高数常见曲面：求曲面z＝x（详见图

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-14 02:13 标签： 高数常见曲面
大一高等数学二重积分问题
求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积.图形是一个开口向上的抛物面和一个开口向下的抛物面围成的立体,不用考虑图形具体的样子
首先求立体在xy坐标媔上的投影区域,把两个曲面的交线投影到xy面上去,就是两个方程联立,消去z,得x^2＋y^2＝2,所以立体在xy坐标面上的投影区域是D：x^2＋y^2≤2
其次,根据二重积分嘚几何意义,立体的体积是两个曲顶柱体的体积的差,两个曲顶分别是Z＝x^2+2y^2和z＝6-2x^2-y^2,很容易判断得到z＝6-2x^2-y^2在Z＝x^2+2y^2上方
1上面一个开口向下的抛物面和下面一個开口向上的抛物面围城的立体就像一个“扁球”一样（不一定恰当的比喻）这个“扁球”在平面的投影是一个圆盘，这个圆盘可以用這样的式子x^2＋y^2≤2
2当然可以不用极坐标求解了你可以把它看成x型区域或y型区域来求解。这时这个体积看可以看成第一卦限体积的4倍0≤ x≤√2 ，0≤ y≤√（2 -x^2）
1上面一个开口向下的抛物面和下面一个开口向上的抛物面围城的立体就像一个“扁球”一样（不一定恰当的比喻）这个“扁球”在平面的投影是一个圆盘，这个圆盘可以用这样的式子x^2＋y^2≤2
2当然可以不用极坐标求解了你可以把它看成x型区域或y型区域来求解。这时这个体积看可以看成第一卦限体积的4倍0≤ x≤√2 ，0≤ y≤√（2 -x^2）
不过这样积分比较麻烦！因为投影区域是园所以用极坐标更方便！

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