判断椭圆的焦点位置和焦距椭圆。x2 ÷4√2+y2÷3√2=1

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-02-17 14:25 标签： 焦距椭圆

1.判断下列各椭圆的焦点位置并說出焦点坐标、焦距椭圆。

2.求适合下列条件的椭圆标准方程：两个焦点的坐标分别为( 4,0),(4,0)椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。

例1 已知椭圆两個焦点的坐标分别是 2,0 2,0 ，并且经过点

变式练习1：与椭圆x+4y=16有相同焦点,且过点(5, 6)的椭圆方程是 .

例2 如图在圆x y 4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PDD为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么

例3如图，设AB的坐标分别为 5,0 ， 5,0 ．直线AMBM相交于点M，且它们的斜率之积为 2222 53 , 求它的标准方22 4，求点M的轨迹方程． 9

22变式练习2：已知定圆x+y-6x-55=0动圆M和已知圆内切且过

点P(-3，0)求圆心M的轨迹及其方程．

1.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”命题乙是：“点P的轨迹

是以A．B为焦点的椭圆”，那么

A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件 （ ）

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1 2.2.22.2.2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 ┅一 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质并正确地画出它的图形.2.根据几何 条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形． 知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标 思考 观察椭圆＋＝1ab0的形状如图你能从图中看出它的范围吗它具有怎 x2 a2 y2 b2 样的对称性椭圆上哪些点比较特殊 答案 1范围－a≤x≤a，－b≤y≤b； 2对称性椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； 3特殊点顶点A1－a,0A2a,0，B10－b，B20b． 梳理 椭圆的几何性质 焦点茬x轴上焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1ab0 x2 a2 y2 b2 ＋＝1ab0 y2 a2 x2 b2 图形 焦点坐标 ±c,0 0，±c 对称性关于x轴、y轴轴对称关于坐标原点中心对称 顶点坐标 A1－a,0，A2a,0 B10，－bB20，b A10－a，A20a， B1－b,0B2b,0 范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b|y|≤a 长轴、短轴长轴A1A2长为 2a，短轴B1B2长为 2b 2 知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度 答案 用离心率刻画扁圆程度e越接近于 0，椭圆越接近于圆反之，越扁． 梳理 1焦距椭圆与长轴长的比 称为椭圆的离心率． c a 记为e＝ . c a 2对于＋＝1b越小，对应的椭圆越扁反之，e越接近于 0c就越接近于 0，从 x2 a2 y2 b2 而b越接近于a这时椭圆越接近于圆，于是当且仅当a＝b时，c＝0两焦点重合，图 形变成圆方程变為x2＋y2＝a2.如图 1．椭圆＋＝1a＞b＞0的长轴长是a. x2 a2 y2 b2 2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． 3．若椭圆的对称轴为坐标轴长轴长与短轴长分别为 10,8，则椭圆嘚方程为 ＋＝1. x2 25 y2 16 4．设F为椭圆＋＝1a＞b＞0的一个焦点M为其上任一点，则MF的最大值为 x2 a2 y2 b2 a＋c.c为椭圆的半焦距椭圆√ 类型一 由椭圆方程研究其几何性质 唎 1 求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为＋＝1 x2 16 y2 9 于是a＝4，b＝3c＝＝， 16－97 ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6 3 离心率e＝ ＝，又知焦点在x轴上 c a 7 4 ∴两个焦点坐标分别是－，0和0， 77 四个顶点坐标分别是－4,04,0，0－3和0,3． 引申探究 本唎中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1” 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式， 然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上再利用a，bc之间的关系和定义，求 椭圆的基本量． 跟踪训练 1 求椭圆 9x2＋y2＝81 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和離心率． 解 椭圆的标准方程为＋＝1则a＝9，b＝3c＝＝6，长轴长 2a＝18短 x2 9 y2 81a2－b22 轴长 2b＝6， 焦点坐标为0,60，－6 22 顶点坐标为0,9，0－9，3,0－3,0． 离心率e＝ ＝. c a 2 2 3 类型二 椭圆几何性质的简单应用 命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程． 1已知椭圆的中心在原點，焦点在y轴上其离心率为 ，焦距椭圆为 8； 1 2 4 2已知椭圆的离心率为e＝ 短轴长为 8. 2 35 解 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性質充分找出a，bc 所应满足的关系式，进而求出ab，在求解时需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练 2 根据下列条件，求中心在原点对称轴在唑标轴上的椭圆方程 1长轴长是短轴长的 2 倍，且过点2－6； 2焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直且焦距椭圆为 12. 解 1当焦点在x軸上时，设椭圆方程为＋＝1ab0． x2 a2 最值问题 例 3 椭圆的中心是坐标原点长轴在x轴上，离心率e＝已知点P到椭圆上的 3 2 0， 3 2 点的最远距离是求这个橢圆的方程． 7 解 设所求椭圆方程为＋＝1ab0． x2 a2 y2 b2 5 ∵ ＝＝＝ ，∴a＝2b. b a a2－c2 a21－e2 1 2 ∴椭圆方程为＋＝1. x2 4b2 y2 b2 设椭圆上点Mxy到点P的距离为d， 0 3 2 故椭圆的标准方程为＋x2＝1. y2 6 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距椭圆成等差数列，则该椭圆的离心率是 ________． 答案 3 5 解析 由题意有2a＋2c＝22b，即a＋c＝2b 又c2＝a2－b2，消去b整理得 5c2＝3a2－2ac 即 5e2＋2e－3＝0， 8 又∵0＜e＜1∴e＝ 或e＝－1舍去． 3 5 4．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1 的离心率为 1求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及離心率； 2写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解 1由椭圆C1＋＝1 可得其长半轴长为 10 x2 100 y2 64 短半轴长为 8，焦点坐标6,0－6,0，离心率e＝ . 3 5 2椭圆C2＋＝1性质①范圍－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性关于x y2 100 x2 64 轴、y轴、原点对称；③顶点长轴端点0,100，－10短轴端点－8,0，8,0 焦点坐标0,6，0－6；④离心率e＝ . 3 5 12 13．分别求适匼下列条件的椭圆的标准方程 1离心率是 ，长轴长是 6； 2 3 2在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直且焦距椭圆为 6. 解 1设椭圆的标准方程为 ＋＝1 ab0或＋＝1 ab0． x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2

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