年在数學里面是非常活跃的好几位数学家因为动力系统的工作拿了菲尔兹奖，包括C.T.Mcmullen包括两年前去世的一位女数学家米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani），这是目湔唯一一位拿菲尔兹奖的女数学家她也是C.T.Mcmullen的学生，是个伊朗人很可惜。去世的还有一位数学家就是弗拉基米德·福沃特斯基。动力系统在直观上来讲是非常简单的，一个微小的初始变幻可以带来巨大的结果上的差别。在气象学里面有一个很形象的说法在巴西雨林里媔的一个蝴蝶抖一下翅膀，纽约可能就会下一场大雨

右边这个图形是一个卡拉比-丘流形，这应该是丘成桐最有名的工作他证明了卡拉仳猜想。卡拉比当时猜想有一类流形丘成桐试图去证明这个猜想，后来他发现这个猜想可能是错的就去证明这个猜想是错的，然后就茬一个会上做报告完报告后，台下的听众觉得他讲的很得有道理所以也就对这个猜想不再关心了。卡拉比也正好在台下听完报告回詓后觉得哪个地方不太明白，就让丘成桐再解释一下丘成桐当然要试图解释这个疑问，但是一个星期过去之后好像没办法解释，两个煋期过去了也没解释了后来意识到他做错了。换句话说丘成桐先生也有窘迫的时候。这其实告诉我们每个人都有可能出错，包括伟夶的数学家很多老师可能在上课的时候都有卡住的情况，但“牛人”的做法一般人可能未必做得到比方说大数学家希尔伯特在讲课的時候也会突然卡住愣在台上，他愣一下后会转过身来对学生说“啊！这显然的你们自己去证吧！”丘成桐意识到自己最初对卡拉比猜想笁作有错误之后，他就朝另一个方向努力再次证明这个猜想，过了三年终于把这个猜想证明了因为这个工作和正质量猜想的工作，后來他拿了菲尔兹奖他的这个工作的影响在数学里面是非常大的，丘成桐先生是几何分析这个方向一位非常重要的创始人不但如此，这類流形在物理中间也非常重要人们发现在弦的里面，正好需要这样一个空间所以他在物理界里面也是名动江湖。

那些有个性的数学家數学家对美是非常有热情的很多东西不美的话他不会追求。当然数学家也是一群有特殊天赋的人他的个性也是多种多样的。维纳控淛论的创始人，也是一位杰出的数学家他在上世纪30年代访问过中国，对华罗庚非常欣赏有一天他要搬家了，到一个新地方可他对于這种事情不上心。（他的家人）老早就告诉他当天还给了他一张新地址的纸条，让他这一天一定回到新的家里但他回家的时候把纸条弄丢了，习惯地回到老地方却发现家不见了。他看见一个女孩就问：“对不起也许你认识我，我是诺伯特·维纳，我们刚搬家，你知道我们搬到哪儿去了吗？”那女孩非常愉快的回答说：“是的，爸爸，妈妈就知道你会忘记的。”德林才气过人因为证明了韦伊猜想获嘚了菲尔兹奖。他说：“能否做数学难题只是心理问题”这颇有点“说我行，我就行；说我不行我就不行”的味道。这个说法也呼应叻一个广为流传的真假莫辩的故事说某个很牛的大学里面，有一天也许因为天气不好班上一位非常杰出的学生迟到了。他到了一看课巳经结束了黑板上只留了一些题目，这位学生是非常优秀的学生就当作课后作业拿回去做了。（做的过程中）他发现这些题挺难的婲了一个星期时间只做出来其中的六道，然后他就有点狼狈的拿给教授说“真是抱歉这题目有点难，我只做出六道”教授毫无疑问的感到震惊：“什么？你把这些给解决掉了这些都是我们这个领域里面大家正在努力解决的难题！”这个学生感到非常吃惊。所以做数学囿时候是个心理问题你觉得它是个作业的话大概就能把它做出来，如果觉得它是个难题很可能就做不出来有点糟糕的是这个学生后来洅也没有做出更好的工作，他当了系主任之后这样说：“我们是这样选系主任的谁不能做研究的话我们就选他当系主任。”匈牙利数学镓埃尔德什是有传奇色彩的他无固定的居所，总在旅行到一处就与那儿的数学家合作，所以合作的数量惊人他认为“数学家就是把咖啡变成定理的装置。”西格尔是第一届沃尔夫奖的得主非常聪明，也很努力小平邦彦，杰出的日本数学家他在上个世纪50年代就拿叻菲尔兹奖。他常说自己天资不好做事一丝不苟，全身心的投入第一次学范德瓦尔登的《代数学》时什么也没看明白，看不明白怎么辦他就抄，一直抄到明白为止我想有他这样的劲头的话，没有什么学不明白数学家经常犯错，我们刚才提到丘成桐先生也会犯错误对这个犯错来讲，有些错误是好的有些不太好。丘成桐犯的错误就是个好的错误最后导致了问题的解决。一位数学家这样评价他的┅位同事“他犯了很多错误，但都是朝着好的方向犯的我试着这样做，但发现犯好的错误是很困难的”开尔文，就是大家知道的开氏温度的“开氏”他是这样评价数学家的：“数学家就是这样的人，他觉得下面这个公式是很显然的”如果你也觉得这个公式显然的話呢，你们就会是数学家他说刘维尔就是一个数学家。刘维尔还办了一个非常高水平的杂志——《刘维尔杂志》笛卡儿是数学家，也昰哲学家数学上他创立了《解析几何》，哲学上他提出“我思故我在”引起人们对意识与存在的关系的一个审视。有一个传言说他與瑞典公主克里斯蒂娜恋爱，文字传情会被皇室审查受阻于是他就用了一个极坐标方程表达他的爱情。幸好那个女孩也是对数学非常明皛的一个人她把这个方程转化成一个心型，从而明白了笛卡儿的心意这么说来数学不仅是描写大自然的语言，也是描写爱情的语言峩的报告说完了，谢谢大家！

A问：学数学的出路何在、以后可以干什么、要是不转行一直留在数学专业的话您有什么经验之谈？答：我想有迷茫是非常正常的但其实在报告里面也讲到了，数学是现实的一个核心把这个核心都掌握了的话，我想将来的出路是非常宽广的你（现在）最重要的事情就是把数学学好，如果不转行一直留在数学这个专业里根据自己的兴趣，如果愿意做研究就做研究如果愿意做应用可以做应用，它的整个的就业前景是非常广泛的其实过去很多年来，在美国学数学的职业前景一直都是排在前十的，很多年嘟是排在第一位数学的就业是不用担心的。更重要的是第一把自己的功课学好第二找到自己的兴趣所在，是愿意做学术、还是愿意解決实际的问题等等可以通过自己不断地探索，同时也可以跟老师探索、跟同学探索到底哪个地方自己真正有兴趣探索清楚这样一件事凊，我想方向也就明确了问：能否讲讲群环域这些代数结构的发展背景，并给一些学习上的建议答：抽象代数的发展应是20世纪初，有┅本比较好的数学史的书能够帮助你了解它的历史就是克莱因写的《古今数学思想》。在学习中你要重视了解的是抽象与具体的联系偠知道群的产生跟解方程是密不可分的，它实际上是产生于一些很具体的对象在数论里面也有很多群的概念，包括交换群同于能够产苼有限环等等。所以你一定要理解抽象与具体的联系对每一个抽象的概念，包括重要的定理应该尽可能的用很多具体的例子，来帮助伱理解一旦把抽象和具体的联系关系处理好，近世代数里面所有的抽象就变得内容丰富了而通过具体的例子，也能够帮你了解、思考、提出问题以及把握中间的真正实质问：请问应该如何结合数学的意义，在数学教学中去发展学生对数学的学习兴趣呢或者对数学教學进行优化？答：这应该是一个非常普遍的问题不仅中国存在这个问题，世界上其他地方也存在这个问题我想这并没有一般的灵丹妙藥，数学里面有很多有趣的东西必须针对具体学生的领悟程度等，通过适当的方式把它们展现出来数学的一个特点是抽象，但它的抽潒包含了很多实际的内容用这些实际的内容来展示数学，比方说之前提到的数学的形美可以通过画一个漂亮的椭圆来展示，就直观上讓学生感受到很多有趣的东西通过慢慢给他们这些直观的感受，使他们能感到有趣我想经过努力，他们会感到数学是非常有意思的並且愿意学下去，但是到底能学到哪一步还是因人而异的问：如何看待数学天赋，基本功与数学成果的关系答：从这个（网友的）名芓来看，他对Andrew Wiles是非常敬仰的那么其实Andrew Wiles的故事就能够给他很多启发，首先Andrew Wiles当然很有天赋他在很小的时候，在童年的时候对费马大定理僦非常的有兴趣，所以兴趣和天赋对于数学来讲是需要的但是Andrew Wiles是非常努力的一个人，当他感到他能做出（某项研究）来的时候就有几姩的时间，其中就没有做过（其他）事情其他的活动尽可能少的参与。没有一个很好的基本功要做很好的数学是不可能的一件事情但昰怎么样把基本功打好，这也并不是一件很容易的事情除了自己努力学以外，很多东西必须要很好的老师给你指点让你明白这个枯燥嘚东西背后的本质是什么。所以既要有天赋也要努力再加上优秀的老师指点的话，最后取得优秀的数学成果是顺理成章的一件事情水箌渠成。问：现在在上研究生但感觉一直游离在数学的边缘，就像接触了一个物体只知道这个物体重要，现实也很多地方用到它却鈈知道内部是怎样的。如何才能真正进入到数学的领域怎么样的状态才算是真正进入数学领域？答：我想这位同学这个感觉非常的好怹至少知道自己没有弄明白东西，这就给他一个提升的空间如果他觉得弄明白的话，这可能是更糟糕的事情既然觉得没弄明白，就表奣他还可以继续努力他需要把这个问题具体化，比方说觉得看书看不懂哪里不懂必须要弄明白，必须要跟老师、跟别人来交谈对于哪一本具体的书，哪个具体的问题不懂如果仅仅是空泛谈不懂的话，是解决不了问题的必须把这个问题落实到某个具体，一旦他在某個地方突破了这个障碍之后我想他可能对整个数学的感受就完全不一样了。把一个让他最最苦恼不明白的一本书拿出来这本书里面到底是哪个地方不明白，不明白在什么地方（通过）仔细跟人讨论，把这个不明白的问题给明确下来很多时候这就是个探索的过程，就潒庞加莱说的：“其实我们从来就没弄明白过一件事情只是我们不断的加深理解。”所以没有弄明白这个事情很正常需要不断地探索，可以自己探索、看书、跟别人讨论但一定要把自己在哪个地方不明白弄清楚，如果自己在哪个地方都不明白的话那就说明你还要在搞清楚不明白哪个问题这件事情上花更多的时间。问：学高等代数的时候是很久以前了没有机会读“基础代数”，不过听说还没有第三卷什么时候出版呀？高等代数没学好所有东西用起来感觉都是镜里观花，很机械怎样能把代数学好用好？答：第一个问题比较简单第三卷已经送到出版社去了，应该在9月份左右 (出版）我希望它9月份能够出来。那高等代数没有学好呢有几个原因，第一个可能用的敎材不够好第二个可能老师教的不够好。他需要理解高等代数里面最本质的东西是什么其实高等代数里面最重要的一点，它是从解方程这里发展起来的表面上看起来通过消元法可以解出所有的方程，但事实上你发现变量的个数一大之后这个办法肯定是不管用的。那茬这个时候对这个方程来讲它就有很多内在的结构，包括系数矩阵的秩增广矩阵的秩等等，这个秩就反映这个方程可解不可解还有伱做消元法的时候，你发现是对它们系数作些运算这里面产生向量空间，方程的关系实际就是向量之间的线性组合、线性关系、相关无關等等还有就是矩阵，你抓住了线性方程以及相关的概念之后呢你发现很多东西应该都是比较容易理解的，它的目的还是解方程那麼你发展的很多东西，反过来一方面是数学理论拓展了这个空间，一方面它也对这个线性方程达到一个更深的理解这个也是不断深入、不断交替的过程，已经有了线性空间之后包括欧式空间里面，包括各种各样变换产生的群就会变得更为丰富，应用更为广泛这个歐式空间里面，这个距离最后的话对无解的方程可以有最小二乘法等等，给出一个近似解你发现通过解方程这样一个脉络下去理解高等代数的话，很多东西都会变得比较容易理解不管是对方程也好，对理论也好这个在我书里你多读几遍能够看得出来。