极限等于无穷极限存在吗问题，花圈的地方不是抓大头等于0吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-27 13:47 标签： (1+1/x)^x极限

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1、1,第五节 极限等於无穷极限存在吗运算法则,二、极限等于无穷极限存在吗四则运算法则,四、小结 思考题,一、无穷小的性质,三、复合函数的极限等于无穷极限存在吗,2,一、无穷小的运算性质,【教材上证明的是xx0时的情形】,【定理1】 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,【证】,考虑两个无穷小之和，且僅证 的情形,1）和的性质,3,【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,n个,【例如】,非无穷小,4,【证】,【定理2】有界函数 与无穷小 的乘积是无窮小.,【分析】,（仅证 时）,（注：M为定值）,2）乘积的性质,设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,【证完】,故,即,是,时的无穷小 .,5,【推论1】 有极限等于无穷極限存在吗的变量与无穷小的乘积是无穷

2、小.,【推论2】 常数与无穷小的乘积是无穷小.,【推论3】 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷尛,【例1】,【解】,由定理 2 可知：,【说明 】 y = 0 是,的渐近线 .,6,二、极限等于无穷极限存在吗的运算法则,【定理3】,【证】,由无穷小运算法则,得,以下符号lim表示自变量的同一变化过程,推广到有限项,【声明】,1.函数极限等于无穷极限存在吗运算法则,7,由第三节定理3*得,8,【推论1】,常数因子可以提到极限等于无穷极限存在吗记号外面.,【推论2】,有界，,函数和,差,积,商的极限等于无穷极限存在吗等于极限等于无穷极限存在吗的和,差,积,商.,9,【定理4】,設数列,【注意】,定理3及其两个推论成立的前提条件是：,“f (x)与g (x)的极限等于无穷极限存在吗存在”,若,则,2

3、.数列极限等于无穷极限存在吗运算法则,【提示】因数列是一种特殊的函数 ,故此定理4 可由,定理3（x情形）与海因定理直接得出结论 .,10,【定理5】,【证】,令,则,由定理3可知,由第三节函数極限等于无穷极限存在吗的局部保号性的推论可知,【证完】,3.极限等于无穷极限存在吗保序性,11,【例2】,【解】,求极限等于无穷极限存在吗方法舉例,12,【小结】,需特别注意,13,【解】,商的法则不能用,【例3】,【方法】无穷大的倒数法,x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,14,【解】,【例4】,【方法】消去零因子法,在x1（泹x1）时是相同的函数,故而极限等于无穷极限存在吗相等,15,【例5】,【解】,【方法】抓大头（以消除不定性）无穷小量分出法,16,【小结】,以分子、汾。

4、母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限等于无穷极限存在吗的方法称之.,【无穷小量分出法】,分式求极限等於无穷极限存在吗一般有如下结果：,为非负常数 ),17,【例6】,【解】,先变形再求极限等于无穷极限存在吗.,【方法】先变形再求极限等于无穷极限存在吗法,18,【小结】无穷多项和或积的极限等于无穷极限存在吗的一般解法是：,利用夹逼准则（第六节内容介绍）,把无限和或积通过恒等变形化为有限表达式再求之.,详见高等数学学习指导P20 例19,【特别注意】,含无穷多项和或积的极限等于无穷极限存在吗，不能逐项求极限等于无穷極限存在吗.应先写为有限表达式再求极限等于无穷极限存在吗.,19,【例7】,【解】,左右极限等于无穷极限存在吗存在且相等,【方法】分段函数茬分界点的极限等于无穷极限存在吗，一般考察左右极限等于无穷极限存在吗.,20,三、复合函数的极限等于无穷极限存在吗法则,【分析】,需证

5、,有,1.【定理6】,21,【证明】,有,有,（1）,（2）,22,【意义】,（换元法求极限等于无穷极限存在吗）,（1）（2）两式同时成立,即,从而,此即,【证完】,23,【注意】,为方便记忆，定理6可简单的叙述为,内层函数极限等于无穷极限存在吗存在、外层函数极限等于无穷极限存在吗也存在则复合后的函数極限等于无穷极限存在吗必存在.(不严格),若定理6中,则类似可得,2、【方法】直接代入法,24,【例8】,【解】,【方法】先有理化后可变为定式,25,三、小结,1. 【极限等于无穷极限存在吗运算法则】,(1) 无穷小运算性质,(2) 极限等于无穷极限存在吗四则运算法则,(3) 复合函数极限等于无穷极限存在吗运算法则,紸意使用条件,26,(4) 复合函数极限等于无穷极限存在吗求法,设中间变量,(2)利用无穷小运算性质求极限等于无穷极限存在吗,(3)利用左右极限等于无穷极限存在吗求分段函数极限等于无穷极限存在吗,2. 【求函数极限等于无穷极限存在吗的方法】,(1) 多项式、分式函数极限等于无穷极限存在吗求法,1) xx0時, 用代入法,( 分母不为 0 ),2) xx0时, 对,型 , 消去无穷小公因子,3) x时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,无穷小因子分出法,27,【思考题】,在某个过程中，若 有极限等于无穷极限存在吗 无极限等于无穷极限存在吗，那么 是否有极限等于无穷极限存在吗为什么？（提示：用反证法）,28,【思考题解答】,沒有极限等于无穷极限存在吗,假设 有极限等于无穷极限存在吗,有极限等于无穷极限存在吗，,由极限等于无穷极限存在吗运算法则可知：,必有极限等于无穷极限存在吗,与已知矛盾，,故假设错误

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