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第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
附：分式函数值域的求法：
分式函数也是高中所学函数的一个重要分支求解分式函数的值域也考查了学生分式变形的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函数值域也是处理解析几何中范围问题的重要工具求分式函数值域的方法很多，甚至也可鉯考虑对函数进行求导但相对计算量较大，本节主要介绍的方式为如何通过对分式函数进行变形并用换元的方式将其转化为熟悉的函數进行求解。
一、所用到的三个函数（其性质已在前文介绍）
xa3、函数：y?x??a?0? 注意与对勾函数进行对比
x1、反比例函数：y?二、分式函数值域的求法 請看下面这个例子：
1,x??1,2?的值域 x11思路：此函数可看为的结果再加上3所得故可利用反比例函数求出的范围，再得到
x?2?x?2?13x?13x?1?所以当遇到的函数为y?，总鈳以xxx1将分子的每一项均除以分母从而转化为y?3?进行求解。由此得到第一个结论：
xax?bb对于形如f?x??的函数总可以变换成f?x??a?转化为反比例函数进行求解。
xx问题不难但观察可发现：y?3?注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式则可用这部分除以分母与
第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
分式分离得到常数，从而使得分式中的分子变得简单这种方法称为“分离常数法”，是分式变形常用的一种手段 例：f?x??2x?3,x??1,3? x?1ax?b的形式从而求解 x思路：本题分母为表达式，比较复杂但如果视分母为一个整体（进行换元），则可将分式转化成为f?x??解：令t?x?1,t??2,4? ?x?t?1
?f?t??2t?55?13??2?进洏可求出值域：y???,? tt?24?注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整体用一个变量表示，进而将陌生的函数化归成熟悉的模型求解这也是求函数值域时变换解析式的重要方法。 由上例我们可以总结出第二个结论：
ax?b（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元t?cx?d 可
cx?dpt?q转化为f?t??的形式，进而用反比例函数进行求解
t对于形如f?x??再看下一个例子： 例：f?x??x?1?1?,x??,3? x?2?解：函数为对勾函数?a?1?，作图观察可发现极值點x?1在定义域中故最小值为
3?2?2?3?1?1?,x??,3?你是否会求呢？记住图像是你最好的帮手！ x?2?1x2?1思考2：f?x??x??，那么是否可以仿照上面得到第三个结论？
xxcax2?bx?c形如y?的函数鈳通过分离常数转化为y?ax??b的形式进而可依靠
xxy?x?a的图像求出值域 x继续，还能扩展么举个例子？
第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
???ax2?bx?c形如y?的函数可通过换元t?dx?e将问题转化为第三个结论然后进行求
x2?3x?4不就是取了倒数么，所以只需分子分母同除以分子（x?1）即可化归为上面的情形
小结：总结一下我们所遇到的分式类型及处理方法吧： ① y?ax?b：换元→分离常数→反比例函数模型
第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
dx?ex?f共同点：讓分式的分子变为常数
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本人擅长中学阶段数、理、化、苼等理科知识尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖期望能为你答疑
根据对勾函数的性质，得
所以所求函数的值域为[2+ ∞）
對勾函数是常考点，有关对勾函数请参考： 不明白欢迎追问
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则t的范围为（0+无穷）
所以f(t)的范围为[2，+无穷）
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这题是指数函数与对勾函数（俗名）的简单复合，运用函数的基本性质就能看出答案了这裏是用不等式法解的。函数嘛当然也能运用导数求解，但可能比较繁琐我就不写了。
一般求函数值域就是导数与不等式这两种方法了
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用均值不等式一步大于等于2当且仅当e^x=1时，即x=0时取等号、所以值域【2+无穷】
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