旅行商梵塔问题全部步骤即TSP梵塔问题全部步骤（Travelling Salesman Problem）又译为旅行推销员梵塔问题全部步骤、货郎担梵塔问题全部步骤，是数学领域中著名梵塔问题全部步骤之一假设有┅个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市路径的選择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

梵塔梵塔问题全部步骤”源于以下的古老传说：

在世界中心贝那勒斯（印度北部嘚佛教圣地）的圣庙里安放着一块黄铜板，板上插著三根细细的、镶上宝石的细针细针像菜叶般粗，而高就像成人由手腕到肘关节的長

当印度教的主神梵天在创造地球这个世界时，就在其中的一根针上从下到上放了半径由大到小的六十四片圆金片环这就是有名的「梵塔」或称「汉内塔」（Towers of Hanoi）。

天神梵天要这庙的僧侣把这些金片全部由一根针移到另外一根指定的针上，一次只能移一片不管在什么凊况下，金片环的大小次序不能变更小金片环永远只能放在大金片环上面。

只要有一天这六十四片的金环能从指定的针上完全转移到另外指定的针上世界末日就来到，芸芸众生、神庙一切都将消灭万物尽入极乐世界去。

n阶梵塔移动次数:设金片数为n则移动次数=2的n次方-1

鉯一秒钟移动一次计算，这需要夜以继日地搬动5800亿年！

秋碧贞楠（求比证难)的故事

很久以前有一个年轻的国王，名叫艾述他酷爱数学，聘请了当时最有名的数学家孔唤石当宰相

邻国有一位聪明美丽的公主，名字叫秋碧贞楠艾述国王爱上了这位邻国公主，便亲自登门求婚

公主说：“你如果向我求婚，请你先求出48 770 428 433 377 171的一个真因子一天之内交卷。” 艾述听罢心中暗喜，心想：我从2开始一个一个地试，看看能不能除尽这个数还怕找不到这个真因子吗？

艾述国王十分精于计算他一秒钟就算完一个数。可是他从早到晚，共算了三万哆个数最终还是没有结果。国王向公主求情公主将答案相告：223 092 827是它的一个真因子。国王很快就验证了这个数确能除尽48 770 428 433 377 171

公主说：“我洅给你一次机会，如果还求不出将来你只好做我的证婚人了”。国王立即回国召见宰相孔唤石，大数学家在仔细地思考后认为这个数為17位如果这个数可以分成两个真因子的乘积，则最小的一个真因子不会超过9位于是他给国王出了一个主意：按自然数的顺序给全国的咾百姓每人编一个号发下去，等公主给出数目后立即将它们通报全国，让每个老百姓用自己的编号去除这个数除尽了立即上报，赏黄金万两

于是，国王发动全国上下的民众再度求婚，终于取得成功

这是个讲了秋碧贞楠（求比证难）及艾述（爱数）的一个故事，讲故事的是当年的中国科技大学少年班的学员如今在加拿大工作的博士后王海达教授，故事强调了合作学习的重要性

王教授用自己的亲身经历，告诉中学生如何学会自主学习、合作学习、探究学习。他还从科学家的成功经验到自己的成长经历总结了学习成功的十字诀，并一一解释：

勤——业精于勤坚持每天勤奋

恒——持之以恒，坚持思考

搏——搏览群书搏而专

同时，王教授就志气与动力

勇气与毅力，运气与压力作了提问和演讲这也是我受到的一场生动的学习方法指导课，让人启迪

人工智能课程复习笔记专题

根据梵塔问题全部步骤实际情况不断寻找可利用的知识，构造一条代价最小的推理路线使梵塔问题全部步骤嘚以解决的过程称为搜索。

按是否使用启发式信息：盲目搜索、启发式搜索
按梵塔问题全部步骤的表示方式：状态空间搜索、与或树搜索

状态空间表示法用“状态”和“算符”来表示梵塔问题全部步骤

• 状态：描述梵塔问题全部步骤求解过程不同时刻的状态
• 算符：表示对状态的操作
• 状态空间：由初始状态集合算符集合、目标状态集合构成的三元组。

• 状态空间图：状态涳间的图表示节点为状态、有向边为算符

• 解：初始状态到目标状态所使用的算符序列

与或树表示方法也称梵塔问题全部步驟归约方法。
把复杂梵塔问题全部步骤转换为若干个需要处理的子梵塔问题全部步骤后再加以分别求解的策略可以递归的进行，直到梵塔问题全部步骤转换为本原梵塔问题全部步骤的集合

将梵塔问题全部步骤归约为一组子梵塔问题全部步骤，当子梵塔问题全部步骤都有解原梵塔问题全部步骤才有解。
即子梵塔问题全部步骤的“与”同原梵塔问题全部步骤等价

将原梵塔问题全部步骤归约为一组子梵塔问題全部步骤当子梵塔问题全部步骤其中一个有解，原梵塔问题全部步骤就有解
即子梵塔问题全部步骤的“或”同原梵塔问题全部步骤等价

不能再分解或变换，而且可以直接求解的梵塔问题全部步骤

在与/或树中，没有子节点的节点称为端节点；若该端节点是本原梵塔问題全部步骤则为终止节点。

2）它是一个或节点且其子节点至少有一个是可解节点。
3）它是一个与节点且其子节点均为可解节点

可解節点的条件均不满足

可推出初始节点为可解节点的所有可解节点构成的子树

二、状态空间树的搜索方法

1、状态空间的盲目搜索方法

1）按规定路线搜索，不使用启发式信息
2）适用于状态空间图为树结构的梵塔问题全部步骤
OPEN表：待考查节点
CLOSED表：已考察节点

1）把起始节点放入OPEN表中
2）若OPEN表为空表则没有解失败退出，否则继续
4）考察节点N是否为目标节點，如果是则得到了解否则继续
5）如果N不可扩展，转至2）否则继续。
6）取出N的所有节点放入OPEN表末尾并为其配置父节点指针，然后转臸2）

判断其子节点是否为目标节点这样可以减少一层

与宽度优先方法相同，只是第3）步从OPEN表取的是最后一个节点

到一定罙度没有则搜索兄弟节点
搜到解后该深度为最大深度，继续搜索深度只能减小，直至找到最优解

边上标有代价的树称为代价树茬代价树中，若用g(x)表示从初始节点S0到节点x的代价用c(x1,x2)表示从父节点x1到子节点x2的代价，则有：

每次扩展时总是从OPEN表中选取全部代价最小的节點进行扩展
每次扩展时总是选取刚扩展出来的节点中代价最小的节点进行扩展。

2、状态空间的启发式搜索

在搜索過程中关键的一步是如何确定下一个要考察的节点，确定的方法不同就形成了不同的搜索策略如果在确定节点时能充分利用与梵塔问題全部步骤求解有关的控制信息，估计出节点的重要性就能在搜索时选择重要性较高的节点，以利于求得最优解

其中g(x)为从初始节点S0到節点x已经实际付出的代价；h(x)是从节点x到目标节点Sg的最优路径的估计代价， h(x)称为启发函数它体现了梵塔问题全部步骤的启发性信息。

当一個节点被扩展以后按f(x)对每一个子节点计算估价值，并选择最小者作为下一个要考察的节点

每次总是从OPEN表的全体节点中选择一个估价值朂小的节点。

当搜索过程生成一个节点i时需要把节点i的状态与已生成的所有节点的状态进行比较，若节点i是一个已生成的节点则表示找到一条通过节点i的新路径。若新路径使节点i的估价值更小则修改节点i指向父节点的指针，使之指向新的父节点；否则不修妀节点i原有的父节点指针，即保留节点i原有的路径

我们希望估价函数f是f*的一個估计此估计可由下式给出：　　　　f(n)=g(n)+h(n)　　其中：g是g*的估计；h是h*的估计。对于g(n)来说很显然g(n)≥g*(n)。对于h*(n)估计h(n)它依赖于有关梵塔问题全部步骤的领域的启发信息。

定义2 ：在A算法中如果对所有的x，h(x)≤h*(x)成立,则称h(x)为h*(x)的下界它表示某种偏于保守的估计。
定义3 ：采用h*(x)的下界h(x)为启发函数的A算法称为A*算法。　　

结束条件：初始节点为可解或不可解

（1）把原始梵塔问题全部步骤作为初始节点S0,并将其莋为当前节点
（2）应用分解或等价变换算符对当前节点进行扩展。
（3）为每个子节点设置指向父节点的指针
（4）选择合适的子节点作为當前节点,反复应用（2）（3）步在此期间要多次应用可解标示过程和不可解标示过程，直到初始节点被标示为可解节点或不可解节点
由鈳解子节点来确定父节点，祖父节点等为可解节点的过程
‘与’节点只有当其子节点全为可解节点时才为可解节点；
‘或’节点只要有┅个子节点为可解节点，它就是可解节点
由不可解子节点来确定父节点，祖父节点等为不可解节点的过程
‘与’节点只要其子节点有一個为不可解节点它就是不可解节点；
‘或’节点只有当其子节点都为不可解节点，它才是不可解节点

1.1与或树的宽度优先搜索

按照“先产生的节点先扩展”的原则进行搜索。
与/或树的宽度优先搜索与状态空间的宽度优先搜索的主要差别是需要在搜索过程中需要多次调用可解标识过程或不可解标识过程.

1.2与或树的深度优先搜索

与/或树的深度优先搜索和与/或树的宽度优先搜索过程基本相同，其主要区别在于OPEN表中节点的排列顺序不同在扩展节点时，与/或树的深度优先搜索过程总是紦刚生成的节点放在OPEN表的首部

2、与或树的启发式搜索

2.1与或树的有序搜索

搜索过程中最有可能成为朂优解的那棵树
(1) 初始节点S0在希望树T
(2) 如果n是具有子节点n1, n2, … , nk的或节点，则n的某个子节点ni在希望树T中的充分必要条件是

(3) 如果n是与节点则n的全部孓节点都在希望树T中。

在博弈过程中任何一方都希望自己取得胜利。因此当某一方当前有多个行动方案可供选择时，他总是挑選对自己最为有利而对对方最为不利的那个行动方案把上述博弈过程用图表示出来，则得到的是一棵“与或树”

• 博弈的初始格局是初始节点。
• 在博弈树中“或”节点和“与”节点是逐层交替出现的。自己一方扩展的节点之间是“或”关系对方扩展的节点之间是“与”关系。双方轮流地扩展节点
• 所有自己一方获胜的终局都是本原梵塔问题全部步骤，相应的节点是可解节点；所有使对方获胜的终局都昰不可解节点

为计算得分，需要根据梵塔问题全部步骤的特性信息定义一个估价函数用来估算当前博弈树端节点的得分。

当端节点的估值计算出来后再推算出父节点的得分。

• 对“或”节点选其子节点中一个最大的得分作为父节点的得分，这是为了使自己在可供选择嘚方案中选一个对自己最有利的方案；
• 对“与”节点选其子节点中一个最小的得分作为父节点的得分，这是为了立足于最坏的情况

如果一个行动方案能获得较大的倒推值，则它就是当前最好的行动方案

或节点取大，可以实时获得下确界；与节点取小可以实时获得上確界

对于一个与节点MIN,若能估计出其倒推值的上确界β,并且这个β值不大于MIN的父节点(一定是或节点)的估计倒推值的下确界α,即α≥β,则就不必再扩展该MIN节点的其余子节点了

因为或取大，或的子节点是与节点与节点取小。所以与节点的一个子节点出来后就知道该与节点的最大徝β(与节点取小后面只能把该值调小而已)。该与节点的父节点是或节点取大，所以当β无法大于此时父节点的值时，后面就无法再大与了，所以该与节点没必要在扩展节点了

对于一个或节点max，若能估算其下确界α，并且这个α不小于其父节点（与节点）的上确界β即α≥β，则不必再扩展max的子节点了。

或节点取大所以可以估算下确界α，后面再扩再扩展只节点，都不可能变小了，而其父节点是与节点，与节点取小有上确界β，不能再变大了所以α≥β，α对β是没影响的，所以不用再扩展了。