${}^{}$

• ${}_{}{}_{}{}_{}{}^{}$
• $$y1?,...,yn?的一个非退化线性替换
• $$X′AX经過这样的替换变成${}^{}{}^{}$

y1?,...,yn?的一个二次型（所以说是变量${}_{}{}_{}$y1?,...,yn?的一个非退化线性替换嘛！）

如果存在一个非退化线性替换$$

$$

• $$C′AC=B称A与B合同记作$$

Mn?(K)嘚一个等价关系，合同关系下A的等价类称为A的合同类

X′AX等价于一个只含平方项的二次型，则这个只含平方项的二次型称为${}^{}$

A合同于一个对角矩阵则该对角矩阵就称为$$

${}^{}{}^{}$

X′AX有一个标准形为${}_{}{}_{}^{}{}_{}{}_{}^{}{}_{}{}_{}^{}$λ1?,...λn?是A的全部特征值

T是正交矩阵，那么这样的替换称为“正交替换”

${}^{}$${}^{}$${}^{}$

• $$
• $$A合同于B?A经过一系列成对的初等行列变换可以变成$$
I作初等列变换可得到可逆矩阵$$

K上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵

乍一看以为是废话因为前面有个萣理说：实对称矩阵一定可以对角化。对角化了不就肯定合同了吗！然鹅！太天真了这里是数域K！范围更加广了

整个证明非常严谨，所囿情况都讨论到了学习！

n?1阶对称矩阵以上命题都成立，现在证明$$a11?是否等于0讨论 0 a11???=0将A写成分块矩阵，且对分块矩阵做成对初等變换 $\begin{array}{cc}{}_{}& \\ {}^{}& {}_{}\end{array}$②?a11?1?α′①②?a11?1?α′①?$\begin{array}{cc}{}_{}& 0\\ 0& {}_{}{}_{}^{}{}^{}\end{array}$
A2?=A1??a11?1?α′α由上得$\begin{array}{cc}& 0\\ {}_{}^{}{}^{}& {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}{}_{}& \\ {}^{}& {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}& {}_{}^{}{}^{}\\ 0& {}_{}\end{array}$$$n?1阶对称矩阵，由假设存在数域$$${}_{}$$\begin{array}{cc}{}_{}& 0\\ 0& {}_{}\end{array}$

0 0 a11?=0，但存在一aii???=0只要将第一行與第$$

aij?，别忘了A是对称矩阵${}_{}{}_{}$

n元二次型都等价于一个只含平方项的二次型

X′AX的任一标准形中$0$系数不为0的平方项个数=rank(A) $$

X′AX经过非退化线性替换$$C=P1?P2?...Pl?，已知对A做初等行列变换不改变A的秩故${}_{}$rank(A)=r(P111?)对三种初等变换一一证明，前后的行向量组可以互相表示
• 注意！！什么叫初等变换？我居然这个定义都不清楚