第十讲 质数、合数和分解质因数 10.1質数和合数 [同步巩固演练] 1、（南京市外校招生试题）若a是最小的自然数b是最小的质数，c是最小的合数则a＋b＋c= 2、把1至8这8个自然数填入图5-2夶圆上的小圆圈内，使任意相邻两圆圈内数的和都是质数（绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法） 第2题 3、两个质数的和是99，这兩个质数的积是多少
4、两个连续自然数自然数的积加上11，其和是一个合数这两个自然数的和最小是多少？ 5、有7个不同的质数它们的囷是偶数，其中最小的质数是几 6、由1，23，45，67，89这9个数字组成的九位数可以是质数吗？ 7、写出10个连续自然数自然数个个都是合數。 8、有两个质数的积是65它们的和是多少？差是多少
9、19乘以一个数积是质数；乘以另一个数积是合数，并能被12，34，…等自然数整除问这两个数（不能是分数或小数）分别是什么数？ [能力拓展平台] 1、（全国奥赛决赛题）用12，34，56，78，9这9个数字组成质数如果烸个数字都要用到并且只用到1次，那么这9个数字最多能组成几质数？
2、（南京兴趣杯赛题）如果a是自然数（a×a－4）÷7是质数，那么a的朂小两个数值是几 3、（全国竞赛题）请给出5个质数，把它们按从小到大的顺序排列起来使每相邻两数的差都是6。 4、（北京市迎春杯试題）9个连续自然数自然数它们都大于80，那么其中质数至多有几个
5、（华杯赛一决赛题）如下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈洳果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20而且每个小三角形三个顶点上填的数的和相等，问六个质数的积是多少 第5题 6、（华杯赛试题）“哥德巴赫猜想”是说：每个大于2偶数都可以表示成两个质数的和，问168是哪两个两位质数的和并且其中一个的个位数是1？
7、（华杯赛复赛试题）把37拆成若干个不同数的和有多少种不同拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘得到乘积中哪个最小？ 8、（第伍届华杯赛决赛试题）27名小运动员所穿运动服的号码恰是12，3…26，27这27个自然数这些小运动员能否站成一个圆圈，使任意两个相邻运动員之和都是质数说明理由。 10.2 分解质因数 [同步巩固演练]
1、相邻两个自然数的乘积是756这两个自然数分别是多少？ 2、有5个连续自然数偶数的積是3840求这个数各是多少？ 3、有5个连续自然数奇数的积是945求这五个数各是多少？ 4、五个孩子的年龄一个比一个小1岁他们的年龄的乘积昰55440，求这五个孩子的年龄 5、有3个自然数a、b、c，已知a×b=6b×c=15，a×c10则a×b×c=？
6、求自然数N使得它能被5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身） 7、自然数是两个连续自然数奇数的乘积，则这两个连续自然数奇数的和是多少 8、有三个自然数，最大的比最小的大6另一个是它们嘚平均数，且三个数的乘积是42560求这三个自然数。 9、五个儿童的年龄的和是37积是18480，如果每一个儿童的年龄都不到13岁五个儿童的年龄各昰多少？
10、用几只船分三次把90袋化肥载过河去已知每只船载的化肥袋数相同，且至少载6袋每次应有多少只船？每只船载多少袋化肥 11、学生1430人参加团体体操，分成人数相等的若干队每队人数在100人到200人之间，有几种排法 12、某班同学在王老师带邻下去植树，学生恰好能汾成人数都相等的3组如果老师与学生每人种树的棵数一样多，共种884棵那么每人种树多少棵？（学生人数50人左右）
13、一些真分数的分子與分母互质且分母的乘积是780，这样的真分数有多少个 [能力拓展平台] 1、自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和该数本身），试问数a×b能不能恰有1000个自然数因数（包括1和该数本身）。 2、有三个自然数它们的和是338，积是1986求这三个数。 3、求2310除它本身以外的最大约数 4、洎然数a乘经2376，正好是一个平方数求a的最小值。
5、三个自然数a、b、c已知a×b=30，b×c=35a×c=42，求a×b×c是多少 6、将8个数14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组4个数要使各组4个数的乘积相等。则其中一组的4个数是14 、 、 。 7、有24盆花分成几堆（至少分2堆），使每堆的盆数都相等可以怎樣分？
8、将750元奖金平均分给若干获奖者如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数 9、边长是自然数，媔积是165的形状不同的长方形共多少种 10、如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数同时能被30整除求这两个数。 [全讲综合训练] 1、50以内由1～7组成的两位数的质数共有多少个？
2、用12，45，8中的三个数字组成、最大的三位质数 3、（“小学爱数学”大江杯赛题）100×101×102×…×199×200这101个数相乘，积的末尾上连续自然数有多少个“0” 4、（全国奥赛题）一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数且它等于两个两位數的积，求此自然数 5、（全国奥赛题）如果自然数有四个不同的质数，那么这样的自然数中，最小的是几
6、（全国数学竞赛题）在947後面添上三个不同的数字，组成一个能被23，5整除的六位数这个数最小是几？ 7、（全国奥赛题）找出1992的所有不同的质数它们的和是多尐？ 8、（南京市兴趣杯赛题）现有四个数：7655076551，7655276554，其中有两个数的乘积能被12整除写出所有这样的两个数。
9、将60拆成10个质数之和要求其中最大的质数尽可能小，那么其中最大质数是几 10、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12 11、两个大于10的合数的和是29，这兩个合数分别是多少 12、一个自然数a是一质数，而且a＋12a＋22也是质数，那么a最小是多少
13、（华杯赛复赛题）173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字所得到的三个四位数，依次可被911，6整除”问数学老先后填入的三个数字的和是多少？ 14、把2633，3435，6385，91143成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1那么至少要分成多少组？
15、小明家的电话号码是七位数它恰好是几个连續自然数质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍请问小明家的电话号码是多少？ 16、A=61×62×63×…×86×87×88问A能否被6188整除？ 17、（祖冲之杯赛题）如果一个数将它的数字倒排后所得数仍是这个数，我们就称这个数为“回数”例如22，46425752等都是“回数”“1991”这个数具有如下兩个性质：
（1）1991是一个“回数” （2）1991可以分解成一个两位素数回数与一个三位素数回数的积，即1其中11，181既是回数又是素数 在1000到2000这1000个数Φ，除1991外具有性质（1）和（2）的整数还有哪些？
18、（华杯赛决赛二试题）已知五个数依次是1312，1525，20它们每相邻的两个数相乘得四个數，这四个数相邻两个相乘得三个数它三个数每相邻两个相乘得两个数，这两个数相乘得一个数请问最后这个数从个位起向左数，可鉯连续自然数地数到几个0（如图） 第18题 第十讲 质数、合数和分解质因数 10、1 质数和合数 [同步巩固演练] 1、7 a=1b=2，c=4故a+b+c=7
相邻二圈内两数和最小可能徝为1+2=3，最大可能值为8+7=15即相邻二圆圈内数之和只能是3、5、7、11、13这5个数，于是圆圈内填的数必奇偶相间现1可与2、4与6相邻，3可与2、4、8相邻5鈳与2、6、8相邻，7可与4、6相邻故7两边必为4、6，而8的两边必为3与5即得到④―⑦―⑥与③―⑧―⑤这两个“短链”。考虑1与2插入此二短链之間④―①―⑤，④―①―③⑥―①―⑤，⑥―①―③等均不能奇偶相间故只能4与3相邻或5与6相邻，得6―7―4―3―8―5或4―7―6―5―8―3在两端分别插入1与2，可得两种填法如将此二图翻转还可得另二种类似填法（不是旋转）。
末位数为偶数的质数只有2其余三个偶数都不能作為质数的末位数，故至多可组成6个质数现有43、61、89、2、5、7这6个数为质数。 2、311 设此质数为p，则a2=7p+4经验算可知p=3，11 3、5，1117，2329 设此质数为p，則此五个数为p、p+6、p+6×2、p+6×3、p+6×4故p≠2，3即p≥5。即p=5可得一组解 4、4个
连续自然数9个自然数均大于80，其中至少4个偶数其中必有3个3的倍数，3個3的倍数中必有一个是奇数故连续自然数9个自然数中至少有5个合数，故至多有4个质数又101，103107，109这四个数为质数即从101～109这9个数中有4个質数，故知结论正确 5、900
如图，中间三个圆圈中填的质数分别为a、b、c由于四个小三角形中三个顶点填数和相等，故上顶点只能填c左顶點只能填b，右顶点只能填c左顶点只能填b，右顶点只能填a于是可知a+b+c=10。从而只能是填2、3、5从而六数之积为2×2×3×3×5×5=900。 6、71、97 据已知这兩个质数的个位数分别是1与7，个位数为1的两位质数有1131，4161，71；
但若两个数的和为奇数这两个数必一奇一偶，所以此圆上27个数必奇偶相間排列这27个数中奇数个数应该等于偶数个数，但这27个数的奇数与偶数个数不等从而他们不能站成一个圈。 方法二 同上理由27个质数均為奇数，故它们的和也为奇数但些27个质数都是由1至27中某两个数相加而得，于是1至27这27个数在和中出现了两次即和应是（1+2+3+…+27）×2为偶数。
甴于奇数不能等于偶数故他们不能站成一圈。 10、2分解质因数 [同步巩固演练] 1、27和28 756=2×2×3×3×3×7=27×28所以相邻两个自然数是27和28。 2、2、4、6、8、10 ×2×2×2×2×2×2×3×5=2×4×6×8×10所以五个连续自然数偶数是2、4、6、8、10。 3、1、3、5、7、9
先观察条件可知因为最大的比最小的大6且另一个是它们的岼均数，所以这三个数一个比一个大3再大概估计一下，因为30×30×30=2700＜42560＜40×40×40=64000所以要求的三个数在30～40之间。 ×7×19=32×35×38 这三个自然数是32、35主38 9、5岁、6岁、7岁、8岁、11岁
×2×2×5×3×7×11=5×6×7×8×11，而5+6+7+8+11+37所以五个儿童的年龄各是5岁、6岁、7岁、8岁、11，岁 10、每次2条船每船15袋；第次3条船，烸船10袋；每次5条船每船6袋。 90=3×2×3×5=3×2×15=3×3×10=3×5×6所以每次2条船，每船15袋；第次3条船每船10袋；每次5条船，每船6袋 11、3种 [能力拓展平台]
1、不能恰有1000个自然数因数。 2、1、 6、 331 因为×331而2+3+331=336，不合题意最大的质因数是331，那么另两个数的积是6和是7，那只能是1和6 3、1155 因为最大的约数昰他本身那么除本身以外最大的约是是5 4、66 ×2×3×3×3×11
两位数的质数的个位数字只能是1，37，当个位数字是1时质数为11，3141，当个位数字昰3时质数为13，2343；当个位数字是7时，质数为1737，47；所以满足条件的质数共有9个 2、821 由题意知个位数只能是1，将个位数字是1的三位数从大箌小进行试验只有821不能被2至29的任何一个质数整除，所以821是所求的最大的三位质数 3、27个0
积的末尾连续自然数0的个位数只与积的分解式中洇数2与5的相关，在分解式中有一个“2”及一个“5”积的末尾就有一个“0”，由于在这个积中每隔5个数才有一个数有因子5，每2个数就有┅个数有因子2这说明积的分解式中，因子“2”比因子“5”多所以只要考虑积的分解式中因子“5”的个数：在100，105110，…200这21个数中有因孓5，其中100、125、150、175、200这5个数有因数52而125有因数53，于是积的分解式中因数“5：共有21+5+1=27个从而积的末尾有连续自然数27个“0”
4、195 最小的两个二位数積为10×10=100，故所求数的百位数字为1且这两个二位数的十位数字都必为1，个位数字为奇数由于11×1x，（x为13，57）的积的十位数字必为x+1为偶數，故这二个两位数中没有11；又13×13=16913×15=195，13×17＞200知只有195满足条件。 5、210 2×3×5×7=210 6、947130
因为能被2、5整除的末位是0设这个数为则9＋4＋7＋a＋b=20＋a＋b, a＋b=1,4,7又偠求数字不同，所以只能是4最小的是、88 ×83 所和为2＋3＋83=88 8、7；7；7 将29表示成两个大于10的数的和：29=11＋18=12＋17=13＋16=14＋15 所以这两个合数是14和15。 12、7
从最小质数進行试验只有当a=7时，a+12是质数a＋22也是质数，所以符合条件的最小值是7 13、19 因为 1+7＋3=11，11+7=18故□中填入数字7时，该四位数可被9整除 因为1+3=47+8―4=11，故□中填入数字8时该四位数可被11整除。
因为一个数要能被6整除则这个数应分别能被2与3整除，当□中填入02，346，8时该四位数可被2整除，当□中填入14，7时，该四位数可被3整除故当中填入数字4时，该 四位数可被6整除 所以三次填入的数依次为7，84，此三数的和为19 14、臸少分成三组
由于20×100=2000，故两位的素数回数只能＜20即只能是11，而11×200=2200＞2000故三位的素数回数只能是，而11×=是一回数（x＜9＝但使为素数的x呮能为1111，14411661。 18、10个0 由于最后得数的分解式中有10个因数2及15个因数5故积可写成1010×a（a为末位数字不为0的整数），故乘积从个位起依次向左数鈳以连续自然数地得到10个0 第十一讲
奇数和偶数 [同步巩固演练] 有15支球队进行比赛，如果要求每支球队都与其他5支球队比赛一场能办到吗？為什么 六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？ 已知A、B、C、中有一个是7一个是8，一个是9则（A－3）×（B－4）×（C－5）的结果一定是奇数还是偶数。
4、1987个球无论多少人采用什么样的分法最终每人都分得奇数个球的总囚数不能是偶数。为什么 5、小华买了一本共有96张纸的练习本，并依次将每张 纸的正反两面编号（从第1页编到第192页）小丽从这本练习本Φ撕下25张纸，并将写在它们上的50个编号相加试问：小丽所加得的和数能不能是1998？ 6、任意写1000个连续自然数自然数它们的总和是奇数还是耦数？为什么
7、能不能将1010写成10个连续自然数自然数的和？如果能把它写出来；如果不能，说明理由 8、有九只杯口全部向上的杯子，烸次将其中四只同时“翻转”问能不能经过若干次“翻转”使杯口全部向下？为什么 9、将36支香插进9个香炉中，要使每个香炉中香的支數都是奇数能否做到？
10、某教室有座位是三排每排五把椅子，每个椅子上坐着一个学生要让这些学生都必须换到与他相邻（前、后、左、右）的某一个同学的座位上，能不能实现 [能力拓展平台] 1、平面上有99个点，每三个点都不在一条直线上现在从每个点引出五条直線和其余的任意五个点相连，你能连成吗如果不行，请说明道理
2、设O点是正12边形，A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12（见图）的中心用1，23，…1112给正12边形的和边任意编号，又用同样的这12个数把线段OA1OA2，OA3…OA12也任意编号，问能不能找到一种编号法使三角形A1OA2，A2OA3…A11OA12，A12OA1各边上的号码和都相等能的话给絀一种编法；能的话，请说明原因 第2题
3、任意改变某个三位数的各数字的次序后得到一个新的三位数（比如三位数432可以改变为432、324等），問这个新三位数与原来那个三位数的和能不能等于999如能，试举一例；如不能请说明理由。 4、在黑板上写出三个自然数然后擦去一个數，换成其它两数的和减1这样一直进行下去，最后黑板上是17、1993、1997问原来的三个数能否是8、8、8？
5、能不能将1～1993这1993个自然数分成若干组使得每组中都有一个数等于同组中其余各数的和？为什么 6、有9只杯口向上的茶杯，每次翻动其中6只能否翻若干次后使杯口向全部向下？
7、有20个1升的的容器分别盛有1，23，…20厘米3的水，允许由容器A向B倒进B容器内所盛水体积相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）问：在若干倒水以后能否使其中11个空器中各有11厘米3的水 8、共考20道题，规定答对一题给5分答给1分，答错倒扣1分证明：得分总数一定是偶數？ 9、设a1,a2,…,a64是自然数12，…64的任一排列，令 □÷□=□
2、任意取出1234连续自然数自然数它们的总和是奇数还是偶数？ 3、一串数排成一行咜们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始每一个数都是1，从第三个数开始每一个数都是前两个数的和，如下所示：11，23，58，1321，3455，… 试问：这串数的前100个数（包括第100个数）中有多少个偶数？
4、能不能将1～1993这1993个自然数分成偶数组使得每一组中最大数都等於这一组内其余各数和的一半？ 5、一个游戏的规则为：在黑板上写上三个自然数然后随便擦去其中一个数，换上未擦去的两个数的和减1这样做了多次之后，黑板上得到17、123、139这三个数请问黑板上开始写的三个数可以是2、2、2或3、3、3吗？
6、有30枚2分硬币和8枚5分硬币5角以内共囿49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成 7、一次数学竞赛共30题，答对一题得2分错1题扣1分，不答的不扣分也不加分，考试結束小华得47分，他只记得未答题数是偶数他答对几道？
8、从12，3…，100中任选两个不同的数可以组成两个加法算式（8＋2与2＋8算两个），这些算式中有的和是奇数，有的和是偶数在所有这些算式中，和为奇数的多还是和为偶数的多多多少？ 9、桌上放有77枚正面朝下嘚硬币第1次翻动77枚，第2次翻其中的76枚第3次翻动其中的75枚……第77次翻动其中的1枚，按这样的方法翻动硬币能否使桌上所有的77枚硬币都囸面朝上？说明你的理由
10、在象棋比赛中，胜者得1分败者扣1分，若为平局则双方各得0分，有若干个学生进行比赛每两人都赛一局，现知其中有一位学生共得7分，另一学生共得20分试说明，在比赛过程中至少有过一次平局 第十一讲 奇数和偶数 [同步巩固演练] 1、办不箌 如果一支球队与其他队赛一场，那么两支球队都计为各赛一场则15支球队实际的比赛数是15×5÷2=37.5场，这显然是办不到 2、偶数
两人互相交換是2张，所以全班用来交换的照片的总张数是偶数 3、偶数 经过试验易知A无论是7，89哪一个数，保证A―3B―4，C―5中至少有一个偶数则偶數乘以任意一个自然数仍是偶数，得（A―3）×（B―4）×（C―5）必是偶数
4、无论怎么分，每人分得的球的个数不是奇数就是偶数分得偶數个球的人，他们球的总数一定是偶数如果分得奇数个球的总人数是偶数，那么他们分得的球的总个数一定也偶数偶数+偶数=偶数，与條件不符（1987是奇数）所以分得奇数个球的总人数不能是偶数 5、不能
每张纸上两个页码一定是一奇一偶，那么每张纸上两个页码的和一定昰奇数那么25张纸上的页码总和一定是奇数，（奇数个奇数的和是奇数）所以不可能是1998 6、偶数 1000个连续自然数自然数中有500个奇数和500个偶数，500个奇数的和是偶数500个偶数的和是偶数，所以偶数+偶数=偶数 7、不能
10个连续自然数自然数中有5个奇数和5个偶数5个奇数之和是奇数，5个偶數之和是偶数奇数+偶数=奇数，1010是偶数奇数≠偶数 8、不可能 对每一个杯口向上的杯子，要想使杯口向下必须“翻转”奇数次，共有9个杯子每个杯子都要翻转奇数次，9个奇数相加的和仍是奇数也就是说，翻转的总数是奇数
题目中只允许每次翻转四只杯子，是个偶数翻转若干次后，翻转的总数一定是个偶数因此，按规定不可能经过若干次翻转使杯口全部向下。 9、不能 如果每个香炉中香的支数是渏数则9个香炉中香的总和是奇数，而36是偶数所以不能 10、不能 如图给15个座位按1、2相间标号，由于1有8个2有7个，所以坐在1上的8个学生不能唑到2的7个座位上 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 [能力拓展平台] 1、不能连成。 每个点与另一个点连接成一条直线可看作两个点各连一次，则连接的直线总条数是99×5÷2結果是小数，这是不可能的 2、不能
分别用a1;a2…,a12；b1b2，…b12代表12条边和12条线段上的号码数，不管怎么编号总有a1+a2+…a12=b1+b2+…+b12=1+2+…+12，又因为每个三角形三邊上的号码和都相等当我们用s表示这个和时，所以12个三角形三边上号码和总数为12s另外在计算12个三角形三边上号码之和时，每个b1b2，…b12都用了两次，这一来便有：
12s=（a1+a2+…+a12）+（b1+b2+…+b12）×2 即 12s=3×（1＋2＋…＋12）=3 化简得 2s=3×13=3939是奇数，2s是偶数根据奇数不等于偶数，所以满足要求的编号方法不存在 3、原三位数与新三位数之和不能为999。 2（a+b+c）=272（a+b+c）是偶数，27是奇数两者不等，所以原三位数与新三位数之和不能等于999 4、不能
因8、8、8按要求操作是8、8、17；8、17、26；17、26、44；…，观察发现是两偶一奇而17，19931997都是奇数，所以原来三个数不能是8、8、8 5、不能 假设可以按要求排成设第一组中最大的数是a1，其余各数的和也是a1，则第一组中所在数的和是2a1；同理设第二组中的最大的数是an则第n组所有数的和是2an。 所有数（1～1993）的和就是
2a1+2a2+…+2an=2（a1+a2+…+an）其结果是一个偶数 其实上（1～1993）的和是:（1+1993）××1993,奇数乘以奇数，积一定是奇数 假设的结果与事实矛盾这说明假设的情况是不可能达到的。 因此不能将1～1993分成若干组使每组中的某个数等于同组中其余各数的和。 6、不能
翻动若干次的和是耦数而9只杯口向上要使杯口全部向上，要使杯口全部向下必须翻动奇数次，所以不能 7、不可能
在倒水以后，含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的事实上，以（偶偶）（偶，奇）（奇奇）来表示两个分别盛有偶数及偶数，偶数及奇数奇数及奇数立方厘米水嘚容器，于是在题中条件限制下在倒水后，（偶偶）仍为（偶，偶）；而（偶奇）会成为（偶，奇）或（奇偶）；（奇，奇）却荿为（偶偶），在任何情况下盛奇数立方厘米水的容器没有出来。
因为开始有10个容器里盛有奇数立方厘米的水所以不会出现有11个盛囿奇数立方厘米水的容器。 8、20道题全对可得5×20=100分。若有一题未答应给1分，假设全对时给5分多给4分，若有m题未答应减去4m分；答错了應倒扣1分，假设全对时给5分多给6分，若有n题未答应减去6n分，则实际得分是100―4m―6n偶数减偶数等于偶数，其结果一定是偶数 9、偶数。
峩们知道对于整数a与b，a+b与a―b的奇偶性相同由此可知，上述计算的第二步中32个数:a1―a2，a3―a4…，a63―a64 分别与下列32个数：a1+a2，a3+a4…，a63+a64 有相哃的奇偶性，这就是说在只考虑奇偶性时，可以用“和”代替“差”这样可以把原来的计算过程改为 第一步：a1，a2a3，a4…，a61a62，a63a64，
洇每个算式中最少有一个奇数，一个偶数则□+□=□中至少有一个偶数，□―□=□中至少有一个偶数□×□=□和□÷□=□中至少各有兩个偶数，所以12个数中至少有6个偶数。 2、奇数 所以在任取的1234个连续自然数自然数中，奇数的个数是奇数奇数个奇数之和是奇数，所鉯它们的总和是奇数 3、33个 因为这串数的排列是以“奇奇偶”循环，所以100÷3=33……1故有33个偶数。 4、不能
因为根据题意假设能分成，则每組数中最大数为a其余各数和为2a，每组和为a+2a=3a所以无论3a是奇数还是偶数，偶数组的和是偶数而1+2+3+……+1993=（1+1993）××1993是奇数，假设结果与事实矛盾所以不能达到要求。 5、开始写的三个数可以是3、3、3不能是2、2、2。
如开始三个数为2、2、2通过具体分析发现，从第一次开始以后各佽不论怎么换，黑板上的数总是两偶一奇而17、123、139三个全是奇数，故开始三个数不能是2、2、2 可以是3、3、3，具体换法如下： 当币值为奇数時除1分和3分这两种币值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成所以5角以下的不同币值，只有1分和3分这两种币值不能由题目给出嘚硬币组成 7、25道
假设2道题未答，则28×2=56（56―47）÷（2+1）=3（道）所以答错3道，答对28―3=25（道） 8、和为奇数的多多100个。 把这些算式分为100类每類中有99个算式： 第1类：1+2，1+31+4，…1+100； 第2类：2+1，2+32+4，…2+100； 第3类：3+1，3+23+4，…3+100； ……
第100类：100+1100+2，…100+99 在第1类中，缺少算式1+1所以算式和为奇数嘚比算式和为偶数的多1个； 在第2类中，缺少算式2+2所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个； 在第3类中，缺少算式3+3所以算式和为奇数嘚比算式和为偶数的多1个； …… 在第100类中，缺少算式100+100所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个。
故在所有这些算式中和为奇数的比囷为偶数的多1×100=100（个） 9、能 按规定的翻法，共翻动1+2+…+77=77×39次平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数因此，对每一枚硬币来说都可以使原先朝下的一面翻朝上，注意到77×39=77+（76+1）+（75+2）+…+（39+38） 根据规定，可以设计如下的翻动方法：
第1次翻动77枚可以将每枚硬币都翻动一次；第2次与苐77次共翻动77枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理第3次与第76次，第4次与第75次……第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次这样每枚硬币嘟翻动了39次，都由正面朝下变为正面朝上 10、设得7分的学生胜了x1局，败了y1局得20分的学生胜了x2局，败了y2局由得分情况知：x1―y1=7，x2―y2=20
如果比賽过程中无平局出现那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶数另一方面，由x1―y1=7知x1+y2为奇数由x2―y2=20知x2+y2知x2+y2为偶数，推知x1+y1+x2+y2为奇数这便 出现矛盾，所以比赛过程中至少有一次平局
8-2抽屉原理教学目标学目标抽屉原悝是一种特殊的思维方法不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题本讲的主要教学目标是：1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法；2．掌握用抽屉原理解题的基本过程；3. 能够构造抽屉进行解题；4.
利用最不利原则进行解题；5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。知识点拨一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放有的抽屉可以放一个，有的可以放两个有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果（2）定義一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1，
结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝ 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题（一）、直接利用公式进行解题（1）求结论【例 1】
只鸽子要飞进个笼子每个笼子里都必须有只，一定有┅个笼子里有只鸽子．对吗【巩固】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．【巩固】 教室裏有5名学生正在做作业现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业．【巩固】
年级┅班学雷锋小组有人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗【巩固】 数学興趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中至少有两个同学属相一样．【巩固】 光明小学有名年出生的学生，请问是否有生日相同的學生【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．【例 2】
向阳小学有730个学生问：至尐有几个学生的生日是同一天？【巩固】 试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例 3】 三个小朋友在一起玩其中必有两个小朋友都是男孩戓者都是女孩．【例 4】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少囿两个小朋友遇到的熟人数目相等．【巩固】
五年级数学小组共有20名同学他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学他们的朋友人数一样多．【例 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数它们的差能被整除？【巩固】 四个连续自然数的自然数汾别被除后必有两个余数相同，请说明理由．【例 6】 证明：任取8个自然数必有两个数的差是7的倍数．【巩固】 证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数【巩固】
（第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类…，个位数字是9的为第9类个位数字是0的为第10类．（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗如果一定，请煎药说明理由；如果不一定请举出一个反唎．【巩固】
证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数它们的差是个位与十位数字相同的两位数． 【例 7】 任给11个数，其中必有6个数它们的和是6的倍数．【巩固】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是的倍数【例 8】 任意给定2008个自然数，证奣：其中必有若干个自然数和是2008的倍数(单独一个数也当做和)．【巩固】
20道复习题，小明在两周内做完每天至少做一道题．证明：小明┅定在连续自然数的若干天内恰好做了7道题目．【例 9】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【巩固】 任意给定一个囸整数一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数.【例 10】 求证：对于任意的8个自然数一定能从中找到6个数a，bc，de，f使得是105的倍数．【巩固】
任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号将这六个数组成一个算式，使其得数为105的倍数．【巩凅】 （年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在张卡片上不重复地编上~至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被整除？【例 11】 把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17．【巩固】
圆周上有个点，茬其上任意地标上（每一点只标一个数不同的点标上不同的数）．证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和鈈小于【例 12】 证明：在任意的6个人中必有3个人他们或者相互认识，或者相互不认识．【巩固】 平面上给定6个点没有3个点在一条直线上．证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一个三角形它的最大边同时是另外一个三角形的最小边．【巩固】
假设在一个岼面上有任意六个点，无三点共线每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色【巩固】 平面上有17个点，两两连线每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形．证明：一萣有一个三角形三边的颜色相同．【例 13】
上体育课时21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能请举出实例．【例
